研究者根據本研究研究範圍數教材分析進行相關文獻蒐集後，將分 數迷思概念類型分為概分為「單位量」、「等值分數(含分數的比較) 」、
「分數的加減」、「分數的整數倍」等四個部分討論。研究者將分數的 比較納入等值分數範圍的原因在於解分數的比較大小這一類型題目時，
所需要的主要概念是等值分數的運算，所以解題的同時，學童會利用 通分的過程將異分母的分數轉變成相同分母的等值分數後，再運用同 分母分數比較大小觀念進行分數大小的判斷。而且，研究者閱讀「分 數」相關文獻時，發現有大部分的研究都顯示五年級學童對於「分數」
單位量具有迷思概念導致「分數」比較大小的學習上有著困難，所以 研究者認為在「分數」的題目中能確實理解並找出適合單位量的能力 也必須納入教學目標之中。故以下針對「單位量」、「等值分數(含分數 的比較) 」、「分數的加減」、「分數的整數倍」等四個部分，進行相關整 理與探討。
一、 單位量
Figueras（1989）研究表示兒童面對「分數」單位量的困難有「忽 略給定的單位量」、「受分子控制」、「受分母控制」三種類型。
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(一) 忽略給定的單位量
例如：「有四堆橘子，圖示中圈出 5 個，請問圈起來的橘子占 全部的多少？」，答案應為5
12。但這時學童誤以為圈起來的 5 個橘 子中的兩堆的個數(6 個)為單位量，故回答5
6，忽略了四堆橘子的總 個數(12 個)才是單位量，該回答5
12才為正確答案。
(二) 受分子控制
例如：「有等分成六塊的正方形中，著色其中的2
3」，應視題目圖 形要求，將2
3擴分為4
6，再把其中的 4 塊著上顏色。但學童只考量2
3的 分子為 2，故只塗 2 塊。
(三) 受分母控制
例如：「學童解決從 8 朵花中，圈出其中的3
4」的分數問題時，
應視題目要求，將3
4擴分為6
8，再把其中的 6 朵花圈起來。但學 童只考量3
4的分母為 4，故只圈了 4 朵。
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從題目中找出所需單位量的能力對於分數學習是基本且相當重要，
但學童對於題目中單位量的找尋並不容易，可見概念是不穩固的，導 致很多時候無法清楚分辨問題所描述單位量為何，無法正確的作答(楊 德清、洪素敏，2003；Cramer, Post, & delMas, 2002)。Iwasaki(2000)等 學者讓 38 位三年級學童解「如果一條彩帶有 120 公分長，請拿出 14 公尺長的彩帶給我」的問題，研究的結果中有 14 位(37%)的學童只看 到「14」這個數字，就直接將彩帶平分成 14 等分，而沒有考量問題描 述中要求拿出的是「14 公尺」這個目標，並不是「平分成 14 等分」，
由此過程可以知道學童對於單位量概念是模糊且缺乏的。詹婉華(2003) 發現五年級學童的對於在「分數」問題中，找出單位量仍然很模糊，
在遇到「一盒巧克力有 2 條。小明拿了 12 盒，小華拿了 12 條。請問 小明和小華得到的一樣多嗎？」的問題時，只有約 45%的學童答對，
超過一半的學童並沒有觀察到單位量，而只看到「12」的數字，認為 小明和小華兩個人拿到一樣多。Amato (2005)的研究則認為許多學童的 單位量概念在學習時有困難，例如有些學童會將「 」的答案錯 認為是7
10而不是7
5，弄錯的單位量。Amato 研究透過部分─整體圖形
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(part-whole diagrams)的協助，能夠改善學童發展單位分數的概念，易 有不錯成效。
二、 等值分數(含分數的比較)
Kamii 和 Clark（1995）認為學童解等值分數問題會受圖形思考（以 圖形大小作比較）的影響。例如他們給五、六年級學童 兩張一樣大的 長方形紙，然後在學童面前把兩張長方形的紙對折：一種對折成兩 個 長方形、一種折成兩個三角形，如圖 2 - 3，結果有 44%的學童說一樣 大(即 a、b、c、d 等 4 塊區域面積一樣大)，38%說三角形比較大(即 c、
d 兩塊其中一塊面積大於 a、b 兩塊其中一塊面積)，其他的學童很矛盾，
Kamii 認為這些學童的運作思考告訴他們兩塊一樣大，但是圖形思考 卻說三角形 比較大，使他們對自己的答案不確定。
圖 2 - 3 等面積異形體保留概念
Hannula (2003)的研究中顯示，只有約 46%的五年級學童能正確將 範例圖中3
4的位置塗上顏色，如圖 2 - 4。詹婉華(2003)發現五年級學童 遇到「1 盒蘋果有 4 個，小波得到1
2盒，小明得到1
4盒，請問誰得到比較 多的蘋果？」的比較單位量問題，其中有 16%的學童只單純考慮分子，
二者分子相同所以都是拿一份，所以兩人分到的蘋果個數上也相同；
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其中的 14%的學童只注意到分母的部分，學童認為兩個分數中分母 4 >
2，所以分母為 4 的分數較大，也就是小明拿到比較多盒蘋果。洪素敏 等(2007)發現國小五年級學童有著「不瞭解等值分數的意義」與「分數 的求法和分數的乘法混淆」兩種關於等值分數的問題，等值分數概念 影響甚廣，會關係到學童後續在分數的加、減、乘、除運算的過程，
以及分數比較大小的學習表現(洪素敏、楊德清、蔡鳳秋，2007)，教學 等值分數的過程中讓學童實際操作實體物(例如：積木)或其他表徵間的 轉換，換而言之也就是由具體的概念到抽象符號表徵的教學過程，對 學童在等值分數概念與運算過程的意義能產生更長遠的記憶及理解。
圖 2 - 4 著色範例圖 三、 分數的加減
Lukhele, Murray 與 Olivier (1999)蒐集了五、六年級學童共 95 位的 資料，同分母分數的相加(例：7
8+ 7
8)的問題中只有 13%答對率，部分作 答學童將式子中的分母加上分母，分子加上分子所得到的大案作答(例：
7 8+7
8= 14
16 )。Herman 等(2004)發現對於「1
2+ 1
4=？」、「3
8+ 2
8=？」等類似 問題中，六年級學童雖然能夠透過分數的運算規則計算出答案，但是 無法解釋其意義與用其他表徵來表示算式。
國內學者李源順（2005）在研究中發現，國小四年級學童在進行同
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分母真分數加減運 算時會出現的錯誤類型有：
（一）加法問題
1. 分母加分母與分子加分子的概念性迷思。 (7
8+7
8= 14
16 ) 2. 少部分學童只取分子相加。 (7
8+7
8=14) 3. 看成小數相加。(遇到無法整除的情況) 4. 將所有數字相加。(7
8+7
8= 30 )
（二）減法問題
1. 將減法問題看成加法問題。(7
8 - 1
4= 9
8 ) 2. 使用分子減分子，分母減分母。(7
8 - 1
4= 6
4 ) 3. 分子相減，但分母相加。(7
8 - 1
4= 6
12 ) 4. 只取分子相減。(7
8 - 1
4= 6 )
5. 看成小數相減。(遇到無法整除的情況)
可見分數的加減問題在分數概念學習時是學童遇到挫折很常 見的問題。
李源順、余新富與李勇諭(2006)發現四年級學童遇到相同分母的應 用問題時(分數加法)的答對率高達 85%，而遇到表徵問題時的答對率僅 49%，可見分數的加減部分，問題在於學童學習過程中流於單純執行運 算規則進行解題，並無法連結到外在的表徵與生活實際情況連結。
Cramer 等(2008)利用「the fraction circle model」讓四、五年級的學童透
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過操作具體教具或以圖像的方式瞭解分數加、減法的概念，讓學童能 以心智表徵(mental representations)的方式進行分數加、減法的運算，提 升學童分數的加、減運算學習成效。
四、 分數的整數倍
教學過程中有部分學童在遇到分數的整數倍的問題時，會利用分子 與分母同時成以某一個整數，也就是擴分的方式處理運算過程，例如
「7
5× 6」，有部分學童會以「7
5× 6
6」表示答案，可見學童對於「分數的 整數倍」以及「分數的擴分」容易產生誤用(胡蕙芬、李源順，2005；
Taber, 2007)。Mack (2000)觀察 4 個四至六年級的學童長達兩年的時間，
進行圖形表徵對於學童學習分數乘法概念是否有幫助的研究，結果顯 示實驗組學童經過教學實驗後，可以透過圖形表徵清楚的說明分數乘 法運算規則。胡蕙芬與李源順(2005)的研究中提到五年級學童遇到分數 成以一個整數倍的應用問題題型時，學童正確作答的答對率有 68%，
比遇到表徵問題時只有 25%的答對率來的好，問題以可能在於學童學 習過程中流於單純執行運算規則進行解題，並無法連結到外在的表徵 與生活實際情況連結。
根據以上討論分析，研究者發現國小五年級學童不僅在單位量概念 不穩固之外，在分數比較大小概念學習上容易只注意到分子或分母的 影響，以及運用圖形表徵解決或解釋分數問題的能力較弱，是較為常
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見且嚴重的問題。