第肆章 研究結果與分析
第一節 點心分披薩教學實況-似是而非
這堂課發生在教案一「點心分披薩囉!」，了解「擴分的意義、方法 及找等值分數，再由擴分的經驗，理解如何用約分找等值分數。」其 中在活動一中找出分子分母規律以及擴分求等值分數時為何分母不得 成以零兩個部分令授課老師難忘。
首先，老師先布題，依照當天點心食用披薩的條件下給學童一個故 事情境如下：「課輔班的小朋友最喜歡吃披薩當作點心。老師做了三個 大小一樣的披薩分給小朋友們吃，老師先把第一個披薩平均分成 2 塊，
分給小朋友甲 1 塊。小朋友乙見到說：『太少了，我要 2 塊。』老師就 把第二個披薩平均切成 4 塊，分給小朋友乙 2 塊。小朋友丙更貪心，
搶著說︰『我要 4 塊，我要 4 塊。』於是老師又把第三個披薩平均分 成 8 塊，分給小朋友丙 4 塊。」
由於先將題目抄於白板上，再經由口述帶著學童導讀，故學童在這 一個部分均對題意都能順利的理解。
此時授課老師幫助學童建立溝橋。(B- conceptual bridging)
接著，老師發下活動所需要的圓形紙卡，過程中三組學童利用老師 發下的圓形紙卡代替披薩做分割，學童得到故事中三位小朋友(甲、乙、
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丙)所分得的份量，分別為甲分得
2
1個披薩、乙分得
4
2個披薩和丙分得
8 4
個披薩，老師請學童觀察
2 1，
4 2，
8
4這三個分數中，分子有甚麼變化？
分母又有甚麼變化？
各組開始進行組內討論老師提出的2個問題，老師則進行組間巡視，
確認學童都有分配好各自任務，例如：哪位同學負責將工作紙分成等 分，哪位同學著色或是哪位同學負責總結討論變化等任務。歷時五分 鐘的時間，老師觀察各組差不多完成討論，老師則開始請同學發表各 組結論。以下依發表先後順序描述。
第一組：我們認為
2 1，
4 2，
8
4三個分數中分子的變化 1->2->4，1變成 2 的過程是1+1=2，2變成4的過程是 2+2=4。分母的變化2->4->8，規 律是2+2=4，4+4=8。
老師：好像有道理喔。(老師沒想到學童會看出用「加」這個規律語帶 驚訝)
第三組未等老師叫到他們，迫不及待舉手發言搶著分享自己想法。
第三組：要用之前四年級學過分數的加法，
2 1+
2 1=
4 2，
4 2+
4 2=
8
4。(同 學搶著舉手發言)
老師：當時學的是這樣嗎？要不要再想一下呢？(老師雖然發現錯誤，
但不直接說「錯」，而是希望第三組同學再想一想)
雖然第三組學童認為能找到規律，但與實際上分數加法的數學原理
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不符合(分數加法過程中，分母相同時，分母不變，分子相加，即
2 1+
2 1
=2
2=1)，老師發現了
2 1+
2 1=
4
2這個謬誤，所以希望第三組同學在聆聽其 他組發表過程中，再想一想自己的結論。
第二組A同學：「分數加法不是這樣吧」，我們這組覺得
2 1，
4 2，
8 4中分 子變化的過程後一個都是前一個的兩倍，分母也一樣後面都是前面的 兩倍。
第二組也注意到老師對於第三組算式的疑問，回答了當時學的分數 加法算則並非如第三組所述，順勢發表了自己組別的結論。
老師：所以都是乘以2是嗎？(老師心感聽到期望的答案，再次詢問第 二組同學)
老師擔心學童表達的意思與自己理解上有所差異，再一次的詢問確 保老師與學童之間的想法一致。
第二組：對。
這時老師沒有給出「對」或「錯」的答案，並請各組同學依照自己 各組找出的規律去找出下一個可能的分數。
第一組： 14 7 。
老師：可以跟我們說明一下怎麼得到
14
7 的嗎？
原本老師預期他們這組下一個的算法如下，分子算法：1+1=2，
2+2=4，接下來應該是4+4=8；分母算法：2+2=4，4+4=8，接著應該為
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8+8=16，但第一組的答案
14
7 出乎意料，故請該組說明。
第一組：分子1變成2是加1，2變成4是加2，所以下一個應該要加
3，4+3=7，分母也是類似的算法，先是加2，再來加4，接著加6，
8+6=14。
老師：這個方式很有想法，連老師都沒想過呢？我們等等來驗證一下 這個方法的可行性。
老師接著請二組及第三組發表。
第三組：如果按照我們找的應該是
16
8 。因為按照規律接下來應該是
8 4+
8 4=
16 8 。
第二組：我們也是
16
8 ，但是我們是用乘法。
老師：各組都很棒喔!很努力地找出了規律。我們回歸到今天課程的主 題，「等值分數」指的是與原來給定分數一樣大的分數。第一組的同學 答案沒有錯，但是在遇到找等值分數的題目如：
6 2=
) (
8 時，你們會怎 麼想呢？
老師發現由於有些組別(第一組、第三組)推導出結論的歷程偏離了 等值分數的概念，所以老師利用等值分數單元中常出現的題型作為例 子，給予歷程偏離的組別作為觀念上的衝突。
此時研究者發現授課老師為了讓學童在舊有觀念上產生衝突，加以 引導。(D- differentiation)
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第一組：還是分子加‘ 1’，分母從二開始加，但這樣分子沒辦法加到‘ 8’， 好像有那裡想錯了。
老師：第一組發現問題了嗎？同樣的題目第三組的方式會得到甚麼答 案呢？(老師提醒第一組同學發表時的觀念衝突)
第三組：6 2+
6 2=
12
4 ，然後
12 4 +
12 4 =
24
8 ，( )要填24。
老師：雖然答案是正確的，但是分數的加法不是這樣算的喔!回想一下 同分母的加法，分母的部分應該不能相加，例如：
2 1+
2
1=1而不是
4 2。 第二組的答案呢？
授課老師將讓學童對於分數加法錯誤的概念替換成正確的觀念。
(E- exchange)
第二組：( )=24，因為2變成8乘以4倍，按照我們剛剛那題找到的
規律，分母也要跟分子一樣乘以4倍。
老師：非常好喔，這樣才是對的方式。(老師開心地回答同學)
根據各組分享的過程，老師給予結論，並宣告今天教學目標中擴分 的概念。
最後，老師宣告「像上面這樣，把一個分數的分子和分母同乘以一 個比‘ 1’大的整數，會得到一個和原來分數相等的分數，這種方法叫作 擴分。」
最後，授課老師將擴分正確觀念與學童目前所學加以整合。(I- integration)
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老師：所以今天題目若是問：
6 2=
) (
10 時，( )應該填什麼數字呢？大 家一起回答。
全班同學：30。
出乎老師意料的，其中兩組學童又提出了其他的問題。
第一組：老師，為什麼要比‘ 1’大的整數？
老師：因為乘以‘ 1’還是同一個分數。
第三組：乘以‘ 0’。
老師：在四年級的課程中我們在定義分數時，曾經定義過
N
N=1，這個 時候N為大於或等於‘ 1’的整數還記得嗎？所以如果乘以‘ 0’，分母就 變成‘ 0’了。
第一組：0
0的分子和分母都相同，都是零。所以不也是‘ 1’嗎？
老師：來，都注意到白板，大家一起來看看。(如圖4-1)，例如：24[總 數量]÷2[等份數量]=
2
24=12[等份數]。換句話說 12 [等份數]乘上2[等
份數量]等於24[總數量]，如果今天[等份數]=10，[等份數量]=0，即知
[總數量]= [等份數]×0=0，因此這時[總數量]必須為零，等號兩邊的數
字就不同了，等式就不會成立。在你們這個階段的數學知識是這樣，
未來學得更多後你們可再觀察一下這個件事不是一直都不變。
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圖 4-1 舉例說明圖
圖 4-2 教案一 BDEI 過程示意圖