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診斷教學運用於國小五年級分數文字題之研究

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國立中山大學教育研究所 碩士論文

Institute of Education National Sun Yat-sen University

Master Thesis

診斷教學運用於國小五年級分數文字題之研究

A study on the application of diagnostic teaching in grade 5 fraction word problems

研究生:林炳宏

Bing-Hong Lin 指導教授:梁淑坤 博士

Dr. Shuk-Kwan S. Leung 中華民國 110 年 6 月

June 2021

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誌 謝

時光飛逝,碩專班生涯在此畫上句點,這段過程將化做我未來的 養分,而心中的百感交集盡是道不完的感謝,回憶初踏入校園時的光 景,直到近日即將離校,真是獲益良多。首先,感謝我的指導教授梁 淑坤博士,不厭其煩地叮囑我論文進度,不論是因為我先備知識較為 薄弱而落後同儕,或是因為工作關係而進度落後,老師總在我身旁耳 提面命的指導,從沒放棄過我,同時也要感謝中山大學教育所周珮儀 教授,及海科院蔡俊彥教授在口試時的建議與指導;接著,要感謝我 的梁門師兄弟姊妹們—仁傑學長、東良學長、聿雯及玉雪,當我提計 畫及口試的時候,總是不吝惜地給予建議與幫忙,有你們真好;最後,

也要感謝中山大學教育所的所有教授及所辦的同仁,碩專班的這兩年,

承蒙關照,不勝感激。

林炳宏 謹誌於 國立中山大學教育研究所 2021年6月

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診斷教學運用於國小五年級分數文字題之研究

林炳宏

國立中山大學教育研究所 摘要

本研究旨在探討五年級學童在診斷數學後的具體表現及 文字題運算成績之改變,本研究以現況教學過程所歸納學生分 數單元相關另有概念 (alternative conception),作為發展分數課 程的依據,再融入 BDEI (Conceptual bridging–Differentiation–

Exchange -Integration) (Hewson & Hewson, 1983)與合作學習等 兩種診斷教學策略於教學活動中,企圖可增進學生對於分數單 元相關概念學習。研究者融入五年級分數單元。兒童診斷結果 共 12 人:男生 7 人,女生 5 人進行教學設計,再經測試及專 家效度形成分數診斷課程最後版(共四節),用於探討國小五年 級學生在 BDEI 與合作學習診斷教學策略中概念學習成效,更 自編分數文字題來測驗做前後比較。研究結果顯示 BDEI 教學 後:(1)學生在分數的約分、擴分與通分、異分母分數加減、

分數乘法等問題的另有概念明顯減少;(2)學生在分數相關基 本概念及題目的理解與應答均有進步(前後測成績比較)。

關鍵詞:診斷數學、分數文字題、課程設計

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A study on the application of diagnostic teaching in grade 5 fraction word problems

Bing-Hong Lin Institute of Education National Sun Yat-sen University

Abstract

The aim of this study is to investigate the actual performance of fifth grade children in diagnostic teaching and their changes in scores on fraction word problems test. Through a synthesis on alternative conceptions of children from in-class teaching

processes on several fraction units, the investigator used as results for development of diagnostic fraction teaching materials, also integrated BEDI (Conceptual

bridging-Differentiation-Exchange-Integration) (Hewson &

Hewson, 1983) and also cooperative learning. The development involved diagnosing 12 fifth grade children (7 boys and 5 girls) and expert review as validity resulting 4 lessons as final version, also developing pre-test (and post-test) to study the change in scores after diagnostics teaching. It is used to explore the

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effectiveness in the BDEI and cooperative learning diagnostic teaching strategies for fifth grade students in elementary schools.

It also compared test scores before and after teaching. The

research results show that after diagnostic BDEI teaching: (1) The children have significantly reduced the number of alternative conceptions such as the reduction/expansion of fractions,

common denominator, the addition and subtraction of fractions with different denominators, and the multiplication of fractions;

(2) The comprehension and calculation abilities were improved (compared scores of pre-test and post-test results).

Keywords: Diagnostic teaching, fraction word problems, development of curricular materials.

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目錄 第壹章 緒論

第一節 研究動機………P2 第二節 研究目的………P5 第三節 研究問題………P5 第四節 名詞解釋………P5

第貳章 文獻探討

第一節 診斷教學原理與實施………P9 第二節 國小分數教材分析………P15 第三節 分數錯誤分析………P21 第四節 數學分數文字題的相關研究…………P28

第參章 研究方法與工具

第一節 研究現場………P33 第二節 教學活動編擬………P34 第三節 診斷教學課程實施及資料蒐

集………P38 第四節 預試結果與資料分析………P43

第肆章 研究結果與分析

第一節 點心分披薩教學實況-似是而

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非………P52 第二節 哪杯可樂多教學實況-殊途同

歸………P58 第三節 到底吃多少條生乳捲教學實況-寸木岑

樓………P64 第四節 你能拿到幾顆聖誕糖教學實況-溫故知

新………P67 第五節 課堂實施後表現………P70

第伍章 結論與建議

第一節 結論………P73 第二節 建議………P76 參考文獻………P77 附件一………P81 附件二………P88 附件三………P90 附件四………P92

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第壹章 緒論

在我國國民中小學十二年國民基本教育課程綱要中,數學學習領域

課程的說明提到「數學教育應能啟迪學習動機,培養好奇心、探索 力、思考力、判斷力與行動力,願意以積極的態度、持續的動力進行

探索與學習;從而體驗學習的喜悅,增益自我價值感。進而激發更多 生命的潛能,達到健康且均衡的全人開展(教育部,2018)。」呼應了 現今 21 世紀社會中,不論在科學、技術、資訊、金融各領域或是日常 生活中,對數理人才的需求日益殷切,也對數學知識及數學能力的發 展也越發蓬勃,如何在不同年齡、不同能力、不同興趣或領域,皆能 獲得足以結合理論與應用的數學素養,是國民數學教育的重要目標。

再者,澳洲學者 Goos, Geiger 與 Dole(2012)認為應將數學知識、工 具、情境、情意意向、批判取向等五個面向整合,建構出新世紀數學 素養模式,此模式的觀點除了強調有關數學素養多面向、整合性的發 展趨勢外,也認為具備數學素養的 21 世紀公民要能運用科技工具做為 媒介,進行數學思考與行動,並且具有運用數學知能批判性地進行論 證。由此可知,數學能力離不開生活外,更與現今社會發展息息相關。

在教學方面,提供每位學童啟動思考的鑰匙且激發學習內在動機的 有感學習機會並陪著孩子成長,是十二年國教及國家教育政策既有的 理念(教育部,2018)。然而在學童的學習過程中,每個學童的學習過程

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有個別差異,學校教育在有限的時間內不一定滿足每一個學童的需求,

除了教育部實施攜手計畫、補救教學計畫外,補習教育也是協助學童 提升學習成效的方式之一(李敦義,2006;陳義汶,2009)。身為補 習班老師的研究者,對學童的用心也不亞於學校教師,都不希望陪伴 學童成長時,目睹他們的學習落後。有鑑於此,以下將探討執行診斷 教學納入課堂的過程中所面臨的問題及解決方案以及學童的成效。

第一節 研究動機

從九年一貫中數學領域課程即強調教師在教學的過程中,應探討學 童容易呈現錯誤類型為何及可能發生的原因 (教育部,2003) 至十二年 國民基本教育素養導向教學,認為教師應將學童的錯誤視為學習歷程,

診斷學童發生問題的根源,以達到提供每位學童有感的學習機會(教育 部,2018)。診斷教學在數學教學歷程不論是在國內外都已廣泛被使用。

以國外來說,英國學者透過遊戲設計融入數學學習的過程,目的是了 解學童的等值分數概念可能發生的問題,並透過計算機來學習相關的 分數概念,讓學童理解分數是數的概念 (Kerslake, 1987),而 Bell (1993) 則是透過三個教學實驗,在經過診斷教學後,實驗組不論在後測或延 後測的表現都比控制組還要好,而且控制組學童的正確的分數概念會 隨時間而減退,反觀實驗組學童的正確分數概念會持續長久的時間。

國內則有學者將診斷教學運用於相似形的實驗中,利用人形圖例設計

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的活動,並配合簡化數據、改變情境等方法,使學童產生認知衝突,

而達到教學效果(林福來,1990)。廖岳祥(2015)結合診斷教學與數位學 習,探討國小三年級學童在分數概念之學習與學習態度是否有所差異,

結果診斷教學亦有不錯成效。

從國小階段的數學課程的角度來說,分數概念在國小階段數學課程 中是相當重要的概念,影響甚廣,舉凡是除法、小數、比、百分率等 概念的學習都受分數概念的影響,可說是與各單元關係密不可分,因 此亦在國小數學教材中佔相當大的比重,在十二年國教數學學習領域 第三階段的二十四個能力指標中,有關分數的能力指標就佔七個,且 國小五年級「數與量」單元中十六個單元中佔了五個單元(教育部,2017),

由此可見「分數」對於國小數學課程相當重要。由此可知,「分數」是 國小階段學童數學學習過程中相當重要的概念,但學童對於「分數」

概念的學習往往面臨挫折(Amato, 2005; Cramer, Wyberg, Leavitt, 2008),

並且學童執行數學任務過程中,單純只具備程序性知識(procedural knowledge)的學童,在解分數問題時的成就表現,遠低於同時具有程序 性知識與概念性知識(conceptual knowledge)的學童成就表現(Pantziara

& Philippou, 2011) ,以往傳統教師分數教學活動著重計算規則的說明 及操作而忽略學童對分數概念的了解(Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Mamede & Cardoso, 2010)。此外,在研究者本身教學現場觀察下,

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現行國小數學課程與分數概念的學習有關的部分,在五年級出現關於

「分數」的多重表現方式(圖形、數線)與等分、單位量、等值分數等許 多概念,時常造成學童在有關「分數」單元學習上的困難,尤其以分 數文字題更為明顯。而有效的將文字表徵轉譯為數學語言,才能正確 解題(Pólya, 1990;Mayer, 1993),達到有效學習的目標。

學童遇到數學文字問題時,會利用已學過的數學知識將文字說明轉 譯成數學語言,採取最有效的解題策略以獲取正確的答案(Kilpatrick, 1985),解題的過程包含了理解、計畫、執行、驗證等四個階段(Pólya, 1957),說明了學童如果要將數學文字題正確地算出答案,除了要有基 本的數學知識外,也要有對解題表現及評鑑解題結果具有敏銳度,學 童在面對數學問題的過程會透過調整本身的認知、行為和動機等方式 來完成設定的目標(Desoete & Roeyers & Buysse, 2001),也就是說每一 次完成解題也經歷了一次自我調正學習策略。

因以上所述,108 綱要重視每一位學童的發展,研究者認為除了平 日學校課程外,課後輔導也相當重要,可以因應診斷學童個別的需求,

故希望在現行國小五年級課後輔導班的數學課程中,將診斷教學理論 及合作教學應用於分數文字題概念及運算部分,期望使教師能夠在課 堂上,對國小五年級學童在學習過程可能出現的分數文字題錯誤概念 及運算的過程進行診斷,並藉由診斷的過程中學童的迷思部分提供適

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當的教學策略,給學童正確的分數概念,協助學童改變分數文字題錯 誤概念及運算。

第二節 研究目的

研究的目的在探討:國小五年級學童分數文字題概念/運算,經過 診斷教學融入現有課程內的學習成效。

第三節 研究問題

根據上述研究目的,本研究的待答問題如下:

一、 當教師實踐診斷教學於現有分數相關課程時學童的具體表現為 何?

二、 實施診斷教學法後學童在分數文字題概念及運算後的表現上是否 優於教學前?

第四節 名詞解釋

本節針對論文題目:「診斷教學運用於國小五年級分數文字題之研 究」中的關鍵名詞之解釋,以便研究範圍的界定。

一、 診斷教學

在本研究中,診斷教學過程是指利用診斷出學童對於所學單元迷思 概念,接著對於迷思概念製造出認知衝突,並使學童發現自己的錯誤,

最後達到調整舊有的認知的過程。診斷教學策略上使用 BDEI 概念改變 法(Hewson & Hewson, 1983)與合作學習(Slavin, 1984), 首先,BDEI

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概念改變法包含四個步驟,依序透過建立概念溝橋(B-conceptual bridging)引起學童學習動機,再讓學童引起認知衝突做出概念區別(D- differentiation),接著老師引導學童討論,使學童發生概念改變,並且 替換(E-exchange)成正確概念,最後進行讓學童釐清所要學習的概念,

並加以整合(I-integration)。除了 BDEI 之外,合作學習法則利用小組獎 勵、個人績效責任、均等的成功機會等,使學童個人和團體互相幫助 及分享的過程來促進學童學習。

二、 分數

本研究所稱之「分數」,指的是出現在國民中小學九年一貫課程綱 要數學學習領域中(教育部,2004)所提及有關「分數」的 3 個能力指標,

分別是 N-3-06(能理解等值分數、約分、擴分的意義)、N-3-07(能理解 通分的意義,並用來解決異分母分數的比較與加減問題)、N-3-09(能理 解分數(含小數)乘法的意義及計算方法,並解決生活中的問題)。在執 行本研究中,「分數」所對應五年級上學期南一數學教科書版本的第四 單元「擴分、約分和通分」、第六單元「異分母分數的加減」及補充教 材。

三、 數學文字題

研究者論文中所提及數學文字題,過去通稱為「應用問題」,是指 以文字敘述的方式來描述問題情境的數學問題,提供學童一種運用計

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算能力於各個情境的機會。本研究的「數學文字題」,係指依據 2003 年公布之國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要編製之審定本教 科書中「異分母分數加減」及「分數乘法」單元的文字題。

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第貳章 文獻探討

本章內容共分成四節,第一節診斷教學原理與實施,闡述診斷教學 的理論基礎,並統整近年來診斷教學在數學領域發展的概述;第二節 國小分數課程的學習範圍,梳理國小學童「分數」課程的學習範圍,

藉由九年一貫能力指標課程地圖以及市售教材「分數」單元的分析,

了解「分數」主題在現行國小數學課程裡縱向的發展與橫向的連結關 係;第三節分數錯誤分析相關研究,探討「分數」學習歷程中學童常 出現的錯誤類型。第四節綜述數學文字題的相關研究。最後依據文獻 探討的結果,歸納本研究診斷教學運用於國小五年級分數文字題的理 念及特色。

第一節 診斷教學原理與實施

Bell (1992)將診斷教學的理論概念視為承襲 Piaget 的認知發展理論。

Piaget 認為人腦是有著同化(assimilation)與調適(accommodation)兩個作 用所組成的自我協調本能。同化的過程是指當外界給予刺激時,人腦 會先根據過往既有的知識去分析外界的刺激,並與原來的認知結構進 行整合;而調適的過程則是既有建立的知識系統與外界給予的刺激之 間產生矛盾時,就會嘗試用不同的知識系統或修改原有的知識系統再 一次去解釋外界刺激。發生自我協調的關鍵在於學習者面臨外界刺激 時是否產生認知衝突,意味著學習者是否發現既有知識系統中的矛盾,

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並且產生修正舊概念或接受新概念的意願(黃湘武,1993)。診斷教學建 立在 Piaget 的認知發展理論基礎下,利用學習者既有的知識系統出發,

讓學習者在學習的過程中,找出錯誤的概念,發現矛盾並產生認知上 的衝突,藉由自我協調後建立新的知識系統。以下根據診對教學的意 義列出幾位學者對於設計診斷教學的活動以及診斷教學的原則的看 法。

Onslow(1986)認為在進行診斷教學前,應該要分析學童主要的迷 思概念,並提出進行診斷教學的三步驟,第一步驟為開放性的活動:

以具體的解題活動發現出學童的錯誤。第二步驟是對於認知衝突進行 討論:經由小組或全班共同討論,利用不同學童對問題的意見交換,

產生認知衝突。第三步驟利用類似習題練習:在開放性的活動與認知 衝突的討論後,再給予一些相似的題型練習,鞏固學童的概念。

Bell (1992)提出診斷教學的 9 個原則:

一、 剛開始學習時作業的呈現,要讓學童能從過去的學習經驗中有跡 可循;

二、 選擇的作業要包含主要概念和可能的迷思概念;

三、 設計使有錯誤的學童引起認知衝突的活動;

四、 提供正確的回饋;

五、 對於面臨的衝突加以討論,並建立與整合出一個新的知識系統;

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六、 在討論的課程內逐漸形成一個明確的關鍵原則;

七、 利用問題做回饋,以強化學童的概念;

八、 利用多元化的問題,確保不同初始概念層次的學童都有適當的挑 戰課題;

九、 在未來的學習過程中,適時利用不同的脈絡或情境重返相同的概 念點,直到學童對於相同概念能產生長期記憶和可於情境轉移的 能力。

由以上多位學者的文獻中可以發現,診斷教學的精神在於將學童視 為學習的主體,所以診斷教學時,教師須去瞭解學童過往已經獲得哪 些學習經驗?為什麼會從這個方向解題?過程中會犯了何種錯誤?會 遇上那些挫折?並藉由設計教學活動,使學童發覺自己學習過程中的 錯誤,進而引起學童學習的動機,接著利用設計一些相關教學活動讓 學童去操作學習,最後獲得正確的學科概念。

除了以上多位學者提出的診斷教學原理外,研究者閱讀文獻過程 中,發現根據診斷教學原理所設計的教學實施要領大致可分成四類:

一、 列舉異例及提出新奇問題法

學童學習的過程中,教師可用舉出異例(discrepant event or anomaly) 等方式製造出學童在數學學習過程中遇到問題時產生概念上的衝突 (conceptual conflict),讓學童在質疑、辯證彼此的想法中檢驗或修正自

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己的解法,以導正學童的學科的迷思概念。教學過程中,希望經由課 堂中學童發生認知衝突的過程,學童可以察覺自己原有知識和正確學 科知識間的差異,進而幫助學童重新建立正確的認知結構,操作的程 序包含製造曝露事件、引入異例、調適期等三階段(劉曼麗,2005; Tirosh

& Stavy, 1999)。第一,製造曝露事件的歷程,其重點在於教師呈現“任 務(task)“給學童,要求學童對此任務說出他們的想法及想法背後的理由,

在此階段老師採取中立,目的在於引導學童說出他們自己觀念的立場。

第二,當學童說出並辯論某論點的正確與否後,即是教師引入異例的 時刻。異例的作用在於充當誘發事件,目的在於促使學童察覺到其個 人偏好之概念和真正觀察到的現象間之差異,藉著此種歷程引起學童 產生認知衝突。第三,則是調適期,當認知衝突產生後,老師應鼓勵 學童找尋答案來解釋異例,以便調整原先的迷思概念,並進而接受正 統的科學知識。

另一個與列舉異例法(discrepant event or anomaly)有異曲同工的是 提出新奇問題(novel problems)法,Niaz (1998)認為要讓學童的概念產生 改變,教師可利用提出「新奇問題」讓學童來回答,在處理「新奇問 題」的過程中學童會經歷推理及討論,過程中具有反思自己論點的效 果,並且能引發學童發現迷思概念,造成認知衝突,使學童重建認知 基模系統。

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二、 「IEMDT」(Integrated EduClick &Mathps Diagnostic Teaching)法 將資訊科技結合診斷教學,整合高互動即時回饋系統(EduClick)和 數學簡報系統(math presentation system)進行診斷教學。首先利用即時回 饋系統或數學簡報系統設計的試題讓學童操作,學童操作過程中掌握 學童產生的學科迷思概念,並藉由題目製造認知衝突,接著以數學簡 報系統進行認知調整,並建立完整數學概念,最後一步驟利用高互動 即時回饋系統中提供的診斷性評量確認學童正確建立概念,研究結果 顯示對於學童學習成效及動機等,都有良好表現(黃琡懿,2007;賴 麗桂,2007)。

三、 合作學習法

合作學習有別於傳統式學習或是個別式學習,是建立一種教學環 境,可藉由個人和團體互相幫助及分享的過程來促進學童學習。其中 刺激學習者反省與解釋、自由表達的氣氛、團體動力學的影響、免除 困窘、知識是共同建構的、認知學徒制的歷程都是合作學習可以造成 概念改變的因素(陳玉玲,2000)。合作學習並不是將學童分組,成員各 自運作,也不是組內一位學童包辦所有工作,而是同儕間相互提供資 源或是觀點,以提高個人學習效果,並達成團體的共同目標,最後分 享所呈現的成果,將學童的測驗分數與他們自己過去的平均成績相比 較,根據學童超出他們自己以前的成績的程度,即根據進步程度來決

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定是否給予積分,這些積分彙總起來構成小組的分數。如果小組的分 數達到某種標準,則可以獲得某一證書或其他獎勵。小組每隔 5-6 周改 編一次,給每個學童提供一個與其他學童合作學習的機會,並給成績 低的小組的成員提供一個新的機會。主要具有小組獎勵、個人績效責 任、均等的成功機會等三個中心概念 (Slavin, 1984)。

四、 BDEI 概念改變法

Hewson 與 Hewson (1983)認為先找出學童具有的迷思概念是要改 變觀念的第一步,接著利用概念改變策略進行教學,並將其運用於探 討學童對於質量、體積與密度概念,產生迷思概念的原因,進而依此 做課程設計的改進,讓學童獲得正確的密度相關概念。教學方式是從 學童對於質量、體積與密度的迷思概念出發。首先利用生活中易見的 物品於水中的浮沉現象引起學童動機,建立概念溝橋(B-conceptual bridging),再讓學童察覺為何實心矩形小鐵塊會沉入水中而船能在水中 航行,引起學童認知衝突,驅使學童做出概念區別(D-differentiation),

接著老師引導學童討論,使學童發生概念改變,並且替換(E-exchange) 成正確概念,最後進行定錨的工作,讓學童知道原來物體的浮沉與密 度之間的關聯,並加以整合(I-integration),讓學童能夠釐清所學習之 概念等四個教學策略依序來進行教學,故稱為 BDEI 概念改變法。

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在以上四種診斷教學的實施方式中,「列舉異例(discrepant event or anomaly)及提出新奇問題(novel problems)法」的診斷教學法偏的是重教 材設計,而「BDEI 概念改變法」、「IEMDT」、「合作學習法」等後三種 診斷教學法著重的是教學策略或教學方法的設計。

因以上文獻所述,本研究利用診斷教學概念於分數文字提中來探討 其教學成效,過程進行的診斷教學法教材的部分以學童現行教材為主,

故不採用設計「異例」、「新奇問題」的方式來進行。另外由於教學 場域限制情況下,本研究沒有採用「IEMDT」的資訊科技結合。最後 研究者捲則使用「BDEI概念改變法」與「合作學習法」融入教學現場 (如:

小組討論)中,讓學童經由既有迷思概念與正確學科概念在認知結構之 交互作用下產生認知衝突,引起學童在認知結構上的失衡,進而使既 有迷思概念修正、改變。

第二節 國小分數課程的學習範圍

為配合本研究的研究目的,教材分析主要是以配合本研究的參與者 的數學版本—南一版,進行分析。根據南一版分析,國小分數主題歸 納如圖 2 – 1,灰底部分為本研究針對五年級課程的目的範圍。

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圖 2 - 1 國小分數主題(南一版,2019) 各主題項目與各年級的對應關係如表 2 - 1。

表 2 - 1 各主題項目與各年級的對應關係

項目 年級

分數基本定義概念內容 分數加減運算及等值分數 概念內容

分數乘除概念與四則運算的內

六年級 整數除以分數

倒數

分數除以分數 五年級  分數數線

從測量理解整數 相除的意涵

擴分

約分

通分

異分母分數大小比較 (透過通分)

異分母分數加減法 (透過通分)

分數除以整數

分數乘以分數

整數乘以分數

分數乘以整數 國小分數

主題項目

分數基本 定義

等分概念、單位分數、分數的命名與符號、真/假/帶分 數、假分數帶分數的轉換、分數概念(含部分/整體、子 集合/集合、整數相除、測量的意涵、數線上一點)、分

數表徵等。

分數的加

整數與分數加減運算、同分母及異分母 的分數加減運算

等值分數 約分、擴分、通分、最簡分數

分數乘法 分數乘以整數、整數乘以分數、分數乘 以分數

分數除法 分數除以整數、整數除以分數、分數除 以分數

分數四則運

分數加減及乘除混合計算等概念

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17 四年級  從平分理解整數

相除的意涵

帶分數與假分數 互換及大小比較

帶分數

異分母分數大小比較 (透過圖形)

認識等值分數

同分母帶分數加法

同分母帶分數減法 三年級  長度、容量及重量

的分數問題

假分數

真分數

介紹分子、分母及 分數符號

分數與1的關連

分數的數詞序列

同分母的分數大 小比較

分數的離散量情

單位分數概念及 大小比較

等分概念

同分母假分數加法

同分母真分數加法

同分母真分數減法

同分母假分數減法

數學教科書版本的分數教材在五年級上學期有二個單元,個別為上 學期的第四單元「擴分、約分和通分」及第六單元「異分母分數的加 減」。

第四單元是利用擴分與約分找等值分數與運用通分解決異分母分 數大小比較的學習,教學目標內容包含三部分。

第四單元第一個教學目標是「理解擴分或約分的意義和應用,並 利用擴分與約分來理解通分」。擴分與約分主要活動各有兩個,其一為 連續量情況,以單一個物品或項目為單位分數,如:擴分為「把一張 色紙平分成 5 等分,塗色部分是3

5張,『3

5』會和那些分數相等?」、約

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分為「立東把一條緞帶平分乘 12 段,8

12條緞帶也可以說是幾條緞帶?」, 另一個為離散量情況,以多個五品或項目為單位分數內容物,如:擴 分為「一盒巧克力有 10 顆, 7

5盒巧克力和十分之幾盒巧克力一樣多?」、 約分為「一盒蛋塔有 6 個, 10

6盒蛋塔和三分之幾盒蛋塔一樣多?」。通 分則以連續量來說明,以單一個物品或項目為單位分數內容物的比較,

如:「東傑喝了3

4公升的牛奶,明達喝了6

12公升的牛奶,他們喝的牛奶一 樣多嗎?」。

第四單元第二部分的教學目標是「運用通分解決異分母分數的大 小比較」。主要內容分為三個活動有,其一為相同單位分數平分的活動,

如:「黃絲帶長 15 公尺,平分成 12 段;藍絲帶長 15 公尺,平分成 14 段,哪一種顏色的絲帶比較長?」,其二為真分數(分子不為 1)的等值 分數比較大小活動,如:「有兩包糖,紅糖重3

4公斤和白糖重5

6公斤,哪

一包糖比較重?」。第三為當整數部分即可比出大小則不用通分,如:

「有三條鐵絲,分別長335公尺、414公尺和578公尺,請依長短順序排列 出來」。

第四單元第三部分的教學目標是「能繪製並標記分數的數線。」。

一開始的兩個活動是透過故事情境,請學童將問題的結果劃記在數線 上,再利用觀察數線的位置辨別出兩個分數之間的大小,如:「1 盒方 塊酥有 24 塊,平分給 2 人,每人可得幾塊?是幾盒方塊酥?平分給 3

(29)

19

人,每人可得幾塊?是幾盒方塊酥?。小文把結果排成(如圖 2 - 2)、請 同學比比看,並在兩數中間用 >、< 或 = 表示大小關係。12 盒和 13 盒,哪一個比較多? 1

12131」。後續,同分母加法共有八題題目,有 給予情境的問題有 4 題,如:「1 盒冰棒有 12 枝,姊姊有 8

12盒,妹妹

7

12盒,她們共有多少盒?」。同分母減法共 12 題,有情境的問題有 4 題,如:「1 盒餅乾有 10 塊,小芬拿了13

10 盒,阿文拿了5

10盒,誰拿得 多?多幾盒?」第三個活動以讓學童了解分數乘法概念為教學目標,

內容是在生活的情境中,能解決分數型態(真分數、假分數、帶分數) 的簡單整數倍問題。如:「1 串丸子有 7 顆,阿文、阿得和小蘭各拿 27 顆,他們 3 人共拿了多少串丸子?」。

圖 2 - 2 平分示意圖

第六單元的教學目標是利用擴分、約分和通分的過程,依據題意 進行異分母分數加減運算的學習,本單元教學內容包含三部分。

第六單元第一部分的教學目標是「透過通分,進行異分母分數的 加法和減法」。主要活動有三個,其一為將兩異分母分數的分子與分母,

同時擴大,也就是說乘以對方分母的方式通分成相同分母後,再以同 分母分數的計算,如:「1

4 + 1

5 = 5

20 + 4

20 = 9

20」。其二為將異分母以「取

(30)

20

最小公倍數」的方式通分後再計算,如:「4

9 - 1

6 = 8

18 - 3

18 = 5

18」。第 三為將異分母分數約分後,再按同分母分數的加法或減法計算,如:「25

20

+ 21

12 = 5

4 + 7

4 = 12

4 = 3」。三個活動所得到的結果,如果是假分數,需 換成帶分數或整數作答。

第六單元第二部分的教學目標是「異分母帶分數的加法和減法」。

主要活動有三個,其一為先通分為同分母,再將整數和整數相加(減),

分數和分數相加(減),如:「晨跑活動 5 分鐘後,小育跑了119公里,小 宇跑了 12

6公里,小宇比小育多跑了幾公里?把作法用算式記下來」,作 法:「126 - 11

9 = 16

18 - 12

18= 4

18 = 2

9」。其二為異分母分數相加時,要先 通分成同分母帶分數再做計算,計算的結果若為假分數,則要進位到 整數,如:「紙藤 1 捆長 96 公分,姊姊裝飾花瓶用掉178捆,做花籃用 掉1125捆,姊姊共用掉幾綑紙藤?」,作法:「178 - 1125 = 121

24 - 110

24= 23124

= 3247」。第三為異分母的帶分數相減時,可先通分成同分母帶分數再 做計算,如果被減數的分數部分不夠減時,則把被減數的整數部分借 1 換成假分數,再整數減整數,分數減分數,如:「有一些巧克力,小明 吃了312條,小華吃了134條,小明比小華多吃了幾條巧克力?」,作法:

「312 - 134 = 324 - 13

4 = 264 - 13

4 = 134」。

第六單元第三部分的教學目標是「當兩數相除無法整除時,可用分 數表示並計算」,如:「當甲數等於 8 ÷ 3,乙數等於 5 ÷ 4,甲乙兩數的

(31)

21

合是多少?」,作法:「8 ÷ 3 = 8

3 ,5 ÷ 4 = 5

48

3 + 5

4 = 32

12 + 15

12 = 47

12 = 311

12」。

第三節 分數迷思概念相關研究

研究者根據本研究研究範圍數教材分析進行相關文獻蒐集後,將分 數迷思概念類型分為概分為「單位量」、「等值分數(含分數的比較) 」、

「分數的加減」、「分數的整數倍」等四個部分討論。研究者將分數的 比較納入等值分數範圍的原因在於解分數的比較大小這一類型題目時,

所需要的主要概念是等值分數的運算,所以解題的同時,學童會利用 通分的過程將異分母的分數轉變成相同分母的等值分數後,再運用同 分母分數比較大小觀念進行分數大小的判斷。而且,研究者閱讀「分 數」相關文獻時,發現有大部分的研究都顯示五年級學童對於「分數」

單位量具有迷思概念導致「分數」比較大小的學習上有著困難,所以 研究者認為在「分數」的題目中能確實理解並找出適合單位量的能力 也必須納入教學目標之中。故以下針對「單位量」、「等值分數(含分數 的比較) 」、「分數的加減」、「分數的整數倍」等四個部分,進行相關整 理與探討。

一、 單位量

Figueras(1989)研究表示兒童面對「分數」單位量的困難有「忽 略給定的單位量」、「受分子控制」、「受分母控制」三種類型。

(32)

22

(一) 忽略給定的單位量

例如:「有四堆橘子,圖示中圈出 5 個,請問圈起來的橘子占 全部的多少?」,答案應為5

12。但這時學童誤以為圈起來的 5 個橘 子中的兩堆的個數(6 個)為單位量,故回答5

6,忽略了四堆橘子的總 個數(12 個)才是單位量,該回答5

12才為正確答案。

(二) 受分子控制

例如:「有等分成六塊的正方形中,著色其中的2

3」,應視題目圖 形要求,將2

3擴分為4

6,再把其中的 4 塊著上顏色。但學童只考量2

3的 分子為 2,故只塗 2 塊。

(三) 受分母控制

例如:「學童解決從 8 朵花中,圈出其中的3

4」的分數問題時,

應視題目要求,將3

4擴分為6

8,再把其中的 6 朵花圈起來。但學 童只考量3

4的分母為 4,故只圈了 4 朵。

(33)

23

從題目中找出所需單位量的能力對於分數學習是基本且相當重要,

但學童對於題目中單位量的找尋並不容易,可見概念是不穩固的,導 致很多時候無法清楚分辨問題所描述單位量為何,無法正確的作答(楊 德清、洪素敏,2003;Cramer, Post, & delMas, 2002)。Iwasaki(2000)等 學者讓 38 位三年級學童解「如果一條彩帶有 120 公分長,請拿出 14 公尺長的彩帶給我」的問題,研究的結果中有 14 位(37%)的學童只看 到「14」這個數字,就直接將彩帶平分成 14 等分,而沒有考量問題描 述中要求拿出的是「14 公尺」這個目標,並不是「平分成 14 等分」,

由此過程可以知道學童對於單位量概念是模糊且缺乏的。詹婉華(2003) 發現五年級學童的對於在「分數」問題中,找出單位量仍然很模糊,

在遇到「一盒巧克力有 2 條。小明拿了 12 盒,小華拿了 12 條。請問 小明和小華得到的一樣多嗎?」的問題時,只有約 45%的學童答對,

超過一半的學童並沒有觀察到單位量,而只看到「12」的數字,認為 小明和小華兩個人拿到一樣多。Amato (2005)的研究則認為許多學童的 單位量概念在學習時有困難,例如有些學童會將「 」的答案錯 認為是7

10而不是7

5,弄錯的單位量。Amato 研究透過部分─整體圖形

(34)

24

(part-whole diagrams)的協助,能夠改善學童發展單位分數的概念,易 有不錯成效。

二、 等值分數(含分數的比較)

Kamii 和 Clark(1995)認為學童解等值分數問題會受圖形思考(以 圖形大小作比較)的影響。例如他們給五、六年級學童 兩張一樣大的 長方形紙,然後在學童面前把兩張長方形的紙對折:一種對折成兩 個 長方形、一種折成兩個三角形,如圖 2 - 3,結果有 44%的學童說一樣 大(即 a、b、c、d 等 4 塊區域面積一樣大),38%說三角形比較大(即 c、

d 兩塊其中一塊面積大於 a、b 兩塊其中一塊面積),其他的學童很矛盾,

Kamii 認為這些學童的運作思考告訴他們兩塊一樣大,但是圖形思考 卻說三角形 比較大,使他們對自己的答案不確定。

圖 2 - 3 等面積異形體保留概念

Hannula (2003)的研究中顯示,只有約 46%的五年級學童能正確將 範例圖中3

4的位置塗上顏色,如圖 2 - 4。詹婉華(2003)發現五年級學童 遇到「1 盒蘋果有 4 個,小波得到1

2盒,小明得到1

4盒,請問誰得到比較 多的蘋果?」的比較單位量問題,其中有 16%的學童只單純考慮分子,

二者分子相同所以都是拿一份,所以兩人分到的蘋果個數上也相同;

(35)

25

其中的 14%的學童只注意到分母的部分,學童認為兩個分數中分母 4 >

2,所以分母為 4 的分數較大,也就是小明拿到比較多盒蘋果。洪素敏 等(2007)發現國小五年級學童有著「不瞭解等值分數的意義」與「分數 的求法和分數的乘法混淆」兩種關於等值分數的問題,等值分數概念 影響甚廣,會關係到學童後續在分數的加、減、乘、除運算的過程,

以及分數比較大小的學習表現(洪素敏、楊德清、蔡鳳秋,2007),教學 等值分數的過程中讓學童實際操作實體物(例如:積木)或其他表徵間的 轉換,換而言之也就是由具體的概念到抽象符號表徵的教學過程,對 學童在等值分數概念與運算過程的意義能產生更長遠的記憶及理解。

圖 2 - 4 著色範例圖 三、 分數的加減

Lukhele, Murray 與 Olivier (1999)蒐集了五、六年級學童共 95 位的 資料,同分母分數的相加(例:7

8+ 7

8)的問題中只有 13%答對率,部分作 答學童將式子中的分母加上分母,分子加上分子所得到的大案作答(例:

7 8+7

8= 14

16 )。Herman 等(2004)發現對於「1

2+ 1

4=?」、「3

8+ 2

8=?」等類似 問題中,六年級學童雖然能夠透過分數的運算規則計算出答案,但是 無法解釋其意義與用其他表徵來表示算式。

國內學者李源順(2005)在研究中發現,國小四年級學童在進行同

(36)

26

分母真分數加減運 算時會出現的錯誤類型有:

(一)加法問題

1. 分母加分母與分子加分子的概念性迷思。 (7

8+7

8= 14

16 ) 2. 少部分學童只取分子相加。 (7

8+7

8=14) 3. 看成小數相加。(遇到無法整除的情況) 4. 將所有數字相加。(7

8+7

8= 30 )

(二)減法問題

1. 將減法問題看成加法問題。(7

8 - 1

4= 9

8 ) 2. 使用分子減分子,分母減分母。(7

8 - 1

4= 6

4 ) 3. 分子相減,但分母相加。(7

8 - 1

4= 6

12 ) 4. 只取分子相減。(7

8 - 1

4= 6 )

5. 看成小數相減。(遇到無法整除的情況)

可見分數的加減問題在分數概念學習時是學童遇到挫折很常 見的問題。

李源順、余新富與李勇諭(2006)發現四年級學童遇到相同分母的應 用問題時(分數加法)的答對率高達 85%,而遇到表徵問題時的答對率僅 49%,可見分數的加減部分,問題在於學童學習過程中流於單純執行運 算規則進行解題,並無法連結到外在的表徵與生活實際情況連結。

Cramer 等(2008)利用「the fraction circle model」讓四、五年級的學童透

(37)

27

過操作具體教具或以圖像的方式瞭解分數加、減法的概念,讓學童能 以心智表徵(mental representations)的方式進行分數加、減法的運算,提 升學童分數的加、減運算學習成效。

四、 分數的整數倍

教學過程中有部分學童在遇到分數的整數倍的問題時,會利用分子 與分母同時成以某一個整數,也就是擴分的方式處理運算過程,例如

7

5× 6」,有部分學童會以「7

5× 6

6」表示答案,可見學童對於「分數的 整數倍」以及「分數的擴分」容易產生誤用(胡蕙芬、李源順,2005;

Taber, 2007)。Mack (2000)觀察 4 個四至六年級的學童長達兩年的時間,

進行圖形表徵對於學童學習分數乘法概念是否有幫助的研究,結果顯 示實驗組學童經過教學實驗後,可以透過圖形表徵清楚的說明分數乘 法運算規則。胡蕙芬與李源順(2005)的研究中提到五年級學童遇到分數 成以一個整數倍的應用問題題型時,學童正確作答的答對率有 68%,

比遇到表徵問題時只有 25%的答對率來的好,問題以可能在於學童學 習過程中流於單純執行運算規則進行解題,並無法連結到外在的表徵 與生活實際情況連結。

根據以上討論分析,研究者發現國小五年級學童不僅在單位量概念 不穩固之外,在分數比較大小概念學習上容易只注意到分子或分母的 影響,以及運用圖形表徵解決或解釋分數問題的能力較弱,是較為常

(38)

28

見且嚴重的問題。

第四節 數學分數文字題的相關研究

在數學學習領域的有關研究裡,數學文字題,又稱應用問題,為當 代數學教育探討的重要主題之ㄧ(Lewis, 1989)。文字題普遍出現在 小學數學課程中,是以日常的生活事件為材料且用語文型態來描述數 學問題情境(Cummins, 1991),比一般的計算題涉及更複雜的認知歷 程。訓練學童去解決文字題主要目的是希望學童能將課堂上所學到的 數學知識,運用以解決生活中所遭遇到的問題。

然而,在教學現場上,數學常成為「焦慮之源」, 是學童最感挫折 與困難的科目之一(石厚高,1997)。其中最棘手的,無非就是「文 字題」的解題工作了,也因此近二、三十年來,有關數學解題能力的 研究發展特別受到重視。提昇學童的數學解題能力也是被十分關注的 議題之一。如前節所述,要提昇學童的解題能力,便要知道解題成敗 的因素後加以修正和調整,而其中在文字題的部分,尤以加強學童閱 讀理解能力為其首要任務。近年來,也有許多報導大力提倡閱讀能力 的培養以提昇數學能力(陳雅玲,2004;林明志,2009),就是其中 最重要的依據。

Polya(1962)從教學的層面將數學問題分為四種,如下。

(39)

29

一、 例行的問題。把正在學的運算規則,拿來作機械式的應用就能解 決的問題。「分數」單元例舉題目如:算算看,「4

7 - 5

14」的答 案是多少?

二、 有選擇的應用題。要應用以前學過的規則或步驟才能解決,但以 前學過的不只一種,所以解題者需要作一些判斷以選擇適用的規 則或步驟。「分數」單元例舉題目如:1 盒牛奶糖有 24 顆,哥哥 吃了12

5 盒,妹妹吃了 18

9 盒,誰吃得比較多?

三、 選擇一種組合。要求解題者把二個以上的學過的規則或例子組合 起來才能解出來的題目。「分數」單元例舉題目如:長 10 公分的 紫緞帶平分成 14 段,12 公分的綠緞帶平分成 18 段,各取 1 段,

哪種顏色的緞帶比較長?

四、 接近研究級的題目。這種題目要求解題者把二個以上的規則或例 子作有創意的組合才能解題,但此種組合會有許多分支,且要求 相當高層次的獨立思考,以及使用到擬真推理。「分數」單元例 舉題目如:有一件衣服,甲師傅獨自一人製作要 6 天完成,乙師 傅獨自一人製作要 8 天完成,丙師傅獨自一人製作要 10 天完成,

三人合作 1 天,可完成衣服的幾分之幾?

由上述可知不論是國內外學者都認為解決文字題是學童不可或缺 的能力,研究者教學經驗中發現,國小階段學校中的數學問題,一般

(40)

30

可分為算術問題(arithmetic problem)與文字問題(word problem)。

其中算術問題只需要熟練數學的基本運算規則即可解題。然解答文字 問題不僅要熟悉數學計算過程,亦要能閱讀題目的語意部分,理解問 題的要求及文字中所提供之條件,將自然語言(ordinary or natural language)轉譯成算術語言(arithmetic language)之後,才能依照數學 的運算程序獲得答案(Mayer, 1992)。這種數學文字題在我國的中小 學裡,也稱為「應用問題」。

古明峰(1998)進一步指出,所謂文字題是結合數學知識與語文技 巧的問題,解題者必須先閱讀過題目,再結合數學概念,按照題意進 行解題的運算過程。Marshall 認為文字題最大特色在於題目中不直接陳 述需要用到哪一種計算過程來解決問題,而是解題者必須能從自己的 記憶中提取相關經驗,對這個問題加以判斷後以產生了解(引自詹士 宜,1992)。Cummins(1991)認為文字題是將日常生活中所發生的 事件,以語文型態所描述出的數學問題情境,它比一般算術題涉及更 複雜的認知歷程。Mayer(1987)認為文字題是藉由文字來敘述的一種 計算題型式,學童在解數學文字題時,不僅要熟悉計算的過程,同時 也要能閱讀問題的語意部分,並理解問題要問什麼及所提供的條件,

然後才能進行運算的工作。

數學問題有多種形式存在,學者 Moyer 等人(1984)將問題分成三

(41)

31

類:

(一) 文字(verbal):問題以完整敘述呈現

(二) 電碼式的敘述(telegraphic):將冗詞贅字簡短為一小段敘述 (三) 圖像(drawn):將問題中所提及的物品具象化,並有簡短說明 試圖檢視不同閱讀能力的學童,在不同形式的敘事問題中的表現是 否有所不同,結果發現單純的文字題,在解題過程中比起圖像或簡 潔化的敘述來的困難許多。

其中文字題是以語文的敘述方式,要求解題者結合數學概念進行運 算解題的一種數學問題形式。因為文字問題的解決歷程需要運用語文 理解、數學概念、計算能力,是促進高層次思考的途徑。因此,文字 問題在數學課程中佔有重要的地位,亦即本研究所關注的焦點。研究 者認為所謂數學文字題,過去通稱為「應用問題」,是指以語文的方 式來描述問題情境的數學問題,提供學童一種運用計算能力於各個情 境的機會。本研究所稱之「數學文字題」,係指依據我國教育部於 2003 年公布之國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要編製之審定本教 科書中「異分母分數加減」及「分數乘法」單元的文字題。

(42)

32

(43)

33

第參章 研究方法

因為每個學童的心智模式不同,所有的先備知識也不完全相同,故 本研究將透過行動研究方式,觀察並分析學生對於分數概念迷思澄清 的過程。本章內容共分成四節,第一節研究現場,主要於介紹參與者、

課程分組、使用的教學法及課程安排;第二節教學活動編擬,說明診 斷教學活動如何編擬至課堂中。第三節診斷教學課程實施及資料蒐集,

設計教案進行試教與評量試題進行預先測驗;第四節預試結果與資料 分析,探討學童經過研究者所設計的評量試題預先測驗後,出現的錯 誤類型分析,討論學童經過診斷交學校案後對於分數的迷思是否有進 一步改善。最後依據這四個章節的結果,歸納本研究診斷教學運用於 國小五年級分數文字題的實用及必要性。

第一節 研究現場

本研究選定研究者所經營的課後照顧服務中心中國小五年級學童 為研究對象,個案班級一共 12 位學童,根據學童在學校的數學學科成 績與教學需求將學童分為 3 組,每組 4 位學童,使得各組學童程度相 當,座位編排方式如圖 3 - 1。在教學方法方面則利用合作學習法,小 組討論、發言的教學方式,並在教學過程中會加入「BDEI 概念改變法」

診斷教學策略,在學童出現錯誤概念及算式時,教學者會利用過程中 產生認知衝突的情境,使學童察覺自己的錯誤,進而調整其原有認知。

(44)

34

課程安排方面,第四單元「擴分約分通分」的上課時數兩堂課,第六 單元「異分母分數加減」的上課時數一堂課,根據參與學童學校課程 有補充「分數的乘法」部分,故課程延伸「分數的乘法」一堂課。教 學前,先以研究者根據學童學校內容與分數錯誤類型設計的前測試題 測驗,並於教學後,以後測的結果來了解教學後成效是否優於教學前。

圖 3 - 1 學童座位圖

第二節 教學活動編擬

這個章節的教學活動依據需要達到的教學目標編擬,教學目標除了 以參與學童學校上課所用的教材為基礎,來定義教學目標外,再考量 學童常有的「分數」迷思概念的因素,形成下列教學目標:異分母分 數的比較、加法、減法時,能正確找到單位量、進行單位轉換符合題 意需求,並理解過程中運算規則的意義。其次將診斷教學原理嵌入設 計的教學活動並實施,流程如圖 3 - 2。

(45)

35

圖 3 - 2 實施診斷教學流程

上述教學過程中活動實施注意事項:

(一) 在教學部分

1. 當學童學習新的數學概念時,一開始先以故事導入吸引學

(46)

36

童注意,並且只給予一個題目或問題,使得各組學童的討 論能夠專注於問題上。

2. 對於教材中內容相仿的教學活動可以同時進行教學,節省 活動教學的時間。

3. 重點是學生明白新的數學概念,教材內的每一題題目不一 定都要在上課中進行講解。

4. 教師可找出「教材類似題型,但卻是學童常犯分數迷思概 念」的題目。教材中會將相同類型題目或觀念編撰在一起,

例如:「一盒方塊酥有 24 塊,1

2盒和1

3盒,哪一個比較多?1

213」 都是相同單位量的分數比較大小,過程中許多學童只觀察 到分數符號(分組或是分母)的大小而忽略實際題目單位量 的影響即作答。教師則可在課堂中藉由這一類的機會,讓 教師可以利用學童迷思概念融入教材中的題型的題目進行 診斷,了解學童在這個階段是否有問題產生,如:「一盒巧 克力有 6 個,阿良吃了 2 個巧克力,而阿雪出了1

3盒巧克力,

哪一個小朋友吃的比較多?」。

5. 教師在教學過程中可以多利用語言或視覺等多重表徵(例 如:畫圖)協助分數教學,並引導學童多利用多元徵表達想 法的機會。

(47)

37

(二) 在教師實施診斷問話部分

1. 即便學童發表的見解或解題方式是正確的,教師還是可以 利用學童常出現的迷思概念來診斷學童是否確實了解,抑 或是恰巧猜對。例如:學童以2

7× 3 = 2×37 = 6

7的算則解「1 串丸子有 7 顆,阿文、阿得和小蘭各拿2

7串,他們三人共拿 了多少串丸子?」這個問題,雖然解法正確,但由於有研 究中表示學童常犯「2

7× 3 =2×37×3」的錯誤,故教師依然可 以用「為什麼整數要乘以分子,卻不乘以分母呢?」的問 句來問學生,目的以診斷學童對「真分數乘以整數算則」

是否確實理解概念。這種方法結合了小組討論與診斷教學 法,因為現行教學法的過程在學童出現錯誤解題過程時,

會提供學童相互討論、辯證的機會,但是在學童的答案正 確或沒題問時,通常就結束這個題目,教師不會提供錯誤 解法或範例診斷學童的概念是否清楚、正確,所以兩種方 法的結合能解決這個問題。

2. 當學童解題時出現迷思,卻在學童相互討論、辯證中沒發 現,導致無法產生認知衝突時,教師可利用該迷思概念提 出反例來讓學童澄清錯誤的概念。如:學童在學𝑁

𝑁= 1 的等 值分數時,當教師宣告「𝑁

𝑁= 1,當分子和分母一樣大就等

(48)

38

於 1」。學童都沒疑問時,教師可利用「0

0等不等於 1?」反 問同學,讓學童對「分數」中的分母的範圍或可不可以為 0 的觀念更清楚。

3. 如果教師在進行診斷式提問過程後,沒辦法讓學童清楚的 釐清迷思概念,則教師必須要尋求其他的診斷式提問幫助 學童釐清迷思的概念,以達到教學目標。

第三節 診斷教學課程實施及資料蒐集

根據研究者所任教的補習班所內接觸的學童在學校使用的南一版 編排的單元內容分配的上課節數,每周三各一個小時,共四堂課。分 成第四單元「擴分、約分和通分」共兩節 120 分鐘,第六單元「異分 母分數的加減」共一節 60 分鐘,延伸單元「整數乘以分數」共一節 60 分鐘,如表三。

表 3 - 1 課程實施時程表

周次 活動名稱

第 1 周 點心分披薩囉! (配 合擴分、約分) 第 2 周 哪杯可樂多! (配合

通分)

第 3 周 到底吃了多少條生 乳捲?(配合異分母 分數的加減) 第 4 周 你能拿到幾顆聖誕

糖! (配合分數的乘 法)

(49)

39

各堂課所設計的教案說明如表 3 - 2。(詳細版請參閱附件一~四) 表 3 - 2 各堂課所設計的教案說明

分數單元教案設計:

1. 點心分披薩囉! (配合擴分、約分) 2. 哪杯可樂多! (配合通分)

3. 到底吃了多少條生乳捲?(配合異分母分數的加減) 4. 你能拿到幾顆聖誕糖! (配合整數乘以分數)

點心分披薩囉! 教案概述:

藉由學童三、四年級所學的先備知識,包含 平分、分數的表示方式及同分母分數比大小 為基礎,再利用課後輔導班點心素材為例 子,讓學童了解擴分與約分的意義、方法及 找等值分數。

哪杯可樂多! 教案概述:

接續上一堂課約分與擴分的概念,利用學童 愛喝的飲料─可樂為題材,讓學童觀察可樂 杯的刻度變化過程,進而理解通分的過程及 概念,並運用至題目中。

到底吃了多少條生乳 教案概述:

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捲? 透過兩種不同口味的生乳捲的切割,來比較 異分母分數的大小,並進行異分母分數的加 法與減法,最後帶入數學史「埃及分數」的 部分,讓學童能對異分母分數的內容更加的 熟悉與了解。

你能拿到幾顆聖誕糖! 教案概述:

本單元為五年級下學期的課程,由於研究者 教授的學童所就讀的學校在上學期分數單 元中有補充分數乘法,故依並列為教授單 元。利用鄰近節日活動,聖誕節分糖果為例 子,讓孩子理解「整數的分數倍」的問題,

並用有乘號的算式摘要記錄解題活動與結 果。

教案設計背景如表 3 - 3。

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表 3 - 3 教案設計背景

教案 診斷教學法

點心分披薩 囉(約分、擴 分與等值分 數)

哪杯可 樂多 (通分)

不同分母 怎麼加與 減(異分母 加減)

你能拿到幾 顆聖誕糖 (分數乘法)

BDEI 概念改 變法

B 概念構橋 v v v v

D 區別 v v v v

E 替換 v v v v

I 整合 v v v v

合作學習法 小組獎勵 v v v v

個人績效責任 v v v

均等的成功機會 v v v v

以上課時間 60 分鐘作說明,上課一開始教師先按照分組請同學就 座,並複習上一節課分數的概念喚起學童印象(時間 3 分鐘),接著進 行單元內容教學及課本題目的解題練習(時間 15 分鐘)。然後,教師 依教學單元內容設計符合單元概念之情境布題,學童分組討論(時間 20 分鐘)。老師各組間觀察,若有疑義之處,則由教師澄清概念。接 著,由學童按各組上台進行分享,根據各組分享內容討論並根據容易 發生分數錯誤迷思部分提問(時間 20 分鐘),最後指派回家作業(時 間 2 分鐘)。

一、 評量試題

研究者針對本次所使用的各項評量試題之說明如下。

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(一) 前測試題

本研究為了了解診斷教學法的教學效果,因此,在教學前,需 了解學童的分數概念是否相當。根據五年級學童學習的分數課程內 容3個單元(約分、擴分和通分、異分母分數的加減、分數的乘法) 與4個錯誤類型(單位量概念、等值分數、分數的加減、分數的整數 倍)形成12種可行題目類型,根據每個類型編擬共產生15個題目,

雙向細目表如表3 - 4。經指導教授及研究生(含有教學經驗者)討論,

務求達到信度及效度。試題產生經討論並修改5次,最後版於附件 五。

表 3 - 4 分數單元與錯誤類型雙向細目表

錯誤類型 分數單元

1. 單位量 概念

2. 等值分數 (含分數的 比較)

3. 分數的 加減

4. 分數的 整數倍

總計

I. 異分母分 數大小比 較(透過通 分)

(1.)、(2.) (3.) (4.) (5.) 5

II. 異分母分 數加減法 (透過通 分)

(6.) (7.) (8.)、(10.) (9.) 5

III. 分數除 (乘)以整

(15.) (12.) (14.) (11.)、(13.) 5

總計 4 3 4 4 15

註:共 15 題,所對應的題號以(題號.)表示。例如:(1.)、(2.)…..

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(二) 後測試題

本研究的後測試題為根據前測試題的題型做修改,以便瞭解學 童在經過教學後是否在分數的單元概念有更詳細的了解。

第四節 預試結果與資料分析

經過前測試題所得的測驗結果,學童正確題數為 9 題,錯誤題數為 6 題。錯誤的 6 題作答方式與結果分析如下。

一、 第 1 題 (一) 題目:

小明家中今天決定吃披薩,買了夏威夷與和風章魚燒兩種口味 各一盒,兩種披薩送達家中時切割如下圖,全家人飽餐一頓後,兩 種口味剩下的部分如下圖著色處,請問哪種口味剩下的比較多盒?

(二) 正確解法:

夏威夷口味:7

18 = 14

36 1- 14

36 = 22

36

和風章魚燒:5

12 = 15

36 1- 15

36 = 21

36

22 36 > 21

36 Ans:夏威夷口味剩下的較多

參考文獻

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