5 第五章 有限元素法分析與模擬
5.2 分析結果與後處理討論
做磁路模型分析時，主要由是氣隙的能量求得馬達性能，並假設磁通永不飽 和，故無法得知定子的磁通是否飽和。若是定子磁通飽和，則造成漏磁的現象，
使得馬達的效率降低。本小節將觀察馬達在最大電流時，定子磁通密度的分佈情 形，並以此為依據對馬達規格做修正。由圖 5-3 可知定子材料的 B-H 曲線，得知 在磁通密度 1.3T 時，開始趨於平緩，並在 2T 達到飽和，故在圖 5-4 的定子磁通 密度分佈圖中，左上角的刻度表最大值為 2T，超過 2T 的磁通密度位置顯示為紅 色，觀察圖中定子的磁通密度分布，未發現有紅色區塊，所以定子無飽和情況的 發生，故不需要調整規格。但在磁通密度集中在定子凹槽處和齒鞋稜角處，是因 定子凹槽處的厚度較薄所致，而齒部稜角乃應角度變化過大，使得磁通造成堆積，
製作時將會有導角，減少磁通堆積情形；此外若加入齒鞋可以增加磁通面積，使 得表面積堆積的情形減緩，但加入齒鞋需增加模具費用，故在本文暫不考慮齒鞋 的設計。
107
圖 5-4 馬達定子磁通密度分佈圖
5.2.2 反電動勢分佈
圖 5-6 為三相反電動勢，三相各差 120 度且峰值大小相同為三相平衡，較磁 路模型更接近弦波。
圖 5-5 500rpm 下之三相反電動勢
圖 5-6 為磁路模型與有限元素分析的反電動勢頻譜分析比較，縱軸表示諧波 所占之比例，若為完美的弦波，則第一諧波之值即為 100 %，其餘諧波皆為 0 %。
在三相平衡的系統中，因為波形對稱，所以偶數階諧波皆為零，反電動勢主要由 第一諧波組成。從圖 5-6 中可看出，有限元素分析的第一諧波的比例較高，高階 諧波較小，因此波形較接近弦波。
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 60 120 180 240 300 360
Back EMF (V)
Rotor shift (electrical deg.)
Phase A Phase B Phase C
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圖 5-6 反電動勢頻譜分析
表 5-2 各諧波所佔比例
Harmonics 1 3 5 7 9 11 13
FEA (%) 94.43 4.572 0.173 0.158 0.246 0.221 0.184 Magnetic
circuit model (%) 83.08 12.29 0.828 0.192 0.367 1.553 1.259
5.2.3 轉矩分佈
圖 5-7 為磁路模型與有限元素分析的轉矩的波形比較。輸入電流為峰值 14 安 培的弦波，如
表 5-3 所示。觀察結果得知，以平均力矩而言，磁路模型與有限元素分析軟體分 析結果較接近，約差距 8%左右，而力矩漣波差距較大，主要因為轉子背鐵在安裝 磁鐵時，為了避免兩個相鄰的磁鐵，故在兩磁鐵間隙中間要鑽 2 個 1mm 的小孔，
用來安裝插銷，使磁鐵在固定期間不至於吸附在一起，也因此孔隙造成氣隙較不 平均，故造成的力矩漣波較大。
0 20 40 60 80 100
1 3 5 7 9 11 13
Percentage of the magnitude(%)
Harmonics
Magnetic circuit model FEA
109
圖 5-7 轉矩波形比較
表 5-3 力矩分析數據
分析方法 平均力矩(Nm) 力矩漣波(%) 有限元素分析 1.48 2.526%
Magnetic circuit model 1.60 1.675%
Rotor shift(electric deg.) FEA Magnetic circuit model
-30
Rotor shift(electric deg.)
110
Axial force (N)
Rotor shift(electric deg.)
580
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Axial force (N)
Speed(rpm)
Axial force (N)
Input current(A)
111
若對軸向力做頻譜分析，則可看到軸向力幾乎集中在直流相有 96.5%，其他 各個諧波各約佔 0.2%以下，也就是說與周期性無直接關係，與磁鐵吸力有直接關 係，趨近為一定值。
圖 5-12 軸向力頻譜分析圖
5.2.5 性能曲線
本小節以 4.6.3 節所介紹的磁通鏈法估測馬達的性能曲線，可得轉速與磁通鏈 的關係式如下
ω(𝑖𝑑, 𝑖𝑞, 𝜆𝑑, 𝜆𝑞)
=
𝑅(𝑖𝑑𝜆𝑞− 𝑖𝑞𝜆𝑑) + √𝑉2(𝜆𝑑2+ 𝜆𝑞2) − 𝑅2(𝑖𝑑𝜆𝑑 + 𝑖𝑞𝜆𝑞)2 (𝜆𝑑2+ 𝜆𝑞2)(𝑁𝑚/2)
( 5-2 )
分析時，將線圈的電流設為變數，分析不同電流下的三相磁通鏈，之後經由 第四章所介紹的 d-q 軸的轉換公式得出𝜆𝑑、𝜆𝑞、𝑖𝑑與𝑖𝑞；並假設電壓全開的情況下，
即𝑉𝑝ℎ = 20.78V，將不同電流下的 d-q 軸磁通鏈代入上式即可得到其對應的操作轉 速，並將轉速設為 x 值，而相電流峰值所對應到之轉矩設為 y 值，繪製馬達在電壓 全開下的轉矩轉速曲線，如圖 5-13，實線表示馬達的轉矩對應轉速的曲線，虛線 代表所需要的電流，此時電流領先角為 0 度，電流皆控制在 q 軸，最大力矩為 1.48 Nm，轉折點轉速為 2842rpm，最高轉速為 3108rpm。
96.5
0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.0 0.1 0.1 0.1 0.0 0.1 0.0 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.1 0
20 40 60 80 100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Percentage of the magnitude(%)
Harmonic
112
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
P h ase cu rr en t( A)
0 1000 2000 3000 4000 5000
T or q u e(N m )
Speed(rpm)
轉矩 功率限制
113
(copper loss)及鐵損(core loss)。
當線圈導入電流時，線圈之電阻會消耗能量並轉換成熱能，稱之為銅損，亦 稱為歐姆損，在三相平衡時，銅損可定義為下式：
𝑃𝑟 = (𝑖𝑎2+ 𝑖𝑏2+ 𝑖𝑐2)𝑅𝑝ℎ ( 5-3 ) 其中，𝑖𝑎、𝑖𝑏、𝑖𝑐為三相電流方均根值，𝑅𝑝ℎ為單相繞線之電阻，而線圈之電阻 可由繞線長度與漆包線截面積𝐴𝑤𝑐估算，公式為
𝑅𝑝ℎ =𝜌𝑐𝑢𝑙𝑤𝑐
𝐴𝑤𝑐 ( 5-4)
其中𝜌𝑐𝑢為銅之電阻係數，在常溫 20 °C時，則𝜌𝑐𝑢 = 1.7241 × 10−8 (Ω-m)；𝑙𝑤𝑐 為單相繞線總長度，經計算之後，單相電阻為𝑅𝑝ℎ = 0.248Ω(歐姆)。
鐵損(core loss)分成磁滯損耗(hysteresis loss)與渦電流損耗(eddy current loss)。
當有週期性的磁通對磁性材料激磁就會造成磁滯損耗，循環性的磁場會在 B-H 曲 線上造成磁滯環，如圖 5-15 所示，磁滯環所圍成 B-H 曲線下面積即為磁滯損耗的 量值。渦電流損耗則是因為外在磁場的變化，造成矽鋼材料內部產生感應的旋轉 電流，造成能量上的耗損。
B
H Hysteresis Loops
B-H Curve
圖 5-15 磁性材料的殘磁曲線
一般來說，磁滯損耗與磁場強度和其切換的頻率有關，就結果而言，更與磁 滯環在 B-H 曲線下的面積成正比，磁滯曲線與 B-H 曲線的圖如所示。而在有限元 素分析法之中，其鐵損計算公式如下單位質量的磁滯損耗函數可以直接表示成
𝑃ℎ = 𝑘ℎ𝑓𝐵𝑚2 (5-5)
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其中，𝑘ℎ為磁滯損係數，隨著材料不同而有所變化；𝑓為磁場變化的頻率，𝐵𝑚為通 過材料的磁場強度。
渦電流損耗是主要的鐵損來源，其量值較磁滯損耗大，可以表示成下式 𝑃𝑐 = 𝑘𝑐𝑓2𝐵𝑚2 (5-6) 其中，𝑘𝑐為一個渦流損係數，隨著材料不同而有所變化。
而總鐵損值則為銅損加上鐵損值，一般來說，在過去的實驗中，都會多出一 額外損耗，經過統計後此額外損耗(excess loss )[100]被定義如下式
𝑃𝑎 = 𝑘𝑎𝑓1.5𝐵𝑚1.5 (5-7) 其中，𝑘𝑎為額外鐵損係數。綜合以上三組損耗，則總鐵損值為
𝑃𝑣 = 𝑃ℎ+𝑃𝑐 + 𝑃𝑎=𝑘ℎ𝑓𝐵𝑚2 + 𝑘𝑐𝑓2𝐵𝑚2 + 𝑘𝑎𝑓1.5𝐵𝑚1.5 (5-8) 本文採用德國瑞典何格納斯的 Somaloy 700 3P 之 SMC，由附錄 B 所得不同頻 率與不同鐵損總鐵損如下圖。
圖 5-16 磁性材料的殘磁曲線
將不同頻率與不同磁場強度值代入式(5-5)、(5-6)、(5-7)、(5-8)可得下列矩陣，
0 400000 800000 1200000 1600000 2000000 2400000
0 200 400 600 800 1000
Loss(W/m^3)
Frequency(Hz)
0.5T 1T 1.5T
115
116
圖 5-17 效率等高線與性能曲線