5 第五章 有限元素法分析與模擬
5.3 弱磁性能分析
再討論完馬達的性能之後，本節將討論弱磁控制對本文馬達延伸工作區間的 可能性。ㄧ般而言，當馬達運轉到一定的轉速後，因受到驅動電壓的限制，使得 轉速下降，若此時增加直軸電流並減少交軸電流，則可使得轉速上升，但力矩會 下降，但能使得功率不變，此操作區間稱作定功率轉速區域(constant power speed range, CPSR)，以下將介紹弱磁的基本概念[95]以及電流控制方法，使得 CPSR 得 到延伸。
5.3.1 基本概念
當馬達高速運轉時，受到電阻而影響的壓降，已經很小，並假設是穩態的條 件下，由、可知馬達動態方程式如下：
𝑣𝑑 = 𝑅𝑖𝑑− 𝜔𝑒𝜆𝑞 ( 5-15 ) 𝑣𝑞 = 𝑅𝑖𝑞+ 𝜔𝑒(𝐿𝑑𝑖𝑑+ 𝜆𝑚) ( 5-16 ) 令驅動電壓為𝑉𝑠，則兩軸電壓的限制可以表示為
𝑣𝑑2 + 𝑣𝑞2 ≤ 𝑉𝑠2 ( 5-17 ) 令最大驅動電流為𝐼𝑠，則電流限制為
117
118
速有極限值，因此在弱磁控制上，延伸定功率區間的效果有限。
2. 橢圓中心點落於電流限制圓上(𝜆𝐿𝑚
𝑑 = 𝐼𝑠)
根據式(5-20)，此時最高轉速為無限大，因此理想上可無限延伸定功率區。
3. 橢圓中心點落於電流限制圓內(𝜆𝐿𝑚
𝑑 < 𝐼𝑠)
由於此時橢圓中心點落在電流限制圓內，即定功率軌跡內，因此欲達到最高 轉速，則必須使軌跡朝橢圓中心發展，如圖 5-19 所示。
d-axis q-axis
Current limit circle Voltage limit
ellipses
λ
mL
d,0
β I
max圖 5-19 電流控制軌跡
5.3.2 電流控制方法
本小節將介紹三種控制方法，首先，在直軸與交軸座標系統中，可以將力矩 描述成下式
𝑇 =3 2
𝑁𝑚
2 [(𝐿𝑑− 𝐿𝑞)𝑖𝑑𝑖𝑞+ 𝜆𝑚𝑖𝑞] (5-21) 單位電流最大轉矩控制
不同的 d 軸和 q 軸電流可能產生相同的轉矩，因此在 d-q 平面上可繪出等轉矩 曲線，如圖 5-20 所示。
119
d-axis q-axis
Constant torque
locus i
s3 s2 得馬達產生最大的力矩，即為 MTPA(maxium torque per ampere)，將不同電流限制 下的最大轉矩繪製在 d-q 平面上，可得 MTPA 之軌跡，如圖 5-21 所示。d-axis q-axis
Constant current contours
Constant torque
curves
120
最大功率控制(Maximum Power Control)
通常馬達轉速上升，則所需輸入的電壓則愈大，當電壓達到最大限制電壓後，
121
最大力矩/磁通控制(Maximum Torque/Flux Control)
若橢圓中心點落於電流限制圓內，為了使轉速能繼續提升，則必須使電流的 軌跡往橢圓中心點發展，但此時不再為定功率區域。如圖 5-22 所示，軌跡上的點 為每個轉速的最大轉矩，即產生最大的輸出功率。
d-axis q-axis
λ
mL
d,0
Constant torque curves
Max. output power contour
圖 5-22 最大輸出功率軌跡 根據式(4-123)，將 d 軸磁通鏈代入式( 5-19 )並整理得
𝑖𝑞2 =𝑉𝑚𝑎𝑥2 ⁄𝜔𝑒2− 𝜆𝑑2
𝐿2𝑞 (5-31)
由式(4-110)將 d 軸電流表示為
𝑖𝑑 =𝜆𝑑− 𝜆𝑚
𝐿𝑑 (5-32)
再將以上二式代入式(5-21)，並整理為 𝑇2 = (3𝑁𝑚
4 )
2
(𝜆𝑑− 𝐿𝑞𝜆𝑑− 𝜆𝑚 𝐿𝑑 )
2𝑉𝑚𝑎𝑥2 ⁄𝜔𝑒2− 𝜆𝑑2
𝐿2𝑞 (5-33) 將上式對𝜆𝑑偏微分求極值[97]，可得下式
𝜆𝑑 = −𝐿𝑞𝜆𝑚+ √𝜆𝑚2 𝐿2𝑞+ 8(𝐿𝑑− 𝐿𝑞)2𝑉𝑚𝑎𝑥2 ⁄𝜔𝑒2 4(𝐿𝑑 − 𝐿𝑞)
(5-34)
122
將上式代回式(5-32)及式(5-31)可分別得出 d 軸電流和 q 軸電流。
5.3.3 d 軸與 q 軸電感
由前面小節可知，在弱磁控制中， d 軸與 q 軸電感為一種要的指標參數。假 設忽略 d-q 軸電感的耦合效應，則 d-q 軸電感如下:
𝐿𝑑 =∆𝜆𝑑
∆𝑖𝑑 ≈ 𝜆𝑑(𝑖𝑑) − 𝜆𝑃𝑀 𝑖𝑑
(5-35)
𝐿𝑞 =∆𝜆𝑞
∆𝑖𝑞 ≈𝜆𝑞(𝑖𝑞) 𝑖𝑞
(5-36)
在 FEA 的分析中，要得到 d-q 軸電感，先要得到 d-q 軸磁通鏈以及磁鐵磁通 鏈𝜆𝑃𝑀，分別在 d 軸與 q 軸灌入大小不等的電流，可得磁通鏈，而永磁磁通鏈則將 電流都灌在 q 軸，此時 d 磁通鏈相當於永磁磁通鏈，如圖 5-23。
圖 5-23 d 軸磁通鏈
由上圖可得到平均值 0.009252(Wb)，此時𝑖𝑑 = 0，故令𝜆𝑃𝑀= 0.009252(Wb)。
得到 d 軸與 q 軸的磁通鏈之後，帶入電感公式(5-35)、(5-36)得到 d-q 軸的電感大小，
如圖 5-24 所示，表面貼磁式馬達磁鐵的放置並無陷於轉子中，又磁鐵的磁阻與空 氣磁阻類似，，故 d-q 軸磁阻相近，所得之電感大小相近。
0 0.005 0.01 0.015 0.02
0 2 4 6 8 10 12 14
d-axis flux linkage(Wb)
q-axis current(A)
123
圖 5-24 d 軸電感與 d 軸電流關係圖
圖 5-25 q 軸電感與 q 軸電流關係圖
5.3.4 單位電流最大力矩
透過輸入不同的電流值，尋找各種電流值下產生最大力矩值的相位領先角，
達成 MTPA 的控制。而經過由上述 MTPA 控制中的最佳相位領先角，其它的電流 值依此類推，最後得到各電流下的結果皆為 0 deg 為最佳，因本設計的馬達為表面 貼磁馬達，直軸與交軸的電感值差異不大，無法透過相位領先角的改變，產生更 多的力矩，因各電流結果皆同故以 14 安培表示，由圖 5-26 可知，輸出力矩隨著角 度增加而下降，故電流皆操作在 q 軸才會使得力矩最大。
0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004
2 4 6 8 10 12 14
d -axis i n d u ctance (H)
d-axis current (A)
0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004
2 4 6 8 10 12 14
q -axis i n d u ctance (H)
q-axis current (A)
124
q-axis fluxlinkage(Wb)
Maximum phase current(A)
β=0
125
d-axis fluxlinkage(Wb)
Maximum phase current(A)
β=0
126
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Torque(N-m)
Speed(rpm)
Without flux weakening Flux weakening
-14
0 2000 4000 6000
Current(A)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Phase angle β (deg.)
Speed(rpm)
127