磁路之基本原理

電能與力學能之間主要經過磁場做轉換。在永磁馬達中，磁場的產生一部分 來自永久磁鐵，另一部分則來自載流線圈；而線圈中的電流與磁場之間的關係可 由安培定律(Ampere’s law)來說明：

∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐥

𝑐

= 𝐼_𝑛𝑒𝑡 (4-1)

其中𝐼_𝑛𝑒𝑡為穿過封閉積分路徑的電流，𝐇為淨電流所產生的磁場強度(magnetic field intensity)。在大部分材料的線性範圍內，磁通密度(flux density)𝐁與磁場強度(field intensity)𝐇有下列關係

𝐁 = 𝜇𝐇 (4-2)

其中𝜇為材料的導磁係數(permeability)。定義磁通密度的定義為單位面積所通過之 磁通量，而磁通量𝜙與磁通密度、面積之關係如下

𝜙 = ∫ 𝐁 ∙ 𝑑𝐀 (4-3)

考慮一個激磁線圈結構，如下圖。其中𝑖為繞線線圈所通入之電流、𝑁為繞線 匝數、𝑔為氣隙長度、𝑙_𝑐為鐵心的平均長度、𝜙為繞線對鐵芯激磁產生之磁通量。



lc

i

N g

圖 4-1 激磁線圈結構

假設鐵芯材料之導磁係數𝜇_𝑐遠大於空氣之導磁係數𝜇₀，且鐵芯截面積皆為固 定不變，由式(4-1)可得

𝑁𝑖 = ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐥

𝑐

= 𝐻_𝑐𝑙_𝑐+ 𝐻_𝑔𝑔 (4-4) 其中𝐻_𝑐為鐵芯磁場強度、𝐻_𝑔為氣隙磁場強度。

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此外，磁動勢(magnetomotive force, MMF)的定義為：

𝐹 = 𝑁𝑖 (4-7) 𝑉與電流𝑖之間的關係。在圖 4-2 中，將比較磁路與電路模型，推導磁阻(reluctance) 之概念。

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𝑅_𝑐 = 𝑙_𝑐

𝜇_𝑐𝐴_𝑐 (4-11)

𝑅_𝑔 = 𝑔

𝜇₀𝐴_𝑔 (4-12)

利用磁路(magnetic circuit)的概念，可簡化磁阻之間串並聯關係。雖然可將磁 路類比為電路，然而在物理意義上，電流通過電阻會消耗電能，而磁阻則儲存磁 能。

4.1.1 磁性材料

由(4-2)式可知道磁通密度與磁場強度之間有一比例關係，比例係數



就是該材料 的導磁係數；不同材料的導磁係數



也不同。首先，先定義真空中的導磁係數



₀

-7

0 4 10 H m/







 ( 4-13 )

而其他材料的絕對導磁係數μ，為方便計算，將以相對導磁係數和真空中導磁係數 𝜇₀的乘積來表示：

𝜇 = 𝜇₀𝜇_𝑟 ( 4-14 ) 一般來說，空氣中的導磁性相當弱，幾乎與真空相同，故空氣的相對導磁係 數𝜇_𝑟約略等於 1，而其他導磁係數約為 1 的材料，如木材、橡膠、銅，此類導磁性 低的材料，我們通稱為非磁性材料(nonmagnetic material)。

相對的，導磁性高的材料稱之為鐵磁性材料(ferromagnetic material)，其導磁能 力相當好，如電磁矽鋼片來說，在適當的磁場強度下，其相對導磁係數



_r可以大 到約 2000 至 6000，因此在永磁馬達的定子材料選用上常常使用電磁矽鋼，可以得 到較佳的磁通密度；但若磁場強度過大，則磁通密度與磁場強度的關係變為非線 性，此時導磁係數變成非定值。如圖 4-3 所示，一般鐵磁性材料的

B H -

曲線，稱 為磁化曲線(magnetization curve)，此曲線可以分成兩個區塊；當磁場強度

H

不大 時，斜率為導磁係數μ，且為一定值，此時磁通密度約呈線性增加；當磁場強度增 加到一定程度之後，其斜率開始下降，表示之後增強磁場強度，能增加的磁通密 度的量都很少，一般稱這種現象叫做飽和(saturation)。

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Field Intensity H

F lux D ens it y B

Magnetization Curve





Non-linear linear

圖 4-3 鐵磁性材料的磁化曲線

一般在設計馬達時，會避免使馬達中的鐵磁性材料在非線性區工作，主要是 因為當工作點進入非線性區時，導磁係數與磁阻並非固定常數，會隨著磁場的強 度變化，計算會變得非常複雜。此外，進入非線性區之後，增加單位電流所能提 升的磁通密度量值很小，馬達的整體效率會降低。

在永磁馬達中，磁場來源另一部分來自永久磁鐵(permanent magnet)。在永磁 馬達中，一般都將操作區間設在第二象限，如圖 4-4。為求方便計算，將橫軸的磁 場強度乘上𝜇₀，使得橫軸與縱軸單位皆為特斯拉(Tesla)。

  

0

H

_m

, B

_m



B B

r

0

H

0

H

c









R

(T)

(T)

圖 4-4 永久磁鐵的磁滯曲線

其中，當磁場強度為零時，所能產生的最大磁通密度𝐵_𝑟，稱為殘磁密度(residual flux density)；當磁鐵磁通密度為零時，所對應的磁場強度𝐻_𝐶，稱為矯頑磁力 (coercive force)。另外，此曲線的直線斜率𝜇_𝑅，稱為磁鐵導磁係數，以𝐵_𝑟與𝐻_𝐶表示：

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為機械誤差導致精度不足；另外一種製作軸向磁通馬達的製程為先捲繞再線割，

此製程精度雖然提高，但是所花費用極高，不符合成本效益，且無法製作奇數槽 之定子，所能設計馬達類型受限。

本 節 將 介 紹 近 年 來 常 使 用 在 小 型 馬 達 上 的 軟 磁 複 合 材 料 (soft magnetic composite, SMC)，此種材料為高純度鐵粉所燒結而成，每個粉末均具極薄電源層，

可降低外界磁場變化產生的渦電流損[84]，如圖 4-6 具有高頻低鐵損特性，製程上 使用粉末冶金技術，可依照馬達設計者需求不同，製作各種不同形狀之馬達，此 種材料應用於馬達具有以下幾點優點：

圖 4-6 SMC 顆粒結構[84]

(1)三維導磁方向：

由於 SMC 的結構為顆粒組成，其材料特性具有均相性(isotropy)，故其導磁方 向為三維，如圖 4-7，搭配粉末冶金技術製作不同形狀，可以設計特殊的 3D 磁路 模型，使磁通路徑達到最小並有效提高效率。

(a)矽鋼片 (b)SMC 圖 4-7 (a)矽鋼片(b)SMC 導磁方向[85]

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(2)結構靈活：

若將定子做成圓弧狀齒型，如圖 4-8，此種齒型可減少端繞線的用量，如此一 來可減少銅線的總用量，也可減少端繞線產生的漏感現象，此時電阻值也會跟著 降低；除此之外，也可將齒面做成圓弧形增加磁通面積，並提升效能。

(a)矽鋼片 (b)SMC

圖 4-8 (a)矽鋼片 (b)SMC 定子的繞線結構比較[86]

(3)適用於高頻率馬達：

馬達損失的主要來源為鐵損(iron loss)跟銅損構成，鐵損在低轉時相較於銅損 可以忽略，但是在高轉時就成為損失的主要來源。鐵損主要由磁滯損(hystersis loss) 與渦電流損(eddy current loss)組成，磁滯損由磁滯曲線下的面積決定，面積越大則 損耗越多，而渦電流損由外部磁場變化使磁性材料內部產生的渦電流所造成，頻 率越高時造成的渦電流損越大；SMC 材料的磁滯損在低轉實較矽鋼片為高，但是 矽鋼片為薄片堆疊，SMC 材料為顆粒燒結，後者在高頻時造成的渦電流較少。兩 者的渦電流損在低頻時相去不遠，但是頻率超過 300Hz[86]之後會有明顯的差異。

故操作頻率較高的高轉速馬達，較適合使用 SMC 材料製作。

(4)成本較低：

因為燒結過程，所有粉末裝入模具內進行壓縮及燒結，故並不會浪費材料；

而矽鋼片則因沖壓或者線割過程，必定會造成材料的浪費。除此之外，因為定子 齒型可以做成圓弧狀，故所需的銅線長度也較短，故也可以減低銅線的成本。

粉末燒結的產品，也會有以下缺點：

(1)導磁率較低：

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因為在各個燒結顆粒上，均有一層非導磁性的絕緣層，相當於每個顆粒之間 都有一微小氣隙，故導磁係數較低，下圖為 Hoganas 公司所發行的 Somaloy 系列 與新日鐵生產的矽鋼片(型號 JNHF1500)的磁化曲線[87][88]，由圖可知 SMC 的飽 和磁通密度較矽鋼片來的低。

圖 4-9 smc 與矽鋼片磁化曲線比較 (2)無法一體成型：

SMC 材料的性能好壞，主要與鐵粉的材料有關，另外，壓力與熱處理的影響 力也很大。硬度要達到跟矽鋼片一樣的硬度約要 800MPa，若壓力不足，除硬度不 足外，顆粒間的空隙也會變大，進而影響使導磁率下降[84]。而目前馬達壓製能力 有所限制，若馬達定子尺寸較大，則無法一體成型。常採用的方法為把馬達定子 拆開成小部分，壓製成型後，再進行組裝；若各零件的精度不足，將影響組裝後 的強度與精度，並可能發生振動與噪音，故必須特別注意各零件的精密度。

本文之馬達最高轉速要達 2000 轉以上，選用的極數為 14 極，電氣頻率約在 400Hz 左右，符合前述所提之高頻區域；此外，馬達的體積也較為狹小，外徑只有 60mm，且為軸向磁通馬達，若使用矽鋼片的製程，價格相對於 SMC 的製程高出 許多。基於以上幾點理由，本文將使用 SMC 做為馬達定子之材料。

4.1.3 磁通鏈、電感與感應電動勢

磁通鏈(flux linkage)與自感(self inductance)

-0.2 0.3 0.8 1.3 1.8 2.3 2.8

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

B(T)

H(A/m)

Somaloy_700_3p JNHF1500

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考慮一簡單線圈激磁磁路，如，線圈上通電流 i，此時會產生磁通𝜙。由安培 右手定則決定磁通𝜙方向，並使用等效磁路的歐姆定律(Ohm’s law)求得磁通大小為

𝜙 =𝑁𝑖

𝑅_𝑐 ( 4-22 )

其中，𝑅_𝑐為通過鐵芯磁阻；而 N 匝線圈產生的磁通會疊加起來，則稱為磁通鏈 𝜆 (flux linkage)。定義如下式：

𝜆 = 𝑁𝜙 ( 4-23 )

將( 4-22)式代入( 4-23)式，可得下式：

𝜆 =𝑁²

𝑅 𝑖 ( 4-24 )

由上式可知，單位電流能產生的磁通鏈與磁阻和匝數有一定關係，因此為了 方便計算，將此關係定義為電感(inductance)，即式( 4-25)，而單組繞線的電感又稱 為自感(self inductance )。

𝐿 =𝜆 𝑖 = 𝑁²

𝑅 ( 4-25 )



i

N Ni R



(a) (b)

圖 4-10 (a)簡單激磁磁路 (b)等效磁路模型 互感(mutual inductance)

考慮雙激磁結構，如圖 4-11 所示，線圈通過的磁通來源，可分為兩個，分別 為左邊線圈產生的𝑁₁𝜙₁與右邊線圈產生的𝑁₂𝜙₂，根據疊加定理(superposition

theorem)，當左邊通電流時忽略右邊的的磁通源，同理，右邊通電時忽略左邊的磁

通源，根據其磁路模型結構，將磁通𝜙₁與𝜙₂表示如下：

𝜙₁ = 𝜙₁₁+ 𝜙₁₂ ( 4-26 )

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65 感應電壓(Induced voltage)

導線中電流的變化造成磁通的變化，根據法拉第定律(Faraday’s law)，當磁通發生 變化則會產生感應電動勢，其感應電壓𝑒定義為：

所得各項各有不同物理意義，𝐿_𝑑𝑡^𝑑𝑖稱為變形電壓(transformer voltage)，由線圈電流 的變化所產生；𝑖^𝑑𝐿_𝑑𝑡+ 𝑁^𝑑𝜙_𝑑𝑡^𝑚稱為反電動勢𝑒𝑚𝑓_𝑏(back electromotive force, back EMF)，

由線圈與磁場的相對運動所產生；𝜙_𝑚^𝑑𝑁_𝑑𝑡在𝑁為常數的例子中則為零。就旋轉電動

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機而言，電感變化與轉子旋轉角度𝜃有關，經連鎖率法則(chain rule)轉換，反電動 勢可改寫為下式：

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圖 4-15 為一導磁物體的磁化曲線；此時的磁動勢為𝐹₀、通過的磁通為𝜙₀。 在旋轉電動機中，磁能會是磁通鏈λ與轉子角度𝜃的函數，由式(4-44)可知磁通鏈 值為電流和轉子角度的函數，當旋轉件旋轉時，氣隙不固定，磁阻也會改變，故 儲存的磁能也受到影響。因此，在積分計算上較為困難，為了計算方便，定義輔 能(coenergy)如圖 4-15(b)所示，磁能與輔能之關係可寫成

𝑊_𝑚𝑔^′ = ∫ 𝜙𝑑𝐹 (4-51)

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在文檔中 電動輔助自行車中置馬達最佳化設計 (頁 75-90)