第五章 實證結果
第三節 分配檢定
本節主要是想使用第二節所估計出來各個分配的參數找出轉換強度的最適 分配。本文在分配的檢定上使用了 K-S 檢定和 QQ-plot 找出哪個分配與轉換強度 較為相似，如果越相似的話代表在定價時使用這個分配做為轉換強度的分配，可 以有越小的定價誤差。
表 5-4 為使用 K-S 檢定所做出來的結果。K-S 檢定的虛無假設為該數值符合 檢定的分配，對立假設為該數值不符合該分配，當檢定出來的結果為 1 時代表對 立假設成立，如果為 0 的話則虛無假設成立。這個的檢定與一般的檢定不太相同，
因為是要虛無假設成立的情況之下才是符合該分配。表 5-4 當中，本文是使用顯 著水準為 0.05 去作檢定，可以從表 5-4 看到各個分配的 P 值；可以發現到各個 分配的 P 值都沒有超過 0.05 的，最大的是小數點後 22 位，所以檢定出來的結果 都為 1。也就是無法直接透過 K-S 檢定就能夠找出最適的分配，可能的原因是這 個分配的檢定較為嚴格，所以導致所檢定出來的結果並不理想，也就是無法從這 個檢定當中直接找出最適的分配。
由表 5-4 的 K-S 檢定當中可以知道沒有一個分配是可以直接代表轉換強度的 最適分配；接下來本文想要探討如果轉換強度沒有完全符合某一分配的話，那本 文想要知道轉換強度和本文研究的六個分配中哪一個最相近，因此本文列出了 K-S 檢定當中的誤差值，可從表 5-4 當中可以看到各個分配的誤差值，可以發現 極值分配的誤差最大超過 50%，常態分配的誤差值最小只有 5%左右，所以可以 從誤差值當中，認為轉換強度的分布型態與常態分配是最為相似的；但是可以從 表 5-4 當中可以發現 Gamma 分配以及指數分配的誤差值與常態分配的誤差值的 差距其實沒有太大，因此在使用一般轉換強度算出的轉換強度隨機值是比較接近 常態分配，而使用 Cox 比率模型算出來的轉換強度隨機值比較接近 Gamma 分配
50
表 5-4 K-S 檢定
表 5-4 為使用 K-S 檢定(Kolmogorov-Smirnov)是用來檢定現在的樣本資料是否符合某一種分配，首先使用最大概似估計出樣本資料各個分配參數，再將估 計出來的參數算出理論的分配的累積函數，並且與樣本資料的累積函數相減來做檢定，看樣本資料是否符合所要檢定的分配。因此 K-S 的檢定統計量為 max (|F(x) − G(x)|) F(x)為樣本的累積函數，G(x)為該分配理論的累積函數，下面是 K-S 檢定當中的虛無假設和對立假設
{H0 ∶ 該樣本符合該檢定分配 H1∶ 該樣本不符合該檢定分配 。
常態分配 指數分配 韋伯分配 對數常態分配 極值分配
Gamma 分配
K-S test
1 1 1 1 1 1P 值
3.86E-22 4.09E-144 1.81E-42 1.84E-106 0 1.69E-27 誤差值 0.0555 0.0772 0.1427 0.1226 0.5380 0.061951
和指數分配。也就是如果是以存活分析的角度來說，當資料樣本的數目越大的情 況之下，整體樣本會因為有左設限資料的關係導致整體的樣本較為右偏；所以本 研究認為由表 5-4 當中的 K-S 檢定知道，因為常態分配的誤差與 Gamma 分配以 及指數分配的誤差差距並不大，因此在 K-S 檢定當中，本文會比較傾向支持使 用 Gamma 分配或指數分配做為轉換強度的最適分配，因為 Gamma 分配和指數 分配較符合一般存活分析當中常見的分配，也就是較能表達存活分析當中常出現 右偏的型態。
接著本文將轉換強度隨機值的分佈與理論的數值分佈用 QQ-plot 來表示，藉 由 QQ-plot 可以畫出理論上的分配情況與實際分配情況的分佈情況。QQ-plot 的 Y 軸為理論分配的數值，在圖形上可以看到有很多的十字架，每個十字架代表實 際上的數值，如果實際上的數值與理論上的數值愈接近的話，十字架就會愈接近 圖形上的虛線，反之如果實際上的數值與理論上的數值差距愈大的話十字架就會 離虛線與遠，代表實際上的數值與理論上的數值有所差距；差距愈大代表該分配 愈不能夠代表轉換強度的分配，因此本研究要從圖 5-2 中找出與虛線最相近的分 配來代表轉換強度的最適分配。
圖 5-2 為本文將轉換強度的隨機值和常態分配、指數分配、韋伯分配、對數 常態分配、極值分配和 Gamma 分配的理論數值畫 QQ-plot；其中常態分配是用 一般轉換強度模型所算出來的隨機值，其他 5 個分配則是用 Cox 比率模型所算 出來的數值做為轉換強度隨機值的實際數值。第一個圖為實際的轉換強度與理論 上的常態分配做 QQ-plot，可以發現實際上的轉換風險與理論上的轉換風險是非 常相似的，幾乎實際上的轉換強度是貼著理論的轉換強度，不過實際上的轉換強 度較理論上的轉換強度在極大值和極小值有一點偏高的情況。實際上的轉換強度 會較理論上兩邊較高的原因，本文是認為實際上的轉換強度的分配較理論上轉換 強度的常態分配來的高峽一些；因為實際上的可轉債投資人期初買進時轉換價格 都會較股票價格來的高，所以剛購買可轉債就進行轉換的可能性是非常小的，因
52
圖 5-2 QQ-plot 的結果
圖 5-2 為使用 QQ-plot 來檢定樣本資料是否符合某一種分配的檢定方法，其原理為如果樣本資 料符合某一分配的話，則該樣本資料的樣本分佈要符合該分配，也就是樣本資料當中的分位點要 與該分配的各分位點相似才行；因此假設將樣本資料寫成X1, X2,⋯ , Xn，並且使用Y1, Y1,⋯ , Yn來 表示 X 的大小順序，這樣 Y 應該要分別對應在 X 的分位點之上，並且藉由群體的分位點來找尋是 否與某分配的分位點十分接近；如果愈相近的話實際數值會愈接近虛線。本文探討的分配有常態 分配、指數分配、韋伯分配、對數常態分配、極值分配和 Gamma 分配。
53
此一開始的轉換情況並不多，所以在購買期初較無轉換的情況。不過隨著投資人 持有可轉債一段時間，當股價超過轉換價格時可轉債的投資人就會進行轉換，到 接近到期日時，因為可轉債的轉換價值變小，轉換的可能性就愈低。從圖 4-2 當 中可以發現隨著時間的增加轉換的情況是愈來愈多，到了第 25 個月來到最高峰，
這時候隨著轉換的情況愈熱絡，伴隨著就是轉換強度的波動程度也上升；同樣的 也可以從圖 4-2 發現到愈往第 25 個月時，可轉債的轉換情況的波動程度也跟著 增加，之後轉換的情況又變得相對的穩定，所以轉換強度也因此跟著可轉債的轉 換數量減少而轉換強度也跟著下降。因此可以知道轉換強度的的分布應該是有向 中間集中的情況，所以從圖 5-2 的常態分配的圖才會出現兩邊較理論上的數值來 的高的情況發生，不過從常態分配的圖中可以清楚地發現實際上的轉換強度與常 態分配理論上的轉換強度十分的接近。也因為常態圖形當中兩邊的實際數值略高 於理論上的數值，因此使用常態分配作為轉換強度的最適分配定價的話，在極大 值和極小值的部分會出現低估的情況，所以常態分配適合用在沒有極大值和極小 值的情況中。
接著從圖 5-2 可以看到指數分配和 Gamma 分配的圖形差不多，轉換強度的 隨機值與理論上的分布情況，在數值小時都是幾乎相同但是當數值變大後就會出 現向上偏離的情況且偏離的情況蠻嚴重的；本文認為會發生這樣的偏離可能的原 因有兩種，第一種為在尋找轉換強度的時候，因為先將資料取自然對數，取完自 然對數之後的數值的差距並不會太大；但是在探討轉換強度時後必須取自然指數 導致轉換強度有倍數的效果，所以使比較大一點的數字呈現一個快速的增加的情 況，因此在數值比較大的部分會出現快速上升與理論上的轉換強度有所出入。第 二種可能的原因是因為資料採樣的問題，因為本研究研究的期間為 8 年 6 個月，
但是這期間有許多的可轉債是已經發行很久的可轉債，在本文的研究期間剛好是 這些可轉債接近發行終了，所以在研究的樣本當中可以發現可轉債轉換的次數非 常少，有些可轉債轉換的次數甚至只有一次；還有一些可轉債在本文的研究期間
54
是接近尾巴才發行的，在發行之初轉換的情況也是非常少的，但是因為本文研究 方法的關係，所以並沒有把這些的資料進行刪除，因此導致實證出來的結果會因 為這些樣本比較少的可轉債，造成實證出來的轉換強度有一些極端值的出現，引 此在使用 QQ-plot 畫圖形時，出現轉換強度隨機值較理論上的數值在數值較大的 地方出現嚴重往上偏離的情況發生。因此使用指數分配或是 Gamma 分配作為轉 換強度的最適分配作定價的話，在極大值的地方會出現低估的情況，因此指數分 配和 Gamma 分配不適合用有極端大值的地方。
圖 5-2 還可以看到對數常態分配、韋伯分配和極值分配的圖形。可以看到轉 換強度隨機值與對數常態和韋伯分配的理論數值的分佈情況；發現數值過於集中 在前半部分，數字較大的部分幾乎沒有任何的數值接近虛線，且數值愈大愈往下 面偏離。本文是認為從對數常態和韋伯分配的分佈來看，因為對數常態和韋伯分 配限制是必須大於零，且因為本文的研究期間並不夠長，所以實際的轉換強度資 料相對於理論上的對數常態轉換風險的資料稍嫌不足，因此無法確認轉換強度是 否符合這個分配。從圖 5-2 可以看到實際的轉換風險和理論的極值分配的 QQ-plot
圖 5-2 還可以看到對數常態分配、韋伯分配和極值分配的圖形。可以看到轉 換強度隨機值與對數常態和韋伯分配的理論數值的分佈情況；發現數值過於集中 在前半部分，數字較大的部分幾乎沒有任何的數值接近虛線，且數值愈大愈往下 面偏離。本文是認為從對數常態和韋伯分配的分佈來看，因為對數常態和韋伯分 配限制是必須大於零，且因為本文的研究期間並不夠長，所以實際的轉換強度資 料相對於理論上的對數常態轉換風險的資料稍嫌不足，因此無法確認轉換強度是 否符合這個分配。從圖 5-2 可以看到實際的轉換風險和理論的極值分配的 QQ-plot