第四章 研究方法
第一節 存活分析
本文使用存活分析的方法來尋找轉換強度的最適分配。存活分析是一種應用 於許多學科的方法，像是保險或是醫學在研究特定事件，或是疾病對人口的死亡 率或是存活率的一種分析方法。在壽險方面就想知道某一種疾病的死亡率有多高 並找出其分配型態，如果死亡率高則保費會較高，反之則較低，所以保險常用此 方法來做為其定價的一種方法。本文研究想要透過存活分析的方法來找出可轉債 轉換強度的最適分配，將執行轉換的可轉債視為死亡，如果未轉換則當作可轉債 存活，去找出轉換強度的機率分配。存活分析的主要的變數是時間，從發行可轉 債之後到轉換前這段時間視為存活時間，這類的存活時間與一般連續時間是不同 的；存活分析的資料主要有兩個特性，第一、通常這類的資料都不會符合常態分 配，像是可轉債發行之後的存活時間，通常不會是對稱分配，因為可轉債的價格 包含選擇權的價值，而可轉債的價值可以分為兩個部分，分別為債券價值和轉換 價值。在台灣發行的可轉債多為零息債券，如果持有可轉債的期間越長的話可轉
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債的價格就會越來越接近票面金額，因為可轉債所含的轉換價值會隨著時間越來 越低，所以投資人在投資可轉債不久後就會有許多人選擇轉換，也就是在可轉債 發行的初期轉換比率(死亡率)會比較高，所以可轉債的轉換強度應該會為一右偏 的分配，因此平均數並不能適合代表資料的中央趨勢所以應該要用中位數來表達 會比較適合。
第二、這類的資料通常無法收集完全，像是本文在研究可轉債的轉換強度，
可能因為本文的研究期間可轉債尚未到期，所以那些存活的可轉債，本文無法確 切的知道他們存活多久，只能說他們至少活超過本文的研究期間。因此通常會將 資料分為兩種，第一種針對已發生的情況，其資料稱之為完整資料(Complete Data)，其存活期間的計算是起始點到事件發生的那天，也就是從公司發行可轉 債開始那天到投資人決定轉換的時間，皆在本研究的研究期間中；第二種為事件 尚未發生的事件的個案數，此種稱為設限資料(Censored Data)；其存活時間的計 算為從起始點到可以追蹤的時點，這種類的資料為在本文的研究期間內是一直存 活的，因此本文不知道它們從起始點到轉換的時間有多長。
由圖 4-1 可以看到假如研究的期間從民國 80 年到 90 年，可轉債 B、D 和 E 為完整的資料，可轉債 A、C、F 和 G 則為設限資料。而設限資料有分為兩種，
分別是左設限資料(Left Censored Data)和右設限資料(Right Censored Data )，左設 限資料為研究期間開始之前就已經發生的本文就稱為左設限資料；右設限資料為 在本文的研究期間結束之後仍然未發生，此時因為受限研究期間不得以只好停止 觀察的資料，稱為右設限資料。一般而言右設限的資料比左設限的資料還要多。
存活分析不論是有無轉換情況的發生，只要是在研究觀察期間有出現的資料都要 列入計算，也因為存在設限資料，所以用平均數來代表資料的中央趨勢是會有偏 誤的，會使平均數向時間較大的方向靠攏，所以用中位數來衡量中央趨勢會比平 均數去衡量中央趨勢來的恰當，因此存活分析能處理偏斜的資料和不完整觀察值 的問題。
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本文衡量的轉換強度包括全部在櫃買中心發行的可轉債，因為台灣發行可轉 債的歷史並不久，且可轉債發行的長度為 5 年或 7 年，再加上在公開資訊觀測站 每個月才公布一次可轉債的轉換數量，所以本文用台灣全體公司來衡量而不是用 單一廠商來去衡量。
圖 4-1 資料
圖 4-1 為敘述存活分析資料常見的完整資料及設限資料。O 為可轉債尚未轉換，X 為可轉債已經 轉換，●為可轉債開始發行。B、D、E 為完整資料，A、C、F、G 為設限資料。取自林建甫(2008), 存活分析。
4.1.1 一般轉換強度模型的介紹
接著本文要設定存活分析中的可轉債存活函數(Survival Distribution)、轉換 機 率 密 度 函 數 (Conversion Probability Distribution Function) 和 危 險 函 數 (Conversion Hazard Rate)。因為本文要探討的是可轉債的轉換強度，所以轉換強 度為可轉債在 t 時間時所轉換的比率，因此本文稱危險函數為轉換強度。可轉債 存活函數通常本文會將它寫成S(t)，t > 0，因為存活分析主要的變數為時間，所 以本文假設 t 為一個群體中的單獨個體的存活時間，且會為一個非負連續型隨機
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轉換機率密度函數(Conversion Probability Distribution Function)為累積轉換 函數的機率密度函數，是描述隨著時間演變時，在 t 到 ∆t 的極小單位內發生轉
轉換強度(Conversion Hazard Rate)為可轉換公司債在時間 t 轉換的百分比，
也就是個體在 t 時點還存在，但是在之後的極小段時間內轉換(∆t)所發生的轉換
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h(t) = f(t)
S(t)。 (12)
從先前的式子知道f(t) = −dS(t)/dt，h(t) = −
[dS(t)/dt] S(t) = dlog S(t) dt 。
累積轉換強度函數可以寫成
H(t) = ∫ h(s)ds = − log[S(t)] ；
t 0
(13)
因此可轉債存活函數和累積轉換強度換函數可以寫成
H(t) = − log S(t) → S(t) = exp[−H(t)]。 (14)
可以知道這三個函數的關係為
f(t) = h(t)S(t) = h(t)exp[−H(t)]。 (15) 也因透過這三個函數的關係圖可以知道找出”轉換強度”就能夠找出另外兩個分 配的型態，因此本文研究主要是在探討轉換強度的部分。
本文介紹主要會影響轉換強度的因素，包括溢價比率、公司的稅前息前淨利 比率、帳面負債比率和大盤報酬率。溢價比率，在 Brennan and Schwartz (1977) 的文章中有提到轉換比率和轉換的價值呈現正相關，當轉換價值愈高時轉換比率 就會愈高。本文的轉換價值為可轉債的標的股票價格減掉轉換價格除上轉換價格
，本文稱之為溢價比率。因為可轉債的投資人投資可轉債，是希望在未來的某一 時間，標的股價能夠高於轉換價格使可轉債能進行轉換。使可轉債投資人轉換可 轉債的最大誘因就是可轉債的標的股票市價高於可轉債的轉換價格，這樣可轉債 的投資人才會將可轉債轉換以賺取報酬。但是如果只單純看絕對數字的話就無法 將全部的可轉債進行比較，所以本文將所計算出來的數字在除上轉換價格算出溢 價比率。
第二是公司的稅前息前淨利的比率，在 Downes and Heinkel (1982)的文中認
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為發行可轉債的公司通常都是獲利能力較好的公司，因此本文以稅前息前淨利的 比率做為獲利的變數。稅前息前淨利的比率為公司稅前息前除上公司帳面資產，
可轉債的投資人在投資可轉債之前，通常會預期可轉債的標的股票價格之後會比 可轉債的轉換價格來的高。因此投資人通常會透過發行公司的獲利能力來去衡量 該發行公司的股票是否在未來有機會能夠上漲；因為公司的價值來自於該公司是 否能夠持續的為股東賺取盈餘，如果盈餘愈高自然股票的價格也會愈高，所以當 稅前息前比率愈高的話，投資人愈有可能去轉換公司的可轉債。
第三是帳面負債比率，在 Essig (1992)的文中發現發行可轉債的公司大部分 負債比率都會比較高，因此本文也將這個因素納入討論的因素當中。帳面負債比 率為帳面負債除上帳面資產。可轉債的投資人在投資可轉債時除了考量公司未來 的獲利能力外，還要考量到公司是否能夠長期的持續經營；因為可轉債所發行的 期間通常是 5 或 7 年，以 5 年為主；如果發行可轉債的公司在購買可轉債不久之 後就倒閉的話，投資人只能拿回一部分的求償；也就是如果發行公司倒閉的話投 資人不但沒機會轉換可轉債還要損失一部分投資的金額；因此可轉債的投資人會 考量可轉債發行公司是否會有違約的可能。本文以發行公司的帳面負債比率做為 衡量公司可能會違約的考量，因此本文認為如果當發行公司的負債比率愈高可轉 債的投資人就愈不會將可轉債進行轉換，因為如果發行公司發生違約的話，在可 轉債未轉換之前可以收回一些本金，因此本文將帳面負債比率加入討論當中。
第四是大盤報酬率，大盤報酬率為當月最後一天的指數減掉前一個月最後一 天的指數再除上前一個月最後一天的指數即為大盤報酬率。本文會加入這個因子 是因為想知道當股票市場在上漲或下跌時，會不會誘使投資人將可轉債進行轉換
，也就是大環境的市場變好或變壞會不會直接影響可轉債投資人轉換的意願。
本文認為上述四個因素會影響到轉換強度，但是在過往的文獻當中並沒有文 獻說明這些因素會影響到轉換強度。因為本文研究的轉換強度是過往文獻當中比
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稅前息前淨利率、負債比率和大盤報酬率四個解釋的變數來預測轉換強度。接著 假設這四個轉換因子為𝑍1~𝑍4，Z 會隨著時間而有所變動，因此可以將迴歸式寫 成
h(T = t | 𝑍𝑖 = 𝑧𝑖) = ℎ0(𝑡)𝑐(𝛽𝑖𝑍𝑖)， (19) 其中：ℎ0(𝑡)是一個任意的基線危險函數(Baseline Hazard Function)，c(. )代表為非 負的函數，𝛽𝑖則是上述四個轉換因子的迴歸係數。此迴歸模型估計的參數，只假 設這些轉換因子會去影響到轉換強度函數，接著再去影響到可轉債存活函數。此 方法為使用無母數的方法去估計基線轉換強度，因此稱 Cox 的迴歸模型為半參 數模型(Semi-parametric Model)。
因為在轉換強度當中的 h(t |𝑧𝑖) 必須是正的，所以一般在模型中看到的形式 會是
𝑐(𝛽𝑖𝑍𝑖) = 𝑒𝛽𝑖𝑧𝑖； (20) 因此可以將(20)改寫成為
h(t |𝑧𝑖) = ℎ0(𝑡)𝑒𝛽𝑖𝑧𝑖； (21) h(t |𝑧𝑖)是在給定存活時間和轉換因子的轉換強度函數，且 z 與 t 是在一個對數線 性的關係(Loglinear)的情況，所以可以寫成
log [h(t |𝑧𝑖)
ℎ0(𝑡) ] = 𝛽𝑖𝑧𝑖； (22) 將(23)進行移項可以得到
log( h(t |𝑧𝑖)) = log( ℎ0(𝑡)) + 𝛽𝑖𝑧𝑖。 (23)
最後 Cox 可以被稱為是比率模型的原因為若是四個轉換因子當中的兩個因子的
最後 Cox 可以被稱為是比率模型的原因為若是四個轉換因子當中的兩個因子的