第三章 文獻回顧
第二節 可轉債定價
可轉債的定價最早是將 Black and Scholes 所導證出來的選擇權去衡量可轉 債的定價，所以只能訂定可轉債持有到可轉債到期的轉換價值。後來慢慢地改良 成不一定要到到期日；1990 年才將可轉債可能會發生違約風險的可能加入可轉 債定價的討論當中。
在 Duffie and Singleton(1999)文中主要是探討違約風險，他們認為之前的研 究沒有考量到債券違約的問題會使投資人有套利的空間，所以它們認為應該要加 入違約的問題，因此在危險率(Hazard Rate)加入違約的機率，來代表債券可能會 違約的情況。當債券發生違約之後投資人仍可拿回一定比率的面額，稱之為回復
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率；所以危險率可以寫成無風險利率加上違約機率乘上回復率，用這個危險率來 去折現未來的現金流量，而這篇主要是用縮減式模型(Reduce-form Models)，所 以將危險率視為外生變數，用此做為未來的現金流量折現成現值的折現率。其可 轉債的價值可表達如下：
𝐵𝑡𝑐𝑜𝑛𝑣 = Dte−REtQ(φt+1) + (1 − Dt)e−REtQ(Vt+1)。 (3) 其中： Dt為違約機率，φt+1為違約的價值，Vt+1為未違約的價值。EtQ(.)為期望值。
而 Carayannopulos and Kalimipalli (2003)文中認為因為可轉債的混和特性，
所以研究可轉債的時候要特別注意違約機率和類似股票行為的問題。一般衡量違 約風險的模型主要分兩類，分別為結構式模型(Structure Models) 和縮減式模型，
大部分的結構式模型假設為連續時間，且公司的價值會隨著時間的變動而發生改 變。首先將結構式模型應用於風險性債券定價的是 Merton(1974)所提出的，但是 他所提出的這個模型有幾個限制，第一個為只能在到期日才能違約但是這個與事 實不符，第二個為用這個模型去衡量債券價值的話需要複雜的資本結構，第三個 為需要的參數並不容易被找到或是難以量化。在實證上如果將 Merton(1974)的假 設簡化以減少模型上的限制的話，會使實證的結果發生偏誤。縮減式模型則較不 會遇到上述的限制，因為縮減式模型主要和結構式模型不一樣的地方是縮減式模 型將違約視為一種外生變數，當公司發生違約的時候能拿回一定比率的面額，稱 之為回復率，如果公司沒有違約則可以拿回公司全部的面額。一般而言，現值為 未來現金流量用風險折現率折現的風險折現值；而風險折現率又分為兩部分，分 別是無風險折現率和違約機率乘上回復率作為風險折現率。因為可轉債的行為方 程式很像股票所以要在縮減式模型中考量股價上漲和下跌的機率，作為是否轉換 的依據，也就是轉換價值大於未轉換價值時就會轉換，反之則不會轉換。如果不 轉換的話當發生違約時可以拿回一定比率的損失；如果轉換的話則會全部損失，
所以轉換之後的折現率為無風險利率加上違約機率，那在轉換之前的債息則用無
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在 Jarrow and Turnbull(1995)文中認為投資者在持有債券時會面臨到違約風 險所以未轉換前，可轉債的折現率是由無風險利率加上違約機率作為折現率；如 果轉換成股票的話就不會面臨到違約的風險，所以轉換成股票後折現率只用無風 險利率來折現。Hung and Wang(2002)的模型是使用縮減式模型，主要是由 Jarrow and Turnbull(1995)所演變過來的而來的，而 Jarrow and Turnbull(1995)模型是考量 可轉債轉換還是不要轉換，他們將可轉債的價值分成四個部分，分別是股價、股
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𝐵𝑡𝑐𝑜𝑛𝑣(0,1) = e−n(0)[D × 𝛿 + (1 − 𝐷)1]。 (5) 其中： 𝐵𝑡𝑐𝑜𝑛𝑣(0,1)為可轉債在只有兩期的價值，0 為期初，1 為期末；𝛿為當發生 違約之後投資人可以拿回的比率，稱為回復率。
在 Ingersoll(1977)的研究是首先將 Merton(1974)所提出的結構法應用到可轉 債的定價模型當中。其文中有討論到不可賣回的可轉債和可賣回的可轉債，其中 選擇權的評價是使用 Black and Scholes(1973)所提出的選擇權評價公式，並且將 公司的資本結構只分為兩種，分別是股權和可轉債兩部分。假設在研究期間利率 固定且無任何債息的發放，因此可轉債為一零息債券，並以公司的價值做為可轉 債價值評估的基準，且公司的價值是服從隨機的漫步的假設，再加入可轉債的邊 界條件求解出可轉債的偏微分方程式的封閉解。其可轉債的價值可表達如下：
T(V) = V + (1 − γ)[1 − γF(K
γ)/K]−1[F(V) − V]。 (6) 其中：T(V)為可轉債到永久的價值，V為公司的價值，γ為可轉換股數/(可轉換股 數+原有股數)，K為轉換價值，F 為 Merton 的 Cosol 債券解。
在 Brennan and Schwartz(1977)的研究中認為可轉債有兩個選擇權，分別為公 司有買回的權利和投資人有轉換的權利。投資人的最適轉換策略是受制於公司的 買回策略，而公司的買回策略是受制於投資人的轉換策略，兩者的最適策略是同 時進行的。公司的最適買回策略為債券被買回的價值剛好等於債券不被買回的價 值，也就是當公司買回的價值剛好等於轉換價值時，為公司買回策略的最佳時機；
因為這樣可以使投資人將可轉債轉換成股票，公司也不用再花錢將可轉債買回。
投資人並沒有所謂的最適轉換的策略，因為持有一個選擇權通常會持有到最後才 進行轉換如果提早轉換則會損失選擇權的時間價值，除非是在特殊的情況下像是 股利發放日、轉換期間改變和到期日，否則投資人會持續持有可轉債。投資人的 轉換價值上限受限於公司的買回價格，所以可以發現可轉債的價值會受到公司價
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而 Brennan and Schwartz(1977)認為 Ingersoll(1977)所計算的可轉債封閉解並 沒有辦法解決有發放債息的可轉債，並且不允許可轉債的投資人可以隨時將可轉 債進行轉換。所以 Brennan and Schwartz(1977)以 Ingersoll(1977)為基礎去計算可 轉債的封閉解，但是 Brennan and Schwartz(1977)是使用有限差分法。不過 Brennan and Schwartz(1977)有提出相較於 Ingersoll(1977)對可轉債定價的新想法，Brennan and Schwartz(1977)認為可轉債的訂價當中利率是一個非常重要的變數；將公司資 本結構的部分再加入一般債券共分成三類，且增加了公司破產的條件，當公司的 負債比率到達破產的條件之後表示公司會破產，持有公司債券的投資人可以拿到 回復率(Recovery rate)去求算出封閉解。
在 Tsiveriotis and Fernandes(1998)文中則認為發行可轉債的公司只有在發行 公司發生無法付債息或是本金時才會面臨違約風險。所以認為之前在可轉債的定 價當中都是使用無風險利率加上違約風險來折現是不正確的；因此 Tsiveriotis and Fernandes 將可轉債拆成兩個部分，分別是純粹債券的部分和轉換價值的部分，
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外增加的信金流量。