第四章 結果與討論
第三節 列方程式之成效分析
本節就 2 名研究對象列方程式之表現情形進行分析。在解題歷程中，透過問 題的轉譯與整合才能設未知數及列方程式。而列方程式時必須具備某些有關問題 類型的知識，例如在處理長方形面積問題時須事先知道「長方形面積＝長×寬」， 才能正確列式。比照前節的方式，研究者仍就研究對象在學習單及隨堂測驗列方 程式時所產生的困難或錯誤提供引導式提問協助，以利其思考有關問題類型的知 識，進而正確列式，再評量後續之獨立作業表現是否達到潛在發展水準，以下就 三類題型分別探析。
一、研究對象在訊息明確型問題列方程式之表現
2 名研究對象在訊息明確型學習單列方程式之表現情形如表 4-23。從表 4-23 中可看出 S1所列方程式多有不正確的情形，而 S2僅在第 7 次教學之學習單列式 錯誤，顯示二人雖同為數學低成就學生，但仍存在個別差異。
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表 4-23
2 名研究對象在訊息明確型學習單列方程式之表現情形
S1列方程式之表現情形 S2列方程式之表現情形 教學次別 第 1 式 第 2 式 第 1 式 第 2 式
1 不正確 空白 正確 正確
2 不正確 不正確 正確 正確
7 不正確 不正確 正確 不正確
8 正確 正確 正確 正確
首先從 S1在第 1 次教學學習單之表現來看，S1設好未知數後，僅列出「5x」
就停頓無法作答，因此，研究者以問題整合提問請 S1解釋「5x」代表什麼意思，
此做法之目的有二：其一是確認 S1經正確轉譯後才列出「5x」；其二是若 S1無 法解釋時，研究者可用「5x」舉例作為鷹架，再提示 S1照樣以 y 表示「4 包無花 果」。從提問的結果顯示 S1知道「5x」代表「5 包夏威夷豆」，故其在問題轉譯上 並無困難，據此，研究者判斷 S1之實際表現水準已能自行正確轉譯，便直接以 問題整合提問向 S1提問「那 4 包無花果要怎麼寫？」，結果 S1自行正確列出「4y」，
接著又在研究者提問「合起來是多少」之下寫出等於總和「1740」，且獨自列出 此題的另一個方程式。從整體問答情形來看，S1之認知上已存在此題列式所需之 知識，只是不知如何運用，而研究者之分段提問正好協助 S1組織、運用其內在 知識，同時建立了 S1之思考經驗，亦提供了另一方程式之思考方向。S1在第 1 次教學之學習單列方程式時接受引導式提問之情形如表 4-24。
此外，S1在第 2 次學教學之習單亦有列式不正確之情形，該題目為「滿意電 影院的全票一張 280 元，半票一張 200 元，小明的父親花 1520 元買了 6 張票，
則他買了幾張全票？幾張半票？」，此題必須從已知的全票和半票價錢，及購票 的總張數與金額，來求購買之全票及半票的張數。S1之列式表現情形如圖 4-4。
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表 4-24
S
1在第 1 次教學學習單列方程式時接受引導式提問之情形題目
小黑特別喜歡吃夏威夷豆和無花果，她將 5 包夏威夷豆和 4 包無花果放 在一電子秤上，稱得重量為 1740 克，如圖(一)；然後放 1 包夏威夷豆 和 3 包無花果，稱得總重量為 480 克，如圖(二)，則 1 包夏威夷豆和一 包無花果各重多少？
S1
（S1設夏威夷豆 x 克，無花果 y 克，但寫了「5x」就停住了）
T：好，那你這是什麼意思？（指著學生所寫的「5x」） S1：5 包夏威夷豆。
T：那 4 包無花果要怎麼寫？
S1：（寫下「＋4y」） T：那合起來是多少？
S1：1740。
T：好，那另一件事情你可以自己列式嗎？
S1：（列出「x＋3y＝480」）
（引 1040416S1）
圖 4-4 S1在第 2 次學習單列方程式之表現情形
從圖 4-4 中可看到 S1將表示票價的「280x＋200y」列成等於票數「6」，而 將表示票數的「x＋y」列成等於票價「1520」，顯示 S1未察覺所列方程式之等號 兩邊非對等單位，且其列式後並未重新檢視是否符合題意，因此研究者透過引導 式提問來協助 S1重新思考「280x＋200y」的意義。首先研究者採取分段提問的 方式，以問題整合提問詢問 S1「280x」及「200y」代表什麼意思，以及所購買
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每人騎 2 輛」，對此研究者推測二人是模仿第 7 次教學之例題「大和尚一人吃 3 個饅頭，小和尚三人吃 1 個饅頭」之列式方式來處理第 7 次學習單之題目，而未 注意到題目敘述不同，對此研究者提供引導式提問之協助。
圖 4-5S1在第 7 次學習單列方程式之表現情形
圖 4-6 S2在第 7 次學習單列方程式之表現情形
首先針對 S1提供協助，由於 S1在此題所犯之錯誤類型與第 2 次教學之學習 單相同，研究者便以分段提問請 S1再次檢視所列方程式等號兩邊之單位是否對
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在隨堂測驗的部分，2 名研究對象在訊息明確型隨堂測驗均能夠自行正確列 式，其表現情形如表 4-27。相較於學習單之表現，2 名研究對象在獨立作業階段 皆無須引導式提問協助。
表 4-27
2 名研究對象在訊息明確型隨堂測驗列方程式之表現情形
S1列方程式之表現情形 S2列方程式之表現情形 教學次別 第 1 式 第 2 式 第 1 式 第 2 式
1 正確 正確 正確 正確
2 正確 正確 正確 正確
7 正確 正確 正確 正確
8 正確 正確 正確 正確
另從前後測驗與延宕測驗來看，2 名研究對象在前測部分多有列式不正確之 情形，經過迴圈一教學後，二人均在後測一第 4 題列式錯誤，顯示研究者所提供 之鷹架協助不足，但經過迴圈二教學後，二人於後測二及延宕測驗時已獨自正確 列式，說明 2 名研究對象的表現漸入佳境，2 名研究對象在訊息明確型前後測驗 與延宕測驗列方程式之表現情形如表 4-28。
表 4-28
2 名研究對象在訊息明確型前後與延宕測驗列方程式之表現情形
題目類型 測驗別 題號 S1列方程式 S2列方程式 第 1 式 第 2 式 第 1 式 第 2 式
訊息 明確型
前測 1 不正確 正確 不正確 正確 前測 4 正確 正確 不正確 不正確 前測 5 正確 不正確 不正確 不正確 後測一 1 正確 正確 正確 正確 後測一 2 正確 正確 正確 不正確 後測一 4 正確 不正確 不正確 正確 後測二 1 正確 正確 正確 正確 後測二 4 正確 正確 正確 正確 延宕測 1 正確 正確 正確 正確 綜合以上引導式提問對於訊息明確型題目列方程式之成效分析，顯示 2 名研 究對象經過引導式提問協助後，其列方程式之表現有所進步。
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二、研究對象在訊息辨識型問題列方程式之表現
2 名研究對象在訊息辨識型學習單列方程式之表現情形如表 4-29。其中，S1
在第 3、第 4 次教學學習單經由引導式提問協助設好未知數後，才自行正確列式。
而 S2在第 3、第 4 次教學學習單之皆自行正確列式。
表 4-29
2 名研究對象在訊息辨識型學習單列方程式之表現情形
S1列方程式之表現情形 S2列方程式之表現情形 教學次別 第 1 式 第 2 式 第 1 式 第 2 式
3 正確 正確 正確 正確
4 正確 正確 正確 正確
9 空白 空白 不正確 空白
10 正確 不正確 正確 不正確
如前節所述，2 名研究對象在第 9 次教學之學習單練習時經研究者引導後假 設個位數字為 x、十位數字為 y，但二人列方程式仍為空白或不正確，其表現情 形分別如圖 4-7、圖 4-8。
圖 4-7 S1在第 9 次學習單列方程式之表現情形
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圖 4-8S2在第 9 次學習單列方程式之表現情形
從圖 4-7、圖 4-8 顯示 2 名研究對象均不知如何使用未知的十位數字與個位 數字表示二位數，代表其未清楚二位數之數值結構，以及「數字」與「數值」表 示方式之差異。在處理數值結構前，研究者先就題目「十位數字的 3 倍與個位數 字的和為 19」分別進行協助。考量題目敘述為複合句（即必須同時處理「十位 數字的 3 倍」及「與個位數字的和為 19」），因此研究者採取分段提問策略，請 2 名研究對象先表示「十位數字的 3 倍」，再列出「與個位數字的和為 19」，結果 二人在協助下均正確列式。
接著根據表示新數與原數的部分進行協助，由於 2 名研究對象僅知道二位數 是由十位數字和個位數字組成，而不清楚數值結構，所謂數值結構即是以科學記 號的方式將二位數以「十位數字乘以位值 10 加上個位數字乘以位值 1」表示，
因此「覺察二位數之數值結構」便是研究者必須給予鷹架協助的部分。另外，二 人未能分辨數字與數值表示規則之差異，如「27」是數字，只須按照「前 2 後 7」
的規則排列即可表示，但如使用代數 x、y，便須改以數值的方式表示。據此，
研究者採取舉例的方式以一般數字「27」為例，分別使用引導式提問協助二人理 解數值結構的概念，再引導其運用數值之表示方式列出原數與新數。
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首先研究者向 S1提供協助並示範說明「27」的「2」是「20」的意思，也就 是「2 乘以 10」，然後再向 S1以關係釐清提問詢問數字對調之後換誰乘以 10，結 果 S1正確回答「7」。研究者認為 S1已了解十位數字之位值概念後，再回到原題 目以未知數進行提問「新的數字…是誰要去乘以 10？」，結果 S1正確回答是「x」，
且能以「10x＋y」表示新數。研究者再繼續提問「原來的數字是誰要去乘以 10？」， 結果 S1正確回答是「y」，並以「10y＋x」表示原數。S1在第 9 次學習單練習時 接受引導式提問之情形如表 4-30。
再者針對 S2提供協助。經多次觀察，S2之表現較 S1佳，故研究者之提問方 式便因此略作調整。進行提問時，研究者仍以「27」舉例，直接向 S2提問「十 位數字的 2，你會唸什麼？」，如此提問除了連結一般人唸讀二位數「二十–七」
之經驗外，亦讓 S2自行發現十位數字之位值與數值之表示方式。結果 S2能正確 回答十位數字的「2」要唸作「二十」，且是十位數字「2」乘以 10。因 S2回答正 確，研究者判斷 S2已清楚十位數之位值及數值表示方式，便希望 S2能進一步歸 納十位數字是以「乘以 10」來表示，所以繼續以關係釐清提問向 S2提問「如果 是二位數的話，它的十位數字都要乘以多少？」，結果 S2回答「y」。此時研究者 觀察到 S2精神不濟，故舉反例「所以（27）變『2y7』嗎？」以刺激 S2重新思 考。
因 S2未能達到預期之發展水準，故研究者又重新以十位數字 2 為例讓 S2知 道表示數值時十位數字須乘以 10，並直接提問「十位數 x 乘 10 是幾 x？」以作 示範，後續研究者請 S2列出原數，便正確寫出「10y＋x」了。S2在第 9 次學習 單練習時接受引導式提問之情形如表 4-31。
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出現困難。因 S2在第 9 次教學之學習單已接受鷹架協助，故研究者預期 S2在第
出現困難。因 S2在第 9 次教學之學習單已接受鷹架協助，故研究者預期 S2在第