第四章 結果與討論
第二節 設未知數之成效與分析
本節針對 2 名研究對象經過引導式提問協助後設未知數之表現情形進行分 析。所謂設未知數是指經過題意理解及問題轉譯後，必須將相關資訊整合成連貫 的問題表徵，藉由問題基模知識辦認問題的類型、認識有關及無關的資訊、決定 解答問題所需要的資料、用圖畫或符號來表示問題等。例如題目「有一長方形紙 片，長的 2 倍剛好等於寬的 3 倍，且其周長為 80 公分，求此長方形的面積為多 少平方公分？」中，解題者需要知道這是一個矩形問題，且會用到矩形周長及面 積公式，因此必須預期矩形的長及寬是先備資料，顯然地，長與寬即是所要假設 的未知數。
除了根據預期要用到的資料設未知數之外，通常題目所問的問題亦可作為設 未知數的依據，例如題目「小白買 5 包豆乾與 7 盒太陽餅共花 965 元；而小黑買 3 包豆乾與 4 盒太陽餅共花 555 元，則 1 包豆乾和 1 盒太陽餅各多少錢？」，由 題目所問「則 1 包豆乾和 1 盒太陽餅各多少錢？」即可知道要設「1 包豆乾的價 錢」和「1 盒太陽餅的價錢」為未知數。此種方式雖然是一種簡便的策略，但並
84
非每道題目皆可如此設未知數，例如前述求矩形面積的問題，雖題目所求為矩形 面積，但長與寬才是所要設之未知數。因此，如要根據題目所問的問題來設未知 數，仍須判斷其是否為所需的資料。綜合前述，在協助研究對象設未知數時，研 究者便引導其思考「預期用到的資料」或從「題目所問的問題」來判斷該設何者 為未知數。
本節根據第三章第五節資料整理與分析所述，研究者彙整學習單、隨堂測驗、
前後測驗與延宕測驗之資料加以分析，並就研究對象在三類題型之表現分別說明 如下。
一、研究對象在訊息明確型問題設未知數之表現
在訊息明確型問題設未知數的部分，第 1、第 2 次教學以及第 7、第 8 次教 學之學習單及隨堂測驗題型均屬訊息明確型，研究者首先從 2 名研究對象在學習 單設未知數之表現進行分析，其表現情形如表 4-9。
表 4-9
2 名研究對象在訊息明確型學習單設未知數之表現情形
S1設未知數之表現情形 S2設未知數之表現情形
教學次別 x y x y
1 空白 空白 空白 空白
2 正確 正確 正確 正確
7 正確 正確 正確 正確
8 正確 正確 正確 正確
在 4 次學習單中，2 名研究對象僅在第 1 次教學之學習單練習時不知如何假 設未知數而作答空白，因此研究者透過引導式提問加以協助。在此之前，研究者 已先進行題意釐清提問來評量研究對象對題意理解的程度，如前節表 4-1 所示，
二人均已知道重量「1740 克」與「480 克」之意義，以及題目所問為「1 包夏威 夷豆的重量」和「1 包無花果的重量」。以計算的程序而言，必須先知道基本單 位後才能夠計算出總和，而「1 包夏威夷豆的重量」和「1 包無花果的重量」便
85
86
達到潛在發展水準，而隨堂測驗時則是評量二人在獨立作業的情境下是否也同樣 達到潛在發展水準。在訊息明確型隨堂測驗設未知數的部分，2 名研究對象之表 現情形如表 4-11，其中，S1在第 2 次教學之隨堂測驗設未知數的部分是空白，但 從其列式顯示 S1清楚自己所假設的未知數代表何者，只是未寫出來，其表現情 形如圖 4-1。整體而言，2 名研究對象對於訊息明確型隨堂測驗之設未知數均無 困難。
表 4-11
2 名研究對象在訊息明確型隨堂測驗設未知數之表現情形
S1設未知數之表現情形 S2設未知數之表現情形
教學次別 x y x y
1 正確 正確 正確 正確
2 空白 空白 正確 正確
7 正確 正確 正確 正確
8 正確 正確 正確 正確
圖 4-1 S1在第 2 次隨堂測驗之表現情形
如第三章第四節教學設計與實施所述，除了學習單及隨堂測驗之外，為蒐集 更多資料以加強說明引導式提問之成效，另實施前後測驗與延宕測驗。在進入教 學實施以前，研究者先針對研究對象進行前測，進入教學實施後，於迴圈一教學 結束後進行第一次後測（後測一）；於迴圈二教學結束後進行第二次後測（後測
87
二），最後在學期結束前進行延宕測驗。
從測驗結果顯示，2 名研究對象均自行正確假設未知數，尤其在前測時即無 困難，換句話說，二人在接受引導式提問協助之前，對於訊息明確型問題正確設 未知數已是其實際表現水準，但二人在第 1 次教學之學習單練習時卻出現不知如 何設未知數之情形，此部分研究者另於第四節討論。二人在訊息明確型前後與延 宕測驗設未知數之表現情形如表 4-12。
表 4-12
2 名研究對象在訊息明確型前後與延宕測驗設未知數之表現情形
測驗別 題號 S1設未知數 S2設未知數
x y x y
前測 1 正確 正確 正確 正確
前測 4 正確 正確 正確 正確
前測 5 正確 正確 正確 正確
後測一 1 正確 正確 正確 正確
後測一 2 正確 正確 正確 正確
後測一 4 正確 正確 正確 正確
後測二 1 正確 正確 正確 正確
後測二 4 正確 正確 正確 正確
延宕測驗 1 正確 正確 正確 正確 雖然前測時研究者已發現 2 名研究對象均正確假設訊息明確型問題之未知 數，但考量二人僅一次之正確表現未能推論後續表現亦無問題，因此於教學實施 階段仍進行訊息明確型問題設未知數之教學。前後對照之下，各測驗設未知數之 表現皆無差異，顯示二人清楚預期訊息明確型問題所需的訊息且正確設未知數。
二、研究對象在訊息辨識型問題設未知數之表現
在訊息辨識型題目部分，第 3、第 4 次教學以及第 9、第 10 次教學之學習單 及隨堂測驗題型均屬訊息辨識型。學習單作答表現顯示，2 名研究對象在訊息辨 識型問題所設未知數並未完全正確，其表現情形如表 4-13。
88
表 4-13
2 名研究對象在訊息辨識型學習單設未知數之表現情形
S1設未知數之表現情形 S2設未知數之表現情形
教學次別 x y x y
3 空白 空白 正確 正確
4 不正確 不正確 正確 正確
9 不正確 正確 不正確 正確
10 正確 正確 正確 正確
從表 4-13 中可見 2 名研究對象在第 9 次教學之學習單設未知數均不正確，
該題如前節表 4-5 中所示，研究者已確認 2 名研究對象清楚何謂二位數且已知二 位數由十位數字與個位數字組成，但二人卻將 x 設為「二位數」，y 設為「十位 數」。雖然個位數字可用「x－10y」表示，但會增加列式的複雜度。二人之表現 情形如圖 4-2。
S1在第 9 次學習單設未知數之表現情形：
S2在第 9 次學習單設未知數之表現情形：
圖 4-2 2 名研究對象在第 9 次學習單設未知數之表現情形
89
如本節一開始之說明，大部分題目所問的問題通常可直接作為設未知數的依 據，因此研究者推測 2 名研究對象是直接根據題目所問的問題「原來的二位數是 多少？」來設未知數，由於不太需要針對題目訊息深入思考與判斷，對大部分學 生而言是投機簡便的方式，如果二人依此設未知數，則代表其尚未養成深入思考、
判斷的習慣。另一種可能的原因是題目敘述內容中有「二位數」、「十位數字」及
「個位數字」三個重要名詞造成訊息互相干擾所致。
如前節表 4-5 所示，研究者已針對 2 名研究對象進行題意釐清提問，二人均 理解二位數的意義且能舉例說明，同時亦知道十位數字和個位數字是組成二位數 的基本單位，因此，研究者直接延用二人在題意理解部份所舉例之二位數作為鷹 架，以題意釐清提問分別向其提問「二位數由幾個數字組成？」，藉以引導其思 考以「個位數字」及「十位數字」來設未知數，同時檢視當初所設之「二位數為 x」是否適當。因為設二位數為 x、十位數字為 y 後，個位數字就必須另外表示，
藉此刺激二人思考二位數尚可分解為更小的基本單位，即十位數字與個位數字。
之後研究者再繼續以問題整合提問詢問「在不知道二位數是多少的情況下，要設 哪個位數為 x？」，結果二人皆自行改設個位數字為 x、十位數字為 y，顯示經引 導後二人達潛在發展水準。
除了第 9 次教學之學習單外，第 10 次教學之學習單題目為亦使用未知之十 位數字與個位數字來表示二位數的題目，從表 4-13 顯示 2 名研究對象到了第 10 次教學之學習單練習時均自行正確設十位數字為 x，個位數字為 y，代表在獨立 作業的情況下二人也能達到潛在發展水準。
另單就 S1的表現來分析，除了第 9 次教學之學習單設未知數不正確之外，
S1在第 3、第 4 次教學之學習單設未知數亦有空白或不正確之情形，對此研究者 個別提供引導式提問協助。先以第 3 次教學之學習單來看，該題為「現有□和△
兩種積木，下圖是用天平和砝碼秤重的情形，請問一個□和一個△的重量各為多 少？」，所謂的圖指的是兩個平衡狀態的天平圖，每一個圖代表一個關係條件，
90
研究對象在解題前必須理解圖示訊息才能繼續答題，包含「積木的類別與數量」、
「積木單位重量與砝碼重量的關係」、「天平平衡所代表的意義」。而此題中 S1設 未知數時即有困難，顯示 S1不知如何處理圖示訊息。如前節所述，S1在題意理 解上並無困難，因此研究者僅以題意釐清提問向 S1提問「題目在問什麼？」，不 再從砝碼重量「24 克」與「76 克」等重要數據的意義進行引導，而 S1能回答「積 木各重多少」，顯示其清楚題目所問的問題。
為引導 S1正確假設未知數，同時承接 S1在前一個提問的回答，即「積木各 重多少」，故研究者以問題整合提問詢問「這兩樣東西就是我們要算的。可是又 是你不知道的，那你覺得要怎麼設未知數？」來進行提示，結果 S1便自行正確 寫下所設之未知數，其接受引導式提問之情形如表 4-14。
表 4-14