國立臺中教育大學教育學系
課程與教學碩士在職專班論文
指導教授：游自達 博士
引導式提問對國中數學低成就
學生解代數文字題之成效研究
研究生：林園修 撰
中華民國 105 年 1 月
謝辭
正式進入教職生涯後便忙碌於教學與行政工作，長達 8 年的時間沒有精進自 己的教育專業，直到 102 年幸運地進入臺中教育大學課程與教學在職專班，才又 重新以學習者的身分，利用下班時間修習研究所課程。在這 2 年的過程當中，我 總是拖著工作的疲憊，騎著機車匆匆趕著去上課，然後在晚上 11 點回到家，風雨 無阻。回想起來，真不知道自己是怎麼辦到的，只是在這個過程中，我唯一要感 謝的就是媽媽對我的照顧與支持。 修課的期間，我要感謝每位指導過我的老師，在課程與教學的專門領域中， 開拓了我的視野，也讓我獲得更多啟發。過去在教學工作上我總是按照自己的經 驗做事，難免遇到瓶頸與盲點，而接受各位老師的指導後，讓我學習到更多課程 與教學上的專業，也幫助我解決了許多問題與困難。同時，我要感謝我的同學們， 我從他們身上得到了寶貴的教學資源與經驗，令我受益良多，也感謝他們這 2 年 來的協助與陪伴，我才能順利完成學業。 在撰寫論文的過程中，我非常感謝我的指導教授—游自達教授，從一開始決 定題目到論文完成，教授總是耐心地給予指導和建議，儘管教授很忙、很累，他 仍經常排出時間看我的論文並與我討論。教授教我的不只是做研究、寫論文的專 業，他更影響了我，讓我知道如何當一位用心的好老師。每一次討論論文，教授 都會提醒我留意教學方式對學生的影響，以及如何提供協助才能增進學生的學習 成效，這些都讓我受用無盡，同時也讓我明白教學過程中教師該如何展現專業， 讓學生獲得更多的啟發。另外，十分感謝口試委員施淑娟教授及易正明教授，在 論文修正上提出寶貴的意見，讓我的論文更加完整、有條理，特此深忱感謝。 林園修 謹誌 中華民國 105 年 1 月I
引導式提問對國中數學低成就學生解代數文字題之成效研究
摘要
本研究旨在探討引導式提問對國中數學低成就學生解代數文字題之成效。根 據社會建構論、鷹架理論及數學提問，本研究採用引導式提問作為補救教學策略 以教導 2 名國中一年級數學低成就學生解代數文字題，包含與學生探討其對題意 之理解；引導學生釐清問題之已知及未知條件的關係後設未知數；並協助學生將 文字題轉譯成代數方程式。 本研究所指代數文字題乃二元一次聯立方程式文字題，研究者共分三類題型 進行教學，分別為訊息明確型問題、訊息辨識型問題及訊息推論型問題，並透過 學習單、隨堂測驗、列式思維歷程訪談、前後測驗及延宕測驗之資料予以蒐集和 分析。前述資料皆採質性分析並對照研究對象之前後表現，所得之研究結果如下： 一、數學低成就學生對於三類題型問題無明顯題意理解困難。 二、透過問題整合提問使用舉例或提示有助於數學低成就學生設未知數。 三、數學低成就學生列式困難主要在於訊息辨識型及訊息推論型問題。 四、透過關係釐清提問使用舉例有助於數學低成就學生學習二位數數值結構列式。 五、訊息推論型問題或倍數關係問題適合以分段提問協助數學低成就學生列式。 關鍵詞: 引導式提問、鷹架理論、代數文字題III
The Effect of Guided Questioning Strategy on the Performance of
Mathematics Low-Achieving Students at Junior High School on
Solving the Algebraic Word Problems
Abstract
The study aims at examining the effect of guided questioning strategy on the performance of mathematics low-achieving students at junior high school on understanding, translating, and solving the algebraic word problems. Based on the theories of social constructivism, scaffolding and mathematics questioning, this study employed a remedial teaching strategy to instruct two mathematics low-achieving seven graders to solve algebraic word problems. Strategies of guided questioning were employed to guide the students through the processes of solving algebraic word problems, including discussing with students about their understanding of the main ideas of the problems, leading students to clarify the known and unknown of the problems and then choose proper representation for the unknown, and assisting students’ translation of a word problem to algebraic equations.
The algebraic word problems of the study are linear equations in two variables word problems. This study focused on three types of problems, namely conspicuous information problems, discernable information problems, and deductive information problems. Students’ worksheets, quizzes, pre-tests, post-tests, deferring tests, and interview protocols on problem understanding, translation, and solution were collected and analyzed. The researcher applies qualitative research method to analyze the aforementioned data and compares the pre-and-post performance of the students. The main findings of this study are as follows:
IV
1. There are no distinct difficulties for mathematics low-achieving students to understand the main idea of the three-types questions.
2. Mathematics low-achieving students benefit from the strategy of problem integration questioning, especially provision of concrete examples and directions to clarify the unknown of the problems.
3. Mathematics low-achieving students encounter difficulties in problem translation of discernable information problems and deductive information problems.
4. The strategy of relation-clarification is helpful for mathematics low-achieving students to represent the structure of two-digit numbers by an equation. 5. Mathematics low-achieving students benefit from the strategy of segmental
questioning for problem translation when they encounter deductive information problems or multiple relation questions.
V
目次
目次 ... Ⅴ
表次 ... IX
圖次 ... XV
第一章緒論 ... 1
第一節研究背景與動機 ... 1
第二節研究目的與待答問題 ... 6
第三節重要名詞解釋 ... 7
第四節研究範圍、研究倫理與研究限制 ... 10
第二章文獻探討 ... 13
第一節引導式提問的理論基礎 ... 13
第二節數學低成就學生的補救教學策略 ... 23
第三節代數文字題之錯誤概念與題型分類 ... 36
第三章研究設計與實施 ... 41
VI
第一節研究設計 ... 41
第二節研究對象 ... 46
第三節研究工具 ... 50
第四節教學設計與實施 ... 53
第五節研究資料處理與分析 ... 62
第四章結果與討論 ... 69
第一節題意理解之成效 ... 72
第二節設未知數之成效與分析 ... 83
第三節列方程式之成效分析 ... 96
第四節綜合討論 ... 123
第五節教學省思 ... 126
第五章結論與建議 ... 129
第一節結論 ... 129
第二節建議 ... 131
參考文獻 ... 133
VII
IX
表次
表 3-12 名研究對象之測驗結果 ... 50
表 3-2 教學、學習單及隨堂測驗題目舉例 ... 52
表 3-3 訊息明確型題目之引導式提問 ... 55
表 3-4 訊息辨識型題目之引導式提問 ... 56
表 3-5 訊息推論型題目之引導式提問 ... 57
表 3-6 引導式提問鷹架支持舉例 ... 58
表 3-7 例題講解舉例 ... 59
表 3-8 教學次數、教學日期、教學主題及測驗安排 ... 61
表 3-9 資料處理編碼說明 ... 62
表 3-10 研究對象在學習單接受引導式提問之逐字稿舉例 .... 63
表 3-11 研究對象在學習單設未知數之表現情形舉例 ... 64
表 3-12 研究對象在學習單列方程式之表現情形舉例 ... 64
表 3-13 研究對象在隨堂測驗設未知數之表現情形舉例 ... 65
表 3-14 2 名研究對象在隨堂測驗列方程式之表現情形舉例 .. 65
X
表 3-15 列式思維歷程訪談分析舉例說明 ... 66
表 3-16 研究對象在前後與延宕測驗設未知數之表現情形舉例 66
表 3-17 研究對象在前後與延宕測驗列方程式之表現情形舉例 67
表 4-1 S
1在教學過程之整體表現情形 ... 70
表 4-2 S
2在教學過程之整體表現情形 ... 71
表 4-3 2 名研究對象在第 1 次教學學習單練習時接受題意釐清提問之
情形 ... 74
表 4-4 2 名研究對象在第 8 次教學隨堂測驗接受列式思維歷程訪談之
情形 ... 75
表 4-5 2 名研究對象在第 9 次教學學習單練習時接受題意釐清提問之
情形 ... 77
表 4-6 2 名研究對象在第 4 次教學隨堂測驗接受列式思維歷程訪談之
情形 ... 78
表 4-7 2 名研究對象在第 5 次教學學習單練習時接受題意釐清與關係
釐清提問之情形 ... 81
表 4-8 2 名研究對象在第 5 次教學隨堂測驗接受列式思維歷程訪談之
XI
情形 ... 82
表 4-9 2 名研究對象在訊息明確型學習單設未知數之表現情形 84
表 4-10 2 名研究對象在第 1 次教學學習單設未知數時接受引導式提問
之情形 ... 85
表 4-11 2 名研究對象在訊息明確型隨堂測驗設未知數之表現情形 86
表 4-12 2 名研究對象在訊息明確型前後與延宕測驗設未知數之表現情
形 ... 87
表 4-13 2 名研究對象在訊息辨識型學習單設未知數之表現情形88
表 4-14 S
1在第 3 次學習單設未知數時接受引導式提問之情形 90
表 4-15 S
1在第 4 次學習單設未知數時接受引導式提問之情形 92
表 4-16 2 名研究對象在訊息辨識型隨堂測驗設未知數之表現情形 92
表 4-17 S
1在第 3 次教學隨堂測驗設未知數時接受引導式提問之情形
... 93
表 4-18 S
2在第 9 次隨堂測驗設未知數時接受引導式提問之情形94
表 4-19 2 名研究對象在訊息辨識型前後與延宕測驗設未知數之表現情
形 ... 94
XII
表 4-20 2 名研究對象在訊息推論型學習單設未知數之表現情形95
表 4-21 2 名研究對象在訊息推論型隨堂測驗設未知數之表現情形 95
表 4-22 2 名研究對象在訊息推論型前後與延宕測驗設未知數之表現情
形 ... 96
表 4-23 2 名研究對象在訊息明確型學習單列方程式之表現情形97
表 4-24 S
1在第 1 次教學學習單列方程式時接受引導式提問之情形 98
表 4-25 S
1在第 2 次學習單列方程式時接受引導式提問之情形 99
表 4-26 2 名研究對象在第 7 次學習單列方程式時接受引導式提問之情
形 ... 101
表 4-27 2 名研究對象在訊息明確型隨堂測驗列方程式之表現情形
... 102
表 4-28 2 名研究對象在訊息明確型前後與延宕測驗列方程式之表現情
形 ... 102
表 4-29 2 名研究對象在訊息辨識型學習單列方程式之表現情形103
表 4-30 S
1在第 9 次學習單列方程式時接受引導式提問之情形106
表 4-31 S
2在第 9 次學習單列方程式時接受引導式提問之情形107
XIII
表 4-32 S
1在第 10 次學習單列方程式時接受引導式提問之情形108
表 4-33 S
2在第 10 次學習單列方程式時接受引導式提問之情形 110
表 4-34 2 名研究對象在訊息辨識型隨堂測驗列方程式之表現情形
... 112
表 4-35 2 名研究對象在第 4 次教學隨堂測驗列方程式時接受引導式提
問之情形 ... 114
表 4-36 2 名研究對象在訊息辨識型前後與延宕測驗列方程式之表現情
形 ... 115
表 4-37 2 名研究對象在訊息推論型學習單列方程式之表現情形116
表 4-38 2 名研究對象在第 5 次教學學習單列方程式時接受引導式提問
之情形 ... 117
表 4-39 S
1在第 11 次教學學習單列方程式時接受引導式提問之情形
... 119
表 4-40 2 名研究對象在訊息推論型隨堂測驗列方程式之表現情形
... 120
表 4-41 2 名研究對象在第 11 次教學隨堂測驗列方程式時接受引導式
XIV
提問之情形 ... 122
表 4-42 2 名研究對象在訊息推論型前後與延宕測驗列方程式之表現情
形 ... 123
XV
圖次
圖 3-1 引導式提問構念架構圖 ... 42
圖 3-2 研究流程 ... 44
圖 3-3 教學實施流程 ... 59
圖 3-4 學習單資料 ... 63
圖 4-1 S
1在第 2 次隨堂測驗之表現情形 ... 86
圖 4-2 2 名研究對象在第 9 次學習單設未知數之表現情形 ... 88
圖 4-3 S
1在第 4 次學習單設未知數之表現情形 ... 91
圖 4-4 S
1在第 2 次學習單列方程式之表現情形 ... 98
圖 4-5 S
1在第 7 次學習單列方程式之表現情形 ... 100
圖 4-6 S
2在第 7 次學習單列方程式之表現情形 ... 100
圖 4-7 S
1在第 9 次學習單列方程式之表現情 ... 103
圖 4-8 S
2在第 7 次學習單列方程式之表現情形 ... 104
圖 4-9 S
1在第 3 次及第 9 次隨堂測驗列方程式之表現情形 . 113
圖 4-10 研究者於第 5 次教學學習單所提供之圖示協助
XVI
1
第一章緒論
本研究為了解引導式提問對國中數學低成就學生解代數文字題之成效，針對 研究動機與研究目的，提出研究問題，並對相關名詞作解釋與界定，再提出研究 範圍與須遵守之研究倫理，最後說明研究限制。本章分為四節，第一節為研究背 景與動機；第二節為研究目的與待答問題；第三節為重要名詞解釋；第四節為研 究範圍、研究倫理與研究限制。第一節研究背景與動機
為了保障學生學習權，促進教育機會均等，我國於民國103年實施十二年國 民基本教育，為發展完善的配套措施，教育部委請國立臺灣師範大學自民國101 年6月起規劃「十二年國民基本教育學習支援系統建置與教師教學增能方案實施 計畫」，藉由學校行政人員與教師增能，提供學生多元化的學習輔導方案，幫助 每一位學生有效學習，達到「帶好每個學生」的教育目標。 學生是學習的主體，教師的角色在於教學活動的設計與教學資源的提供，為 學生創造不同的學習機會，增進學習動機，幫助每一位學生發揮其潛能，達到最 佳的學習效果，故在「推動學生生涯規劃與國民素質提升」此一子計畫中列出「國 民小學與國民中學補救教學實施方案」，並舉辦「教師教學專業能力五堂課」研 習，內容包含：十二年國教理念與實施策略、有效教學、差異化教學、多元評量 與適性輔導。在現今的教育政策下，教師必須打破以往大班級一貫的教學內容與 教學方式，進而重視學生的個別差異與學習需求，如個別學生的背景、學習準備 度、學習興趣、語言、及學習情況等，並針對已發生學習困難的學生進行適當的 補救教學措施。 知識是來自於生活中的需求，因此學習知識就是為了要能夠解決生活中的各 種問題，而數學知識便是其中的一環，且數學能力是輔助我們解決問題的一項利2 器。研究者擔任數學教學工作9年多以來，總有一部分的學生智力正常，學習態 度良好，卻在數學的表現上不盡理想，此類學生即所謂的數學低成就學生，「低 成就」（under achievement）表示個人的成就表現未達能力或潛力所預期之成就水 準（洪儷瑜，1995）。為協助此類學生提升其數學表現，研究者時常利用空餘時 間進行補救教學，但卻發現學生只要缺少協助，便無法獨立解題。經研究者觀察 後發現原因出在學生「不知如何思考」或者「放棄思考」，而且即使研究者反覆 講授及示範，仍然無法提升其思考能力。 根據前述的教育政策與教學實況，研究者欲提出一種有效的補救教學策略來 協助數學低成就學生學好數學，茲分四項理由說明如下：
一、過去缺乏對國中數學低成就學生補救教學策略之研發
以全國博碩士論文知識加值系統統計民國90年至103年的博碩士論文中，關 於數學低成就的研究論文有93篇之中，僅17篇是針對國中數學低成就學生所做的 研究。其中，對於數學低成就學生的補救教學策略之研究，多以資訊科技融入、 合作學習或藉助各種表徵的方式為主，此外僅林裕晉（2012）採數學建模活動、 陳媛雯（2011）採數學文本調整的方式進行教學研究，與國小數學低成就學生的 相關研究相較，顯示我們對於國中數學低成就學生補救教學策略應有更多研發與 創新。二、過去的數學教學欠缺思考能力之培養
數學是一門教導學生「思考」的學科，譚寧君（2014）在陳述數學學習的主 要重點中提到：傳統的觀點把數學教學聚焦於數學知識的傳授和數學技能的培養， 學生的數學思維則是在教學情境中發展而成的，但現代的觀點卻重視思考能力的 培養，數學知識只是應用的素材，教學的目的是進行思維的訓練與發展。 因此，「思考」在數學學習上扮演重要的角色，尤其在數學解題的過程中，3 如果學生不會思考，解題便無法完成。相對的，數學解題亦是培養學生思考的重 要活動。過去關於促進學生數學概念理解策略的研究頗多，例如圖示表徵、資訊 融入等數位媒體的運用、具體物的操作、情境的融入等，但是探討數學解題上促 發學生思考的策略卻相對較少。
三、提問是促進思考的有效方法
思考能力的培養需要運用促發思考的策略。「提問」是促發學生思考的策略 之一。親子天下雜誌專特刊23期專文〈提問教學／戒掉「皮毛式」閱讀，養成思 考力〉即指出「提問」有助於養成孩子的思考力；親子天下雜誌41期專文〈十二 年國教評量關鍵—養成思考力的提問術〉中也談到提問對思考力的重要性。提問 並非單向的語言刺激，而是一種「對話」的形式，以Vygotsky（1986）的社會建 構論而言，他認為語言是思考的重要媒介，透過對話所形成的社會互動可促進概 念往更高階發展。「提問」意即「問問題」，在各種教學過程中，提問是最簡便也 最常被使用的策略。以研究者的教學經驗來說，課堂上經常會使用提問的方式引 起學生注意、思考，且隨著課堂情境的變化而有不同的提問方式與內容。提問的 角色與對象亦會轉換，有時是教師對學生提問，也有時是學生對老師提問，甚至 是學生對自己提問。 提問並非任意而為，Watson和Mason（1998）即指出有效的提問並非要學生 同意老師的觀點，而是探求學生的真正想法。透過提問，教師可以有效察覺學生 的解題是否知其所以然，而不單只是知其然（康淑娟、劉祥通，2010）。四、透過引導幫助數學低成就學生減少摸索和錯誤假設
數學學習強調的是概念的建構，而建構的過程必須透過思考來完成。數學低 成就學生經常「不知如何思考」或者「放棄思考」，故比起一般的學生需要更多 的引導以建立思考的方向，並減少摸索與錯誤假設。在引導的過程中學生難免遇4 到困難，此時便需要提供協助，俄國心理學家Vygotsky（1978）提出「近側發展 區」及Wood、Bruner 和Ross（1976）所提出的「鷹架支持」皆為此提供了理論 基礎，即學生原本之實際表現水準經由協助後能達到潛在發展水準，引導學生不 斷往較高層次之能力發展。 基於上述理由，本研究希望在教學過程中透過「引導」幫助學生建構數學概 念並促發思考，因此結合「社會建構論」、「鷹架理論」及「數學提問」發展出「引 導式提問」，希望透過本研究促發學生的解題思考，並使其未來能具備獨立思考 的能力。既然提問有助於思考力的養成，且本研究欲用之於數學教學，研究者便 選擇以「數學提問」來發展補救教學策略，並採取「教師對學生提問」的方式進 行。 本研究嘗試以「代數文字題」作為補救教學之教材內容來探討「引導式提問」 之成效。選擇「代數文字題」是因為研究者從數年來的教學觀察中發現代數文字 題一直都是學生甚感困難的部分，從每次回收的測驗卷來看，代數文字題空白未 答的情況很多，顯示學生在解題時便感困惑。 首先以「代數」在數學學習領域所扮演的角色來看，「代數」即「使用文字 符號代表數」，代數學習是數學抽象化與形式化的一個重要步驟。代數對於數學 的推論、歸納、演繹，以及其他科學的研究都極為相關(林曉芳、余民寧，2001)， 故代數在數學學習領域中佔有非常重要地位。洪意琇（2008）認為國中生如果在 這個具體轉抽象的階段沒有學好，將影響其後數學與科學技能的學習。所以對於 代數學習困難的學生，教師們若不予以關注，學生有錯誤的想法或太大的挫折而 沒有立即診斷和補救，皆會影響以後有關代數的學習，甚至放棄學習，導致未來 在數學學習上的低成就（俞宗賢，2007）。在國中數學學習單元的安排上，國中 一年級上學期的代數單元為一元一次方程式，下學期為二元一次方程式及二元一 次聯立方程式，如果此階段沒有學好，將會影響後續線型函數、一次不等式、多 項式、一元二次方程式、二次函數等學習。
5 再來看「數學文字題」，由於解數學文字題需要極複雜、高層次的心理運作， 即使學生有良好的計算能力與閱讀能力，數學文字題對學生而言仍是困難的，尤 其是數學低成就學生更容易出現錯誤（張宗育，2003）。研究者在教學現場中更 發現，許多學生在處理數學文字題時經常感到概念模糊或困難。秦麗花（1995） 指出：數學文字題是大多數學生害怕的課題，尤其是低成就學生，其原因是文字 題不只涉及計算能力，還涉及語文理解和數學概念聯合運作的歷程。而林碧珍 （1990）也指出低成就學生大都缺乏解題計畫，同時也無從思考，只是盲目地從 題目的關鍵字去選擇運算方式。此外，學者Mayer（1992）將解題歷程分為「問 題表徵」（problem representation）和「問題解決」（problem solution）兩部 分，前者又可分為「問題轉譯」（problem translation）及「問題整合」（problem integration）兩步驟，後者則分為「解題計畫與監控」（solution planning & monitoring）及「解題執行」（solution execution）兩步驟，他指出兒童的解 題困難主要多發生在「問題表徵」階段，而其中的轉譯歷程對學生來講可能是十 分困難的（張祐瑄，2010）。 對此，研究者希望藉由引導式提問來教導數學低成就學生學習代數文字題， 並以題意理解及問題表徵作為研究之範疇，透過數學低成就學生在題意理解、設 未知數及列方程式的表現，對引導式提問之成效做進一步之探究。本研究之研究 動機列述如下：
一、培養思考能力對數學解題具重要性
學生必須學會動頭腦思考，才能想出辦法解決問題。一直以來，教師在教學 上追求創新，亦不斷地調整教學策略，使用多元的方式呈現教材讓學生易於理解、 學習，但較少關注學生思考能力的培養，因而忽略的思考能力才是解題的關鍵。 對學生而言，代數文字題是一個抽象的概念，學生在解題時必須同時進行語文與 數學概念之聯合運作，其中的理解題意、設未知數、列方程式、計算，都必須透6 過思考能力才能達成。
二、國中數學低成就學生補救教學策略待研發
有鑑於研究者所任教的國中數學低成就學生在解代數文字題上所遇到的困難， 再加上過去關於國中數學低成就學生補救教學的相關研究不多，且補救教學的策 略不如國小的部分多元，故研究者希望發展有效的教學策略，增進學生解題的思 考能力，以提升學生之學習效果。第二節研究目的與待答問題
根據上節所述之研究動機，配合學校的數學教學進度，針對國中數學低成就 學生在代數文字題之題意理解、設未知數、列方程式提供引導式提問之協助，從 其表現了解引導式提問成效，進而提出數學補救教學上的參考及建議。具體而言， 本研究擬達成之研究目的及待答問題如下：一、研究目的
本研究之主要目的為： （一）探討實施引導式提問後，國中數學低成就學生解代數文字題時在「題 意理解」、「設未知數」、「列方程式」之表現情形。 （二）依據研究結果，提出具體的檢討與建議，並提供教師在數學補救教學 之參考。二、待答問題
（一）國中數學低成就學生在接受引導式提問後，其在代數文字題「題意理 解」之成效如何？ （二）國中數學低成就學生在接受引導式提問後，其在代數文字題「設未知7 數」之成效如何？ （三）國中數學低成就學生在接受引導式提問後，其在代數文字題「列方程 式」之成效如何？
第三節重要名詞解釋
本研究的重要名詞如下：一、國中數學低成就學生
「低成就」（under achievement）表示個人的成就表現未達能力或潛力所預 期之成就水準（洪儷瑜，1995）。本研究所稱之國中數學低成就學生，是以 103 學年度研究者任教之國民中學一年級學生為對象，選取一年級上學期三次段考成 績之平均，對照其所屬年級學生之分數，選擇百分等級 25 以下之學生，並接受 「國民中學智力測驗」及「魏氏兒童智力量表」之施測，選擇學業成就表現明顯 低於自己的心智潛能可達到的學業成就水準，排除特殊教育身分、行為偏差、接 受相關課後補習、原住民或新住民、文化不利因素所致學習低成就之學生為研究 對象。二、代數文字題
「代數」即「使用文字符號代表數」，而「文字題」即我們常說的「應用問 題」，其主要特徵是藉由文字與數字的形式來敘述數學題目。Mayer（1985）認 為數學文字題是透過文字敘述的計算題形式，Cummins（1991）認為數學文字題 是以日常生活事件為材料且用語文型態來描述數學問題情境。所謂「代數文字題」 即是以語文來描述生活情境中代數問題之題目，在國中階段的代數單元包含「一 元一次方程式」、「二元一次方程式」、「二元一次聯立方程式」、「多項式」、「一元 二次方程式」等。8 本研究所指「代數文字題」是以國中一年級下學期之「二元一次聯立方程式 文字題」為主要教學單元。由於數學低成就學生並非此時此刻才出現學習困難與 表現低落的情形，必定是長期處於數學表現不佳的狀態，再加上數學概念的建構 有其順序與組織關聯，不易切割學習，因此考量前述狀況，在實施補救教學時， 必要時加入上學期之「一元一次方程式文字題」教學。關於本研究之代數文字題 說明如下： （一）一元一次方程式文字題 文字題中包含一個未知量，由題目給定一個以上的關係條件並據此列式，例 如： 題目中的未知量可以是小朋友的人數，也可以是糖果的顆數，只要假設其中 一種未知量即可根據題目的關係條件列式。例如假設小朋友有 x 人，則可依「每 人分 5 顆，則剩 3 顆」來使用算式「5x＋3」表示糖果的數量；另可依「每人分 6 顆，則不足 5 顆」來使用算式「6x－5」表示糖果的數量，兩算式均指同一數 量，故兩式相等，因此可列出一元一次方程式：「5x＋3＝6x－5」。 （二）二元一次方程式文字題 文字題中包含兩個未知量，由題目給定一個以上的關係條件並據此列式，例 如： 題目中的未知量是全票和半票的張數，故可假設購買 x 張全票、y 張半票， 再依關係條件列出方程式「500x＋200y＝1600」。 （三）二元一次聯立方程式文字題 文字題中包含兩個未知量，由題目給定兩個以上的關係條件並據此列式，例 老師將一包糖果分給小朋友，若每人分 5 顆，則剩 3 顆；若每人分 6 顆， 則不足 5 顆，則小朋友共有多少人？ 小明全家到遊樂園玩，若全票每張 500 元，半票每張 200 元，每種至少各 買一張，一共花了 1600 元，則小明全家共買了幾張全票？幾張半票？
9 如： 題目中的未知量是鉛筆和原子筆的數量，兩種筆的數量合起來是 12 枝（關 係條件一），兩種筆的購買價格合計是 46 元（關係條件二），故可列出二元一次 聯立方程式為： 46 5 3 12 ＝ ＋ ＝ ＋ y x y x
三、引導式提問
「引導式提問」是根據「社會建構論」、「鷹架理論」及「數學提問」所設計 的數學補救教學策略。「引導式提問」中的「提問」指的是「數學提問」，意即能 引發學生產生心智活動，並做為回答反應的語言刺激，幫助學生形成數學概念達 成教學目標者（黃世美，2007）。而「引導」的用意在於減少學生的摸索，避免 錯誤假設，同時也表示針對學生解題之困難處給予指引，在解題過程中幫助學生 建構數學概念，理解訊息關聯或解決問題。 本研究以代數文字題之題意理解與問題表徵作為研究之範疇，因此將引導式 提問分為三種類型，分別是「題意釐清提問」、「關係釐清提問」及「問題整合提 問」。其中，「題意釐清提問」主要針對題目中的語言知識進行提問，用以了解學 生理解題意之程度，如「二位數是什麼意思？」；「關係釐清提問」是詢問題目中 已知和未知訊息之關聯，如「弟弟給姊姊 10 元，則兩人的錢各變多少元？」；「問 題整合提問」是詢問和問題類型有關的知識，此涉及設未知數及列方程式，如「矩 形面積如何表示？」。在教學實施中，先由教學者進行例題講解，然後提供學習 單讓學生練習，學生練習過程中遇到困難或發生錯誤，由教學者視學生的表現情 形給予引導式提問協助，例如學生在題意理解出現困難，即採取題意釐清提問介 鉛筆一枝 3 元，原子筆一枝 5 元，已知買了 12 枝筆，共付 46 元。若買鉛 筆 x 枝，原子筆 y 枝，請依題意列出二元一次聯立方程式。10 入，直至學生完成學習單之練習，並評量學生之潛在發展水準。然後教學者再實 施隨堂測驗以了解學生在獨立作業之下是否也達到潛在發展水準，並運用訪談來 探知學生的列式思維歷程是否合理。
四、引導式提問之成效
所謂「引導式提問之成效」是指學生經過引導式提問協助後，在代數文字題 之題意理解、設未知數及列方程式之表現有所進步。題意理解是進入解題階段前 的首要步驟，學生必須清楚題目語句的意思及題目所問的問題，並從題目敘述中 獲取解題的必要訊息與其間的關聯性，才能正確假設未知數及列方程式。惟題意 理解以及設未知數、列方程式之思維歷程乃學生內在的心智活動，教學者無法直 接透過觀察而得知學生發生困難或錯誤的原因，因此，當學生在作答遇到困難或 發生錯誤時，由教學者提供引導式提問協助，一方面探悉學生之問題所在，另一 方面則促發學生思考，並於必要時給予鷹架支持。如學生經過引導式提問協助後， 在後續同類型題目作答正確且能合理說明作答之思維歷程，顯示其進步，即可說 明引導式提問之成效。第四節研究範圍、研究倫理與研究限制
一、研究範圍
（一）研究對象 本研究以 103 學年度研究者任教之國民中學 2 名一年級數學低成就之學生為 對象。 （二）研究內容 實施引導式提問對於國中數學低成就學生解代數文字題之成效，探討學生在 「題意理解」、「設未知數」、「列方程式」之表現情形與思維歷程，以了解此種方11 式是否有助於國中數學低成就學生之學習。
二、研究倫理
本研究為保護研究對象的隱私，故本研究均以「研究對象一（S1）」和「研 究對象二（S2）」代表研究對象，同時待研究結束後會將錄音資料進行銷毀，以 確保資料不外洩。三、研究限制
（一）本研究以國中數學「二元一次聯立方程式」之代數文字題為研究內容， 因受限於研究者之認知，計畫時僅分為「訊息明確型」、「訊息辨識型」及「訊息 推論型」三類題型進行教學設計與探析，並未依題目之深層數學結構分類，以致 未能更深入之探討引導式提問之成效。 （二）本研究因 2 名研究對象分屬不同班級，不便同時抽離進行補救教學，故 僅能選擇午休時間實施。教學過程中二人難免因生理因素造成精神不濟，恐影響 二人之學習效能，此乃研究者無法掌握之變因。 （三）因本研究屬個案研究，故外部效度有限，且考量數學低成就學生之個別 差異，故研究結果不宜過度推論至全部之數學低成就學生。13
第二章文獻探討
本章共分三節，第一節說明引導式提問的理論基礎，第二節說明數學低成就 學生的補救教學策略，第三節說明代數文字題之問題表徵與題型分類。第一節引導式提問的理論基礎
「引導式」一詞在坊間常常可見被用於「引導式」寫作、「引導式」閱讀、「引 導式」對話或者「引導式」翻譯等，指的是一種引領人依序完成某件事、達到某 項目標的策略，而引導的目的在於減少摸索和錯誤假設。而本研究的「引導式提 問」是整合「社會建構論」、「鷹架理論」及「數學提問」的內涵，使用提問的方 式協助學生思考以理解題意、並進行問題轉譯及問題整合。「引導式提問」的相 關理論探討分析如下：一、社會建構論
社會建構論為 Vygotsky 所創出，此與 Piaget 的認知發展論建構論、Ausubel 意義學習論及 Bruner 的發現學習論等研究成果與理論觀點為當代的建構論奠定 了基礎。先從建構論談起，建構論（Constructivism）基本上是一種知識理論， 它關心的兩大現象是認識（knowing）以及知識（knowledge）。前者是一個動態 的歷程，其涉及的內容包含了解「知識如何產生？」、「個體如何認知並了解環境？」 及「知識如何成長及變化？」，而後者涉及了「知識的結構」、「知識的真為判斷」 及「知識與被認知對象之間的關係」。自七○年代之後，由於認知心理學的發展， 開始強調「認知的主動性」及「學習的主動性」，因而成為建構論的重要主題之 一。 建構論認為學習是一個積極主動的建構過程，學習者不是被動地接受外在訊 息，而是根據先前認知結構主動地和有選擇性地知覺外在訊息，建構當前事物的
14 意義。建構主義反應在教學上便強調教學是激發學生自己建構知識。學生是教學 情境裡面的主角，教師則是以輔助者、引導者、詮釋者的角色來進行教學（林生 傳，1998）。 根據建構論的教學觀認為教學的過程是交互辯證的，要促使學生掌握教學活 動的要素及組織，主要透過師生的交流活動才能達成。原因是學生未必能清楚了 解教學者的意圖，唯有透過嘗試及辯證，教學者及學習者才能針對對方進行的活 動來捕捉對方的意圖。在交互辯證的歷程中，教師成為「布題者」（problem poser）， 而非「解題者」（problem solver）（甯自強，2002）。 再以 Vygotsky 的社會建構論來說，Vygotsky 主張知識是建構的，而此建構 是「社會的建構」，意即他不強調個人的建構，而是強調情境對於知識產生的重 要性，特別是從人與人的互動中獲得意義。在教育上他認為可以透過特殊的社會 語言來提昇學生心智的發展，因此，在學校情境中師生間和學生間的對話相當重 要。而數學解題是一個高層次的心理歷程，需透過與成人或同儕之間的社會化互 動共同合作解決問題，個體才能逐漸發展出解決問題的能力，在種種社會化互動 的形式中，「對話」是最具社會性的語言形式，在本研究中，引導式提問能夠促 發研究者與研究對象之間的對話，在一問一答的過程中建立研究對象解代數文字 題的思考能力，故社會建構論是引導式提問重要的基礎。同時，學生在學習數學 時，老師藉由提問引導學生思考，讓學生主動解題，而非成為等待答案的人。 而數學低成就學生在建構數學概念的過程中，應提供更多的引導，引導的目 的在於減少學生的摸索，避免或減少明顯的錯誤假設，協助學生建構概念並選擇 正確的假設。而學生在建構數學概念時難免遭遇困難，對此必須適時地提供鷹架 協助，讓學生藉由協助而到達正確之表現水準，以下就「鷹架理論」進行陳述。
二、鷹架理論
本研究在實施「引導式提問」的過程中，「鷹架」是重要的學習支柱，在逐15 漸引導提問的過程中，依照學生當下的反應來決定提供何種鷹架，協助激發學生 更佳的表現，因此，鷹架理論是本研究的內涵所在，以下針對鷹架理論進行陳述。 俄國心理學家 Vygotsky（1978）提出「近側發展區」（Zone of Proximal Developement, Z.P.D.），以為個體均具備較現有能力水準更佳的潛在發展水準， 而這兩個水準間的動態差距即個體的「近側發展區」。許多學者談到鷹架理論時 都會提到 Vygotsky 的 ZPD 觀點，但鷹架理論並不是 Vygotsky 自己提出的。 鷹架理論的發展，是由 Wood、Bruner 和 Ross（1976）研究成人（指導員） 教導 3 至 5 歲小孩子堆積木完成金字塔的過程中所引發的。成人在教導小孩子堆 積木的過程中，提供的鷹架有：直接協助、語言提醒錯誤或直接促使孩子做相同 的積木建構（謝州恩，2013）。按國家教育研究院雙語詞彙、學術名詞暨辭書資 訊網針對鷹架理論的說明，Wood、Bruner 和 Ross 將兒童得自成人或同儕的這種 社會支持隱喻為「鷹架支持」（scaffolding），強調在教室內的師生互動歷程中， 所提供的社會支持猶如蓋房子時鷹架的作用一樣，讓兒童在支持下學習，但是當 兒童的能力逐漸增加後，社會支持便會減少，如同房子蓋好後，把鷹架逐漸移開。 Wood、Bruner 和 Ross (1976) 亦指出了六種鷹架之功能： （一）引發參與，在學習過程中引發參與的動機及持續學習之意願。 （二）經由教學內容之系統組織化，減輕孩子學習的負擔。 （三）明確的學習目標，引導孩子專注在學習目標上而不分心。 （四）指出關鍵性的重點。 （五）挫折的控制，並給予成功之經驗。 （六）示範所學。 根據謝州恩（2013）的整理，鷹架的類型可分為「人的鷹架」、「人造物鷹架」 以及「人與人造物鷹架」。所謂「人的鷹架」即是由教師或同儕所提供的鷹架，
16 透過語言的溝通、提示來給予對方協助；「人造物鷹架」則是運用電腦軟體或書 面資料等作為鷹架支持的工具；而「人與人造物鷹架」是指鷹架的來源不只一種， 而是包含了人造物與人的鷹架，例如運用平板電腦（人造物鷹架）搭配小組合作 討論（人的鷹架）來提供協助。不同類型的鷹架也具備不同的特徵，例如人的鷹 架比起人造物鷹架較具變通性，且能隨著個體的狀況掌握對方的近側發展區調整 鷹架支持，而人造物鷹架則較具穩定性，不像人的鷹架容易受到心理因素影響， 亦可大量地複製、重複，其影響力較人的鷹架廣泛，且能提供迅速、整齊、一致 和精美的表徵。鷹架的模式可分為三種，分述如下： （一）分散性鷹架模式（differentiatedscaffolds） 所謂分散性鷹架模式是指每一個需求或學習目標僅由一個鷹架提供支持，如 針對「學生能根據問題線索來列式」這個目標，假使學生在閱讀題目時產生困難， 教師便提供「數學閱讀策略」的鷹架來協助該生。 （二）重複鷹架模式（redundant scaffolds） 重複鷹架模式是指同一種需求或目標有不同來源的鷹架支持。在此同樣以 「學生能根據問題線索來列式」這個目標為例，對於學生閱讀問題的困難，教師 不但提供「數學閱讀策略」的鷹架，另外還給予「圖示表徵策略」的鷹架來協助 學生理解問題。 （三）協同的鷹架模式（synergisticscaffolds） 協同的鷹架模式是指針對同一個目標，有彼此交互作用的不同鷹架連結，作 為另一個鷹架。沿用前例，如教師除了運用「數學閱讀策略鷹架」，還利用「電 腦軟體鷹架」與「圖示表徵策略」整合，協助學生達成「能根據問題線索來列式」 這個目標。 從上述鷹架的類型與模式中，人與人造物鷹架各有其優點和限制，故應採取 兩者整合方能發揮最大功效。而在教學過程中，亦應隨時評量學生的學習情形，
17 根據學生的表現選擇鷹架的類型與模式，此種不斷地在中介協助中做診斷評量的 方式即是「動態評量」。動態評量對於本研究有重要的啟示，由於補救教學是一 連串協助與支持學生學習的過程，透過動態評量，教師可以依學生的學習狀況彈 性調整協助與支持的方式。 在文字題的解題教學時，不同的鷹架中介會有不同的效果，如能提供整合式 的鷹架，會比提供單一鷹架的效果佳，例如許家驊（2008）在〈不同教學策略及 鷹架中介設計對個體數學文字題解題學習潛能開展效益影響之動態評量研究〉中， 採取認知解題及整合解題兩種教學策略，搭配「漸進提示」、「解題歷程教學」、「連 續中介」三種鷹架中介設計了不同處理組合，針對從未學過二步驟加減法解題的 學生探討其潛能開展的效益，其中「連續中介」鷹架即是「漸進提示」與「解題 歷程教學」兩種鷹架的結合，結果發現連續中介顯著優於漸進提示及解題歷程教 學。 鷹架的種類很多，本研究的核心「提問」本身亦可作為一種鷹架，例如盧秀 琴、柯琳耀、洪榮昭（2007）在〈運用社區資源實施 5Why 鷹架式提問教學活動〉 的研究中，以大臺北地區 23 位國小教師為研究對象，探討教師能否根據自然與 生活科技的課程需求尋找合適的社區資源，以設計 5Why 鷹架式提問教學活動。 所謂 5Why 鷹架式提問，是指藉由不斷詢問「為什麼」，一層層支解問題，再依 據學生的回答進行深入提問，引導學生更深層的思考。該研究是針對「自然體驗」、 「解說展示」兩個類型社區資源的鷹架式提問教學進行分析，研究結果指出教師 認為搭配 5Why 鷹架式提問教學，可提升學童的觀察技能，深入了解動植物的生 活，進而想要保護牠們，可發展出認知與情意兼具的教學活動，由此可見，以「提 問」的作為學生學習鷹架之效果。該研究也建議教師可先行針對所欲探討的主題 自行模擬學童可能的答案，再據此反向設計鷹架式提問。 鷹架理論為本研究提供了重要的內涵，其本身就是一個引導及支持的歷程。 雖然有鷹架支持，惟知識必須由學生自行建構才能真正學習到，意即「學生才是
18 學習的主人」。當學生學會了某個概念或技能時，鷹架就必須逐漸撤離。而本研 究之「引導式提問」便是藉由「數學提問」來評量學生表現，過程中除了解學生 之實際表現水準之外，並針對其困難之處給予鷹架協助，使其達到潛在發展水準。 以下就「數學提問」進行說明。
三、數學提問
「提問」即是「問問題」。Borich（1992）指出，「問題」能為老師所欲呈現 的教學內容和學生的現有理解搭起橋樑，鼓勵學生思考老師欲建構的教學目標。 而Artzt（2002）指出提問是師生及同儕有效互動、擴展學生思考的主要核心，此 與Vygotsky的社會互動論的觀點符應，強調社會互動作用對個體心理發展的重要 性，著重的是兒童如何透過與他人互動的歷程中獲得知識。故「提問」所產生的 互動的過程，能夠讓學生在此種情況下思考並建構知識。提問所應用的範圍相當 廣泛，本研究即以「數學提問」作為研究核心之一。美國全國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱 NCTM）指出數學提問是考量學生認知的差異，探求學生的可能發展區，沿著數 學的主軸逐層提問，促使學生產生認知失衡，再重新為之搭鷹架，使學生能有效 學習的教學方法（引自康淑娟、劉祥通，2010）。 Mason（2000）主張三種數學提問的類型，說明並舉例如下： （一）探索式 探索式提問主要是協助學生釐清概念，尤其是當學生遇到題目而不知從何開 始解題時使用，例如題目「一瓶可樂可分裝成 10 個 150c.c.的小紙杯，如改用 250c.c. 的杯子裝，可分裝成幾杯？」，此時教師可依次提問「可樂容量和小紙杯容量的 關係是什麼？要先知道什麼？」、「一瓶可樂有多少容量？怎麼算？」、「為什麼是 150×10？」、「一瓶可樂用 250c.c.的紙杯分裝，可分成幾杯？怎麼算？」、「為什 麼是 1500÷250？」，將解題步驟拆開的目的是要引導學生理解為什麼要「先乘後
19 除」。 （二）聚焦式 所謂聚焦式提問即是要提醒學生注意到數學的規律性（pattern）、一般性 （generality）或是某種數學特徵（feature）。教師針對題目提出有意義的問題， 排除不相干的訊息，讓學生將注意力聚焦在問題的核心。例如題目「學校為了運 動會的大會舞表演，其中有個隊形是所有人必須排成一個大正方形，若表演人數 介於 500 至 1000 人之間，請問最少需要多少位同學參加表演？」，學生可能會說 出各種答案，而找不出其數學特徵所在，教師便可提問「1 個人可以排出正方形 嗎？」、「2 個人可以排出正方形嗎？」「4 個人可以排成正方形嗎？」、「9 個人可 以排成正方形嗎？」、「為何 4 個人和 9 個人可以排成正方形？為什麼？」，剔除 不可能的答案後，將學生的注意力聚焦在「正方形的特徵」，再追問「81 人可以 排成正方形嗎？」、「100 人可以排成正方形嗎？」、「400 人可以排成正方形嗎？」 再將學生注意力放在完全平方數，進而整理出一個規則。如此分段詢問的方式主 要是為了幫助學生排除干擾解題的訊息，等學生掌握解題關鍵之後再處理較大的 問題。 （三）檢驗式 檢驗式提問是為了確定學生了解題目的程度，以及對解題是否存有迷思概念。 例如題目「老師有 100 顆糖果，平分給全班，每人可得 4 顆，但不巧班上有 5 個人請假，請問有來上課的人可分得幾顆糖果？」，學生能在第一步驟計算「100 ÷4＝25」，為了檢驗學生是否清楚所求的 25 為人數，教師可提問「全班有幾個人？」 或「25 指的是什麼的數量？」，請學生說明算式的意義，當學生能說出 25 即是 全班的人數，代表學生真正理解題意與數字間的關聯。 如前所述，提問是擴展學生思考的核心。思考是指當人類面臨問題時，運用 過去的經驗及現況的認知，以圖解決問題的一種心智活動，亦是人類學習的基本
20 要素（林生傳，2012）。而有效的提問，乃是執行教室各種活動與任務的重要因 素，Borich 和 Stollenwerk（2003）認為向學生提問的目的，有如下列各項（王文 科，2007）： （一）引起興趣與好奇心。 （二）集中注意力於爭論的問題。 （三）激發學習者問問題。 （四）診斷特殊的學習困難。 （五）鼓勵慎思與自我評量。 （六）增進對觀念的思考與理解。 （七）複習已學過的內容。 （八）協助回憶特定的資訊。 （九）增強晚近習得的材料。 （十）協助學生憶起某種程序。 （十一）藉著學生的回答，進行教學。 （十二）俟學生提出答案後，做深入的探測。 此外，張玉成（2013）也指出提問是增進學生思考的利器，所以有效的提問 是培養學生思考能力的重要措施，其三個過程分別為提問、候答與評鑑三方面， 分述如下： （一）提出問題的技巧 1 .兼顧各類型的問題： 提問時應包含各種層次的問題，例如知識、記憶、理解、分析、綜合、評鑑， 或者是批判性、創造性的問題，以培養學生各層次的思考能力。
21 2 .問題須做系統化的安排 問題編排的原則應該由淺至深、由易至難，以做適當的安排。 3 .注意語言的品質 提問時應注意音量適中，語氣和緩，速度適宜。 （二）候答的技巧 1 .候答時間（wait-time），不宜過短、倉促 從提問到對方回答之間的時間，即是候答時間。學生回答問題時須醞釀與組 織，故應給予適當的時間思考，以增加提問的效果。 2 .指名普遍 教師提問時應針對全體同學提問，意即每個人被問問題的機會要相等，而不 能只限於班上少數人員。 （三）評鑑（理答）的技巧 1 .注意傾聽 教師對於學生的回答應注意、關心，才能評鑑學生的答題內容，並具鼓勵作 用。 2 .給予鼓勵 3 .深入補充或探索 對於學生回答的不足之處，應給予適當補充，使答案更完整。 4.歸納答案 教師對於學生的回答應做歸納和總結，使答案能系統化。 以上是國內學者對於提問所提出的技巧、原則。此外，針對數學提問技巧的
22 部分，Resnick（1995）提出四種技巧，分述如下（黃世美，2007）： （一）複述（repeatition） 「複述」意即把學生的話再說一遍，此種作法具有接納學生所講內容的功能， 同時可提高其他學生對於答題內容的關注並判斷答案的正確性，亦可作為引起討 論的題材。 （二）回應（revoicing） 「回應」是指當學生對於的答案的想法可能正確，但未能清楚說明或表達流 暢時，教師可修飾或改述學生的回答內容，幫助學生表達其想法，同時引發其他 同學思考，讓全班同學有共同學習的機會。 （三）追問（question） 「追問」是指針對學生的回答內容有必要再深入澄清時，教師請其進一步提 出說明或解釋的策略。教師對於學生的回答不應以一種答案為滿足，可視需要再 提出延續性的問題，讓學生做更深一層的思考，也讓教師更確定學生對於概念的 了解程度。 （四）挑戰（challenge） 「挑戰」是指對於學生回答內容中有疑問的地方，或是需要澄清、擴展、深 入的部分再提出質疑，引發學生的認知衝突，促進他們更進一步的思考。 提問能培養學生的思考能力，同時在進行提問時，提問的技巧、問題的類型， 甚至老師的回饋都變得非常重要，因此教師在教學前應做好充分的準備。提問時 也要避免僅問「知道嗎？」、「懂了沒？」這種封閉性的問題，因為學生通常只會 回答「懂了」或「不懂」，造成難以診斷學生是否真正理解以及理解的程度。 綜合前述，本研究採取之「引導式提問」便是根據「鷹架理論」、「社會建構 論」及「數學提問」發展而成，說明如下：
23 （一）分析問題的概念、線索及關係，按編序原則設計提問的問題。 （二）針對提問的問題應先模擬學生的回答，以設計協助的鷹架。 （三）提問必須保持彈性，隨時根據學生的反應調整提問方式。 （四）學生的回答如需再深入澄清時，請其補充說明，或由教師提供解釋答案 的鷹架。 （五）教師可視需要再提出延續性的問題，讓學生做更深一層的思考或類化。
第二節數學低成就學生的補救教學策略
在一個班級裡，由於學生間存在著個別差異，因此在學業成就的表現上不盡 相同，而最需要關心與協助的便是那些低成就的學生。在提倡「教育機會均等」 的思潮下，為了照顧到每一位學生，提供符合學生特質與需求的教學，特別針對 學業低成就的學生，教育部從民國 86 學年度起鼓勵各國中試辦「補救教學」，其 後，民國 95 年規劃「攜手計畫課後扶助政策」並正式開辦，藉以改善城鄉差距 及學習落差的情形，後來，為配合十二國教上路，教育部整合原有「攜手計畫－ 課後扶助」以及「教育優先區－學習輔導」方案資源，在民國 100 年發布「國民 小學及國民中學補救教學實施方案」來提升國中小的教學品質，並於民國 102 年用補救教學取代攜手計畫，統一採電腦評量系統施測篩選補救教學對象。以下 將就補救教學的實施與數學科補救教學之相關研究進行分析。一、補救教學的實施
就「補救教學」的定義而言，杜正治（2001）認為補救教學是指診斷學生的 學習困難，找出學習困難的地方及原因，再依照個別的需求，設計補救的學習活 動。而陳惠萍（2009）指出「補救教學」一詞源自於教師在班級教學中無法全面 顧及所有學生的學習需求，因此必須針對那些未達學習目標或學習低成就的學生，24 另外採取其他更有效的教學策略，以提高學生的學習效果，並能跟上原班的程度。 洪儷瑜（2014）認為補救教學的意義是多元的，根據教育部國語辭典之解釋，「補 救」意即「彌補過失，矯正差錯」，所以針對學習之過失、差錯所進行的教學， 都可以稱為補救教學。除了學生學習錯誤、差距之彌補之外，教學的調整亦是補 救教學的重點，故補救教學的意義會因為焦點不同而呈現多樣性。 在實施上，張新仁（2000）認為補救教學所採用的是「評量－教學－再評量」 的循環歷程，重視教學介入前學生資料的蒐集、診斷評量，以及教學後的測驗， 確實掌握學生的學習狀況，並給予所需的協助。此外，邱上真（2002）指出補救 教學是以加強基礎學習為主，課程的設計與教材的難易度須配合學生的能力及學 習表現，並考慮學生的生理年齡及興趣，可藉由減量、降低難度或改編教材內容 來達成課程目標。 綜合上述，補救教學之做法可整合為四個重點，陳述如下： （一）診斷學習問題 補救教學前首重診斷學生的學習問題，除了知道學生在哪些科目表現低成就 之外，還必須透過評量、分析，以了解學生學習困難之處、錯誤類型以及導致錯 誤之原因。 （二）分析學習條件 補救教學前的另一個重點是分析學生的學習條件，包含學生的起始能力、學 習態度、學習動機與興趣、認知風格、人格特質等，教師可運用觀察、晤談或相 關的測驗工具來了解學生的學習條件。 （三）提供適性之課程與教學 清楚學生之學習問題及學習條件之後，教師便可據此設計課程、選擇適切之 教學策略與評量方式，所提供的教材或作業可依學生的學習狀況運用簡化、減量、
25 分解、替代等方式來做調整。 （四）評量與教學之循環 補救教學是一個「評量–教學–再評量」的循環歷程，每一次的評量都是作 為下一次教學安排的參考，藉此調整課程內容、教材難易度、教學策略及評量方 式，甚至是所提供的學習鷹架。
二、數學科補救教學策略之相關研究
數學科是中小學學生感到困難的科目之一，數學學習伴隨之挫折感隨年級遞 增而增加（孟瑛如，2000）。在學校的數學課堂上，總有一部分孩子的數學表現 遠遠落在同儕的後面，身為教師，應當竭盡所能地幫助這群數學學習落後的孩子， 使他們有所進步。但是，何種補救教學策略才是最有效的？有沒有一種補救教學 策略是能夠完整正確傳達數學概念給孩子，同時又能培養孩子獨立思考，讓孩子 有效學習數學呢？數學來自於生活，也是由抽象概念組構成的一門科目。數學概 念必須透過一層一層的思考、辯證才得以形成。進行數學補救教學時，教師必須 掌握數學知識的性質與教學原則，才能進行有效的數學教學。國內關於補救教學 策略的研究相當多元，研究者從臺灣博碩士論文知識加值系統的資料庫中將民國 90 年至 103 年間對於數學低成就學生教學策略之相關研究整理如附錄一。以下 就數學科補救教學策略之相關研究及其成效進行探討分析，以期對本研究有所啟 示與增益。 （一）直接教學法 直接教學法（direct instruction）重視課程的高度結構化，教師主導教學，強 調運用工作分析及編序的方式組織學生的學習材料，是一種目標導向的教學方式。 教學的過程中強調師生互動，教師要能清楚地示範、傳達授課內容，且必須隨時 檢視學生的學習情況，持續評量學生的學習並提供回饋，讓學生達到精熟學習的 程度。26 根據相關研究，直接教學法在數學低成就學生的補救教學上有顯著的成效， 因其高度結構化的教材編序且學習目標明確，整個教學過程由教學者精密的掌控、 調整及回饋，讓學習者逐一達成學習目標。例如江淑怡（2009）在〈直接教學法 在提昇國小四年級數學低成就學生乘法演算能力之行動研究〉中，採用直接教學 法教導四名數學低成就學生，設計了 20 節的教學腳本，再利用每週一、二、四 的放學各進行 30 分鐘的補救教學。經由前後測發現學生在乘法演算上有顯著的 進步，且因直接教學法帶來的成功經驗提升了學生的自信心與學習動機。 由於直接教學法屬於目標導向的教學方式，因此學習目標的設立是非常重要 的關鍵，學習目標須符合學生的起始能力、先備知識，才能避免所設之目標對學 生而言過於困難。江淑怡（2009）建議教師在教學前先確認學生的先備知識，如 不足應先落實先備知識的訓練。 直接教學法亦可搭配其他的學習策略，在「教」「學」俱進之下，以增進其 成效，如陳素菁（2008）在〈直接教學結合自我教導策略對國小六年級數學低成 就學生整數四則運算之學習成效〉中，以三名國小六年級數學低成就的學生為研 究對象，根據直接教學法的原則，將教學的題型範例及解題口訣製成放大字卡， 利用早自習、午休及課後輔導時間，進行每週 3 至 5 次的補救教學，研究結果指 出直接教學結合自我教導策略在學生整題及各類題型之正確率都具備立即與保 留效果，故教學與學習策略的併用，可促進良好的學習效果。 （二）合作學習法 合作學習（cooperative learning）以教師為主動的引導者，將學生進行異質 分組形成學習小組，讓學生互助合作，共同討論、探究並解決問題，以達到學習 目標。Johnson 和 Johnson（1987）曾就合作學習的重要屬性提出以下四項（王文 科，2007）： 1 .藉由共同目標、分工、小組成員間資訊或資源的分配、分派學生以及團體
27 獎勵的頒發，以達成小組內積極性的互相依賴。 2.學生相互彼此間作面對面的交互作用。 3.個人能熟練分派的材料，達成工作績效。 4.適當運用人際以及小組技巧。 Johnson 和 Johnson 認為合作學習呈現正面的成果，例如獲得較高的成就、 提升批判思考能力、對科目表現較積極態度、令學生相信等第系統是較公平的評 分方式。 合作學習讓學生不再成為學習的孤獨個體，在小組成員的相互輔助及激盪之 下，比起一般的教學方式，更能促進知識學習的成效。例如李孟儒（2011）在〈合 作學習對學習成效之探討–以一元 2 次方程式為例〉的研究中，探討「合作學習」 與「一般教學」兩種不同方式對於學生解一元二方程式及數學學習態度之差異。 研究對象為兩個國二班級，其中一班採小組成就區分法（STAD）及小組協力教 學法（TAI）的方式進行教學（實驗組），另一班則採一般教學的方式（對照組）， 兩組學生皆實施前後測及延宕測驗。研究結果發現合作學習法能增進學生教導低 成就同儕的意願，且在學習成效上，合作學習能夠提升學生的解題能力，其中以 中分組的學生成效最佳，低分組次之。而高分組雖無顯著差異，但合作學習皆有 助於保留學生之學習效果。 除了提升解題能力之外，合作學習因採小組的方式進行知識的學習與討論， 增進了學生互動的機會，也提升了學生的學習動機，尤其對低成就的學生而言， 此種小組合作的方式是他們樂於接受的。如林秋蘋（2012）在〈合作學習法應用 於數學教學之研究〉中，探討合作學習法對於國一學生之數學學習及動機之影響， 研究對象為實驗組與對照組兩個班級，運用動機量表、能力測驗、成就測驗、學 習單及回饋單了解學生的學習成效與感受。研究結果發現合作學習有助於提升學 生的自我效能與成就動機，且在學習成就測驗的表現上，實驗組的學生顯著優於
28 對照組的學生。而在回饋意見中，低成就的學生更認為合作學習可激發他們的學 習意願與動機。 在實施合作學習時，為了促使學生在合作的過程中能團結一致、相互激勵， 也會加入小組競賽的方式來增進學生的學習動機，以陳進忠（2013）在〈以小組 積分競賽進行合作學習教學在「乘法公式」單元對八年級學生學習成效的影響〉 的研究為例，研究者將學生分為實驗組與對照組，實驗組以小組積分競賽進行合 作學習教學，對照組以傳統講述法進行教學。於教學後施測蒐集兩組學生乘法公 式的成就評量結果，且另外對實驗組進行學習動機量表的前後測驗。研究結果指 出小組積分競賽進行合作學習與傳統講述法教學對於學生學習動機方面，實驗組 優於對照組，且學生在互相教導時可以產生成就感及信心，但在乘法公式之學習 成就沒有顯著差異。 （三）資訊融入教學 電腦與數位科技的發展已經使得資訊融入教學成為目前教學的趨勢，電腦與 數位科技除了能提供較具體的表徵之外，還提供生動的介面、互動的功能，引發 學生的學習動機。孟瑛如（2000）認為電腦與數位科技所發展的多媒體教材能有 效結合建構主義的精神，甚至對於問題情境的呈現較一般採用講述或文字的方式 佳，除此之外，還能發展、提供適性化的測驗，且可將多媒體教材建置在網路上， 達到資源共享的目的。 如前所述，教學透過電腦與數位科技的輔助，能呈現具體的表徵促進學生對 於數學的概念理解，增進其學習成效。例如楊儒仁（2010）在〈電腦輔助教學對 數學低成就學生補救教學成效之個案研究–以柱體的體積為例〉中，針對四名國 小六年級數學低成就學生分別在「體積初步概念」、「體積保留概念」、「體積測量 概念」及「體積應用解題」採用電腦輔助教學，研究發現四名學生在前述四項主 題之立即表現及整體表現成效良好，而「體積應用解題」的部分更是成效顯著。
29 此外，電腦與數位科技能夠簡便地處理數據資料，甚至繪製成圖形，亦可觀 察其變化與趨勢。使用電腦與數位科技繪圖的另一項優點，即能夠增加圖形的正 確度，減少誤差。同時學生透過電腦繪圖的過程，能夠建立圖形的概念與關係。 例如陳秀湘（2011）在〈資訊科技融入國一學生數學補救教學之研究–以二元一 次聯立方程式圖形為例〉的研究中，以個案研究法針對 6 名數學低成就學生進行 資訊科技融入之數學補救教學，教導學生使用動態數學軟體 GeoGebra 繪製二元 一次聯立方程式的圖形並加以觀察，同時在教學後訪談學生以了解其概念。研究 結果指出學生於補救教學前後之學習表現達顯著差異，且在後測之答題表現上學 生能使用較佳的口語能力表達、說明。此外，從後測試卷的作答情形來看，學生 在解題時能使用圖示表徵來思考，可促進學生的數學理解，而學習態度的部分則 較先前積極。 國內運用電腦與數位科技輔助教學已經是目前的趨勢，在補救教學的部份也 證明電腦與數位科技的輔助確實帶來成效。根據謝彩鳳（2012）在〈數位化補救 教學對學生學習成效影響之後設分析〉的研究中，針對認知學習及情意兩個部分 蒐集相關的研究案，其中認知學習的研究案有 38 篇，情意的研究案有 15 篇，採 用後設分析法（meta-analysis）探討數位化補救教學與傳統補救教學對於學生認 知及情意學習成效之影響。所謂數位化補救教學是以電腦多媒體、行動載具、電 子書、平板電腦、智慧型手機等數位產品為媒介，傳遞數位教學素材給學習者的 一種教學模式，並運用此模式進行補救教學。研究結果顯示在認知學習與情意兩 個部分，數位化補救教學均優於傳統補救教學。
（四）圖示表徵策略（graphic representational strategy）
「表徵」是對於同一概念的多種具體化的結果，「圖示」是其中的一種方式。 圖示表徵策略是利用基模圖（schematic diagrams）來組織問題的訊息，以協助問 題轉譯和解決。圖示表徵可降低學習者的認知過程負擔，有效應用心理資源於問 題解決。具體來說，圖示表徵是指將抽象的概念或內在表徵以視覺的方式呈現出
30 來（羅秋霞，2006）。 由於數學低成就學生或學習障礙學生對數學抽象概念的理解能力不佳，圖示 表徵剛好提供了較為具體的思維鷹架。圖示表徵策略運用在國中小補救教學或特 殊教育上均有良好的成效，例如江美萱（2008）在〈圖示教學對國中學習障礙學 生整數加減之文字題解題成效之研究〉中，以三名國三學習障礙學生為研究對象， 研究結果顯示圖示教學能增進學生對整數加減文字題解題之正確率，且撤除教學 介入後，仍可維持其表現。又如李虹韻（2010）在〈線圖策略對國小數學低成就 學生兩步驟文字題之學習成效〉的研究中，以三位國小四年級數學低成就學生為 研究對象，進行線圖策略之實驗教學，研究結果指出線圖策略對於整體解題與各 類題型的正確率均具立即與保留效果。 圖示表徵能有效應用於數學文字題的教學，只是學生剛開始使用圖示表徵時 容易產生困難，所以教師必須詳細地示範並指導學生練習，如阮慧津（2009）在 〈圖示解題策略應用於國小四年級學童解兩步驟文字題補救教學之個案研究〉中， 針對三名國小四年級的學生進行整數兩步驟文字題的補救教學，引導學生把文字 題的題意以圖示表徵出來。研究結果顯示圖示解題策略有助於四年級數學低成就 學童解兩步驟文字題的學習且其成效具有保留效果。該研究建議在教學上必須讓 學習者有足夠的圖示策略之學習經驗，教學初始必須要求學生確實模仿教師清楚 地畫出圖示與解說，且布題應貼近學生之生活經驗。 （五）後設認知策略教學 所謂「後設認知」是指對認知的認知、對思考的思考，也就是個人對自己的 認知歷程能掌控、支配、監督及評鑑的高一層認知（張春興，1994）。按教育大 辭書對後設認知的說明中提到後設認知的成分包括：個人對「問題性質的確認」、 「選擇解題策略與步驟」、「表徵知識的應用」、「解題時間的分派」及「解題監控」 等五種。
