題意理解之成效

本節針對 2 名研究對象經過引導式提問協助後在題意理解之表現情形進行 分析。在數學解題歷程中，先有題意理解才能進入到解題步驟，也就是必須了解 題目字句的意義後，才能將之轉譯成某種內在表徵（internal sentation），以利轉 換成數學符號再進行解題。因此，題意理解乃解題前之首要步驟。

在研究者講解例題後，便提供學習單讓研究對象練習，並針對其困難處給予 鷹架支持，同時評量研究對象接受協助後之潛在發展水準。完成學習單後，研究 者再以隨堂測驗評量研究對象之獨立表現，以了解是否同樣達到潛在發展水準，

再評判提問及鷹架方式之效果。

據此，當研究對象在學習單遇到困難，研究者便以引導式提問中的「題意釐 清提問」評量其對題意之理解情形，提問的重點為題目中的「語言知識」，即題 目語句之意義，包含「題目所問之問題」、「重要數據」及「數學名詞」。提問的 目的在於刺激研究對象思考題意，如思考後仍未理解，研究者再提供鷹架協助。

到了隨堂測驗時便不再提供任何協助，由研究對象自行根據題意設未知數及 列方程式。作答完成後，研究者再針對作答正確部分進行列式思維歷程訪談，以 確認研究對象是透過正確、合理之思考後產出答案，而表示其真正理解題意。換 句話說，本研究透過兩種方式探究研究對象之題意理解：一是透過研究對象讀題 之後對題目語句意義的理解，另一是透過研究對象對列式的說明探究其對問題中 相關訊息之關聯、概念的理解。

為探討題意理解之成效，研究者以研究對象在學習單練習時接受題意釐清提 問之回應內容，以及隨堂測驗列式思維歷程訪談內容等資料加以分析，並分別以 三類題型之表現說明如下。

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一、研究對象在訊息明確型問題題意理解之表現

訊息明確型問題的特徵是可直接觀察到其所陳述的條件及關係，不需另外推 論其他的條件或關係，在本研究教學設計的兩個迴圈中，屬於迴圈一的第 1、第 2 次教學及屬於迴圈二的第 7、第 8 次教學內容皆為訊息明確型問題。

從 2 名研究對象在各次訊息明確型學習單練習時接受引導式提問之表現來 看，二人均清楚題目所欲求解的問題，亦能正確說明重要數據的意義，顯示其題 意理解無困難。以第 1 次教學之學習單為例，其題目為「小黑特別喜歡吃夏威夷 豆和無花果，她將 5 包夏威夷豆和 4 包無花果放在一電子秤上，稱得重量為 1740 克；然後放 1 包夏威夷豆和 3 包無花果，稱得總重量為 480 克，則 1 包夏威夷豆 和一包無花果各重多少？」。開始練習時，2 名研究對象均不知如何作答，研究 者便以題意釐清提問分別向其提問「題目在問什麼？」以評量二人在讀題後是否 理清楚題目所問之問題，結果二人均正確回答所求為夏威夷果和無花果單一包之 重量。

接著研究者針對題目中的重要數據來提問，重要數據亦是題意理解的一部分，

研究者希望藉由提問來評量 2 名研究對象對數據意義的理解情形，並引導其思考 題意與設未知數、列式之關聯。因此，研究者以題目中 5 包夏威夷果和 4 包無花 果的重量「1740 克」及 1 包夏威夷果和 3 包無花果的重量「480 克」進行提問。

由於「1740」與「480」是以「1 包夏威夷果」和「1 包無花果」之重量為基本單 位所合成之數據，所以研究者繼續以題意釐清提問分別提問「1740 是什麼的重 量？」與「480 是什麼的重量？」，目的在於引導二人思考該數據是由哪些基本 單位所組成，以利進一步發現題意所隱含設未知數與列方程式之線索。從回應的 內容顯示，二人均清楚「1740 克」與「480 克」之意義，表示其清楚題目語句意 義，即題意理解無困難。2 名研究對象在第 1 次教學學習單練習時接受題意釐清 提問之情形如表 4-3。

74 便分別向其詢問如何列出「x＋y＝26」和「3x＋2y＝68」，結果二人均回答是根 據「丟出正面得 3 分，丟出反面得 2 分。共丟了 26 次，得 68 分」列式，由此可 見二人皆合理陳述自己所設未知數及列方程式之依據，代表其清楚題意後，才正

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二、研究對象在訊息辨識型問題題意理解之表現

訊息辨識型問題即所陳述的條件中，部分條件或關係可從其現象、法則或圖 形性質辨識出來，如從天平的平衡狀態可知兩邊秤盤上的物品重量相等；從一個 等腰三角形可推知兩腰長相等及兩底角相等；從雞兔同籠問題可知一隻雞有 2 隻腳，一隻兔子有 4 隻腳；從一個二位數可知其數值結構為十位數字位值是個位 數字位值的 10 倍等。在本研究教學設計的兩個迴圈中，屬於迴圈一的第 3、第 4 次教學及屬於迴圈二的第 9、第 10 次教學內容都屬於訊息辨識型問題。

根據 2 名研究對象在各次訊息辨識型問題學習單練習時接受引導式提問之 表現來看，二人均清楚題意。以第 9 次教學之學習單為例，其題目為「有一個二 位數，其十位數字的 3 倍與個位數字的和為 19，且此二位數的十位數字和個位 數字對調後所得到的新數比原數大 27，則這個原來的二位數是多少？」。在研究 對象不知如何作答的情況下，研究者先以題意釐清提問詢問「題目在問什麼」來 確認 2 名研究對象是否清楚題目所問的問題，結果顯示二人皆清楚題目所求為二 位數。

此外，重要數學名詞亦是題意理解的一部分，在此題中，研究者認為最重要 的是理解何謂「二位數」。為了掌握 2 名研究對象對二位數之理解層次，以便提 供協助，研究者將理解的層次分為「表面知識層次」、「表面結構層次」與「內在 結構層次」。表面知識層次的理解為「運用兩個數字來列舉或寫出二位數」；表面 結構層次的理解為「知道二位數是由十位數字與個位數字組成」；內在結構層次 的理解為「知道二位數之數值結構且能以科學記號表示之」。

在題意理解部分，研究者僅評量 2 名研究對象對二位數之表面知識及表面結 構層次的理解情形，而內在結構層次因與列方程式相關，故另於第三節分析。首 先，研究者以題意釐清提問分別向二人提問「什麼叫二位數？」，雖然「二位數 本身及其是由十位數字與個位數字組成」對國中生而言屬於基本常識，但研究者

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但二人對於「長比寬的 2 倍少 1 公分」卻發生列式錯誤的情形。其中，S1

在設長為 x、寬為 y 的情況下，將式子列為「2x－1＝y」，意即「長的 2 倍少 1 公分等於寬」，與題意相反；而 S2未列式，故此部分研究者改以引導式提問協助。

由於「長比寬的 2 倍少 1 公分」為複合句，解題時必須同時理解「比」、「2 倍」、

「少 1 公分」、「長與寬的長度關係」。依研究者的教學經驗，「長比寬的 2 倍少 1 公分」中的「比」字其實讓人難以想到要使用「等號」表示，因此研究者便先針 對「比」字提問，結果二人無法說明其意義，此時研究者提示將「比」換成「是」，

二人仍無法說明，直到研究者舉例「林老師『是』一個體重 100 公斤的男生」， 二人才理解「是」為「等號」的意思。隨後研究者提問「長是寬的 2 倍少 1 公分，

這是什麼意思？」，結果二人均分別說出此句題意為「長等於寬的 2 倍少減 1」

及「寬的 2 倍減 1 就等於是長」，表示二人清楚題意。

對照訊息辨識型學習單之題意釐清提問回應內容及隨堂測驗列式思維歷程 訪談資料並無差異，代表 2 名研究對象皆清楚題意。

三、研究對象在訊息推論型問題題意理解之表現

訊息推論型題目的特徵是部分條件或關係於題目敘述中並未說明，而必須經 由題意推論來發現。題意的推論分為兩種，一種是文字上的直接推論，例如「2 瓶可樂可換 1 瓶咖啡」，代表「2 瓶可樂的價錢等於 1 瓶咖啡的價錢」；另一種是 關係上的推論，例如「姊姊給妹妹 5 元」，表示姊妹兩人的錢數就會產生變化，

即「姊姊的錢會少 5 元」且「妹妹的錢會多 5 元」。在本研究教學設計的兩個迴 圈中，屬於迴圈一的第 5、第 6 次教學及屬於迴圈二的第 11、第 12 次教學內容 都屬於訊息推論型的題目。在訊息推論型的題目中，除了第 6 次是文字推論的題 目，其他皆為關係推論的題目。

在此題型的教學實施中，2 名研究對象對文字推論題目皆理解題意且作答正 確，反而在關係推論題目出現困難。在提問過程中，研究者發現關係推論的題目

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有別於其他類型的題目，提問時多次使用到關係釐清提問，以題目「姊姊給妹妹 5 元，則姊妹兩人的錢各變成多少？」為例，題意釐清提問僅詢問「題目在問什 麼？」或者和運算符號有關的詞彙（如「一樣多」代表等號），如此無法掌握整 體題意，因為解題關鍵在於對關係句「姊姊給妹妹 5 元」之理解，如要探討研究 對象對關係推論題目之題意理解情形，便須搭配關係釐清提問來探討，也就是說，

訊息推論型問題之題意理解必須同時藉由題意釐清提問與關係釐清提問來進行 評量、協助。

就 2 名研究對象在每次訊息推論型學習單練習之表現來看，其題意理解並無 困難。以第 5 次教學之學習單為例，其題目為「若甲給乙 100 元後，2 人的錢一 樣多，但如果是甲給乙 200 元後，乙則是甲的 3 倍，則甲乙兩人共有多少錢？」， 是屬於「給—受」關係之推論，解題重點在於從「甲給乙 100 元」推論出「甲減 少 100 元」且「乙增加 100 元」。當二人作答錯誤時，研究者先以題意釐清提問 來確認其是否清楚「題目所問的問題」和「涉及數量關係的詞彙」，結果顯示二 人均理解題目語句之意義。

接著研究者再針對關係句「甲給乙 100 元」進行關係釐清提問。首先對 S1

提問「甲給乙 100 元之後，他們兩個人的錢出現什麼樣的變化？」，結果 S1僅回

提問「甲給乙 100 元之後，他們兩個人的錢出現什麼樣的變化？」，結果 S1僅回