根據上式，可以知道若要達到最大電氣輸出功率，每一相的電流必須和反電動勢同相 位，並且每一相電流理面的任一諧波成分也必須反電動勢波型相同，如此一來相電流 有效值可以達到最小化，同時也將電流在被動元件上的損失最小化，期望達到效率的 最佳化。
4.1.2 電壓命令與功率因數角度之關連
由上一小節的介紹，已經知道效率最佳化的條件，因此在這邊介紹如何利用電壓 命令修正功率因數角度ϕ以期望使反電動勢和電流同相位。首先功率因數控制的原理 如圖4.2所示，在無感測V/f控制下雖然沒有利用演算法或是位置感測器精確的計算出轉 子位置，但是仍然可以經由控制功率因數角度ϕ實現無感測控制，且在任一穩態操作 點下，負載角度δ 、反電動勢與電流相角差φ與功率因數角度ϕ會維持一特定關係，藉 由適當的調整功率因數角度ϕ，一定可以找到一個最佳功率因數角度ϕ*使得系統在特 定穩態操作點下的電流有效值最小也就是效率最佳操作點。
接著就是要介紹電壓命令與功率因數角度ϕ之間的關連，可以從圖4.3永磁同步馬 達空間向量控制圖著手。首先圖4.3(a)是代表電流與反電動勢同相位的狀態，此時正是 如上所述效率最佳化的狀態；圖4.3(b)則是代表若電流領先了反電動勢的狀態，值得注 意的是在此是假設系統操作在某一個穩態操作點，因此轉速維持不變，故可以看成反 電動勢的大小及相位均相同，但為了維持固定的轉速，此時在q軸上的電流分量必須與
e
i
v
ϕ φ
E
I
V ϕ
Torque ripple
ϕ
*δ
圖4.2 功率因數角度控制原理示意圖
e v
功率因數角度ϕ*的時候，電壓向量也會變小，因此若期望系統可以回到最佳操作點只 需要將電壓命令增加，即可回到效率最佳操作點。
同理，我們可以觀察圖4.3(c)也就是電流落後反電動勢的狀態，若要較為嚴謹的討 論，圖4.3(c)又可以分成兩個狀態來討論，如圖4.3(c)-(1)代表電流落後反電動勢但電壓 仍然領先反電動勢而圖4.3(c)-(2)代表電流落後反電動勢且電壓也落後反電動勢。此時 的假設條件均與上述相同，因為保持在同轉速的穩態操作點，故反電動勢一樣大小與 相位不變，而為了保持同轉速操作，在q軸上的電流分量也都與圖4.3(a)相同，故從兩 張圖中均可以看到此時的電流向量ivc
會大於iva
，同理將此時的電阻電感上跨壓等比例放 大即為vvRc
、vvLc
，接著計算出來的電壓向量vvc
會大於原本在最佳操作點的電壓向量 vva
，而此時功率因數角度ϕ會大於最佳操作點的功率因數角度ϕ*，故可以得到另一個 重要的結論，在功率因數角度ϕ 大於最佳功率因數角度ϕ*的時候，電壓向量也會變 大，因此若期望系統可以回到最佳操作點只需要將電壓命令降低，即可回到效率最佳 操作點，且分成兩種型式討論皆可以得到相同的結論。
根據以上的分析在此可以做個小結論，當系統維持在一個特定轉速下的穩態操作 點時，此時一定有一個相對應的最佳電壓命令V 與最佳功率因數角度命令* ϕ*，若是偵 測到實際的功率因數角度ϕ小於最佳功率因數角度命令ϕ*，表示此時的電流領先反電 動勢而電壓值會小於最佳電壓命令V ，只要將電壓命令增加即可回到效率最佳操作* 點；反之若是偵測到實際的功率因數角度ϕ大於最佳功率因數角度命令ϕ*，表示此時 的電流落後反電動勢而電壓值會大於最佳電壓命令V ，只要將電壓命令降低即可回到* 效率最佳操作點。
4.1.3 效率最佳條件下電壓命令與功率因數角度命令
從前兩小節的敘述，已經知道了效率最佳化的條件以及如何利用電壓命令修正功 率因數角度使系統維持在效率最佳化的穩態操作點，因此接下來面臨的問題就是，如 何計算出在特定操作點下最佳的電壓命令以及功率因數角度命令。傳統的V/f控制定義 即為保持電壓與頻率為固定的比例，可以使系統在全轉速提供相同的定子磁通量，推 導如下，首先考慮第三章(3-8)介紹過的( d - q )軸座標系統電氣方程式在穩態下忽略電感 跨壓可以表示成
vd =Rsid −ω0Lsiq =Rsid −ω0λq, (4-6) vq =Rsiq +ω0Lsid +ω0λm =Rsiq +ω0λq, (4-7) 其中ω0為系統提供的電氣轉速，此時若考慮馬達電阻跨壓可以被忽略，則上兩式可以 表示成
vd ≅−ω0λq, (4-8)
vq ≅ω0λq, (4-9)
而電壓的大小值可以被近似為
Vs = vd2 +vq2 ≅ω0 λd2+λq2 =ω0λs, (4-10) 故可得到
.
0 s
Vs
ω ≅λ (4-11)
由上面的推導可知傳統的V/f控制只要保持電壓與頻率為固定的比例，可以使系統在全 轉速提供相同的定子磁通量，也因此決定了電壓命令與轉速命令的值。但需要注意的 是，上述方法是建立在忽略電阻值跨壓的條件下才成立，只是一個近似值，因此本文 為了準確的計算出最佳效率穩態操作點下的最佳電壓命令與最佳功率因數角度，利用 第二章建立的馬達數學模型以及鑑別出來的參數，並配合上圖4.3(a)效率最佳化的空間 向量圖，可根據不同的轉速命令而計算出需要的最佳電壓命令與最佳功率因數角度。
首先可以利用穩態下的機械方程式(2-34)計算出在任一個轉速下所需要的電流命令 大小
,
2
t m m m m
s K
K
i = B ω + ω (4-12)
上式中要計算出電流命令只需要知道轉速和其他已知馬達參數，而轉速在永磁同步馬 達中又與V/f控制中的轉速命令維持同步轉速，因此可以輕易計算出在任一個穩態轉速 下所需要的電流值。接著考慮空間向量圖4.3(a)中所示的電流與反電動勢同相位的效率 最佳操作狀態，假設馬達操作在此狀態，配合上面計算出的電流命令大小，利用空間 向量的原理可以推導出所需要的電壓命令大小
vvs (vvR ev)2 (vvL)2, +
+
= (4-13)
上式中每一向量的大小值可分別表示為
vvR =Rs⋅is,vvL =ωe⋅Ls⋅is,ev =Ke⋅ωe,
(4-14) 每一項均只與轉速有關，因此可以輕易的計算出在任一轉速下要維持最佳效率穩態操 作點所需要的最佳電壓命令值。此外也可根據空間向量圖4.3(a)計算出最佳的功率因數 角度命令
* tan 1( ).
e v
v
R L v v
v
= − +
ϕ (4-15)
4.1.4 實驗數據驗證效率最佳化
為了驗證上述電壓命令與功率因數角度關係以及計算出來的最佳電壓命令與功率 因數角度命令之正確性，以下將利用實驗數據來分別驗證提出方法的可行性。圖4.4為 本文使用的單相風扇馬達在2400RPM也就是60%額定轉速的條件下，不同電壓命令對 應不同的功率因數角度波形圖，圖4.4(a)即為在2400RPM下效率最佳穩態操作點的波形 圖，可以看到此時電流與反電動勢完全同相位，電壓命令為5.9V而量測到的功率因數 角度ϕ為5度，圖4.4(b)則是在同樣轉速條件下降低電壓命令為5.8V，可以看到此時電 流會領先反電動勢波形，而功率因數角度ϕ降低為2度，與圖4.3(b)所示的狀況完全相 同，再看到圖4.4(c)是在同樣轉速條件下增加電壓命令至6V，此時的電流波型會落後反 電動勢波型而功率因數角度ϕ則是增加為10度，與圖4.3(c)所示的情形也是完全相同。
並且可以觀察到在圖4.4(a)中的相電壓有效值以及峰對峰值比起圖4.4(b)和圖4.4(c)都來 的小，可以說明在此時即是操作在效率最佳化的狀態。
圖4.5則是市售奇美三相風扇馬達在600RPM也是大約60%額定轉速條件下不同電壓 命令對應不同功率因數角度ϕ之波型圖，與單相風扇有著同樣的結果。圖4.5(a)是在最 佳電壓命令下使得電流與反電動勢完全同相位，圖4.5(b)是降低電壓命令而使得電流領 先反電動勢波型而圖4.5(c)則是增加電壓命令而使得電流落後反電動勢波型。
圖4.6是馬達在不同轉速下改變電壓命令而造成不同功率因數角度ϕ所相對應的電
流有效值，圖4.6(a)是單相風扇馬達的實驗數據而圖4.6(b)是三相風扇馬達的實驗數據，
其中橫軸代表功率因數角度ϕ而縱軸則代表電流的有效值。在同一轉速下電流有效值 越小表示此時的效率越高，從圖中可以看到在任一轉速下，不論是單相或是三相風扇 馬達，都有一個特定的功率因數角度ϕ會使得在某個特定轉速有著最小的電流有效
值，從圖4.6可以證明圖4.4和圖4.5的結果可以套用在全轉速範圍內。
圖4.7是單相風扇馬達在全轉速範圍內相對應的最佳電壓命令以及最佳功率因數角 度命令而圖4.8則是三相風扇馬達在全轉速範圍內相對應的最佳電壓命令以及最佳功率 因數角度命令，其中橫軸代表馬達的轉速範圍，而縱軸則是分別代表了最佳電壓命令 與最佳功率因數角度命令，其中紅色實線是經由(4-12)~(4-15)事先計算出來的最佳命令 值，而藍色虛線則是經由實驗結果得到的最佳命令數據，由圖中可以看到計算出來的 結果與實驗是非常接近的，證明效率最化之穩態操作條件的最佳命令是可以事先計算 出來的。