Time(s)
圖4.19 相位領先控制器補償前後之步階響應
考慮完暫態響應的補償也就是相位領先控制器的設計之後，可以從圖4.19知道此時 系統仍存在穩態誤差，因此接著考慮比例-積分控制器，比例-積分控制器就是針對暫態 響應良好而穩態響應不良的系統做改善。圖4.20為比例-積分控制器之波德圖，可以看 到此控制器因為增加了低頻增益，故可大幅改善穩態誤差，要考慮的條件則是轉折點 的設計以及系統的增益。針對已經設計完成的相位領先控制器，首要條件就是不希望 增益零交越點頻率改變，因為若是改變，系統補償的最大相角就不在增益零交越點 上，此時系統的相位邊限就會受到影響，因此可以將比例-積分控制器中的KP值決定為 1，如此一來在高頻的增益即為零，不會影響到增益零交越點。接著要考慮比例-積分 控制器中另一個參數KI值，KI值的設定可以被兩個條件決定，首先是希望轉折點造成的 相位落後不要影響到上面補償的相位邊限，因此第一個條件就是
, 2
10 g
P
I f
K
K < π ⋅ (4-27)
從圖4.20中可以看到在頻率為十倍轉折點時，相位落後已經趨近為零，因此只要此時的 頻率小於增益零交越點，比例-積分控制器就不會降低原本補償完畢的相位邊限，接著 另一個條件可以從期望的穩態誤差值來決定，此時原二階系統考慮加上比例-積分控制 器和相位領先控制器後的穩態誤差可表示為
, )
( ) ( 1
)
lim ( ,max
0 ss
I P lead
ss s e
s K s sK
G s G
s R
e + ⋅ s ⋅ + <
= ⋅
→ (4-28)
在上式中，若考慮步階響應，則輸入R(s)為1/s，此時穩態誤差必然為零，另外在馬達 控制系統中往往會使用單位斜坡輸入來檢查追隨命令的速度快慢，因此本文設計控制 器時將考慮單位斜坡輸入穩態誤差。此時在(4-28)中除了KI值尚未確定之外，其他參數 皆已經決定，因此可以由設計者本身可容許的穩態誤差最大值，決定出KI值的下限，
而根據(4-27)設計者則可以決定出KI值的上限。
經由上面的設計，圖4.21為經過比例-積分控制器補償後的頻率響應圖。可以看到 藍線為原本二階系統加上相位領先控制器補償的頻率響應，綠線為比例-積分控制器的 頻率響應，而紅線則是二階系統加上比例-積分控制器和相位領先控制器補償後的迴路 增益，可以看到補償後系統的低頻增益增加且沒有影響到增益零交越點和相位邊限。
圖4.22則是兩種狀態下的步階響應比較，可以看到只加入相位領先控制器而尚未加入比 例-積分控制器的藍線，最後會存在著穩態誤差，而經過補償的綠線的穩態誤差幾乎為
零，且兩者有著幾乎相同的暫態響應。
lead j dB
G ( ω )
) ( jω Glead
∠
P I
K K
P I
K K 10
P I
K K 10
°
− 90
° 0
°
− 45 K P
log 20
K P
10 log 20
ω
ω
圖4.20 比例-積分控制器之波德圖
-100 -50 0 50 100
Magnitude (dB)
10-2 10-1 100 101 102 103 104
-180 -135 -90 -45 0 45
Phase (deg)
Bode Diagram
Frequency (Hz)
--plant+phase lead --PI controller
--loop gain
PM_new=72
圖4.21 比例-積分控制器對系統補償之頻率響應圖
0.2 0.4 0.6 0.8 Time (s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8