高效率控制器設計

0 900 1.8 10× ³ 2.7 10× ³ 3.6 10× ³ 4.5 10× ³ 0

3 6 9 12 15

v t( ) A〈 〉²

we t( ) 4.7746⋅ A〈 〉¹ , Speed (RPM)

Voltage (V)

0 900 1.8 10× ³ 2.7 10× ³ 3.6 10× ³ 4.5 10× ³ 0

3 6 9 12 15

θ( )t A〈 〉³

we t( ) 4.7746⋅ A〈 〉¹ , Speed (RPM)

Phi (degree)

(a) (b)

圖4.7 單相風扇馬達在不同轉速對應的最佳電壓命令與最佳功率因數角度 (a)最佳電 壓命令 (b)最佳功率因數角度

0 200 400 600 800 1 10× ³

0 3 6 9 12 15

v1 t( ) B〈 〉²

wrpm( ) Bt 〈 〉¹

Speed (RPM),

Voltage (V)

0 200 400 600 800 1 10× ³

0 5 10 15 20

θ( )t B〈 〉³

wrpm( ) Bt 〈 〉¹

Speed (RPM),

Voltage (V)

(a) (b)

圖4.8 三相風扇馬達在不同轉速對應的最佳電壓命令與最佳功率因數角度 (a)最佳電 壓命令 (b)最佳功率因數角度

4.2 高效率控制器設計

4.2.1 系統轉移函數之二階系統近似模型

經由前面的敘述可以了解電壓命令與功率因數角度之間的關連，且以馬達的數學 模型為基礎，可以輕易的由轉速命令計算出需要的電壓命令與功率因數角度命令，經 由上面的實驗數據也說明了計算出來的最佳命令值之正確性，在圖4.1中的系統整體功 能方塊圖中，剩下高效率控制迴路實現的部分。首先考慮如圖4.9中的高效率控制迴路 架構圖，由轉速命令產生的最佳功率因數角度命令ϕ^*與實際的功率因數角度回授相

減，經由高效率控制器來修正電壓命令，並經過弦波產生器後將弦波電壓命令送給馬 達系統，最後再經由回授電流與電壓命令來計算實際功率因數角度。因此若需要有條 理的設計高效率控制器完成高效率控制迴路，首先最重要的是如何得到電壓對應功率 因數角度的轉移函數，在此控制迴路中，雖然馬達本身可看成一個一階系統且其他回 授放大和類比數位轉換過程均可以簡單計算出轉移函數，但在實現測量功率因數角度 的過程，無法準確的使用數學模型近似，因此本文為了得到電壓對應功率因數角度的 轉移函數，在電壓命令的部分手動加入小訊號擾動，如圖4.10所示。將系統調整到某個 特定轉速下的效率最佳穩態操作點，並在原本的最佳電壓命令上另外加入一個弦波電 壓小訊號擾動，此時可以得到功率因數角度輸出之弦波小訊號，反覆以上動作並且將 輸入電壓小訊號擾動之頻率慢慢從低頻增加到高頻，將不同頻率下輸出功率因數角度 小訊號擾動對應於輸入電壓小訊號擾動之增益與相位差紀錄下來，得到的曲線即為尚 未加入控制器之高效率控制迴路頻率響應。

-+

s

s R

sL+ 1

±V

_DC

KPWM

f

sw

i

K_ADC Current sensing

ϕ

* High Efficiency Controller

+

ϕ

∆ v V

+ Sine

Waveform Generator )

*sin(

e

Vm θ

Phase Detector

圖4.9 高效率控制迴路架構圖

s s R sL+

1

±V

_DC

KPWM

f

sw

i

K_ADC Current sensing +

ϕ

∆ v V

+ Sine

Waveform Generator )

*sin(

e

Vm θ

Phase Detector V perturbation

圖4.10 加入電壓小訊號擾動之高效率控制迴路架構圖

如圖4.11為單相風扇在3375RPM下也就是75%額定轉速下保持效率最佳穩態操作點 並加入1Hz之電壓小訊號擾動及功率因數角度小訊號擾動輸出波型，圖4.11(a)為模擬波 型而圖4.11(b)則為實驗波型，可以看到模擬的增益為7.6dB，相位差為-0度而實驗的增 益為7.84dB相位差-0度，模擬和實驗得到的輸出對應輸入之迴路增益與相角差均非常類 似，圖4.12則是在同樣的操作條件下加入3Hz之電壓小訊號擾動及功率因數角度小訊號 擾動輸出波型，同樣可以比較模擬和實驗得到的結果是非常相近的。

反覆進行上述的動作並且將結果記錄下來，可以得到圖4.13(a)所示之尚未加入控 制器之迴路增益頻率響應，由圖中看出來此系統非常接近一個二階系統，因此可以利 用二階系統在頻域上一些特殊的關係式來計算出二階系統的實際參數值並且近似我們 所得到的頻率響應關係圖。首先可以從圖4.13(a)觀察並計算出系統的共振峰值Mr，又 M_r在頻域上之關係式可表示為

, 1 2

1 ξ2

ξ −

r =

M (4-16)

經由上式可以計算出系統的阻尼比。接著利用共振峰值發生時的頻率稱之為共振頻率 與系統自然無阻尼頻率之關係

, 2 1 ξ² ω

ωr = n − (4-17)

利用上兩式可以很快的計算出二階系統的自然無阻尼頻率以及阻尼比，而上兩式詳細 推導過程可以參考[35]。因此我們可以將近似的轉移函數畫出頻率響應圖並和原本得到 的系統頻率響應做一比較並繪於圖4.13(b)，圖中的藍線為原本系統之頻率響應而紅線 則為近似的二階系統之頻率響應圖，可以看到近似的二階系統與原本的系統響應有著 一定的相似度，因此以下的控制器設計均以此為基礎。

為了確認在全轉速範圍內的系統轉移函數，另外在2400RPM也就是50%額定轉速 下進行如上的動作，將兩個操作點得到的頻率響應做一比較如圖4.14，可以發現在不同 轉速下系統頻率響應會稍稍不同，可以看到低轉速時系統增益會增加且共振頻率會下 降，若全轉速範圍內均使用同樣的控制器必然無法達到良好的響應，因此在不同轉速 下也要針對控制器稍做修改，這點會在稍後做詳細的說明，以下將先針對3375RPM下 也就是75%額定轉速下獲得的頻率響應做控制器設計說明。

V_com_512

5 6 7 8 9

Gain dB

V=

Gain dB

V =

圖4.11 3375RPM(75%額定轉速)下輸入1Hz電壓小訊號擾動對應於功率因數角度小訊 號擾動輸出之波形圖 (a)模擬結果 (b)實驗結果

V_com_512

5.5 6 6.5 7 7.5 8

Gain dB

V =

Gain dB

V =

圖4.12 3375RPM(75%額定轉速)下輸入3Hz電壓小訊號擾動對應於功率因數角度小訊 號擾動輸出之波形圖 (a)模擬結果 (b)實驗結果

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 2 4 6 8 10 12

-250 -200 -150 -100 -50 0

0 2 4 6 8 10 12

Gain(dB)

Phase(degree)

Hz Hz

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 2 4 6 8 10 12 14

-250 -200 -150 -100 -50 0

0 2 4 6 8 10 12 14

Gain(dB)

Phase(degree)

Hz Hz

(a) (b)

圖4.13 3375RPM(75%額定轉速)下頻率響應圖 (a)實際系統 (b)實際系統與近似二階系 統之比較

-30 -20 -10 0 10 20 30

0 2 4 6 8 10 12

-250 -200 -150 -100 -50 0

0 2 4 6 8 10 12

Gain(dB)

Phase(degree)

Hz Hz ---3375RPM ---2400RPM

圖4.14 3375RPM(75%額定轉速)下與2400RPM(50%額定轉速)下頻率響應圖比較圖

4.2.2 控制器設計流程

經由上述的方式可以得到圖4.9中高效率控制迴路的電壓對應於功率因數角度的迴 路增益，並且可以得到近似的二階轉移函數，針對二階系統的控制，如果希望得到快 速的暫態響應以及零穩態誤差響應，只使用比例-積分控制器是不夠的，因為二階系統 本身的相位就會降到-180度，此時加入比例-積分控制器只能確保零穩態誤差但卻無法 增加系統的相位邊限，因此系統的暫態響應無法改善，比例-積分控制器設計不好甚至 還有可能進入不穩定區域，因此一般而言針對二階系統的控制會選擇型式3控制器，如 圖4.15所示為手繪形式3控制器對二階系統補償的波德圖，可以大略的看出使用型式3控 制器可以增加系統頻寬以及相位邊限，以下將針對如何設計型式3控制器一一說明。

--plant --controller

z1 z2

p1 p2

ω

n

¹⁰ ω

_n

ω

n

1 . 0

z1

1/s

° 0

°

− 90

° 90

--loop gain

z2

ω

n

100

p1 p2

PM Gain(dB)

Phase(degree)

圖4.15 型式3控制器對二階系統補償之波德圖

首先要介紹型式3控制器，此類型控制器像是一種極零點對消的凹陷控制器，一開 始利用在原點的極點修正穩態誤差，接著將兩個零點位置放置於二階系統共振頻率的 附近以消除震盪現象，另外在高頻部分放置兩個極點以消除高頻雜訊，此類控制器之 轉移函數為

), )(

(

) )(

) ( (

2 1

2 1

3 s s p s p

z s z s s

G_typt

+ +

+

= + (4-18)

可以看到使用此控制器時一次有四個變數，在實現上較難一次全部設計完成，因此本 文利用一些簡化的方式提供了有系統的設計過程來設計控制器。首先是將類型3控制器 分成兩個部分，分別是前半部分的比例-積分控制和後半部簡化成一個相位領先控制器 (phase-lead controller)，之所以忽略掉最後面的高頻極點，是因為此二階系統原本的頻 寬已經非常低，故不考慮到消除高頻雜訊的部分。

本文控制器設計的原則是先穩再準，也就是要先使系統穩定再想辦法使穩態誤差 為零即是使系統夠準，而系統的穩定度則是受到相位邊限影響，因此在控制器設計中 應該先考慮使用相位領先控制器的部分補償系統的相位邊限，接著才考慮使用比例-積 分控制器在不影響系統穩定度的情況下如何修正穩態誤差。因此本文中的設計過程將 會先考慮相位領先控制器的設計，以下將先對相位領先控制器的一些基本性質作介 紹。如圖4.16所示即為相位領先控制器的波德圖，首先可以將相位領先控制器的轉移函 數寫成

1 , ) 1

( Ts

s aTs G_lead

+

= + (4-19)

由上式以及圖4.16可以看到兩個轉折頻率分別為ω =1/aT^和ω=^{1/T ，接著將推導相位} 最大值φ_m^{和此時的頻率}ωm^。由於ωm為兩個轉折頻率的幾何平均值，故可寫成

1), ( 1

2 1

10 10

10 lag T

lag aT

lag ω_m = + ^(4-20)

因此相位最大值發生頻率為

1 , T

m = a

ω ^(4-21)

為了決定最大相角φ_m，可將(4-19)的相位寫成

, tan tan

) ( )

(j j ¹ aT ¹ T

G_lead ω =φ ω = ⁻ ω − ⁻ ω

∠ (4-22)

上式可以改寫為

), )(

( ) 1 (

tan aT T

T j aT

ω ω ω ω ω

φ +

= − (4-23)

將(4-21)代入上式

, 2 tan 1

a a

m

= −

φ ^(4-24)

因此，在經過化簡後可以由最大相角決定a值 sin , 1

sin 1

m

a m

φ φ

−

= + (4-25)

如此一來就可以根據希望補償的最大相角以及最大相角頻率來設計相位領先控制器。

lead

j

dB

G ( ω )

aT 1

T 1

a log 20

T

m

a

= 1 ω

φ

m

) ( ^j ω G

_lead

∠

a log 10

ω

ω

圖4.16 相位領先控制器之波德圖

以本文遇到的二階系統為例，首先決定期望的增益零交越點頻率 f 和期望的補償_g' 最大相角φ_m，且此新的增益零交越點頻率要剛好在最大相角φ_m^時的頻率 f ，這時候m

可根據(4-25)和(4-21)分別算出相位領先控制器的a和 T ，如圖4.17所示為期望零交越點 為30Hz而最大補償相角為70度所設計出來的相位領先控制器。但要此時補償的最大相 角發生頻率剛好是新的增益零交越點頻率 f_g'則需要在加上一個K值的調整。從圖4.16 可以觀察到最大相角發生頻率會對系統增加一個10log₁₀a的增益，因此調整K值來修正 系統增益可以寫成

, 0 log 10 ) ) ( ( log

20 ₁₀ K⋅G jω_m + ₁₀a= ^(4-26)

考慮原本二階系統在新的增益零交越點頻率 f_g'也就是 f 時的增益加上相位領先控制_m 器的增益並以K值將增益修正為零。到目前已經將相位領先控制器設計完成，可以從圖 4.18和圖4.19看出補償的效果，圖4.18中藍線為原本的二階系統頻率響應，綠線為考慮 K值後的相位領先控制器頻率響應，而紅線則是加入控制器後的整體迴路增益，可以看 到原本的系統中相位邊限只有15度，而在補償後的相位邊限改善到72度，且系統零交 越點頻率也和預設的值相同。

接著看到如圖4.19中綠線為原本系統考慮成單位負回授狀態之步階響應，可以看到 系統不只存在嚴重震盪而且也有穩態誤差。而在經過補償後的步階響應則是藍線，可

接著看到如圖4.19中綠線為原本系統考慮成單位負回授狀態之步階響應，可以看到 系統不只存在嚴重震盪而且也有穩態誤差。而在經過補償後的步階響應則是藍線，可

在文檔中 控制功率因數角度之永磁同步風扇馬達高效率無感測V/f控制 (頁 69-78)