加減法文字題的探究

文字題（word problem）即為應用題，顧名思義，是一種利用文字敘述來表 達的數學問題形式。學生在接觸應用問題時最早面對的，就是加減法文字題。加 減法文字題對對學生爾後的數學學習亦相當的重要。本節主要說明加減法文字題 的分類和難度。

一、加減法文字題的分類

加減文字題有許多分類，大致上是依依「情境」、「運算」、「語意結構」來進 行分類。在研究上，國內外學者大多採取「語意結構」作為加減法文字題分類的 依據。但不同學者對於加減法文字題的分類仍有不同看法，以下說明幾位學者的 看法：如 Riley、Greeno 和 Heller（1983）將加減法文字題分為改變、合併、比 較三類。；Carpenter 和 Moser（1983）則是把它分為加入、分離、合併、比較、

等化五類；Marshall（1989）則分成改變、合併、比較、重述、變異五類；Fuson

（1992）則分成改變、合併、比較、等化四類。在這幾位學者的分類中，最普遍 的是 Riley、Greeno 和 Heller（1983）將加減法文字題分為改變、合併、比較三 類，以下依據 Riley、Greeno 和 Heller（1983）的方式來說明此三種分類：

「改變類」是指一個數量經過改變（增加或減少）後，變成另一個數量的問 題，可分為結果量未知、改變量未知與起始量未知，如表 2-2-1。

表 2-2-1

加減法文字題改變類類型

結果量未知

小美有 5 枝筆，小明給小美 7 枝筆後，請問小美現在有幾枝筆？

小美有 7 枝筆，小美給小明 5 枝筆後，請問小美現在有幾枝筆？

改變量未知

小美有 5 枝筆，小明給小美一些筆後，現在小美有 7 枝筆，問小 明給小美幾枝筆？

小美有 7 枝筆，小美給小明一些筆後，現在小美有 5 枝筆，問小 美給小明幾枝筆？

起始量未知

小美有一些筆，小明給小美 5 枝筆後，現在小美有 7 枝筆，問小 美原來有幾枝筆？

小美有一些筆，小美給小明 5 枝筆後，現在小美有 7 枝筆，問小 美原來有幾枝筆？

「合併類」是指將兩個數量合在一起的問題，可分為總數未知、子集合未知，

如表 2-2-2。

表 2-2-2

加減法文字題合併類類型

總數未知 小美有 5 枝筆，小明有 7 枝筆，請問小美小明共有幾枝筆？

子集合未知 小美和小明共有 12 枝筆，小美有五枝筆，請問小明有幾枝筆？

「比較類」是指兩個數量進行大小或多寡比較的問題，可分為差異量未知、

被比較量未知與參照量未知，如表 2-2-3。

表 2-2-3

加減法文字題比較類類型

差異量未知

小美有 5 枝筆，小明有 7 枝筆，請問小明比小美多幾枝筆？

小美有 5 枝筆，小明有 7 枝筆，請問小美比小明少幾枝筆？

被比較量 未知

小美有 5 枝筆，小明比小美多 7 枝筆，請問小明有幾枝筆？

小美有 7 枝筆，小明比小美少 5 枝筆，請問小明有幾枝筆？

參照量未知

小美有 7 枝筆，小美比小明多 5 枝筆，請問小明有幾枝筆？

小美有 5 枝筆，小美比小明少 7 枝筆，請問小明有幾枝筆？

從表 2-2-1、表 2-2-2、表 2-2-3 來看，本研究採用 Riley、Greeno 和 Heller

（1983）的分類方式，將合併類則分為合併 1-總數未知、合併 2-子集合未知；

改變類分為改變 1-結果量未知、改變 2-改變量未知與改變 3-起始量未知；比較 類分為比較 1-差異量未知比多、比較 2-差異量未知比少、比較 3-被比較量未知 比多、比較 4-被比較量未知比少、比較 5-參照量未知比多、比較 6-參照量未知 比少。結合例題和算式，可得表 2-2-4：

表 2-2-4

二、加減法文字題的難度

根據許多學者探究加減法文字題題型對學生造成的困難程度，以「合併」類 最簡單、「改變」類難度居次、「比較」類最困難(古明峰，1999；蔣治邦、鍾 思嘉 1991；Riley et al., 1983)。而文字題的難度也與未知數的性質有密切關係(翁 嘉英 1988；蔣治邦、鍾思嘉，1991；Riley et al., 1983)。

黃湘婷（2007）採 Fuson 的四種分類方式進行研究，發現學生解題正確率最 高的為合倂類，依序是改變、等化，比較類最為困難。在「合併-總數未知」、

「改變-結果量未知(添加型)」是相對難度最低的。蔣治邦、鍾思嘉（1991）亦 同樣發現除了上述兩種題型外，「改變-結果量未知(拿走型) 」及「改變-改變 量未知(添加型) 」也是學生們最熟習的題型。

在比較類題型中，黃湘婷（2007）發現「比較-參照量未知(比少)」是最困 難的類型；而蔣治邦、鍾思嘉（1991）則認為「比較-比較量未知(比多)」、

「比較-比較量未知(比少)」也是比較困難的題目。

在 Riley(1983)的研究發現，未知數所在位置若是在前面則難度愈高。例如改 變類的題目中，「起始量未知」的題目難度大於「結果未知」；在合併類的題目 中，「子集合未知」的題目難度大於「總數未知」；在比較類的題目中，「參照 量未知」的題目難度大於「差異量未知」或「被比較量未知」。

綜合歸納學者研究，「合併類」問題是最容易，而「比較類」題目最困難。

本論文所欲研究的，乃是採用 Riley 的分類法，目的是要解決「比較類」問題中

「被比較量未知」和「參照量未知」這兩種類型的題目。而研究發現被比較量未 知問題中問題關係句中所使用的語詞與運算動作一致；參照量未知問題中，問題 關係句中所使用的語詞與運算動作相反。

三、比較類文字題的困難點

Nesher、Greeno 和 Riley(1983)認為比較類問題的困難點在於學習者必須理 解兩個數量之間的大小關係才能解決問題。其中最讓國小學童感到困擾的是，學

童常將兩數的差異量 n(A-B)誤以為是 B 所擁有的數。而馬祖平(2001)學者則是認 為學童缺乏用不同觀點來檢視同一比較問題的能力，原因可能在於學童未能熟習 運用「部分-部分-整體」的觀念來理解數量之間的關係，以致缺乏互相轉換的彈 性。

Willis 和 Fuson(1988)的研究指出，當問題的語意敘述情境和解題策略不一致 時，學童最感學習困難；Lewis 和 Mayer(1987)也同時提到若題目中的「關鍵字」

和學童先備知識中的運算「符號」不一致時，也就是所謂的不一致語言

(inconsistent language) 出現時，問題的難度將會更為提升。在這邊提到的不一致 語言(inconsistent language)是指問題中的陳述句和運算產生衝突，如「比…多」，

卻使用減法；如「比…少」，卻使用加法，而一致性語言(consistent language)則 是問題中的陳述句和運算一致，如「比…多」，使用加法；如「比…少」，使用 減法。同時 Verschaffel 等人(1992)在研究中提到學童在面對不一致語言問題時，

在閱讀題目第一句和第二句所花的時間較多，閱讀上也時常感到困難混淆。

Lewis 和 Mayer(1987)曾提出一致性假設(consistency hypothesis)來解釋此不 一致的問題為何會有較多的錯誤，原因在於一致性語言在題目當中的未知數是關 係句的主詞，未知數是受詞，而且關係詞與運算符號呈現一致，符合解題者喜歡 的形式。(如：小美有 5 顆糖果，小華比小美多 3 顆糖果，請問小華有幾顆糖果？) 但不一致語言剛好呈現相反情形，舉例：小美有 5 顆糖果，小美比小華多 3 顆糖 果，請問小華有幾顆糖果。在這個題目中，把小美和小華做調換，小華仍舊是未 知數，但小華變成關係句的受詞，並且題目中的比多和運算中的減法運算「－」

呈現相反情形，對解題者而言，就必須把主詞和受詞互換、關係句中的比多和比 少互換，變成：小美有 5 顆糖果，小華比小美少 3 顆糖果，請問小華有幾顆糖果？

在這樣轉換的過程中，就容易出現逆轉錯誤(reversal errors)。

比較類文字題困難點在於比較類型文字題還有三種類型：差異量未知、被比 較量未知，參照量未知。其中差異量未知、被比較量未知是屬於一致性的語言，

但參照量未知則是屬於不一致性的語言，從翁嘉英(1988)、古明峰(1998)的文獻

中提到學童面對比較類型文字題答題的正確率依序是差異量未知最高，依序是被 比較量未知，最後是參照量未知。由此可看出參照量未知的題目確實因為屬於不 一致的語言而帶給學童解題上的困難。

翁嘉英(1988)提到學生在面對「比多」和「比少」的被比較量未知和參照量 未知的題型時，通常會採用兩種錯誤的解題策略：一種為「呆板對應策略」，也 就是遇到題目中有「比多」的關鍵字時採用「加法」；遇到題目中有「比少」的 關鍵字時採用「減法」。而會使用此策略的學童在於對於題目難以形成問題的表 徵，只能利用問題的局部線索來解題，但此種方式遇到「參照量未知」的問題就 會出現錯誤。另一種學生所採用的錯誤解題策略為「減法」策略，意思為看到看 到有「比」字描述兩量之間關係的題目，都用「減法」來運算。會採用「減法」

策略的學生多半是把題目看成是「差異量未知」的題目，把題目認為是在算兩數 相差的部分，所以一律使用減法。在翁嘉英研究中顯示學生大多錯誤的類型以「呆 板對應策略」較多，「減法」策略較少。