• 沒有找到結果。

國小四年級學童比較類加減文字題解題策略之行動研究—以兩位資源班學生為例

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "國小四年級學童比較類加減文字題解題策略之行動研究—以兩位資源班學生為例"

Copied!
118
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授:黃一泓 博士

國小四年級學童比較類加減文字題解

題策略之行動研究—以兩位資源班學

生為例

研究生:蔡東昇 撰

中華民國 一O二 年 六 月

(2)

謝 辭

兩年研究所的日子,我重新體會到以往當學生的日子,面對新的學業,皆是 以往不曾接觸過的數學教育,也因此讓我對數學有了新的體驗,懂得更虛心地去 請教班上有數學背景的同學,大家一起討論功課的感覺真的很棒。兩年的時間說 長不長,說短不短,但卻有一定辛苦的過程。白天忙完了小學的事務,晚上還要 趕到學校上夜間的課,假日尚有作業要完成,聖經上說:含淚撒種的,必歡呼收 割。感謝上帝保守這一路的過程,最後終能嘗到甜美的果實。 論文寫作過程中,最要感謝的就是黃一泓博士的指導,讓我在學術的研究旅 程上獲益良多,也要感謝口試委員李林滄博士和蕭鴻貴博士給我指導和鼓勵,提 出許多寶貴的意見,讓我的研究成果能更加成長和改進,更要感謝台中教育大學 數學教育所的教授們在晚上辛苦地為我們上課,讓我們在學術研究的領域上更加 的精進。 感謝我的碩士班同學們,這兩年有你們的陪伴真好,在修課期間大家互相支 持與協助,讓對數學不是很在行的我可以一步一步完成老師指定的作業。也要感 謝在論文寫作期間我的夥伴育愷,兩人彼此關心,並在進度落後的時候互相加油 激勵,讓我可以逐步地把論文完成。 而最重要的,我要感謝天父上帝,是祢在沙漠開江河,在曠野開道路,給予 我思想和靈感,又給予我健康的身體,好讓我可以從無到有把論文完成,更可以 認識了這麼多同學,享受當研究生的生活,增添了我人生許多美好的回憶。最後 我更希望能把我這兩年所學習的,踏實的回饋在往後的教學生涯,此謝辭獻給關 心我的每一個人,祝福大家平安、喜樂! 東昇 謹誌

(3)

摘要

本研究以加減法文字題為主題,兩位四年級資源班學生為研究對象,將加減 法文字題分為合併類、改變類、比較類三種類型。以自編加減法文字題為研究工 具,設計出前測和後測工作單,在前測後,透過結構式工作單晤談法,以Polya 提出的數學解題四步驟分析兩位學生的解題過程,探討學生的解題策略以及解題 困難,並以此為依據,設計改進教學。在實施改進教學後對學生實施後測,其目 的為了解透過改進教學能否增進學生對加減法文字題的理解,學生是否能夠運用 新的解題策略提升加減法文字題的解題成效,研究結果摘要如下: 一、加減法文字題中,學生對於合併類、改變類解題表現較好,在比較類則 較為困難。 二、學生在比較類加減法文字題中的解題困難在於無法判斷兩數的大小,以 致依賴關鍵字:看到「多」使用加法,看到「少」使用減法,或遇「比」 字皆用減法策略。 三、針對比較類加減法文字題設計出改進教學,將比較類文字題結構分成大 數、小數和差異量,並探討三種數之間的關係。 四、學生在接受改進教學後,於後測的表現有明顯的進步,並且在訪談中得 到學生已有正確的解題概念。 依據上述結論,研究者分別對教學與未來相關研究提出建議。 關鍵字:加減法文字題、資源班學生、結構式工作晤談法

(4)

Abstract

This study investigates the mathematics addition and subtraction word problems for two 4th grade resource room students. According to the semantic

relations, the addition and subtraction word problems are categorized in three types: combine, change, and compare questions. We used self-compiled materials of addition and subtraction word problems as a tool to design pre-test and post-test work sheets. After pre-test was employed, we interviewed the students using structured, task-based interviews, and then analyzed the students’ problem solving process in terms of their strategies and challenges by Polya’s mathematical “Four-Step Problem Solving”. We improved the instructional methods according to the analyzed results. The improved instructional methods were applied to teach the students such that they can use them to solve word problem. Finally, the post-test was used to evaluate the learning achievement. The summary of analysis results in our study is listed as follows:

1. In the addition and subtraction word problems, students perform better on the word problems about combine and change than on the word problems about compare.

2. Students did not understand the semantic relations in the word problems about compare. They usually intend to use the keywords in the questions to solve the problem: they use addition to answer the questions when they read the word “more”; use subtraction to answer the questions when they read the words “less” or “compare” in the questions.

3. The improved instructional method for the word problem about compare is designed by guiding the students to focus on the large numbers, small numbers, the amount of difference between two numbers, and the semantic relations of these three numbers.

(5)

4. After the intervention, there is a significant improvement on students’ performance in post-test and supported with the results of the interviews we found that they have learned the correct concept for solving word problems. Finally, we proposed a suggestion of instructional method on math addition and subtraction word problem.

Keywords: addition and subtraction word problems, resource room student, structured, task-based interviews

(6)

目 次

中文摘要... I 英文摘要... II 目次... Ⅳ 表目次... Ⅵ 圖目次... Ⅸ 第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 2 第三節 研究問題 ... 3 第四節 名詞釋義 ... 3 第五節 研究限制 ... 4 第二章 文獻探討 ... 5 第一節 數學的解題與分析 ... 5 第二節 加減法文字題的探究 ... 12 第三節 資源班學生數學的學習探究 ... 18 第三章 研究方法與歷程 ... 22 第一節 研究流程 ... 22 第二節 研究對象 ... 24 第三節 研究工具與方法 ... 26 第四節 資料蒐集與分析 ... 30 第四章、改進教學與討論 ... 61 第一節 設計階段 ... 61 第二節 發展階段 ... 63 第三節 分析階段 ... 70 第四節 結果與討論 ... 96 第五章 結論與建議 ... 98 第一節 結論 ... 98 第二節 建議 ... 100 參考文獻... 102 一、中文部分... 102 二、英文部分... 103

(7)

附 錄... 105 附錄一、加減法文字題前測工作單... 105 附錄二、加減法文字題後測工作單... 106

(8)

表目次

表 2-1-1 Schoenfeld 數學解題六步驟及相關問題表 ... 8 表 2-1-2 數學解題歷程比較 ... 11 表 2-2-1 加減法文字題改變類類型 ... 13 表 2-2-2 加減法文字題合併類類型 ... 14 表 2-2-3 加減法文字題比較類類型 ... 14 表 2-2-4 Riley 加減法文字題算式形式 ... 15 表 3-2-1 小嵩三年級國語、數學成績紀錄 ... 24 表 3-2-2 小億魏式智力測驗三版成績 ... 25 表 3-2-3 小億三年級國語、數學成績紀錄 ... 25 表 3-3-1 Riley 加減法文字題的算式形式 ... 26 表 3-3-2 前測工作單 ... 27 表 3-3-3 前測題目分析 ... 28 表 3-3-4 前測後教師訪談提問 ... 30 表 3-4-1 小嵩前測第一題訪談內容 ... 30 表 3-4-2 小億前測第一題訪談內容 ... 32 表 3-4-3 小嵩前測第二題訪談內容 ... 34 表 3-4-4 小億前測第二題訪談內容 ... 36 表 3-4-5 小嵩前測第三題訪談內容 ... 37 表 3-4-6 小億前測第三題訪談內容 ... 39 表 3-4-7 小嵩前測第四題訪談內容 ... 40 表 3-4-8 小億前測第四題訪談內容 ... 42 表 3-4-9 小嵩前測第五題訪談內容 ... 43 表 3-4-10 小億前測第五題訪談內容 ... 44 表 3-4-11 小嵩前測第六題訪談內容 ... 45

(9)

表 3-4-12 小億前測第六題訪談內容 ... 46 表 3-4-13 小嵩前測第七題訪談內容 ... 47 表 3-4-14 小億前測第七題訪談內容 ... 49 表 3-4-15 小嵩前測第八題訪談內容 ... 50 表 3-4-16 小億前測第八題訪談內容 ... 51 表 3-4-17 小嵩前測第九題訪談內容 ... 52 表 3-4-18 小億前測第九題訪談內容 ... 53 表 3-4-19 小嵩前測第十題訪談內容 ... 54 表 3-4-20 小億前測第十題訪談內容 ... 55 表 3-4-21 小嵩前測工作單作答表現 ... 57 表 3-4-22 小嵩前測後比較型題目解題流程圖 ... 57 表 3-4-23 小億前測工作單作答表現 ... 59 表 3-4-24 小億前測後比較型題目解題流程圖 ... 59 表 4-2-1 後測工作單 ... 69 表 4-2-2 後測題目分析 ... 69 表 4-3-1 小嵩後測第一題訪談內容 ... 70 表 4-3-2 小億後測第一題訪談內容 ... 71 表 4-3-3 小嵩後測第二題訪談內容 ... 72 表 4-3-4 小億後測第二題訪談內容 ... 73 表 4-3-5 小嵩後測第三題訪談內容 ... 74 表 4-3-6 小億後測第三題訪談內容 ... 75 表 4-3-7 小嵩後測第四題訪談內容 ... 76 表 4-3-8 小億後測第四題訪談內容 ... 76 表 4-3-9 小嵩後測第五題訪談內容 ... 77 表 4-3-10 小億後測第五題訪談內容 ... 78

(10)

表 4-3-11 小嵩後測第六題訪談內容 ... 79 表 4-3-12 小億後測第六題訪談內容 ... 81 表 4-3-13 小嵩後測第七題訪談內容 ... 82 表 4-3-14 小億後測第七題訪談內容 ... 83 表 4-3-15 小嵩後測第八題訪談內容 ... 83 表 4-3-16 小億後測第八題訪談內容 ... 84 表 4-3-17 小嵩後測第九題訪談內容 ... 85 表 4-3-18 小億後測第九題訪談內容 ... 86 表 4-3-19 小嵩後測第十題訪談內容 ... 87 表 4-3-20 小億後測第十題訪談內容 ... 87 表 4-3-21 小嵩後測第十一題訪談內容 ... 88 表 4-3-22 小億後測第十一題訪談內容 ... 89 表 4-3-23 小嵩後測第十二題訪談內容 ... 90 表 4-3-24 小億後測第十二題訪談內容 ... 91 表 4-3-25 小嵩後測工作單作答表現 ... 92 表 4-3-26 小嵩後測第五題-比較型題目解題流程圖... 93 表 4-3-27 小億後測工作單作答表現 ... 94 表 4-3-28 小億後測第六題-比較型題目解題流程圖... 95 表 4-4-1 以 Polya 的解題四步驟分析改進教學與傳統教學比較表 ... 96

(11)

圖目次

圖 2-1-1 Polya 的解題四步驟 ... 7 圖 3-1-1 研究流程圖 ... 22 圖 4-1-1 比較型問題結構 ... 62

(12)

第一章 緒論

本研究為行動研究,旨在探究兩位四年級資源班的學生在處理比較類加減法 文字題的思維和解題策略,並透過改進教學協助兩位學生建立正確的解題概念, 學會比較類加減法文字題。本章分為五節:第一節為研究動機;第二節為研究目 的;第三節為研究問題;第四節為名詞釋義;第五節為研究範圍與限制。

第一節 研究動機

數學文字應用題(arithmetic word problem)(以下簡稱應用題)在數學領域中占 有重要地位。自小學開始,應用題便普遍存在於數學教材中,而學習應用題的解 題策略也是國中小九年一貫課程綱要數學學習領域的教學總體目標之一。 自國小一年級的數學課本即出現應用題,而應用題主要是以加減法文字題為 主。在研究上,國內外學者大多採取「語意結構」作為加減法文字題分類的依據。 而在分類上,最普遍的是Riley、Greeno和Heller(1983)將加減法文字題分為改 變、合併、比較三類,其中以比較類是最困難的。在研究者近期的教學經驗中, 某次期中考的數學題目中,命題老師出了一題比較類型的加減法文字題,當時研 究者同事的女兒(國小三年級學生)正與研究者的同事討論此題目,提到為什麼題 目敘述是「比多」,她採用加法計算卻是錯誤的?研究者在觀看題目後,發現題 目中的敘述雖然是比多,但題目要求的是較小的數量,必須要改成減法計算才是 正確的。研究者查看課本相關的類似題,發現絕大部分的題目,「比多」常是使 用「加法」,「比少」常是使用「減法」,期中考出的這個題目題意和解題策略 相反顯然造成多數學生的錯誤。 研究者探察文獻,翁嘉英(1988)提到面對「比多」和「比少」的比較類加減 文字題時,學生通常會採用兩種錯誤的解題策略:一種為「呆板對應策略」,也 就是遇到題目中有「比多」的關鍵字時採用「加法」;遇到題目中有「比少」的 關鍵字時採用「減法」。另一種學生所採用的錯誤解題策略為「減法」策略,意

(13)

思為看到看到有「比」字描述兩量之間關係的題目,都用「減法」來運算。 研究者任教於國小的資源班,資源班的學生在語文和數學方面均較一般學生 來得弱勢,面對數學應用題的邏輯思考、理解力也比不上一般的學生。因此面對 資源班的學生教學必須更具體,更具結構化,才能提升教學成效。對於比較類加 減文字題,研究者思考比較類文字題的語意敘述有時和計算結果一致,有時相反 的情形下,是很容易造成學生產生混亂的情形。因此有沒有一套教學方法是能讓 學生清楚明白何時是使用加法?何時是使用減法?如此一來若是能資源班的學 生能藉此學會比較類加減法文字題,相對的一般的學生也能受惠。於是研究者詳 閱甯平獻(2010)在數學教材教法(五南出版社,2010)所提到比較型問題的結構, 以此為基礎,設計出比較型文字題的改進教學。期能協助資源班學生建立比較類 加減文字題正確的解題策略與提升學習成效。

第二節 研究目的

基於上述研究動機,本研究擬分成三個階段進行研究:(1)第一階段為準備 期,主要工作為確定研究主題和對象,依序是文獻蒐集和規劃研究工具。(2)第 二階段先整理訂定各類型加減法文字題,然後再設計前測工作單,而後是正式施 測,再分析施測結果和對學生進行結構式工作單晤談。(3)第三階段開始進行比 較類型加減法文字題的改進教學,接著設計後測工作單,正式施測後再分析學生 的施測結果和再一次對學生進行結構式工作單晤談。 本研究的目的主要在經由上述三階段實施完成後,瞭解兩位國小四年級資源 班學生的加減法文字題的解題策略和透過改進教學提升學習成效。其具體目的分 述如下: ㄧ、了解兩位四年級資源班學生在各類型加減法文字題的解題表現。 二、了解兩位四年級資源班學生面對各類型加減法文字題的解題策略和思考 模式。

(14)

三、發展出改進教學協助兩位學生建立正確的比較類型加減法文字題的解題 策略。 四、了解兩位四年級資源班學生在進行完改進教學後的學習成效。

第三節 研究問題

基於上述研究目的,分別提出幾個研究問題分述如下: ㄧ、探討兩位四年級資源班學生在各類型加減法文字題的解題表現為何? 二、透過結構式工作單晤談探討兩位四年級資源班學生面對各類型加減法文字題 的解題策略和思考模式為何?解題的困難點為何? 三、探討如何設計改進教學?和傳統的教學差異點為何? 四、改進教學,是否有助學生增進比較類型加減法文字題的學習成效?

第四節 名詞釋義

為便於本研究之分析與討論,以下僅就研究中涉及之重要名詞進行解釋與界 定如下:

一、國小四年級學生

國小四年級學生指的是台灣地區國小四年級學生,依入學法定年齡約為10、 11歲,在本研究中則指台中市西屯區某所國小的四年級學生。

二、資源班

資源班又稱資源教室,在特殊教育裡是屬於一種部分時間的支援性教育安置, 資源班的服務對象是指就讀於普通班,但在學業、行為、情緒上需要特別協助的 學生。資源班的學生學籍隸屬於普通班,利用部份的時間至資源班進行補救教學, 其目的為減少標記,又能獲得特殊教育的服務,使學生在學業和情意方面能獲得 充分發展。擔任資源班的老師則須具備特殊教育專長,持有特殊教育合格教師證

(15)

的人方能擔任。 本研究所指的資源班為台中市市立國民小學所設立之資源班,其服務對象為 特殊教育法所稱之特殊教育學生,經由特殊教育鑑定和安置所決定之學生,共分 為十二類:智能障礙、視覺障礙、聽覺障礙、語言障礙、肢體障礙、身體病弱、 嚴重情緒障礙、自閉症、學習障礙、多重障礙、發展性遲緩、其他顯著障礙等。 在本研究中的小嵩的障礙類別為嚴重情緒障礙中的過動症,小億則為學習障礙。

三、加減法文字題

Riley、Greeno 和Heller(1983)將加減法文字題分為改變、合併、比較三類。 這三種類型中以「比較類」難度最高。「比較類」問題是指兩個數量進行大小或 多寡比較的問題,依未知數的位置分為差異量未知、被比較量未知與參照量未知。。 由於比較類問題較為複雜,學生常未能理解關係句的題意或造成錯誤解讀,以致 學生遭遇較多的學習困難。(翁嘉英,1988)

四、數學解題策略

「策略」是指學習者在面對問題情境時,能懂得使用何種技能,並且能夠計 畫、修正使用的技能,達成問題解決。本研究探討的數學解題策略為學生在面對 自編的前測和後測加減法文字題中,各種題目類型的解題方法。學生的數學解題 策略可經由觀察與晤談資料呈現。本研究採用的數學解題策略為Polya提出的解 題四步驟:理解題意、擬定解題計畫、執行解題計畫、驗算與回顧。

第五節 研究限制

本研究針對台中市西屯區某國小(屬於都會區的大型學校)的兩位四年級資 源班學生為研究對象。旨在研究兩位資源班學生的加減法文字題的解題情形,分 析學生在學習中遇到的困難,希望藉由改進教學,透過結構式工作單晤談法了解 分析學生的答題狀況和理解程度是否有顯著的提升,故研究結果尚無法涵蓋全四 年級學生的情況,並冀望日後能繼續做研究推廣。

(16)

第二章 文獻探討

本章共分為三節:第一節說明數學的解題與分析,旨在介紹 Polya(1945)提 出的如何解題、Mayer(1992)主張的問題轉譯方式以及 Schoenfeld(1985)的分析解 題架構;第二節說明加減法文字題的探究,旨在介紹加減法文字題的分類和比較 類文字題的困難點;第三節說明資源班學生數學的學習探究,旨在介紹資源班學 生數學學習困難的特質和原因,以及有效的教學策略。

第一節 數學的解題與分析

數學解題亦即為問題的解決(problem solving),數學解題是一種歷程,主要 是利用先前已具備的知識來解決新的或不熟悉情境的歷程。然在數學解題時,牽 涉到許多解題的因素,例如是否確實了解題意,是否有足夠的數學知識,數學的 解題策略運用,是否計算錯誤等等,本節主要說明Polya(1945)提出的如何解題、 Schoenfeld(1985)的解題歷程模式以及Mayer(1992)主張的問題轉譯方式。

一、Polya(1945)的如何解題

在論及數學問題解決,首先應提及「現代題之父」Polya的貢獻。Polya於1945 年提出數學解題的四個步驟,此四步驟為理解題意、擬定解題計畫、執行計畫、 驗算與回顧,以下詳細說明此四個步驟和學生在這四步驟中遇到的困難和容易犯 的錯誤。

(一)理解題意(understanding the problem)

理解題意是在數學解題中常被忽略的一個過程,Polya認為,回答一個尚未 弄清楚的問題是一件不明智的行為,學生除了能了解題目中的文字敘述,還必須 要知道未知數是什麼?已知數是什麼?題目給的條件是什麼?並且要能夠判斷 解答能夠滿足這些條件嗎?已知的條件是否能夠解答未知數?太少?太多?或 是給的條件互相矛盾等。 許多研究(Carpenter et al.,1980b)指出有許多學生的解題困難,是肇始於對

(17)

題目的不了解。美國全國數學教育發展評估(The National Assessment

ofEducational Performance , NAEP)在第二次評量(1977-78)的題目中,故意列出 與題意無相關的資料,結果發現有大多數的學生將每項資料都加以使用;有一些 題目故意缺少解題的必要條件,學生也沒有發現到,之後將這些問題問學生還需 要哪些資料才能解答此題時,13 歲的學生中有56%、I7歲的學生有32%都回答說 「不知道」(Kantowski,1981;引自林碧珍,1989)。 由此可見,理解題意在數學解題上是相當重要的,教師在教學時必須引導學 生作題意分析,鼓勵學生採用多種策略去了解題意,一旦學生擁有越多關於了解 題意方面的策略,學生作答的興趣和意願也會跟著提高。此外,國內學者林碧珍 (1989)提出理解題意可將問題轉換成圖表、方程式或矩陣等形式呈現,教師在教 學時應該要強調「轉換」,而非使用機械式的訓練學生用「關鍵字」來作答,例 如:有些老師教學生加減法文字題時,要求學生看到「共」就使用加法、「剩下」 就用減法等等,這樣的方式皆會使學生失去理解題意的能力。 (二)擬定解題計畫(devising a plan) 擬定解題計畫中,Polya認為教學者可以用以下的問答來引導學生思考:一、 這個題目是否看過,或是看過類似,但以不同方式表達的題目?二、這個題目是 否可以用另一種型式來表達呢?三、這個題目是否可以用比較簡單的情況來表達? 四、可否用另一種型式來表達題目給予的資料? 在這個階段,Polya認為引導學生的重點在於找出已知數和未知數的關係, 幫助學生考慮類似的問題,最後則是引導學生找到解題的計畫。我們可以說此階 段學生最困難的地方在於在甚麼樣的條件下,使用甚麼樣的解題策略。Polya認 為在這個階段,教師可鼓勵學生思考可否直接使用定理、公式等來做解題。如果 沒有辦法使用公式或定理,那麼就鼓勵學生將題目的資料畫圖或用圖表顯示;或 是將題目更改為較簡單的問題,想出解題策略後,再選取較適合的策略放回原題 目進行探究。常用的策略有很多,例如:猜測與嘗試(Guess and Test)、繪圖(Draw a picture)、尋找規律(Look for a pattern)、簡化題目(Solve a simpler problem)、應

(18)

用數字的特殊性質(Use properties of numbers)、逆向思考(Work backward)、窮盡 可能性(Exhaust possibilities)、尋找公式(Look for a formula)、應用工具(Use tools)、推理(Reasoning)、進行模擬(Do a simulation)、採用變量思考(Use a variable)。

(三)執行解題計畫(carrying out the plan)

在此階段,教師引導學生執行解題計畫,可用「你想出了解題方法嗎?能否 用此方式開始計算呢?」來作引導。仔細要求學生檢查每一個步驟,確定每一個 步驟都是正確的。在此階段學生常容易出現計算方面的錯誤,亦或是在執行解題 計畫中,發現所擬定的解題計畫是錯誤的,此時教師應提醒題學生充分的思考, 若是不成功可從別處尋找新線索或是退回題目重新思考,並鼓勵學生不要害怕重 新開始,很多時候,新的開始採用新的策略會導致成功。 (四)驗算與回顧(looking back) 此為解題最後一個階段,在學生完成題目後,教師應鼓勵學生驗算,並且應 強調驗算不只是將答案代入公式,而是檢查答案是否滿足題目的敘述及要求。另 一方面,教師可鼓勵學生思考其他新的解題方法或是將題目進行延伸,以増強其 解題的能力。 Polya的解題四步驟可用圖2-1-1來呈現,在學生進行完第四步驟後,答案和 解題流程若合理,則提供答案;若是不合理,學生則須重新審視問題。 圖2-1-1 Polya的解題四步驟

二、Schoenfeld(1985)的解題歷程模式

理 解 題 意 擬 定 解 題 計 畫 執 行 解 題 計 畫 驗 算 與 回 顧 提 交 答 案 合理 不合理

(19)

Schoenfeld(1985)在他所著作的「數學解題」(Mathematical problem solving) 一書中,提到數學解題需考慮四個變項:資源(resources)、捷思(heuristics)、控制 (control)、及信念系統(belief system)。資源(resources)是指解題者能夠有正確有效 的解決問題的知識,而這些數學知識包含了數學事實、演算法程序與理解工作進 行的技巧等訊息。捷思(heuristics)是指學習者在解題時所使用額外的解題策略和 技巧,例如簡化問題、畫表格、猜測…等等。控制(control)是指學習者在解題時, 如何設定計畫、如何選擇目標和次目標以及如何監控與評估解題結果等方面。整 體來說就是計畫、監控、決策評估和後設認知。信念系統(belief system)是指解題 者對於數學的觀點,包括關於自己、關於環境、關於數學等會影響學習者的解題 行為。 Schoenfeld(1982,1983,1985,1992)認為在資源、捷思、控制及信念系統 等四項變項中,控制因素最為重要。因為學習者如何運用資源,以及採用適當的 捷思策略,常常是由控制因素所主導。所以 Schoenfeld 以控制因素的觀點,將解 題歷程區分為閱讀、分析、探索、計畫、執行、驗證等六個階段,以表 2-1-1 進行說明: 表2-1-1 Schoenfeld數學解題六步驟及相關問題表 解題步驟 解題過程 讀題 (reading) R1: 注意到問題所有條件嗎? 條件是明顯的? 或模糊的? R2: 正確了解目標狀態嗎? 目標狀態是明顯的? 或模糊的? R3: 是否評估解題者現有知識與問題的關係? 分析 (analysis) A1: 選擇什麼觀點? 選擇是明顯的或是不明顯的? A2: 選擇問題條件採取行動嗎? A3: 選擇問題目標採取行動嗎? A4:條件和目標執行是否依計畫有系統的進行? 探索 E1: 本階段是問題的條件引起的? 或目標引起的?

(20)

(exploration) E2: 所採行動有方向或重點嗎? 行動有目的嗎? E3: 有無監視行為?監視行為的有無對解答的結果有何影響? E4: 解題者所採取的行為是否合理? 計畫-執行 (planning- Implementation) PI1: 是否有計畫行為? PI2: 計畫與解題有關係嗎? 是否適當? 是否有良好架構? PI3: 受試者是否評估計畫的相關性、適當性及結構性? PI4: 執行是否依計畫有系統的進行? PI5: 是否在局部或整體層次評估執行? PI6: 評估數學算式之有無對結果的影響如何? 驗證 (verification) V1: 解題者是否重新檢查解答? V2: 有無考驗解答? 如果有的話,如何考驗? V3: 有無歷程及解答的評估? 對結果的信心有多少? 轉換 (transition) T1: 對解題的當前狀態有無評估? 若放棄一種解題途徑,是 否企圖利用其中有用的部分? T2: 有無評估先前放棄的解題途徑,對解答產生的局部與整 體影響如何? 所採行動適當或必要嗎? T3: 是否評估採取新途徑的短程或長程的影響? 或是接跳入 新的方法? T4: 採用新途徑後有無評估短程及長程影響如何? 行動是否 適當或必要嗎?

資料來源;Mathematical Problem Solving(p.297-301),by A. H. Schoenfeld, 1985, Orlando, FL: Academic Press

探討Schoenfeld (1985)的分析架構,資源變項可等同於解題者的先備知識, 捷思則等同於解題者在解題過程中利用先備知識所發展的策略,在解題者的信念 系統上,解題者的信念系統當然會影響其解題行為,但是,信念系統包括的範圍 廣泛,有對自己的信心,對數學的情意等等,單就幾個數學的解題行為無法獲得 真正的解題者信念系統,只能瞭解其中的一小部分。

三、Mayer(1992)的問題轉譯

自Polya後,Mayer(1992)把解題歷程分為兩個階段:問題表徵(problem representation)與問題解答(problem solution),而問題表徵又可分成兩階段:問題

(21)

轉譯(problem translation)與問題整合(problemintegration);問題解答也可分成解 答的計畫與監控(solution planning and monitoring)與解題的執行(solution

execution)兩階段,以下詳細說明此四階段: (一)問題轉譯(problem translation) 問題轉譯是指將問題的每一個陳述句轉譯為內在心理表徵(internal representation),例如重述問題的已知條件、解題目標或是用圖畫、圖示來表示 問題。此階段的學習者必須運用「語言知識」來了解句子的意義;「事實知識」 來了解問題中所需要某些特定的知識(如正方形四邊等長)。而語言知識和事實知 識統稱為「語意知識」(semantic knowledge)。 (二)問題整合(problem integration) 問題整合是指將問題所有的訊息放在一起,形成連貫一致的表徵,在此階段 中,學習者須具備能夠認識問題類型的知識,此即為「基模知識」(schematic knowledge)(如比率問題、面積問題等),同時學習者還要能區辨和解答有關、無 關的資料,此問題表徵,相當於Polya的第一階段「了解問題」。

(三)解答的計畫與監控(solution planning and monitoring)

在此階段,學習者必須要能想出解題所需的步驟並進行監控,確認自己採取 的步驟是有意義的,此階段所需的知識,即為策略知識(strategic knowledge)。相 當於Polya的第二階段「擬定解題計畫」。 (四)解題的執行(solution execution) 此階段所使用的知識為「程序性知識」(procedural knowledge),作為正確的 執行解題計畫過程,相當於Polya的第三階段「執行解題計畫」。此外,Mayer還 強調教學者必須讓學習者知道解題方法不只一種,目的是為要讓學習者知道數學 不只是在求得正確答案,更重要的是問題解決和推理的歷程。此理念與Polya的 第四階段「驗算與回顧」的目的相同。以下舉「面積問題」為例,說明這四個階 段的任務及所需的知識。 「一張長方形報紙,長是1公尺25公分、寬是80公分,這個長方形報紙的面

(22)

積是多少?」在問題轉譯階段時,解題者對問題中的每一個陳述句建構出心理表 徵,在這個階段,學習者將使用到語言知識(linguistic knowledge)和語意知識 (semantic knowledge)。語言知識包括語詞的意義、句子的結構;語意知識則是 關於整體事實的知識,如1公尺等於100公分。在整合階段,解題者依據上一階段 所獲得的資訊解譯出問題類型,基模知識(schematic knowledge)則為與題目類型 必須採用的公式,例如「面積=長×寬」。此外,基模也有助於我們區分相 關及非相關資訊。在解答的計畫與監控階段,學習者發展出解題計畫,如第一步 先將1公尺25公分換算成125公分,第二步算出長方形報紙的面積,在執行階段, 執行以上兩個步驟並進行所需的計算。 分析Polya(1945)和Mayer(1992)的解題歷程,可以看出Mayer將驗算與回顧階 段省略,而將問題瞭解再細分為兩個階段:問題轉譯與問題整合。由此可看出 Mayer更重視問題的理解與表徵。 綜合三位學者的數學解題架構,我們可用表2-1-2來做比較 表2-1-2 數學解題歷程比較

Polya(1945) Schoenfeld (1985) Mayer(1992) 一 理解題意 讀題 問題轉譯 二 分析 問題整合 探索 三 擬定解題計畫 計畫-執行 解答的計畫與監控 四 執行解題計畫 解題的執行 五 驗算與回顧 驗證 六 轉換

(23)

解決文字題的一般過程是先閱讀題目,了解題意,然後依問題所提供的條件 發展出解題策略,最後再列式並計算求出答案。許多研究指出文字題解答成功的 最關鍵工作,在理解題意和解題策略。古明峰(1998)指出,學生在解題時,必須 將語文理解的部份轉換成數學形式,也就是按題意列式,然後再加以運算,而困 難的地方就在於按題意列式。本研究為行動研究,採用Polya的解題分類方式, 在理解題意上,要求學生要能理解並說出已知數是甚麼?未知數是甚麼?題目所 給予的條件是甚麼?其次在擬定解題計畫中,特別著重關係句的引導,以尋找規 律、簡化題目的方式,來引導學生從關係句中,將語意轉換成數學形式,擬定出 解題策略。在執行解題計畫中,要求學生採用直式計算,確定計算的正確性。最 後在驗證與回顧過程,要求學生檢查答案是否滿足題目的敘述及要求,以上四個 步驟,在進行完改進教學後,皆採用結構式工作單晤談法(structured task-basedinterviews)來實施。

第二節 加減法文字題的探究

文字題(word problem)即為應用題,顧名思義,是一種利用文字敘述來表 達的數學問題形式。學生在接觸應用問題時最早面對的,就是加減法文字題。加 減法文字題對對學生爾後的數學學習亦相當的重要。本節主要說明加減法文字題 的分類和難度。

一、加減法文字題的分類

加減文字題有許多分類,大致上是依依「情境」、「運算」、「語意結構」來進 行分類。在研究上,國內外學者大多採取「語意結構」作為加減法文字題分類的 依據。但不同學者對於加減法文字題的分類仍有不同看法,以下說明幾位學者的 看法:如 Riley、Greeno 和 Heller(1983)將加減法文字題分為改變、合併、比 較三類。;Carpenter 和 Moser(1983)則是把它分為加入、分離、合併、比較、 等化五類;Marshall(1989)則分成改變、合併、比較、重述、變異五類;Fuson

(24)

(1992)則分成改變、合併、比較、等化四類。在這幾位學者的分類中,最普遍 的是 Riley、Greeno 和 Heller(1983)將加減法文字題分為改變、合併、比較三 類,以下依據 Riley、Greeno 和 Heller(1983)的方式來說明此三種分類: 「改變類」是指一個數量經過改變(增加或減少)後,變成另一個數量的問 題,可分為結果量未知、改變量未知與起始量未知,如表 2-2-1。 表 2-2-1 加減法文字題改變類類型 結果量未知 小美有 5 枝筆,小明給小美 7 枝筆後,請問小美現在有幾枝筆? 小美有 7 枝筆,小美給小明 5 枝筆後,請問小美現在有幾枝筆? 改變量未知 小美有 5 枝筆,小明給小美一些筆後,現在小美有 7 枝筆,問小 明給小美幾枝筆? 小美有 7 枝筆,小美給小明一些筆後,現在小美有 5 枝筆,問小 美給小明幾枝筆? 起始量未知 小美有一些筆,小明給小美 5 枝筆後,現在小美有 7 枝筆,問小 美原來有幾枝筆? 小美有一些筆,小美給小明 5 枝筆後,現在小美有 7 枝筆,問小 美原來有幾枝筆? 「合併類」是指將兩個數量合在一起的問題,可分為總數未知、子集合未知, 如表 2-2-2。

(25)

表 2-2-2 加減法文字題合併類類型 總數未知 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小美小明共有幾枝筆? 子集合未知 小美和小明共有 12 枝筆,小美有五枝筆,請問小明有幾枝筆? 「比較類」是指兩個數量進行大小或多寡比較的問題,可分為差異量未知、 被比較量未知與參照量未知,如表 2-2-3。 表 2-2-3 加減法文字題比較類類型 差異量未知 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小明比小美多幾枝筆? 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小美比小明少幾枝筆? 被比較量 未知 小美有 5 枝筆,小明比小美多 7 枝筆,請問小明有幾枝筆? 小美有 7 枝筆,小明比小美少 5 枝筆,請問小明有幾枝筆? 參照量未知 小美有 7 枝筆,小美比小明多 5 枝筆,請問小明有幾枝筆? 小美有 5 枝筆,小美比小明少 7 枝筆,請問小明有幾枝筆? 從表 2-2-1、表 2-2-2、表 2-2-3 來看,本研究採用 Riley、Greeno 和 Heller (1983)的分類方式,將合併類則分為合併 1-總數未知、合併 2-子集合未知; 改變類分為改變 1-結果量未知、改變 2-改變量未知與改變 3-起始量未知;比較 類分為比較 1-差異量未知比多、比較 2-差異量未知比少、比較 3-被比較量未知 比多、比較 4-被比較量未知比少、比較 5-參照量未知比多、比較 6-參照量未知 比少。結合例題和算式,可得表 2-2-4:

(26)

表 2-2-4 Riley 加減法文字題的算式形式 題目類型 例題 算式 合併 1 總數未知 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請 問小美小明共有幾枝筆? 5 + 7 =( ) 合併 2 子集合未知 小美和小明共有 12 枝筆,小美有 5 枝筆,請問小明有幾枝筆? 5 +( )= 12 -> 12 – 5 = ( ) 改變 1 結果量未知 小美有 5 枝筆,小明給小美 7 枝筆 後,請問小美現在有幾枝筆? 5 + 7 = ( ) 改變 2 改變量未知 小美有 5 枝筆,小明給小美一些筆 後,現在小美有 12 枝筆,問小明給 小美幾枝筆? 5 +( )= 12 -> 12 – 5 = ( ) 改變 3 起始量未知 小美有一些筆,小美給小明 5 枝筆 後,剩下 7 枝筆,問小美原來有幾 枝筆? ( )- 5 = 7 -> 7 + 5 = ( ) 比較 1 差異量未知 比多 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請 問小明比小美多幾枝筆? 7–5 = ( ) 比較 2 差異量未知 比少 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請 問小美比小明少幾枝筆? 7– 5 = ( ) 比較 3 被比較量未知 比多 小美有 5 枝筆,小明比小美多 7 枝 筆,請問小明有幾枝筆? 5 + 7 = ( ) 比較 4 被比較量未知 比少 小美有 12 枝筆,小明比小美少 5 枝 筆,請問小明有幾枝筆? 12–5 = ( ) 比較 5 參照量未知 比多 小美有 12 枝筆,小美比小明多 5 枝 筆,請問小明有幾枝筆? 12 - ( ) = 5 ->12–5 = ( ) 比較 6 參照量未知 比少 小美有 5 枝筆,小美比小明少 7 枝 筆,請問小明有幾枝筆? ( ) - 5 = 7 ->5 +7 = ( )

(27)

二、加減法文字題的難度

根據許多學者探究加減法文字題題型對學生造成的困難程度,以「合併」類 最簡單、「改變」類難度居次、「比較」類最困難(古明峰,1999;蔣治邦、鍾 思嘉 1991;Riley et al., 1983)。而文字題的難度也與未知數的性質有密切關係(翁 嘉英 1988;蔣治邦、鍾思嘉,1991;Riley et al., 1983)。 黃湘婷(2007)採 Fuson 的四種分類方式進行研究,發現學生解題正確率最 高的為合倂類,依序是改變、等化,比較類最為困難。在「合併-總數未知」、 「改變-結果量未知(添加型)」是相對難度最低的。蔣治邦、鍾思嘉(1991)亦 同樣發現除了上述兩種題型外,「改變-結果量未知(拿走型) 」及「改變-改變 量未知(添加型) 」也是學生們最熟習的題型。 在比較類題型中,黃湘婷(2007)發現「比較-參照量未知(比少)」是最困 難的類型;而蔣治邦、鍾思嘉(1991)則認為「比較-比較量未知(比多)」、 「比較-比較量未知(比少)」也是比較困難的題目。 在 Riley(1983)的研究發現,未知數所在位置若是在前面則難度愈高。例如改 變類的題目中,「起始量未知」的題目難度大於「結果未知」;在合併類的題目 中,「子集合未知」的題目難度大於「總數未知」;在比較類的題目中,「參照 量未知」的題目難度大於「差異量未知」或「被比較量未知」。 綜合歸納學者研究,「合併類」問題是最容易,而「比較類」題目最困難。 本論文所欲研究的,乃是採用 Riley 的分類法,目的是要解決「比較類」問題中 「被比較量未知」和「參照量未知」這兩種類型的題目。而研究發現被比較量未 知問題中問題關係句中所使用的語詞與運算動作一致;參照量未知問題中,問題 關係句中所使用的語詞與運算動作相反。

三、比較類文字題的困難點

Nesher、Greeno 和 Riley(1983)認為比較類問題的困難點在於學習者必須理 解兩個數量之間的大小關係才能解決問題。其中最讓國小學童感到困擾的是,學

(28)

童常將兩數的差異量 n(A-B)誤以為是 B 所擁有的數。而馬祖平(2001)學者則是認 為學童缺乏用不同觀點來檢視同一比較問題的能力,原因可能在於學童未能熟習 運用「部分-部分-整體」的觀念來理解數量之間的關係,以致缺乏互相轉換的彈 性。 Willis 和 Fuson(1988)的研究指出,當問題的語意敘述情境和解題策略不一致 時,學童最感學習困難;Lewis 和 Mayer(1987)也同時提到若題目中的「關鍵字」 和學童先備知識中的運算「符號」不一致時,也就是所謂的不一致語言 (inconsistent language) 出現時,問題的難度將會更為提升。在這邊提到的不一致 語言(inconsistent language)是指問題中的陳述句和運算產生衝突,如「比…多」, 卻使用減法;如「比…少」,卻使用加法,而一致性語言(consistent language)則 是問題中的陳述句和運算一致,如「比…多」,使用加法;如「比…少」,使用 減法。同時 Verschaffel 等人(1992)在研究中提到學童在面對不一致語言問題時, 在閱讀題目第一句和第二句所花的時間較多,閱讀上也時常感到困難混淆。

Lewis 和 Mayer(1987)曾提出一致性假設(consistency hypothesis)來解釋此不 一致的問題為何會有較多的錯誤,原因在於一致性語言在題目當中的未知數是關 係句的主詞,未知數是受詞,而且關係詞與運算符號呈現一致,符合解題者喜歡 的形式。(如:小美有 5 顆糖果,小華比小美多 3 顆糖果,請問小華有幾顆糖果?) 但不一致語言剛好呈現相反情形,舉例:小美有 5 顆糖果,小美比小華多 3 顆糖 果,請問小華有幾顆糖果。在這個題目中,把小美和小華做調換,小華仍舊是未 知數,但小華變成關係句的受詞,並且題目中的比多和運算中的減法運算「-」 呈現相反情形,對解題者而言,就必須把主詞和受詞互換、關係句中的比多和比 少互換,變成:小美有 5 顆糖果,小華比小美少 3 顆糖果,請問小華有幾顆糖果? 在這樣轉換的過程中,就容易出現逆轉錯誤(reversal errors)。 比較類文字題困難點在於比較類型文字題還有三種類型:差異量未知、被比 較量未知,參照量未知。其中差異量未知、被比較量未知是屬於一致性的語言, 但參照量未知則是屬於不一致性的語言,從翁嘉英(1988)、古明峰(1998)的文獻

(29)

中提到學童面對比較類型文字題答題的正確率依序是差異量未知最高,依序是被 比較量未知,最後是參照量未知。由此可看出參照量未知的題目確實因為屬於不 一致的語言而帶給學童解題上的困難。 翁嘉英(1988)提到學生在面對「比多」和「比少」的被比較量未知和參照量 未知的題型時,通常會採用兩種錯誤的解題策略:一種為「呆板對應策略」,也 就是遇到題目中有「比多」的關鍵字時採用「加法」;遇到題目中有「比少」的 關鍵字時採用「減法」。而會使用此策略的學童在於對於題目難以形成問題的表 徵,只能利用問題的局部線索來解題,但此種方式遇到「參照量未知」的問題就 會出現錯誤。另一種學生所採用的錯誤解題策略為「減法」策略,意思為看到看 到有「比」字描述兩量之間關係的題目,都用「減法」來運算。會採用「減法」 策略的學生多半是把題目看成是「差異量未知」的題目,把題目認為是在算兩數 相差的部分,所以一律使用減法。在翁嘉英研究中顯示學生大多錯誤的類型以「呆 板對應策略」較多,「減法」策略較少。

第三節 資源班學生數學的學習探究

受到回歸主流及融合教育趨勢的教育思潮影響,有愈來愈多的特殊教育需求 兒童,亦即身心障礙學童,就讀於國小普通班,利用部分時間到資源班進行個別 化適性教學與輔導,來減少因為隔離式教育安置所造成的非正常化學習問題。在 這邊提到的身心障礙學生包括智能障礙、視覺障礙、聽覺障礙、語言障礙、肢體 障礙、身體病弱、嚴重情緒障礙、學習障礙、多重障礙、自閉症、發展性遲緩及 其他顯著障礙等。 身心障礙的學生(以下簡稱資源班學生),因其溝通、認知、感官、情緒行為 或身體等方面的受到限制,常造成他們在普通教育環境的學習適應上出現問題, 教師若未能了解學生的需求和特性,依學生個別能力調整學習內容,則容易造成 資源班學生的學業成就表現低落,並嚴重地喪失了學習的興趣與自信心,在各種

(30)

學習科目中,以數學學習表現為甚,以下說明資源班學生的數學學習特質和教學 策略:

一、資源班學生數學學習困難的特質

在數學學習上有困難的資源班學生,在學習數學時可能會有以下的情形發生: (1)數字容易看錯或寫顛倒。(2)數字的基本概念無法牢記。(3)對運算解 題步驟複雜的題目有困難。(4)試題若包含許多子小題時,容易產生混淆。(5) 抄寫上有困難。(6)字體潦草、花太多時間在寫數字上。(7)在數學試題的建 構上有困難。(8)容易遺忘剛才學會的數學技巧及概念。(9)無法運用數學名 詞或無法解釋已經理解的數學名詞。(10)在使用策略解決問題時,有選擇及監 控上的困難(呂美娟,施青豐、李玉錦,2002)。這些困難常導致資源班的學生 數學成就落後一般學生,在數學領域無法得到教師、家長、同儕的肯定,以致對 數學產生自卑和退縮,容易有自暴自棄的傾向。

二、資源班學生數學學習困難的原因

Reismen(1982)提出資源班數學學習困難的可能原因有:(1)數學基礎能力 不好。(2)欠缺閱讀能力。(3)情緒問題。(4)環境因素不佳。(5)缺乏適 切教學。(6)存在一些學習障礙。而對於數學學習障礙的學生可能存在下列項 目(洪儷瑜,1995;Lerner,2003):(1)語文閱讀困難。(2)序列、空間、順序 概念困難。(3)符號閱讀困難。(4)缺乏數學學習策略。(5)長短期記憶力 差。(6)訊息處理困難。(7)數學焦慮等。(8)視知覺或視動作協 調有問題。而其他學者(陳東陛,1994;Cawley,1984;Lambie& Hutchens,1986), 也對資源班學生學習困難提出一些看法,包括:(1)教師教學不當,學生學習 方法錯誤,學生不明白數學用語。(2)在記憶、溝通、空間關係、辨別、注意 等能力有困難或障礙。(3)生理機能缺陷,如視、聽、知動等的障礙。(4)設 備、資源的不足。(5)學生對數學存有恐懼與過度焦慮。(6)學習興趣與動機 不足。學生對於數學無學習動機、排斥數學,以上這些原因皆導致資源班學生數

(31)

學學習困難,成就低落。

三、增進資源班學生數學學習成效的教學策略

研究者(孟瑛如,1999;Polloway& Patton,1997)欲改善資源班學生數學學習 成效,在教導數學的過程中,應特別注意以下原則: (一)生活化的教學活動 以生活問題或情境為題材引發學生數學學習應性,藉由生活問題中,發現其 中的數學概念,並且學生在學成後有機會應用於生活當中,這樣,學生較易產生 濃厚的興趣與效果。 (二)具體→半具體→抽象概念的教學流程 資源班學生數學學習應該以具體的事物開始,以看得到,摸得到的東西為主, 例如積木,方塊等等。之後再進一步到半具體的事物,例如圖畫,照片等。最後 才是進入抽象概念的教學,如數學符號,公式等等。並且數學呈現的教材必須和 學生的先備之事有關聯。 (三)重視解決問題之心智歷程學習 教學上注重啟發學生的心智,使其能夠主動解決數學問題,進一步產生解決 問題的能力。應避免使用填充、公式、關鍵字詞的機械式教學。 此外,Lerner(2003)提出數學教學的一般性原則為:(1)教學程序應由具體 到抽象(2)建構式學習的教學。(3)直接教學。(4)學習策略的教學。 (5)問題解決教學。而在數學學習上有困難的學生,教學上應注意下列原則 (Lerner,2003):(1)了解學生數學課程的先備能力。(2)學習歷程應由具體到 抽象。(3)提供活潑趣味性高的教學,並增進複習機會。(4)教導學生能把所 學習到的數學概念類化到其他地方。(5)教導數學上的專有名詞和語彙。(6) 利用電腦輔助教學。在教導資源班學生時,應特別重視這些原則。 在本研究中,小嵩和小億兩位為資源班的學生,小嵩屬於情緒障礙的過動症; 小億則屬於學習障礙類別。兩位學生在班上的數學成就均落後一般學生,針對兩

(32)

位學生理解題意困難和採用僵化式的錯誤解題策略,研究者在改進教學上採用 Lerner(2003)提出論點,特別注重以下原則:(1)教學程序應由具體到抽象: 先以具體的積木、糖果為例子引導學生,在提升到年齡、體重抽象的數字。(2) 建構式學習的教學:帶學生從實際的物體中,建構出多和少的觀念。(3)直接 教學:直接以積木、方塊帶入數字引導學生。(4)學習策略的教學;注重關係 句的引導,將語文轉換成數學形式,協助學生發展出解題策略。(5)問題解決 教學:以生活周遭的問題為主題,引導學生來解答數學問題。

(33)

第三章 研究方法與歷程

本章研究旨在了解資源班學生處理加減法文字題的運思過程,透過工作單施 測和結構式晤談找出學生進行解題時遇到的困難和迷思。本研究以自編的加減法 文字題測驗為工具,兩名四年級的資源班學生為對象,以筆試的方式和結構式晤 談法蒐集資料。本章內容共分為四節,各節依序為研究流程、研究對象、研究方 法與工具、資料蒐集與分析四個部分來進行說明。

第一節 研究流程

本研究採行動研究法,旨在探討兩位四年級資源班學生面對各類型加減文字 題的解題反應,並進一步分析兩位學生的解題困難和迷思,研究流程分為三個階 段,茲敘述如圖 3-1-1: 圖 3-1-1 研究流程圖 第 三 階 段 進行改進教學 設計後測工作單 正式施測 分析結果與進行訪談 第 一 階 段 確定主題、研究對象 文獻蒐集 規劃研究工具 整理訂定各類型的加減文字題 第 二 階 段 設計前測工作單 正式施測 分析結果與進行訪談

(34)

本研究主要分為三階段實施,各階段依其不同的研究目的而設計不同的研究 流程,以下進行詳細的介紹說明:

一、第一階段

(一)確定主題、研究對象:觀察分析兩位學生的加法和減法單元的文字應用題 表現,發現學生的作答表現經常出現錯誤,欲改善學生面對此加減法文字 應用題的困境,因此著手確定此研究主題。 (二)文獻蒐集:分析歷年康軒和南一版本教科書一年級到三年級加法和減法應 用問題的課程內容,整理蒐集相關主題文獻。並查閱兩位學生三年級國語 和數學的成績表現以及加法和減法單元的評量試卷。 (三)規劃研究工具:以自編的加減法文字題紙筆測驗為工具,採用結構式工作 單晤談法作為研究方法了解學生的解題策略。

二、第二階段

(一)整理訂定各類型的加減文字題:閱讀相關文獻,採用 Riley、Greeno 和 Heller(1983)提出的將加減法文字題分為合併、改變、比較三類來設計 訂定加減文字題。 (二)設計前測工作單:將加減法文字題分類成合併、改變、比較三類,並將難 度由淺至深設計出前側工作單。 (三)正式施測:分別對此兩位學生進行個別的前測工作單施測。 (四)分析結果與進行訪談:檢視兩位學生的作答表現,並在一星期內分別與兩 位學生進行結構式工作單晤談,了解學生採用的解題策略。 三、第三階段 (一)進行改進教學:在一週之內,為學生進行三節課的改進教學。 (二)設計後測工作單:題目難度加深加廣,題數由十題變為十二題,增加的兩 題為比較類型的題目。 (三)正式施測:分別對此兩位學生進行個別的後測工作單施測。

(35)

(四)分析結果與進行訪談:檢視兩位學生的作答表現,並在一星期內分別與兩 位學生進行結構式工作單晤談,了解學生是否在改進教學後,對題目有了 新的解題策略。

第二節 研究對象

本研究對象小嵩和小億(假名),目前就讀於台中市某國小四年級,在學校 皆有接受資源班的服務。小嵩在二年級接受特殊教育鑑定,鑑定結果是情緒行為 障礙中的注意力缺陷過動症,由於障礙因素導致在班級上課時容易分心、不專注, 因此來資源班主要是接受國語和數學的課程,以下附上小嵩三年級國語、數 學成績紀錄。 表 3-2-1 小嵩三年級國語、數學成績紀錄 科目 學期 第一次 第二次 總成績 班級平均 國語 三上 78 72 77.9 88.53 國語 三下 67 69 數學 三上 74 69 75.6 84.4 數學 三下 60 76 小億同樣是在二年級接受特殊教育鑑定,鑑定結果是學習障礙,障礙類別是 在閱讀上有理解的困難,來資源班上課主要也是接受國語和數學的課程。以下附 上小億魏氏智力測驗三版成績及三年級小億國語、數學成績紀錄,可以看出和班 上同學程度有明顯落差。

(36)

表 3-2-2 小億魏氏智力測驗三版成績 分數 智商指數 百分等級 語文量表 39 88 21 作業量表 38 83 13 全量表 77 84 14 語文理解 30 88 21 知覺組織 35 91 27 專心注意 17 91 27 處理速度 14 85 16 表 3-2-3 小億三年級國語、數學成績紀錄 科目 學期 第一次 第二次 總成績 班級平均 國語 三上 72 82 85.38 91.79 國語 三下 86 84 數學 三上 82 86 83.55 90.94 數學 三下 86 75 研究者從三年級開始擔任兩位學生的資源班教師,察覺兩位學生在面對數學 應用題時,對文字敘述的理解力較差,無法正確的理解題意。在進行三年級上學 期數學加法和減法單元時,發現兩位學生在處理比較類型的加減法文字題時,尤 其是在「比多」和「比少」的題目中,未能有正確的解題思維,導致常出現錯誤 的作答情形。因此選定小嵩和小億作為研究對象,希望透過工作單的設計和結構 式晤談,了解兩位學生的加減文字題思考模式,並經由改進教學來幫助兩位學生

(37)

建立正確的加減文字題思考邏輯。

第三節 研究工具與方法

本研究主要是以自編的加減法文字題工作單為研究工具,結構式工作單晤談 法(structured, task-based interviews)作為研究方法,透過對兩位學生的施測,結構 式晤談,了解學生面對合併、改變、比較三種類型的加減法文字題是如何解題, 問題整合以及解題計畫執行情形,再根據訪談結果找出學生解題的困難癥結,進 一步設計出改進教學,詳細說明如以下:

一、研究工具:

本研究是採用 Riley、Greeno 和 Heller(1983)將加減法文字題分為改變、 合併、比較三類。「合併類」是指將兩個數量合在一起,分為總數未知、子集合 未知。「改變類」是指一個數量經過改變(增加或減少)後,變成另一個數量的 問題,可分為結果量未知、改變量未知與起始量未知。「比較類」問題是指兩個 數量進行大小或多寡比較的問題,分為差異量未知、被比較量未知與參照量未知。 以下為 Riley 加減法文字題的算式形式。 表 3-3-1 Riley 加減法文字題的算式形式 題目類型 例題 算式 合併 1 總數未知 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請 問小美小明共有幾枝筆? 5 + 7 =( ) 合併 2 子集合未知 小美和小明共有 12 枝筆,小美有 5 枝筆,請問小明有幾枝筆? 5 + ( )= 12 -> 12 – 5 = ( ) 改變 1 結果量未知 小美有 5 枝筆,小明給小美 7 枝筆 後,請問小美現在有幾枝筆? 5 + 7 = ( )

(38)

改變 2 改變量未知 小美有 5 枝筆,小明給小美一些筆 後,現在小美有 12 枝筆,問小明給 小美幾枝筆? 5 + ( )= 12 -> 12 – 5 = ( ) 改變 3 起使量未知 小美有一些筆,小美給小明 5 枝筆 後,剩下 7 枝筆,問小美原來有幾 枝筆? ( )- 5 = 7 -> 7 + 5 = ( ) 比較 1 差異量未知 比多 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請 問小明比小美多幾枝筆? 7 – 5 = ( ) 比較 2 差異量未知 比少 小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請 問小美比小明少幾枝筆? 7 – 5 = ( ) 比較 3 被比較量未知 比多 小美有 5 枝筆,小明比小美多 7 枝 筆,請問小明有幾枝筆? 5 + 7 = ( ) 比較 4 被比較量未知 比少 小美有 12 枝筆,小明比小美少 5 枝 筆,請問小明有幾枝筆? 12 – 5 = ( ) 比較 5 參照量未知 比多 小美有 12 枝筆,小美比小明多 5 枝 筆,請問小明有幾枝筆? 12 - ( ) = 5 -> 12 – 5 = ( ) 比較 6 參照量未知 比少 小美有 5 枝筆,小美比小明少 7 枝 筆,請問小明有幾枝筆? ( ) - 5 = 7 -> 5 + 7 = ( ) 本研究依據表 3-3-1,一共設計十題的加減法文字題工作單,其中題數加重 在比較類型,以此作為前測,如表 3-3-2: 表 3-3-2 前測工作單 1. 桌上有一些餅乾,妹妹吃掉了 12 塊,還剩下 8 塊,桌上原有幾塊餅乾?

(39)

2. 小明原有 7 元,爸爸再給他 15 元後,就可以買一支原子筆,請問一支原子 筆要多少元? 3. 小華有 16 塊積木,小美比小華多 6 塊,請問小美有幾塊積木? 4. 班上男生 17 人,女生 12 人,男生多還是女生多?多幾人? 5. 妹妹有 14 元,哥哥的錢比妹妹少 5 元,請問哥哥有多少元? 6. 教室裡共有 18 個學生在掃地、擦窗戶,其中 10 個學生在掃地,剩下多少 學生在擦窗戶? 7. 媽媽有 22 枝筆,媽媽比阿姨多 5 枝筆,請問阿姨有幾枝筆? 8. 盒子裡原來有 24 顆彈珠,拿走幾顆後,盒子裡會只剩下 8 顆彈珠? 9. 大雄有 16 塊餅乾,大雄比胖虎少了 7 塊餅乾,請問胖虎有幾塊餅乾? 10. 教室裡有 8 個小朋友在看書,14 個小朋友在畫圖,請問教室裡共有幾個小 朋友? 表 3-3-3 前測題目分析 題 號 合併類型 改變類型 比較類型 總數 未知 子集合 未知 結果量 未知 改變量 未知 起始量 未知 差異量 未知 被比較量 未知 參照量 未知 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 6 ○ 7 ○ 8 ○ 9 ○ 10 ○

(40)

二、正式施測:

在前測工作單設計完成後,分別利用一節課 40 分鐘的時間,對小嵩和小億 進行個別的施測,並在施測完後一週內進行結構式晤談。

三、研究方法:

本研究採行動研究法,研究者為了瞭解兩位學生面對合併、改變、比較三種 類型文字題的解題計畫,因此根據三種類型文字題設計出結構式的工作單 (structured task)。在學生完成工作單後,再依學生的作答表現向學生提出晤談, 目的是為了解學生面對加減法文字題是如何解題,學生問題整合情形以及學生解 題計畫執行情形。此種晤談的特色為工作單是結構化的,但訪談的問題卻是視學 生解題表現和解釋情形而有所調整,此種研究方法稱為結構式工作單晤談法 (structured, task-based interviews),而此種研究方法的晤談,須採取以下四步驟進 行(Goldin,2000):

(一)提出非引導式的提問(nondirective efollow-up questions),例如, 你可以再講得更清楚一點嗎?

(二)當受試者反應不合邏輯或題意時,可以給予最小的建議(minimal heuristic suggestions),例如,可以用其他的例子說明嗎?

(三)當研究者預期性行為沒有出現時,可以給予一些引導(the guided use of heuristic suggestions),例如,你有發現一些什麼嗎? (四)給予解釋性或後設性的提問(exploratory,metacognitive questions),例如,這是如何想出來的,你能說明一下嗎? 此四步驟中,若是受訪者能直接正確的回答第一步驟的問題,則二、三步驟 的問題就可以省略,第四步驟的問題可以檢視受訪者是否了解其所知道的內容, 可以在提問中多加使用。 在查看完學生的作答表現後,研究者依據Polya (1957)提出數學解題的四個 階段:理解題意、擬定解題計畫、執行解題計畫、驗算與回顧,欲了解學生在此

(41)

四個階段的解題思維,並採用結構式晤談的要領,設計出以下訪談內容,如表 3-3-4: 表 3-3-4 前測後教師訪談提問 1. 在這個題目中,題目給了我們那些資料? 理解題意 2. 在你的算式中,你的( )是指甚麼? 理解題意 3. 那麼( )是代表甚麼? 理解題意 4. 你用( )法來算,你是怎麼判斷出來用( )法 算呢? 擬定解題計畫 5. 你遇到甚麼樣的題目你會認為要用( )法計算? 擬定解題計畫 6. 看一下你計算的直式,這樣計算都對了嗎? 執行解題計畫 7. 你可以怎麼樣驗證你算的答案是對的? 驗算與回顧 8. 請你把答案再套回題目中,確定算的結果是不是正確 的? 驗算與回顧

第四節 資料蒐集與分析

一、資料蒐集:

研究者用兩位學生前測工作單的解題紀錄,結構式晤談來蒐集小嵩和小億的 自發性解題表現,以下是小嵩和小億詳細的解題記錄和訪談內容: 表 3-4-1

(42)

小嵩前測第一題訪談內容 第一題題目 桌上有一些餅乾,妹妹吃掉了 12 塊,還剩下 8 塊,桌上原有 幾塊餅乾? 學生答案 12 + 8 = 20(正確) 訪談內容 1101T:在這個題目中,題目給了我們那些資料? 1102S:妹妹吃了 12 塊餅乾,還剩下 8 塊餅乾。 1103T:在你的算式中,你的 12 是指甚麼? 1104S:妹妹吃的餅乾。 1105T:那麼 8 是代表甚麼? 1106S:剩下的餅乾。 1107T:你用加法來算,你是怎麼判斷出來用加法算呢? 1108S:妹妹吃的餅乾加上吃不完的餅乾就是原本的餅乾。 1109T:所以遇到這種類似要求原本有多少的題目你就會用加 法來計算嗎? 1110S:對。 1111T:你遇到甚麼樣的題目你會認為要用加法計算? 1112S:看到有「多」的和總共的題目。 1113T:你可以舉個例子,出個題目嗎? 1114S:爸爸有 3 塊餅乾,媽媽有 5 塊餅乾,兩人共幾塊餅乾? 1115T:很好,那看一下你計算的直式,這樣計算都對了嗎? 1116S:對。 1117T:請你把答案再套回題目中,驗證看看算的結果是不是 正確的? 1118S:甚麼意思呢? 1119T:你現在算出來的 20 是代表甚麼?

(43)

1120S:桌上原有的餅乾。 1121T:那套回題目中的第一句話來作驗證,桌上原有一些餅 乾,你現在算出來是? 1122S:20 塊。 1123T:20 塊吃掉 12 塊,剩下幾塊? 1124S:8 塊。 1125T:有沒有和題目提到的一模一樣? 1126S:有。 1127T:好,這就是驗證的方式,把你算的答案套回題目中, 在看和題目寫的能不能配在一起,這樣懂了嗎? 1128S:懂了。 第一題 訪談分析 此題目為改變類型中的起始量未知,題目的敘述和計算過 程是呈現相反的情形,對於學生是屬於比較困難的題目。從學 生的訪談中可以分析出學生是將題目倒過來思考解題,他把題 目提供的資料分成總數、吃掉的、剩下的三個部分。題目敘述 的模式是總數減去吃掉的等於剩下的,但學生把它反過來思考 成吃掉的加上剩下的等於總數,這也是解答此題的另一種解題 方式,由此可看出學生已具備此類型題目的學習概念。 表 3-4-2 小億前測第一題訪談內容 第一題題目 桌上有一些餅乾,妹妹吃掉了 12 塊,還剩下 8 塊,桌上原有 幾塊餅乾? 學生答案 12 – 8 = 2(計算錯誤)

(44)

訪談內容 1201T:在這個題目中,題目給了我們那些資料? 1202S:妹妹吃了 12 塊餅乾,還有剩下 8 塊餅乾。 1203T:在你的算式中,你的 12 是指甚麼? 1204S:妹妹吃的。 1205T:那麼 8 是代表甚麼? 1206S:剩下的餅乾。 1207T:你用減法來算,你是怎麼判斷出來用減法算呢? 1208S:因為是原本的餅乾被吃掉的。 1209T:所以你是因為餅乾被吃掉所以決定用減法算嗎? 1210S:對。 1211T:在此題目中,你使用減法來計算,那你可以說說遇到 甚麼樣的題目,你會認為要使用減法來計算? 1212S:有提到相差或剩下的題目。 1213T:你可以舉個例子,出個題目嗎? 1214S:操場有 10 個人,走掉 3 個人,剩下幾個人? 1215T:很好,看一下你計算的直式,這樣計算都對了嗎? 1216S:啊!計算錯了。 1217T:好,那你計算正確後的答案是多少? 1218S:4。 1219T:請你把答案再套回題目中,驗證看看算的結果是不是 正確的? 1220S:甚麼意思呢? 1221T:你現在算出來的 4 是代表甚麼? 1222S:4 塊餅乾。 1223T:看題目最後一句問的,他是要求甚麼呢?

(45)

1224S:桌上原有幾塊餅乾。 1225T:所以這 4 塊餅乾就是…? 1226S:桌上原本的餅乾。 1227T:那套回題目中的第一句話來作驗證,桌上原有 4 塊餅 乾,吃掉 12 塊,還剩 8 塊,這樣可以成立嗎? 1228S:啊!這樣可能沒辦法。 1229T:所以這一題很可能就是? 1230S:應該是用加法來算。 第一題 訪談分析 在此題中,小億只有看到題目敘述的「吃掉」、「剩下」 的字詞,而忽略了該題目是要求原來的數量,必須要反過來 使用加法,推測學生把題目誤以為有 12 塊餅乾,妹妹吃掉 8 塊,還剩下幾塊? 從學生的作答反應,學生已經理解了加減文字題題目類 型中的改變 1-結果量未知,但此題目為加減文字題中的改變 2-起始量未知,所以研判學生對於改變題型中的起始量未知 仍有學習上的困難,而文獻研究中也指出,學生對於題目敘 述和作答結果呈現相反的題目,特別有學習上的困難。 表 3-4-3 小嵩前測第二題訪談內容 第二題題目 小明原有 7 元,爸爸再給他 15 元後,就可以買一支原子筆, 請問一支原子筆要多少元? 學生答案 15 – 7 = 8(錯誤) 訪談內容 1301T:在這個題目中,題目給了我們那些資料?

(46)

1302S:小明 7 元,爸爸 15 元,和一支原子筆。 1303T:在你的算式中,你的 15 是指甚麼? 1304S:爸爸的錢。 1305T:那麼 8 是代表甚麼? 1306S:小明的錢。 1307T:你用減法來算,你是怎麼判斷出來用減法算呢? 1308S:因為小明的錢加上原子筆的錢等於爸爸的錢,所以爸 爸扣掉小明的錢等於原子筆的錢。 1309T:所以你是覺得題目的意思是小明的 7 元加上買原子筆 的錢就等於爸爸給的錢嗎? 1310S:對。 1311T:那你可能誤會題目的意思了。 1312S:不然是怎麼樣子呢? 1313T:先看一、二句話,小明原有 7 元,爸爸再給他 15 元 後,只有看這兩句話,可以怎麼列式子呢? 1314S:7+15。 1315T:好,後來題目說,爸爸給他 15 元後,就可以買一支 原子筆,意思是不是 7+15 等於原子筆的錢? 1316S:是。 1317T:所以這題你覺得算式應該改成甚麼才對? 1318S:7+15=23。 1319T:好,那這題就完成了,另外,在這題中,你使用了減 法做計算,那麼遇到甚麼樣的題目,你也會用減法 呢? 1320S:像是吃掉或是誰比較少的題目。

(47)

1321T:你可以自己出個題目嗎? 1322S:弟弟有 10 塊餅乾,吃掉 5 塊,剩下幾塊餅乾? 1323T:好,OK! 第二題 訪談分析 此題目為改變題型中的結果量未知,但因為題目敘述讓 學生誤以為是小明的錢加上原子筆的錢就是爸爸給的錢,這 樣就把題目變為改變題型中的改變量未知的題目了,後來經 過老師澄清題意,學生才題目所要表達的真正意思,而學生 也能把正確的解題算式寫出來,代表透過這一題了解到學生 對於改變類型的結果量未知和改變量未知的題目皆具備學習 概念。 表 3-4-4 小億前測第二題訪談內容 第二題題目 小明原有 7 元,爸爸再給他 15 元後,就可以買一支原子筆, 請問一支原子筆要多少元? 學生答案 7 + 15 = 22(正確) 訪談內容 1401T:在這個題目中,題目給了我們那些資料? 1402S:小明原本的錢和爸爸給他的錢 1403T:在你的算式中,你的 7 是指甚麼? 1404S:小明的錢。 1405T:那麼 15 是代表甚麼? 1406S:爸爸給小明的錢。 1407T:你用加法來算,你是怎麼判斷出來用加法算呢? 1408S:因為原子筆是要小明的錢和爸爸的錢合起來的。

數據

圖 2-1-1    Polya 的解題四步驟 ..................................................................................
表 2-2-2   加減法文字題合併類類型  總數未知  小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小美小明共有幾枝筆?  子集合未知  小美和小明共有 12 枝筆,小美有五枝筆,請問小明有幾枝筆?  「比較類」是指兩個數量進行大小或多寡比較的問題,可分為差異量未知、 被比較量未知與參照量未知,如表 2-2-3。  表 2-2-3   加減法文字題比較類類型  差異量未知  小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小明比小美多幾枝筆?  小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小美比小明少幾枝筆?  被比較量
表 2-2-4    Riley 加減法文字題的算式形式  題目類型  例題  算式  合併 1  總數未知  小美有 5 枝筆,小明有 7 枝筆,請問小美小明共有幾枝筆?  5 + 7 =(      )  合併 2  子集合未知  小美和小明共有 12 枝筆,小美有 5枝筆,請問小明有幾枝筆?  5 +(      )= 12 -> 12 – 5 =  (      )  改變 1  結果量未知  小美有 5 枝筆,小明給小美 7 枝筆後,請問小美現在有幾枝筆?  5 + 7 =  (
表 3-2-2      小億魏氏智力測驗三版成績      分數  智商指數  百分等級  語文量表  39  88  21  作業量表  38  83  13  全量表  77  84  14  語文理解  30  88  21  知覺組織  35  91  27  專心注意  17  91  27  處理速度  14  85  16  表 3-2-3      小億三年級國語、數學成績紀錄  科目  學期  第一次  第二次  總成績  班級平均  國語  三上  72  82  85.38  91.
+2

參考文獻

相關文件

在選擇合 適的策略 解決 數學問題 時,能與 別人溝通 、磋商及 作出 協調(例 如在解決 幾何問題 時在演繹 法或 分析法之 間進行選 擇,以及 與小組成 員商 討統計研

• Learn strategies to answer different types of questions.. • Manage the use of time

● tracking students' progress in the use of thinking routines and in the development of their writing ability using a variety.. of formative assessment tools

Problem Solving Skills through Creating the Makerspace in the Secondary English Language Classroom3. Collaborative Research and Development (“Seed”)

In the table boldface line was the S curve means students and dotted line was the P curve means problem.

This study analyzes high school students’ problem-solving processes in different problem representations (Verbal, Drawn-Verbal) on graph of function using Schoenfeld’s

The aim of this study is to investigate students in learning in inequalities with one unknown, as well as to collect corresponding strategies and errors in problem solving..

The aim of this research was investigated and analyzed the process of innovation forwards innovative production networks of conventional industries that could be based on the