數學的解題與分析

數學解題亦即為問題的解決(problem solving)，數學解題是一種歷程，主要 是利用先前已具備的知識來解決新的或不熟悉情境的歷程。然在數學解題時，牽 涉到許多解題的因素，例如是否確實了解題意，是否有足夠的數學知識，數學的 解題策略運用，是否計算錯誤等等，本節主要說明Polya(1945)提出的如何解題、

Schoenfeld(1985)的解題歷程模式以及Mayer(1992)主張的問題轉譯方式。

一、Polya(1945)的如何解題

在論及數學問題解決，首先應提及「現代題之父」Polya的貢獻。Polya於1945 年提出數學解題的四個步驟，此四步驟為理解題意、擬定解題計畫、執行計畫、

驗算與回顧，以下詳細說明此四個步驟和學生在這四步驟中遇到的困難和容易犯 的錯誤。

(一)理解題意(understanding the problem)

理解題意是在數學解題中常被忽略的一個過程，Polya認為，回答一個尚未 弄清楚的問題是一件不明智的行為，學生除了能了解題目中的文字敘述，還必須 要知道未知數是什麼？已知數是什麼？題目給的條件是什麼？並且要能夠判斷 解答能夠滿足這些條件嗎？已知的條件是否能夠解答未知數？太少？太多？或 是給的條件互相矛盾等。

許多研究(Carpenter et al.，1980b)指出有許多學生的解題困難，是肇始於對

題目的不了解。美國全國數學教育發展評估(The National Assessment

ofEducational Performance , NAEP)在第二次評量(1977-78)的題目中，故意列出 與題意無相關的資料，結果發現有大多數的學生將每項資料都加以使用；有一些 題目故意缺少解題的必要條件，學生也沒有發現到，之後將這些問題問學生還需 要哪些資料才能解答此題時，13 歲的學生中有56%、I7歲的學生有32%都回答說

「不知道」(Kantowski,1981;引自林碧珍，1989)。

由此可見，理解題意在數學解題上是相當重要的，教師在教學時必須引導學 生作題意分析，鼓勵學生採用多種策略去了解題意，一旦學生擁有越多關於了解 題意方面的策略，學生作答的興趣和意願也會跟著提高。此外，國內學者林碧珍 (1989)提出理解題意可將問題轉換成圖表、方程式或矩陣等形式呈現，教師在教 學時應該要強調「轉換」，而非使用機械式的訓練學生用「關鍵字」來作答，例 如:有些老師教學生加減法文字題時，要求學生看到「共」就使用加法、「剩下」

就用減法等等，這樣的方式皆會使學生失去理解題意的能力。

(二)擬定解題計畫(devising a plan)

擬定解題計畫中，Polya認為教學者可以用以下的問答來引導學生思考：一、

這個題目是否看過，或是看過類似，但以不同方式表達的題目？二、這個題目是 否可以用另一種型式來表達呢？三、這個題目是否可以用比較簡單的情況來表達？

四、可否用另一種型式來表達題目給予的資料？

在這個階段，Polya認為引導學生的重點在於找出已知數和未知數的關係，

幫助學生考慮類似的問題，最後則是引導學生找到解題的計畫。我們可以說此階 段學生最困難的地方在於在甚麼樣的條件下，使用甚麼樣的解題策略。Polya認 為在這個階段，教師可鼓勵學生思考可否直接使用定理、公式等來做解題。如果 沒有辦法使用公式或定理，那麼就鼓勵學生將題目的資料畫圖或用圖表顯示；或 是將題目更改為較簡單的問題，想出解題策略後，再選取較適合的策略放回原題 目進行探究。常用的策略有很多，例如：猜測與嘗試(Guess and Test)、繪圖(Draw a picture)、尋找規律(Look for a pattern)、簡化題目(Solve a simpler problem)、應

用數字的特殊性質(Use properties of numbers)、逆向思考(Work backward)、窮盡 可能性(Exhaust possibilities)、尋找公式(Look for a formula)、應用工具(Use tools)、推理(Reasoning)、進行模擬(Do a simulation)、採用變量思考(Use a variable)。

(三)執行解題計畫(carrying out the plan)

在此階段，教師引導學生執行解題計畫，可用「你想出了解題方法嗎？能否

(四)驗算與回顧(looking back)

此為解題最後一個階段，在學生完成題目後，教師應鼓勵學生驗算，並且應

Schoenfeld(1985)在他所著作的「數學解題」(Mathematical problem solving) 一書中，提到數學解題需考慮四個變項：資源(resources)、捷思(heuristics)、控制 (control)、及信念系統(belief system)。資源(resources)是指解題者能夠有正確有效 的解決問題的知識，而這些數學知識包含了數學事實、演算法程序與理解工作進 行的技巧等訊息。捷思(heuristics)是指學習者在解題時所使用額外的解題策略和 技巧，例如簡化問題、畫表格、猜測…等等。控制(control)是指學習者在解題時，

如何設定計畫、如何選擇目標和次目標以及如何監控與評估解題結果等方面。整 體來說就是計畫、監控、決策評估和後設認知。信念系統(belief system)是指解題 者對於數學的觀點，包括關於自己、關於環境、關於數學等會影響學習者的解題 行為。

Schoenfeld(1982，1983，1985，1992)認為在資源、捷思、控制及信念系統 等四項變項中，控制因素最為重要。因為學習者如何運用資源，以及採用適當的 捷思策略，常常是由控制因素所主導。所以 Schoenfeld 以控制因素的觀點，將解 題歷程區分為閱讀、分析、探索、計畫、執行、驗證等六個階段，以表 2-1-1 進行說明：

表2-1-1

Schoenfeld數學解題六步驟及相關問題表

解題步驟 解題過程

讀題 (reading)

R1: 注意到問題所有條件嗎? 條件是明顯的? 或模糊的?

R2: 正確了解目標狀態嗎? 目標狀態是明顯的? 或模糊的?

R3: 是否評估解題者現有知識與問題的關係?

分析 (analysis)

A1: 選擇什麼觀點? 選擇是明顯的或是不明顯的?

A2: 選擇問題條件採取行動嗎?

A3: 選擇問題目標採取行動嗎?

A4:條件和目標執行是否依計畫有系統的進行?

探索 E1: 本階段是問題的條件引起的? 或目標引起的?

(exploration) E2: 所採行動有方向或重點嗎? 行動有目的嗎?

資料來源；Mathematical Problem Solving(p.297-301),by A. H. Schoenfeld, 1985, Orlando, FL: Academic Press

探討Schoenfeld (1985)的分析架構，資源變項可等同於解題者的先備知識，

轉譯(problem translation)與問題整合(problemintegration)；問題解答也可分成解 答的計畫與監控(solution planning and monitoring)與解題的執行(solution

execution)兩階段，以下詳細說明此四階段：

(一)問題轉譯(problem translation)

問題轉譯是指將問題的每一個陳述句轉譯為內在心理表徵(internal

representation)，例如重述問題的已知條件、解題目標或是用圖畫、圖示來表示 問題。此階段的學習者必須運用「語言知識」來了解句子的意義；「事實知識」

來了解問題中所需要某些特定的知識(如正方形四邊等長)。而語言知識和事實知 識統稱為「語意知識」(semantic knowledge)。

(二)問題整合(problem integration)

問題整合是指將問題所有的訊息放在一起，形成連貫一致的表徵，在此階段 中，學習者須具備能夠認識問題類型的知識，此即為「基模知識」(schematic knowledge)(如比率問題、面積問題等)，同時學習者還要能區辨和解答有關、無 關的資料，此問題表徵，相當於Polya的第一階段「了解問題」。

(三)解答的計畫與監控(solution planning and monitoring)

在此階段，學習者必須要能想出解題所需的步驟並進行監控，確認自己採取 的步驟是有意義的，此階段所需的知識，即為策略知識(strategic knowledge)。相 當於Polya的第二階段「擬定解題計畫」。

(四)解題的執行(solution execution)

此階段所使用的知識為「程序性知識」(procedural knowledge)，作為正確的 執行解題計畫過程，相當於Polya的第三階段「執行解題計畫」。此外，Mayer還 強調教學者必須讓學習者知道解題方法不只一種，目的是為要讓學習者知道數學 不只是在求得正確答案，更重要的是問題解決和推理的歷程。此理念與Polya的 第四階段「驗算與回顧」的目的相同。以下舉「面積問題」為例，說明這四個階 段的任務及所需的知識。

「一張長方形報紙，長是1公尺25公分、寬是80公分，這個長方形報紙的面

積是多少？」在問題轉譯階段時，解題者對問題中的每一個陳述句建構出心理表

分析Polya(1945)和Mayer(1992)的解題歷程，可以看出Mayer將驗算與回顧階 段省略，而將問題瞭解再細分為兩個階段：問題轉譯與問題整合。由此可看出 Mayer更重視問題的理解與表徵。

綜合三位學者的數學解題架構，我們可用表2-1-2來做比較

表2-1-2

數學解題歷程比較

Polya(1945) Schoenfeld (1985) Mayer(1992) 一

解決文字題的一般過程是先閱讀題目，了解題意，然後依問題所提供的條件 發展出解題策略，最後再列式並計算求出答案。許多研究指出文字題解答成功的 最關鍵工作，在理解題意和解題策略。古明峰(1998)指出，學生在解題時，必須 將語文理解的部份轉換成數學形式，也就是按題意列式，然後再加以運算，而困 難的地方就在於按題意列式。本研究為行動研究，採用Polya的解題分類方式，

在理解題意上，要求學生要能理解並說出已知數是甚麼？未知數是甚麼？題目所 給予的條件是甚麼？其次在擬定解題計畫中，特別著重關係句的引導，以尋找規 律、簡化題目的方式，來引導學生從關係句中，將語意轉換成數學形式，擬定出 解題策略。在執行解題計畫中，要求學生採用直式計算，確定計算的正確性。最 後在驗證與回顧過程，要求學生檢查答案是否滿足題目的敘述及要求，以上四個 步驟，在進行完改進教學後，皆採用結構式工作單晤談法(structured

task-basedinterviews)來實施。