第三章 研究方法
第一節 參數估計方法
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第一節 參數估計方法
針對有過去產品數據資料之Bass 模型參數估計方法，過去研究主要使用一 般 最 小 平 方 法(Ordinary Least Squares, OLS) 、 最 大 概 似 估 計 法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)及非線性最小平方法(Nonlinear Least Squares, NLS)，
以下詳述三種參數估計方法：
一、一般最小平方法(Ordinary least squares；OLS)
一般最小平方法最早是由Bass (1969)所提出，以最小誤差平方和的方式估 計出創新係數、模仿係數及市場潛量，由於最小平方法參數計算方式簡單，概 念廣泛地被應用在線性模型中，其估計出的參數具有線性不偏性及最小變異性。
Bass (1969)之估計模型如下：
N(𝑡 + 1) − 𝑁(𝑡) = 𝑝𝑚 + (𝑞 − 𝑝)𝑁(𝑡) − 𝑞
𝑚𝑁M(𝑡) + 𝜀(𝑡)
à 𝑛(𝑡 + 1) = 𝑎 + 𝑏𝑁(𝑡) + 𝑐𝑁M(𝑡) + 𝜀(𝑡) (3.2.1)
並且，𝑎 = 𝑝𝑚 (3.2.2)
𝑏 = 𝑞 − 𝑝 (3.2.3)
𝑐 = −CB (3.2.4)
並利用迴歸方程式計算求解𝑎、𝑏、𝑐，轉換即可求得 𝑝、𝑞、𝑚 之估計值。
其中，N(𝑡)：第𝑡期之累積使用人數 𝑛(𝑡)：第𝑡期的使用人數 𝜀(𝑡)：誤差項
由於一般最小平方法是以離散時間序列作為連續時間序列的近似，因此可 能會產生偏誤的狀況，且創新係數、模仿係數及市場潛量是由公式轉換求得，
無法得到參數估計的標準差用以判斷統計上的顯著性；另外，OLS 法亦不適合 使用在觀察期間過短的數據類型，也特別留意數據間的共線性議題，因此雖然 模型簡單易用，但在實證研究上有較多的限制。Schmittlein and Mahajan (1982)
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針對一般最小平方法提出以下三點缺失，並提出最大概似估計法(MLE)：
1. 歷 史 時 間 序 列 資 料 過 少 ， 或 變 數 間 存 在 多 重 共 線 性 問 題 (multicollinearity)時，參數估計會不穩定或產生運算符號上的錯誤。
2. 以間斷時間序列估計連續變量模型會產生時間區間的誤差(Time-interval bias)。
3. OLS 參數估計方法無法計算出參數之標準誤差(Standard Error)，無法進 行統計顯著性的判斷。
二、最大概似估計法(Maximum likelihood estimation；MLE)
Schmittlein and Mahajan (1982)針對一般最小平方法在時間區隔上造成的估 計偏誤，提出最大概似估計法進行參數估計。最大概似估計法的概念為從母體 中抽取樣本，而被抽取中的樣本估計量必須是機率密度最大者，若假設成立，
則估計參數對母體參數有代表性。以MLE 連續型的模型來估計參數不但可以消 除OLS 法因時間序列間斷所造成的偏誤，也可在估計過程中計算參數的標準差，
判斷參數估計的顯著性。估計式如(3.2.5)、(3.2.6)及(3.2.7)：
𝐹(𝑡) =\(0(*01)*+,-,-) (3.2.5)
𝐸(𝑁(𝑡)) = 𝑐𝑀𝐹(𝑡) (3.2.6)
3_(4(5))
35 ＝G𝑝 +\`B 𝐸(𝑁(𝑡))K [𝑐𝑀 − 𝐸(𝑁(𝑡))] (3.2.7) 其中，𝐹(𝑡) =4(5)C
𝑎 =Ba , 𝑏 = 𝑝 + 𝑞
𝑁(𝑡)：第𝑡期的累積使用人數 𝑀：一社會體系中的總人口
𝑐：一社會體系總人口中的創新採用機率 𝑚：市場潛量；𝑚 = 𝑐𝑀
概似函數估計式如(3.2.8)。其中，𝑥d為𝑡d(0至𝑡d的創新採用量。
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𝐿(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥d) = G1 − 𝐹(𝑡Ｔ(0)Kef∏i(0d(0[𝐹(𝑡d) − 𝐹(𝑡d(0)]eh (3.2.8)
將概似函數取自然對數 𝑙𝑛𝐿(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥d) = ℓ(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥d) 求ℓ(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥d)極大，
即 可 求 得𝑎、𝑏、𝑐 之 估 計 量 ， 此 時 再 利 用 式 (3.2.9)、 (3.2.10) 及 (3.2.11) 求 得 𝑝、𝑞及𝑚。
𝑝̂ =)o10mn (3.2.9) 𝑞o =)o10)omn (3.2.10) 𝑚p = 𝑐̂𝑀 (3.2.11) 但Srinivasan and Mason (1986)認為 MLE 法必須在估計前進行母體分配的 假設，且僅考慮抽樣造成的誤差而忽略其他外生變數所造成的偏誤，因此MLE 法可能會低估參數的標準差，且母體分配之假設不易，產生統計顯著性的偏誤。
三、非線性最小平方法(Nonlinear least squares；NLS)
Srinivasan and Mason (1986)提出以非線性最小平方法進行 Bass 模型的參數 估計時，可以解決使用一般最小平方法(OLS)無法進行參數統計檢定的缺點，且 能夠修正最大概似估計法(MLE)有低估誤差的問題。非線性最小平方法可以透 過參數估計直接計算出創新係數、模仿係數、市場潛量及標準差，其估計方程 式如式(3.2.12)：
𝐹(𝑡) = m 0(*
+(qrs)-01sq*
+(qrs)-𝑋d = 𝑚[𝐹(𝑡d) − 𝐹(𝑡d(0)] + 𝜇d i=1,2,….T
= 𝑚 v010(*s+(qrs)-h
q*+(qrs)-h −010(*s+(qrs)-h+H
q*+(qrs)-h+Hw + 𝜇d (3.2.12)
其中，𝑋d：第𝑖個時間區間(𝑡d, 𝑡d(0)內的採用人數
𝜇d：誤差項，符合常態分配。誤差項可歸因於受到標準誤差、外生變數
（如：經濟條件、行銷組合及科技進步等）和模型設計錯誤所造成的誤差。
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Srinivasan and Mason (1986)針對 OLS 法、MLE 法及 NLS 法進行四項耐久 財的參數估計研究，發現NLS 法因考慮較多的變量因此標準誤差值最大，但有 效度最佳；MLE 法與 NLS 法的配適能力皆有效，OLS 法配適能力較差；針對 預測能力，MLE 法和 NLS 法皆優良，OLS 法仍是預測能力最差的參數估計方 法，表三-1 為 Srinivasan and Mason (1986)針對三種參數估計方法整理之比較。
表三-1 三種參數估計方法優缺點比較表
一般最小平方法 最大概似估計法 非線性最小平方法
標準誤 無法取得 小 大
配適能力 差 佳 優
預測能力 差 優 優
資料來源：Srinivasan and Mason (1986)
綜上所述，Bass 模型之三種參數估計方法各有其優缺點，因此在使用 Bass 模型時先以三種參數估計方法判斷參數的適切性，再選用Bass 模型適用之參數；
另外，由於本研究屬於多模型比較之研究，Gompertz 模型和附隨擴散模型無法 以簡化的一般最小平方法得出參數，而最大概似估計法計算較為複雜，因此選 用過去 研究認 為配適 能力 和預測 能力 表現 較佳的 非線性 最小平 方法 作為 Gompertz 模型和附隨擴散模型的參數估計方法。
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