第二章 受激輻射引致表面電漿子放大元件基礎理論
2.3 受激輻射引致表面電漿子放大元件物理
2.3.1 增益閾值（threshold gain）
受激輻射引致表面電漿子放大元件結構是由金屬及摻雜增益介質的介電質所組成，
我們定義後者折射率為 nd=nr+ik，其中 nr實部為介電質折射率，虛部 k 表示光損耗/增 益常數，在此，我們可以將增益介質視為折射率虛部為負的介電材料，故虛部k則定義 為活性介質的光增益程度，由實驗可知，當 k<0，吸收截面積與散射截面積有頻譜窄化 現象。[5,18,19]
在實驗模擬中，我們可以藉著掃描特定波長的特性圖（其橫軸為光增益值 k，縱軸 為消光截面積（extinction cross-section））取得臨界光增益值，消光截面積為吸收截面積 與散射截面積之和（可參見章節）。當消光截面積近似為 0 時，會對應一 k 值，且發現 該 k 若向左右偏移一非常微小之量會得到極負與極正的消光截面積，我們可以定義該 k 為臨界增益值 kthre，又稱增益閾值。此時 kthre可視為開始發生 spasing 的臨界值，通常理 想的 kthre會隨周圍介質折射率增加而減少，在文獻[19]中，核殼結構的受激輻射引致表
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面電漿子放大元件可以藉由偏移核的圓心（相對於金屬殼圓心處）有效減少 kthre，且對 於微不對稱性的受激輻射引致表面電漿子放大元件而言，kthre會受到不同電漿膜態影 響。
2.3.2 散射/吸收截面積（scattering/absorption cross-section）
一平面波入射至等向球體，由該球體對平面波產生的散射現象是由 Mie theory 理論
abs tot tot
abs
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ext scat abs
（19）Qmat：材料品質因子（material quality factor）
Qrad：輻射品質因子（radiation quality factor）
Qmat用以描述材料吸收造成之損耗，而輻射品質因子 Qrad象徵輻射出腔體外的損耗 量，定義為在一系統的共振頻率下，當信號振幅不隨時間變化時，系統儲存能量與單一 周期內漏失損耗之比值[32]（式 21）。Q 值越大代表共振腔內的損耗越小，損耗速率較 慢，振動可持續較長時間，反之，Q 值越小代表共振腔內的損耗越大，由於損耗小時共 振波長能量會遠超過非共振波長的能量，因此在實驗模擬上，我們將品質因子定義為共 振波長的頻率除以共振線寬的半高全寬（full width at half maximum，FWHM）（式 22），
因該式便於實驗觀測與計算，故廣為實驗使用之定義。另也常見將頻率取代波長得到品 質因子（式 22）本篇論文即使用此表示方法量化品質因子，以頻譜的角度而言，當共振 頻率相同時，品質因子越高，則共振峰的頻寬越窄，所產生的光源單頻性較佳。反之，
若品質因子越低，共振峰的頻寬越大，其光源涵蓋的頻段越廣。此外，我們也可以藉由 比較空腔體及達雷射條件時兩者的品質因子觀察相對線寬改善情形。
energy stored in cavity 2 radiated energy per optical period
rad
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( ) ( ) total electric field energy
maximum of the electric field energy density max[ ( ) ( ) ] factor 用以描述腔體增益光性的參數。Purcell factor 定義為增加腔體增益gc與載波光性 增益gf的比值（式 24），也因gc( 0) gf(0)，故等式成立。
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Purcell factor 另也定義為「非輻射能量轉移至表面電漿子的機率」與「光子輻射衰 減之機率」。如同 2-2 章節所述，在電漿子雷射結構中，由於增益介值緊鄰振動奈米粒
本研究以有限元素法（Finite element method，FEM）為基礎，透過求解偏微分方程 或是偏微分方程組可以模擬真實物理行為，本論文模擬受激輻射引致表面電漿子放大元 件使用射頻（Radio Frequency Module）─電磁波頻域模組（Electromagnetic Waves，
Frequency Domain）進行光電性模擬，進而求得雷射重要參數（章節 2.3 有詳述）並評 斷該元件特性。