數學解題歷程之研究

所謂數學解題策略是指學生在面對數學問題時的思考和解決方式。既是數學家 也是心理學家的 Skemp（1971）曾指出數學解題的學習與教學都涉及心理學的問 題，應先掌握學習者是如何解題的以及解題所涉及的認知歷程或成分到底為何（引 自邱上真等，民 84）。從一九八○年代起，數學教育特別重視數學解題的活動，同 時也促使數學教育工作者與認知心理學者，共同投入數學解題的研究之中。因此，

數學解題的研究有助於認知心理學、數學教育和特殊教育的交流與凝聚（Mayer, 1993）。在我國，教育部（民 89）公佈九年一貫數學課程綱要，將「獨立思考與問 題解決」列為十大能力之一，由此可見數學解題的重要性。以下將各學者所提出的 解題歷程模式，分述如下：

（一）Polya 的解題歷程模式

波蘭數學家 Polya(1945)在其所著的「怎樣解題」一書中提到數學解題過程，共 可分為四個階段，說明如下：

1.瞭解問題：未知數是什麼?已知數和條件是什麼?

2.擬定計畫：找出未知數和已知數的關係，想辦法擬定解題計畫。

3.實施計畫：依據擬定的計劃，正確地執行及運算每一個步驟。

4.回顧解答：檢核所得解答是否正確。

Polya 指出個人在解題時可能都會經歷此四個階段，但這四個階段間，並非依 直線進行，有時需折返至前面的階段，有時則需不斷地環繞，以達解決問題的最終 目的。其所提出的數學解題歷程也成為後來許多研究數學解題的參考範本。

（二）Lester 的解題歷程模式

Lester(1980)把數學解題活動劃分為六個階段，各階段重點如下（引自方吉正，

民 84）：

1.問題的覺知（problem awareness）：解題者對所面臨的情境，要覺知到是個問 題，並有意願要去解決問題。

2.問題的理解（problem comprehension）：包括解題者對問題的「轉譯」與「內 化」兩個階段。

（1）轉譯（translation）：指解題者將問題提供的訊息轉譯為自己所能瞭解的名 詞。

（2）內化（internalization）：指解題者選擇有關訊息，並判斷這些訊息的相關 程度。

3.目標分析（goal analysis）：變化問題以便應用熟悉的策略和技巧。

4.發展計劃（paln development）：擬定各種可能的解題計畫，並評估可行的解 題策略。

5.執行計畫（plan implementation）：測試計畫並檢討使用策略是否正確？計畫 順序是否正確？

6.程序和解答的評鑑（procedure and solution evalution）：包括檢核答案的意義 及整個解題歷程的評估。

（三）Schoenfeld 的解題歷程模式

Schoenfeld(1985)在其所著的「數學解題」(Mathematical problem solving)一書 中，將「後設認知」及「信念系統」的概念加入解題歷程模式中，強調數學解題的 研究方向需要考慮四個因素:

1.資源（resources）：指解題者擁有有關解題的相關數學知識，而這些數學知識 包含了數學事實、程序及技巧等訊息。

2.捷思（heuristics）：指一般的解題技巧和策略，許多的解題研究都非常重視受 試者在解題歷程所使用的捷思策略，例如簡化問題、晝表格、尋找組型、猜 測…等等。

3.控制（control）：指著重在解題者解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次 目標及如何監控與評估解題結果等方面。Schoenfeld 認為控制的因素與心理 學上的後設認知有相當大的關連性。

4.信念系統（belief system）：指解題者對於數學的觀點，而解題者擁有的數學 觀將會影響其解題行為。

在 Schoenfeld(1982, 1983, 1985, 1992)的相關研究中，他發現在資源、捷思、控 制及信念系統等四項變項中，控制因素居於較為關鍵的地位。因為如何有效的運用 資源，如何採用適當的捷思策略，常常是由控制因素所主導。所以特別在解題歷程 中，以控制因素的觀點，將解題歷程區分為（1）讀題;（2）分析;（3）探索;（4）

計畫;（5）執行;（6）驗證等六個階段。

（四）Mayer 的解題歷程模式

Mayer(1992)從心理學的觀點探討解題歷程，提出以著重解題成分與歷程解題 四階段論，將解題歷程劃分為兩大階段：第一、問題表徵階段，包括對問題的瞭解、

問題的整合等；第二、解題的執行階段，包括擬定解題計畫與監控、解題計畫的執 行等，茲分述如下:

1. 問題表徵階段：

（1）問題轉譯(problem translation):解題者運用「語言知識」及「事實知識」將 問題轉譯為內在表徵，也就是對問題的理解及對問題所牽涉的數學的事 實。

（2）問題整合(problem integration)：將問題中的訊息放在一起，使連貫成一致 的表徵。此階段需要能正確的辨認問題的類型，選擇適當的基模知識，

辨認解題所需要或不需要的資料。而問題轉譯與問題的整合可以視為問 題的表徵。

2.問題解決階段：

（1）解題計劃及監控(solution planning and monitoring)：解題者就問題的理解，

將問題分解，提出解題的計劃，並能監控自己的解題過程。

（2）解題執行：需要利用算術法則等程序性的知識，以便正確而有效的執行 解題計畫。

Mayer(1993)也指出結合「數學教育」、「特殊教育」、「認知心理學」是新 近研究解題數學的必然趨勢。因為數學教育者能提供教學的數學內涵，及特定 領域的學科知識；而特殊教育則能告訴我們學生的數學表現到底有些什麼個別 差異，有些是學習有困難者其學習特質為何；至於認知心理學者則能發展解題 之認知歷程（或成分）的分析技巧（引自周台傑、蔡宗玫，民 86）。王瑋樺（民 90）以 Mayer 之解題理論，針對國小三年級數學學習障礙學生進行加法文字題 解題歷程與補救教學之研究，並有以下的發現：（1）語言知識不足，嚴重影響 數學學習；（2）對語意知識的題目組織能力極需加強；（3）基模知識大都缺乏 基本和正確概念；（4）策略性知識無法在解題時前後連貫；（5）程序性知識多 是畫圈數全部的方式。

75＋36＝111

答案

提出的解題歷程雖然各有不同，但大抵皆與 Polya 的解題概念相似。而 Schoenfeld

（1985, 1987）的數學解題策略只是原則性的說明，對於實際數學問題解決策略的 瞭解或研究並不容易進行。而 Mayer 對數學解題歷程有清楚具體的描述，不但易於 瞭解，而且非常適合用來做實徵性的研究。故本研究在探究數學低成就學生解題歷 程的行為特質時是以 Mayer 採用的數學解題歷程理論作為歸類依據。

第五節 後設認知與數學解題之研究

學生在數學學習的活動上，數學解題一直深受重視。而數學解題時，解題者除 了認知能力的運用外，也深受後認認知的影響。因此，研究數學解題時，後設認知 的研究也相當重要，因為數學解題和後設認知兩者具有相關性（張景媛,民 83；Brown, 1987; Flavell, 1976, 1981, 1987; Paris, 1984）。在數學解題學習中，個體能否適當的 採取有關的後設認知策略，如畫重點、瀏覽、調整速度、圖示、分析計畫及各類記 憶術等，來增進問題解決的效率，並促使這些策略能增進學習遷移的效果，是相當 重要的。許多專家學者強調教導學生各種解題策略，然而在許多報告中也顯示，學 生雖然學會各種解題策略，並不知該採用何種策略以解決問題，針對這個問題，許 多研究指出後設認知與數學解題有很密切的關係。國內學者對於數學解題及後設認 知的研究也積極投入（汪榮才，民 79；涂金堂，民 84；馬秀蘭、吳德邦，民 88；

陳李綢，民 81；張景媛，民 83；楊明家，民 86；劉秋木，民 85），由此可見，在 數學解題的過程中，後設認知乃決定成敗與否的關鍵因素。

一、後設認知能力與數學解題的相關研究

Montague 與 Bos(1990)研究八年級的學生，發現認知和後設認知的能力與數學 問題解決的表現有關。Montague, Bos 與 Doucette(1991)更指出數學成續較佳的學 生，其情意的表現和認知及後設認知的能力也都比較好。Dover 與 Shore(1991)的研 究結果指出聰明的學生比中等的學生有較多的後設認知知識，而且在聰明的學生當

中，數學解題較快的學生又比慢 的學生擁有較多的後設認知知識。 Cross 與 Paris(1988)研究發現改變學生的後設認知能力會對學生的學習產生較好的影響。因 此，二者是呈交互影響的關係。

張景媛(民 79)的研究結果也發現後設認知能力不同，其學業表現也不同，後設 認知能力高者的學業表現較佳。陳李綢(民 81)以國小五年級的學生為對象，探討其 後設認知能力與數學作業表現的關係，結果發現後設認知能力是影響數學作業表現 的主要因素，高後設認知能力組的學生在解題能力及數學作業表現皆優於低後設能 力組的學生。涂金堂（民 84）對國小學生後設認知與數學解題表現進行研究，研究 結果發現學生在後設認知量表上的得分與數學解題表現得分達顯著的正相關;而在 解題歷程的分析發現，高、中、低後設認知能力的學生在讀題與計畫階段，並無明 顯的不同;但在分析、探索、執行及驗證階段，低後設認知能力的學生明顯比中、

高後設認知能力的學生花較少的時間在這些階段。張淑娟（民 85）在研究中也發現，

其所提出學生解題成功的九項關鍵能力都與後設認知能力有關，所以讓研究者可以 確定的是：後設認知能力不僅與解題能力有著高度的相關，此外，後設認知能力中，

以自我監控的能力和數學解題能力的相關性最高，其次為組織訊息的能力。而後設 認知能力對數學解題能力的預測力達到 51.6％。同時更能確定後設認知能力的培養 與訓練，必能為學生的解題正確性帶來非常正面的價值。楊明家（民 86）研究國小 六年級學生不同數學解題能力與後設認知能力之關係．發現高數學解題能力者在讀 題、計畫與完成三階段中，與後設認知能力有顯著相關。馬秀蘭、吳德邦（民 88）

探討六年級學生在接受或沒有接受多媒體電腦輔助教學（MCAI）光碟片學習後，

研究結果發現實驗組低數學能力者之解題後設認知能力略高於控制組同等能力

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