後設認知策略教學對提升數學低成就學生數學解題能力與數學態度之成效

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國立臺中師範學院特殊教育與輔助科技研究所

碩士論文

指導教授：洪榮照博士

後設認知策略教學對提升數學低成就學生

數學解題能力與數學態度之成效

研究生：陳曉萍撰

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後設認知策略教學對提升數學低成就學生

數學解題能力與數學態度之成效

中文摘要

本研究目的旨在探討後設認知策略教學對提升數學低成就學生數學解題能力與數學態度之成效。本研究採準實驗設計的前-後測控制組設計，以數學低成就十名國小學生為實驗組，進行後設認知策略訓練課程；而另十名學生為控制組，實施一般傳統教學，共計二十名。以「整數四則文字題」的單元做為教學內容，進行六週共 24 節的教學。研究者對兩組均施以前、後測，並於兩週後再進行追蹤測驗。資料結果以相依樣本 t 考驗探討各題型答對百分比的差異，並以獨立樣本單因子共變數分析探知實驗組及控制組在數學解題能力、數學態度及後設認知能力是否獲得提升與保留效果。本研究結論如下：一、各題型的解題表現上，以「乘除兩步驟」的答對百分比最低，可使用本研究後設認知策略的教學，進一步釐清乘除概念。二、後設認知策略教學訓練課程能提高數學低成就學生解「整數四則文字題」後測測驗得分的能力。三、後設認知策略教學訓練課程對數學低成就學生解「整數四則文字題」能達到保留效果。四、後設認知策略教學訓練課程未能有效提升數學低成就學生數學學習態度，且未能達到保留效果。五、後設認知策略教學訓練課程能提升數學低成就學生後設認知能力。六、後設認知策略教學訓練課程對提升數學低成就學生後設認知能力能達到保留效果。關鍵詞：後設認知策略教學、數學低成就學生、數學解題能力、數學態度

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The effects of Metacognitive Strategy Instruction on Improving

Mathematical Problem Solving and Mathematical Attitude of

the Students with Mathematics Underachievement

Abstract

The purpose of this study was to investigate the effects of metacognitive strategy instruction on mathematical problem solving of the students with mathematics underachievement and to realize the influences on the students’ mathematical attitude. This study was conducted by using a pretest-posttest control-group experimental design and lasted 6 weeks long. The students involved were ten elementary school students with mathematics

underachievement, who were instructed of metacognitive strategy, and another ten students are the control-group ones. A pretest, posttest, and a retention test were administered to the students before, after, and two weeks after the

instruction.

T-test was used to analyze the distinguishes between each type correctness percent, and the analysis of convariance was used to compare the exaltation and maintain effect between the experimental group and the controlled group on mathematical problem solving、mathematical attitude、and the ability of metacognition.

And the results indicate as below：

1. The results of the tests showed that most of the students had difficulty in solving

two-step multiplication and division problems. The metacognitive strategy instruction could help the students get correct concepts of multiplication and division.

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scores on four fundamental operations of arithmetic word problems for the mathematics underachievement students.

3. The result of the metacognitive strategy instruction was successful in increasing the scores on four fundamental operations of arithmetic word problems for the mathematics underachievement students was maintained. 4. For the mathematics underachievemen students, the metacognitive strategy

instruction didn’t cause positive attitude toward mathematics learning. 5. The metacognitive strategy instruction could promote metacognitive ability

for the students.

6. And this result of the metacognitive strategy instruction could promote metacognitive ability for the students was maintained.

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第一章緒論第一節研究動機……… 1 第二節研究目的……… 6 第三節待答問題……… 6 第四節研究假設……… 6 第五節名詞解釋……… 7 第二章文獻探討第一節低成就學生的定義及其學習特徵 ……… 10 第二節數學態度之探討……… 16 第三節後設認知理論……… 19 第四節數學解題歷程之研究……… 26 第五節後設認知與數學解題之實徵研究……… 31 第三章研究方法第一節研究架構與設計……… 40 第二節研究流程 ……… 43 第三節後設認知策略教學課程介紹……… 46 第四節研究工具……… 50 第五節研究對象……… 53 第六節資料處理與分析……… 55 第四章研究結果第一節後測測驗之資料分析……… 56 第二節追蹤測驗之資料分析……… 64

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第五章結論與建議第一節結論……… 85 第二節研究限制……… 87 第三節建議……… 87 參考文獻……… 90 附錄附錄一基礎計算能力測驗……… 108 附錄二整數四則運算文字應用題測驗卷-前測測驗……… 110 附錄三整數四則運算文字應用題測驗卷-後測測驗……… 112 附錄四整數四則運算文字應用題測驗卷-追蹤測驗……… 114 附錄五後設認知策略解題步驟 ……… 116 附錄六後設認知策略教學∼整數四則文字題解題教學方案（一）………… 117 附錄七後設認知策略教學∼整數四則文字題解題教學方案（二）………… 119 附錄八後設認知策略教學∼整數四則文字題解題教學方案（三）………… 121 附錄九後設認知策略教學∼整數四則文字題解題教學方案（四）………… 123 附錄十後設認知量表使用同意書……… 125 附錄十一國小學生數學態度量表使用同意書……… 126

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表目錄

表 2-1 Montague 的認知-後設認知策略……… 36 表 3-1 後設認知策略教學與一般教學實驗設計表 ……… 41 表 3-2 後設認知策略教學課程對照表……… 42 表 3-3 後設認知策略解題步驟……… 47 表 3-4 受試之學校與學生數……… 54 表 3-5 各校的迴歸方程式……… 54 表 4-1 實驗組與控制組在整數四則文字題應用測驗「前測測驗」得分平均數及標準差… 57 表 4-2 控制組學生解整數四則文字應用題前測、後測（答對百分比）之成效分析…… 57 表 4-3 實驗組學生解整數四則文字應用題前測、後測（答對百分比）之成效分析…… 58 表 4-4 實驗組和控制組在整數四則文字題應用測驗「後測測驗」得分平均數及標準差… 58 表 4-5 實驗組與控制組在整數四則文字題應用測驗「後測測驗」迴歸係數同質性考驗摘要表… 59 表 4-6 實驗組與控制組在整數四則文字題應用測驗「後測測驗」上得分之共變數分析摘要表… 59 表 4-7 實驗組與控制組在數學態度量表「前測測驗」得分平均數及標準差……… 60 表 4-8 實驗組和控制組在數學態度量表「後測測驗」得分之平均數及標準差………… 60 表 4-9 實驗組與控制組在數學態度量表「後測測驗」迴歸係數同質性考驗摘要表…… 61 表 4-10 實驗組與控制組在數學態度量表「後測測驗」上得分之共變數分析摘要表…… 61 表 4-11 實驗組與控制組在後設認知量表「前測測驗」得分平均數及標準差……… 62 表 4-12 實驗組和控制組在後設認知量表「後測測驗」得分之平均數及標準差………… 62 表 4-13 實驗組與控制組在後設認知量表「後測測驗」迴歸係數同質性考驗摘要表…… 63 表 4-14 實驗組與控制組在後設認知量表「後測測驗」上得分之共變數分析摘要表…… 63 表 4-15 控制組學生解整數四則文字應用題後測、追蹤測驗（答對百分比）之成效分析… 64 表 4-16 實驗組學生解整數四則文字應用題後測、追蹤測驗（答對百分比）之成效分析… 65 表 4-17 實驗組和控制組在整數四則文字題應用測驗「追蹤測驗」得分之平均數及標準差 65 表 4-18 實驗組與控制組在整數四則文字題應用測驗「追蹤測驗」迴歸係數同質性考驗摘要表… 66 表 4-19 實驗組與控制組在整數四則文字題應用測驗「追蹤測驗」上得分之共變數分析摘要表… 66 表 4-20 實驗組和控制組在數學態度量表「追蹤測驗」得分之平均數及標準差………… 67 表 4-21 實驗組與控制組在數學態度量表「追蹤測驗」迴歸係數同質性考驗摘要表…… 67 表 4-22 實驗組與控制組在數學態度量表「追蹤測驗」上得分之共變數分析摘要表…… 68 表 4-23 實驗組和控制組在後設認知量表「追蹤測驗」得分之平均數及標準差………… 69

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表 4-26 後測測驗與追蹤測驗各題型的答對百分比……… 70 表 4-27 「加減兩步驟」題型前後測答對百分比分數成對樣本 t 檢定…………71 表 4-28 「乘除兩步驟」題型前後測答對百分比分數成對樣本 t 檢定…………71 表 4-29 「加減乘多步驟」題型前後測答對百分比分數成對樣本 t 檢定………72 表 4-30 「加減除多步驟」題型前後測答對百分比分數成對樣本 t 檢定………72 表 4-31 實驗組學生在整數四則文字題後測測驗第 8 題之解題歷程分析摘要表…… 76 表 4-32 實驗組學生在整數四則文字題後測測驗第 19 題之解題歷程分析摘要表… 78 表 4-33 實驗組學生在整數四則文字題後測測驗第 6 題之解題歷程分析摘要表…… 80 表 4-34 實驗組學生在整數四則文字題後測測驗第 17 題之解題歷程分析摘要表… 82

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圖目錄

圖 2-1 學業低成就的影響因素……… 12 圖 2-2 個人和環境因素對學習問題的影響 ……… 13 圖 2-3 Mayer 的解題歷程模式……… 30 圖 2-4 Montague「認知-後設認知策略教學模式圖」 ……… 35 圖 3-1 研究架構 ……… 40 圖 3-2 研究流程 ……… 45

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第一章緒論

第一節研究動機數學是一切科學知識的基礎，數學能力是解決日常生活中重要的能力之一。九年一貫課程綱要中提到，數學教育最重要的是使每一位學生的資賦都能獲得充分的實現與發展，以獲得最適合的教育（教育部，民 89）。然而有多數的中小學生，對數學的學習感到困擾，教育部於民國八十六年調查顯示有三分之一的小學生，四成六的國中生，最害怕的課程是數學（陳淑美，民 87），數學是國中小學生最感學習困難的學科之一（邱上真、詹世宜、王惠川、吳建志，民 84；Lerner, 2000）。數學是教育的一大課題，而數學教育應該是全民性的，為幫助數學學習困難學生有效的學習，最重要的是要使每一位學生的資賦都能獲得充分的實現與發展，每一位學生都能擁有最適合自己的教育，若能建立一貫而完整的補救教學系統，將是實踐「要把每位學生帶上來」教育改革理念的重要措施（黃志賢，民 92）。在學校教育裡，數學低成就學生的存在是長期且複雜的教育問題（Algozzine, Ysseldyke ＆ Mcgue, 1995），其造成因素複雜且多樣，智力因素、家庭學習氣氛、社經地位、數學學習動機、教材教法…等等均會影響（邱穗中，民 82；黃珊紋，民 91）。這類學生常有消極的自我概念、低自尊、缺乏自我調整的能力、預期學業和社交關係不佳，在學校學習容易緊張且易與人衝突(Lan, 1996; Skaalvik ＆ Rankin, 1990)。

Lerner（1997）則指出影響數學學習的因素包括語言、概念、視覺空間、和記憶等能力。空間關係、視知覺、符號辨認、語言發展、和認知學習策略都會和數學的學習有關。自一九六○年代末期，由於認知心理學復甦，數學「解題導向」的研究受到相當的重視(Hegarty, Mayer & Monk, 1995; Mayer, 1992)。人們對於解題不再只做一般性的探討，而開始注意到解題與認知歷程之間的關聯 (Brown, Bransford,

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Ferrara & Campione, 1983)。尤其在數學的學習過程中，教材本身具有結構性與順序性，其所包含的概念、原理與原則，以及運算技巧等均有一定先後順序及難易層次 (江美娟，民 91；周台傑，民 87；邱佳寧，民 90)，這也是數學本身所獨有的一項特性。低層次的數學是高層次數學的基礎，倘若無法了解基礎的數學概念或掌握簡單的算數程序，後續的學習也必然會受到阻礙，甚而影響數學能力之發展(邱佳寧，民 90;郭靜姿、許慧如、劉貞宜、張馨仁、范成芳，民 90；蔣大偉，民 90；Cawley & Miller, 1989)，如此不但造成各學科的學習成就低落，更易使自我概念的發展受限(Montague, 1990)。有研究指出，僅教導學生學習策略，而未教導學生後設認知技巧，例如策略的應用時機、策略的運用成效、及運用失敗後自我調整的措施等，其學習策略的訓練效果將不顯著（林倖如，民 80）。在 Polya（1945）嘗試教導學生解題策略來增進學生數學思考能力後，很多以數學思考為目標的教學研究均以教導學生解題策略為重，但結果並不是盡如人意（劉錫麒，民 86）。因此如果僅注重解題策略並當作是一種技能或技術，無法讓學生自我省思，即使學了一堆解題的策略，仍不具使用這些策略的能力。學生的監控能力若能發展，則相當於學生心中培養一位老師，以便隨時告訴他在什麼時候該用什麼策略、該用哪些相關的知識來解題，並在解題過程中能隨時監控自己解題的正確性，在解題後能判斷答案是否合理，甚至能用其他的方法或檢驗法來確定自己最後解題的結果是否正確，對學生解題的有效性（包括時間、思考過程）及正確性上應該會有很大的助益（鄭昭明,民 82）。

有鑑於此，有些研究學者 (Flavell, 1976; Garofalo & Lester, 1985; 1987; Wong, 1989)針對後設認知與解題成敗之間的關係進行研究，俾便瞭解後設認知對解題成敗的影響力(江美娟，民 91；邱佳寧，民 90；涂金堂，民 83；張淑娟，民 85；楊明家，民 86；葉明達，民 87)。而許多研究結果也顯示，後設認知在數學解題方面，具有重大的影響力(Lester, 1985; Schoenfeld, 1985; 1987)。因為這些學者們認為成功

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的認知執行不僅有賴於充分的知識，而且必須能夠明白並監控這些知識 (Lester、 Garofalo ＆ Joe, 1987)。自一九六○年代末期認知心理學興起，帶動了人類認知歷程研究的蓬勃發展，由於認知心理學的後設認知概念，探討個體如何監控、調整和修正自己的認知歷程，以使認知學習活動獲得有效的成果，因此，在數學解題的研究上，許多專家都強調教導學生各種解題策略，然而，在許多的研究中也指出，縱使學生學會各種解題策略，但卻不知道該採用何種策略的解決問題，針對這個問題，許多研究指出後設認知跟數學解題之間有很密切的關係（林清山、張景媛，民 82）。Wong(1985)研究發現，提供學生自我發問的教學，可以增加兒童的理解，且對低解題能力兒童亦有效果;Cardelle Elawar(1995)以 Mayer(1987)的數學解題模式為基礎，對三到八年級的低數學成就學生，實施後設認知教學，結果發現經過後設認知教學的低成就學生，在數學解題測驗成績上，顯著高於沒有接受後設認知教學的低成就學生。 Montague(1995)發現認知與後設認知策略的明確教學介入，是增進數學文字題解題能力的解決之道。馬秀蘭、吳德邦（民 88）指出低數學解題能力者由於先備知識不足，無法確認題意，即使能瞭解問題，也常因不能妥當組織相關訊息，而只能做無意義的四則運算。一旦遇上解題上的挫折時，往往因負向的數學信念（缺乏自信或解題動機低落）不嘗試就做其他方向的考量或半途而廢；但有時也會表現出對題目的挑戰，而窮於選擇策略進行解題，但因自我監控能力不足，無法偵查出題意方向的錯誤，而一錯再錯。至於對個人完成的答案，常因自我評估能力缺乏，不是交代不清，就是無視正確與否地自圓其說。因此，低數學能力普遍之後設認知能力也偏低。由上可知，後設認知能力與數學解題的成敗息息相關。但教師往往以數學評量考試的結果當作是學習的成果，缺乏分析學生解題錯誤類型的專業能力，使得學生循環使用錯誤的策略來解題，學生數學學習更加低落。因此，加強老師偵察學生錯誤類型的能力將會影響學生後設認知能力是否養成的關

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鍵因素。許多實徵研究發現：學生後設認知能力與數學解題能力有顯著的正相關存在（涂金堂，民 84，民 85；張淑娟，民 85）；高數學能力者所表現的解題後設認知能力普遍高於低數學能力者（馬秀蘭、吳德邦，民 88）。張淑娟（民 85）指出從後設認知能力對數學解題歷程的影響來看，高解題能力者在執行階段，能發揮自我監控的能力，且策略的使用具變通性，能掌握每一步驟的合理性，因而得以獲得正確答案，而低解題能力者則否。此外，高解題能力者在探索階段所花的時間均明顯的較短，此與組織訊息能力、自我監控能力有重要關連。故由上述研究可知，學生若能有較佳的後設認知能力，隨時監控解題步驟的合理性，則容易在最後獲得正確的答案。 Brown,Campione 與 Baker 等（引自鄭昭明，民 82），曾經訓練八歲智障的兒童去學習如何自我監控自己的記憶到完全無誤的程度，結果發現，這些智障的兒童在一年之後，仍舊能使用自我監測的方法去處理該項目的記憶。因此，使數學低成就學生學會計畫、監控與自我調整等後設認知策略，將有助於其成為成功的解題者。後設認知能力對學生數學解題能力具有影響，而且後設認知能力能透過教學的過程讓學生提早學會，基於「讓學生由學習成功，而願意學習，有興趣去學習」，實在有必要設計一套可行的「後設認知取向」的數學教學模式，以增進學生數學思考能力，並讓學生經由學會各項監控的方法，提高解題的正確性。在小學數學課程中，文字題佔有重要的份量，其主要目的是希望學生運用課堂上所學到的數學知識和應用能力，以解決在日常生活中實際所遭遇到的問題。而一般學生對文字題解題表現，有長於計算與記憶，拙於推理和理解的現象，甚至因而影響數學的學習興趣（方正吉，民 83）。過去有關教與學的研究中，教師常認為學生答錯是因不小心或誤解題意。但是今日教學心理學（instructional psychology）的研究指出學生在學習時會主動建構所學習的材料，也會在建構的過程中產生錯誤概念（張景媛，民 83）。Royer, Cisero 與 Carlo（1993）認為教學中認知的評估要著重

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在學生認知技能發展的程度上，也就是說認知的評估是要提供學習診斷的資訊，學生的學習表現不只顯示出教學事件的成功或失敗，它主要是提供訊息以幫助教學者決定當學習失敗時應如何處理。在學生的認知技能發展中，有一項很重要的技能是偵錯，當學生在某種情境產生了某種錯誤概念時，他在其他類似的情境中也會產生這種錯誤概念。因此，評估學生認知學習的困難問題時，應多加注意學生認知技能發展的程度。而這項偵錯能力相當於後設認知策略中的自我監控階段，在數學解題過程中遭遇阻礙的學生，往往因為欠缺自我監控解題歷程的能力，以致一再身陷數學錯誤概念迷思中。因此，有鑑於數學低成就學生後設認知不足的問題，本研究擬探討後設認知策略對數學低成就學生數學解題能力提升之成效，使其解題過程時對其解題行為進行自我察覺、監控與調整，也就是在認知解題歷程中引導學生學會以自我教導、自我提問、自我監控等後設認知策略以提升學生數學解題能力。

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第二節研究目的基於上述研究動機，本研究目的如下：一、探討數學低成就學生在後設認知策略教學前後在解題歷程所表現出行為特質的變化，以了解其解題的特性與困難。二、探討使用後設認知策略教學對提升國小數學低成就學生數學解題能力、數學態度之立即效果與維持效果。三、針對研究結果對國小數學低成就學生後設認知策略教學適當之教學建議。第三節待答問題根據上述研究目的，本研究所欲討論的問題如下：一、數學低成就學生在接受後設認知策略教學後，是否能提升其數學解題能力？二、數學低成就學生在接受後設認知策略教學後，是否能提升其數學態度？三、數學低成就學生在接受後設認知策略教學後，是否能提升其數學解題之後設認知能力？四、數學低成就學生在接受後設認知策略教學在數學解題能力、數學態度、後設認知能力，是否具有維持效果？五、如何協助教師使用後設認知策略教學輔導數學低成就學生學習數學？第四節研究假設一、接受後設認知策略教學後，後設認知策略教學之實驗組數學低成就學生在數學解題能力表現顯著高於接受一般教學之控制組學生。二、接受後設認知策略教學後，後設認知策略教學之實驗組數學低成就學生之數學

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態度顯著高於接受一般教學之控制組學生。三、接受後設認知策略教學後，後設認知策略教學之實驗組數學低成就學生之數學解題之後設認知能力顯著高於接受一般教學之控制組學生。四-1、後設認知策略教學對於提升數學低成就學生數學解題能力具有顯著維持效果。四-2、後設認知策略教學對於提升數學低成就學生數學態度具有顯著維持效果。四-3、後設認知策略教學對於提升數學低成就學生數學解題之後設認知能力具有顯著維持效果。第五節名詞解釋

一、數學低成就學生（the students with mathematics underachievement）

所謂低成就係指一種學習問題的症候，通常顯示以下特徵：學業成績低落、不努力或不專心學習、缺乏學習的動機和毅力。有些學者認為低成就學生的能力和成就差距甚大，其學業成就僅發揮部份能力，大部分均被埋沒（郭生玉，民 85）。本研究所界定的數學低成就學生，係指國小五年級學生智力正常，無其他感官障礙，各校以托尼非語文智力測驗智力成績和四年級上學期第三次數學月考成績及四年級下學期第一次數學月考成績之平均數，以直線迴歸公式求得一迴歸方程式，進行數學能力實際成就與期望成就差距之篩選，如果該生的實際數學成就分數低於預測分數在 1.5 個估計標準誤以上，並符合本研究的擇定標準，即為數學低成就學生。二、後設認知教學策略（metacognitive strategy instruction）

後設認知是指學生對自己認知歷程的理解及監控（陳密桃，民 79；陳李綢，民 81；張春興，民 83；魏麗敏，民 84；Flavell, 1976）。在數學解題學習中，個體能否適當的採取有關的後設認知策略，如畫重點、瀏覽、調整速度、圖示、分析計畫、

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回憶、重組資料、嘗試及各類記憶術等，來增進問題解決的效率，並促使這些策略能增進學習遷移的效果，是相當重要的。本研究所謂的後設認知策略，是指學習者在從事文字題解題活動時，對其解題歷程的監控與調適。本研究之教學方案係參考 Montague（1992, 1995, 1997）所提出的認知-後設認知策略（cognitive-metacognitive strategy）教學修改而成，加入自我教導(self-instruct)、自我提問(self-question)與自我監控(self-monitor)的成份，以獲得策略知識、指引策略執行和調整策略的使用。三、數學解題能力（the ability of mathematical problem solving）

本研究所指數學解題能力係實驗組數學低成就學生在後設認知策略教學介入之後，於「整數四則運算文字題應用」教學單元中所表現的成功水準。本研究採用自編「整數四則運算文字題應用測驗」上的得分，分數越高，表示數學解題能力越佳。四、數學態度（mathematical attitude）所謂態度是指個體對人、對事、對周圍的世界所持有的一種具有一致性與持久性的傾向，並涉及個人的情感、認知與行為三層面，它與個人的信念與行為關係密切。（張春興，民 81；魏麗敏，民 77； Feldman, 1998； Wallace ＆ Goldstein, 1997）。而吳明隆（民 86）指出數學態度是指個人對數學的一般性觀感、看法、喜歡或厭惡的程度。態度是影響認知能力學習的重要因素之一，因此，不同解題能力的學生會對問題解決呈現出不同的態度特徵，學生的數學態度不但會影響認知能力的學習成效，對認知能力在問題解決情境中的表現也會產生重要的影響力（Lesteer ＆ Branca, 1993；引自高石誠，民 88）。本研究於後設認知策略教學前後，進行魏麗敏（民 77）所編「數學態度量表」的評量，瞭解數學低成就學生數學學態度變化情形，學生在量表得分越高表示數學態度越積極，得分越低表示數學態度越消極。

五、數學解題歷程（mathematical problem solving processes）

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Montague（1992, 1995, 1997）所提出的步驟，將解題歷程予以細分為閱讀、重述、畫圖、計畫、計算、及檢查六步驟，並予以明確的指導。

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第二章文獻探討

本章旨在蒐集國內外相關文獻加以統整，共分為五節：第一節為低成就學生的定義及其學習特徵。第二節為數學態度之探討。第三節為後設認知理論。第四節為數學解題歷程之研究。第五節為後設認知與數學解題之實徵研究。第一節低成就學生的定義及其學習特徵魏麗敏(民 86)指出國內學童學習數學遭遇之困難，以低成就比率偏高為最常見現象，甚多學生放棄以數學或科學為主修科目，頗多女生更因為數學學習困難而不敢進入科學專業領域。而數學低成就學生的存在是長期且複雜的教育問題

(Algozzine, Yssldyke, ＆ Mcgue, 1995)。這類學生常有消極的自我概念、低自尊、缺乏自我調整的能力、預期學業和社交關係不佳，在學校學習容易緊張且易與人衝突(Lan, 1996; Skaalvik ＆ Rankin, 1990)。Mayer(1993)也指出結合「數學教育」、「特殊教育」、「認知心理學」是新近研究解題數學的必然趨勢。畢竟學生的數學成就在學校未來的學習、生涯選擇和專業成就方面，均扮演重要角色。而在普通教育中本來就存在著學生數學學習差異性很大的問題（陳美芳，民 92），及早發現他們學習困難的原因，並尋求解決之道，將可提升國家競爭力。以下針對本研究所指「低成就」之定義、因素及其學習特徵三部份加以說明：一、低成就學生之定義

「低成就」（under achievement）、「學習困難」（learning difficaulties）、「學習障礙」（learning disbilities）等名詞在國內常被混為一談，大多數用來描述學習表現不佳的學生（洪儷瑜，民 84；蓋浙生，民 86），但事實上這些名詞意義是各不相同的，「低成就」在英文的意義上可以分為二種（洪儷瑜，民 84；楊坤堂，民 86）：

（一）成就低落（low achievement）、或是社會性（現實性）低成就：指學生的成就表現顯著低於其年齡或年級常模，例如：成就為最低的百分之十或二十。

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（二）低成就(under achievement)、或稱教育性（真實性）低成就：指學生的成就表現顯著低於自己心智的能力或潛力所預期的成就水準者。而大多數的學者對低成就者都持下列的看法：指個人之智力正常，但在學業成就上顯著低於其智力水準所預期者（林世元，民 86；林秀錦，民 83；周台傑，民 81；張春興，民 78；曾玉玲，民 82）。由於低成就的指標是差距程度，特指學生的心智能力和實際表現，或潛能和成就之間顯著的嚴重差距現象，因此，教師宜採教育性（真實性）的觀點看待學生，並進而提供適性教育（楊坤堂，民 86）。數學低成就的定義是指個體智力正常，但由於數學符號運用能力、計算能力、理解題意及解題能力的學習上發生困難，導致其數學能力低下，個人在數學成績的實際表現未能達到其數學能力應有的水準，例如:某生智商 120 以上，其數學學習能力在班級中應屬優者，然而其數學成績表現低劣，總是居於班級中下的名次，像此種學生數學能力與數學成績不相符的現象，即屬於數學低成就學生（楊坤堂，民 84）。數學低成就常與數學學習障礙（Mathematical Learning Disabilities）有很高的重疊性，常被混為一談。Algozzine 與 Ysseldyke(1983)認為數學學習障礙學生和數學低成就學生是不同的，其以整合分析(meta-analysis)比較學習障礙學生和低成就學生二個群體，結果顯示二個群體之間有百分之八十二至百分之百的重疊。二個群體之間並不容易區分出來。但 Kavale, Fuchs 與 Scruggs(1994)的研究指出，有百分之六十三的學習障礙學生與低成就學生是可以區分出來的，換言之，有百分之三十七的比率是無法區分出來的。然而以這二個群體來比較，低成就學生較單純，不像學習障礙的概念那麼複雜，其差別為(一)學習障礙學生在學業成就水準較低，而不是在能力方面;(二)學習障礙的學生在學習數學的過程中，通常到了小學四年級時，會遭遇到學習的高原期 (Kavale, 1995)。上述可知數學低成就學生與學習障礙學生有很大的相似性。本研究以探討數學科學業低成就學生為研究重點，但因兼顧心智能力與實際成

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外在環境因素缺乏學習機會文化不利經濟不利不當教學就之間的差距，因此，只要智力正常、無感官障礙且數學科學業成就表現低於其智力預期的成就標準者，即為本研究所探討的對象。二、影響低成就學生學業的因素過去在補救教學的討論中常以學業低成就學生為主要對象(郭生玉，民 85；蓋浙生主持，民 86；曾憲政，民 87)，近年來，國內外均有教育心理學家及各種專業人員由各種不同的角度來探討造成學生學業低成就的原因。根據美國學者 Kirk 的觀點(引自洪儷瑜，民 84)，學業低成就(underachievement)之原因大致分成環境與個人因素兩方面，如圖 2-1 所示，外在環境因素包括缺乏學習機會、文化不利、經濟不利、和教學不當等，這四種原因尚可以被探討出更多更細的因素，如教學不當可能包括課程設計不當、教師教學知能不夠、教師期待不當或是班級管理不當等。Kirk 將個人內在因素定位在個人不可改變的障礙，亦指身心障礙，例如智能、感官、行為或情緒、學習障礙等或是生理疾病所造成的低成就。在國內的區分，圖 2-1 的左邊所示的環境因素是屬於上述一般普通教育的輔導範圍，而右邊所示的個人因素則是特殊教育所服務對象。圖 2-1 學業低成就的影響因素（資料來源：洪儷瑜，民 85）然而就 Aldeman 的區分(1994)，發現環境與個人生理因素對個人學業的影響並非截然二分，如圖 2-2 所示，有些學生的問題是屬於環境和個人因素並重的，例如智力偏低，但非到智能障礙的條件，而且家庭經濟不佳等，事實上，很多這樣的學內在個人因素智能障礙感官障礙情緒或行為障礙學習障礙學業低成就

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生，因為很多環境因素會造成個人生理或心理上的病變而導致個人障礙，例如低收入的家庭由於環境污染、營養缺乏、疾病的因素容易導致腦功能發展異常之現象 (Kavale, 1988，引自洪儷瑜，民 84)，而這兩種因素對個人的影響是連續而不可截然劃分的。環境因素造成的問題環境和個人因素並重造成的問題個人因素造成的問題文化刺激不足社會經濟的不利教學不當管教方式不當智力因素感官缺陷身體病弱情緒、行為障礙基本心理歷程障礙圖 2-2 個人和環境因素對學習問題的影響（資料來源：洪儷瑜，民 84）前面所述數學低成就的定義指個體智力正常，因錯誤概念的累積或先備知識的不夠精熟，導致對課程無法融會貫通而成為數學學習低成就兒童。排除智力因素，造成學生學習低成就的原因大致有：家庭學習氣氛、社經地位、數學學習動機、學校設備或教材、教法等等（黃珊紋，民 91）。國內也有許多學者針對造成學生學業低成就的原因加以探討，茲將影響數學學習低成就的因素歸納如下（吳元良，民 85；黃瑞珍，民 87；曾慧萍，民 90；楊坤堂，民 86；廖永堃，民 80；戴文賓，民 88）：（一）不當的態度：缺乏學習動機和興趣以及積極努力的態度、自我概念不足、自信心不夠、消極的制握信念、對數學所獲負面價值。（二）錯誤的學習方法：包含不會使用有效的學習策略、學習時間不足、不會將所學得的新知識和舊知識做連結等。（三）環境因素：包括家庭、學校及社會三部分。

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1.家庭因素：家庭社經地位、父母管教方式、父母教育程度、父母期望水準、家庭文化刺激等。 2.學校因素：教師教學方法、教師教學態度、課程教材、班級氣氛、同儕互動、學校環境及設備等均會影響學生的學習成就。 3.社會因素：社區文化水準、社區青少年次級文化、社會犯罪問題等也會影響部分學生學習成效。這些因素都會不斷改變及互相影響，也影響著學習活動的成效。另外，各學習階段的學生是異質的，每個人帶著不同的數學知識及生活經驗進入教室中，為做好數學低成就學生的補救教學，就必須瞭解影響這些學生數學學習困難的原因（黃志賢，民 92）。三、數學低成就之學習特徵數學低成就學生是屬於異質性的團體，進行數學低成就學生的補救教學之前，要先瞭解其學習行為特徵，專家學者分別提出數學學習障礙與數學低成就的學習行為特徵，整理如下：邱上真等（民 84）認為數學低成就學生解題困難者的表現有以下特徵：（一）理解數學概念有困難；（二）使用不正確或不合適的解題策略；（三）對基本的運算事實不熟悉；（四）計算速度慢；（五）運算效率差；（六）運作記憶差，無法處理較複雜的問題；（七）對學習數學有焦慮感。研究者參考數學學障的相關文獻，將數學學障學生的學習行為特徵，綜合整理如下（黃志賢，民 92；Lerner, 2000; Miller ＆ Mercer, 1997; Stone ＆ Reid, 1994; Wong ＆ Wong, 1988）：

（一）動機缺陷

數學學障學生由於長期的學業成就低落，因此在數學方面產生學習的無助感。由於長期的學習挫敗，常會導致他們學習動機低落，而成為被動的學習者；他們通

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常缺乏積極的學習態度、較差的自我概念、負向的內在語言、較多的無助感及對數學產生焦慮。（二）訊息處理缺陷訊息處理理論主要是在探究人類如何接收訊息、儲存訊息及運用訊息的歷程（張春興，民 88）。數學學障學生或數學低成就學生在數學上所呈現的問題與訊息處理的成分有密切的相關（Miller ＆ Mercer, 1997），以下列出會影響數學表現的行為特徵： 1.注意力缺陷他們常無法專心完成一道題目、無法從事多步驟的計算、缺乏耐心、無法有效地集中和保持注意力，或有效地轉移注意力，難以維持注意力於重要的教學上（例如教師示範如何解題）。 2.記憶力缺陷學生在保留數學概念、數學符號及計算規則的記憶上有困難，常容易忘記某些概念及演算的規則、步驟，對於解決多歩驟的應用問題有困難。（三）語言能力缺陷數學和語言、閱讀能力相關，他們較難理解數學的專有名詞及字義等的意義。在接受及表達能力上，數學語彙不足，導致運用數學符號語言的缺陷。在解答應用問題上，則須閱讀能力以理解題意；許多數學學障學生因閱讀能力不佳，在解題時時常無法排除無關訊息，並且較無法理解問題中的關係語句，以致阻礙其解題能力（邱佳寧，民 90；陳麗玲，民 82；Lerner, 2000; Smith, 1994）。（四）認知與後設認知缺陷認知是指思考方面的能力，後設認知是指思考如何思考的能力。數學學障學生在認知和後設認知歷程的困難，通常表現在以下兩方面： 1.執行一項任務，缺乏對此項任務所須技能、策略和資源的覺知。

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2.無法使用自我調整（self-regulatory mechanisms）來完成任務。因此，這些學生在數學學習所呈現的困難有：無法評量自己的解題能力、對選擇適當的策略上有困難、無法組織訊息、不能有效地監控自己的解題歷程、不能評估答案的正確性、無法將策略類化到其他的情境等。由上述可知，數學學習障礙學生必定存在數學低成就現象，而數學低成就的學生未必是數學學習障礙的學生，但本研究對象並未排除身心障礙學生，因此，本研究所指數學低成就學生則包含數學學習障礙的學生，相關文獻也指出數學學習困難學生其中之一的學習行為特徵為認知與後設認知缺陷，由此可見，數學低成就學生由於在選擇正確的認知策略及自我教導、自我提問、自我監控等後設認知能力的缺乏，導致其數學表現不佳。第二節數學態度之探討所謂態度乃是指個體對人、對事、對周圍世界所持有的一種具有一致性與持久性的傾向（何義清，民 76；張春興，民 81；魏麗敏，民 77）。也有學者認為態度是個體對特定對象、個人或情境，所反應出一種積極或消極的意向；也是一種信念和想法，並且能夠預測個人的行為（Friedenberg, 1995; Haloney ＆ Santrock, 1996）。一、數學態度的意義數學態度是指對數學的看法、喜惡程度與行動傾向的一種心理特質（高石城，民 88；魏麗敏，民 77；譚寧君，民 81）。學生如果對於數學的學習有較積極的態度，通常他們的數學成就會比較高，因此，培養學生對數學的興趣並持較積極的態度學習數學，會有相當大的助益（蔡文標，民 90）。根據 Rourke 與 Conway（1997）的研究指出，在美國數學學習困難的學生有 3.6﹪；而且有超過 50﹪的學習障礙學生接受數學的個別化教育（Kavale ＆ Reese, 1992）。由此可知，美國學生在數學學習遭遇到困難的學生不在少數。而教育部統計處民國八十六年進行「中小學對課程步

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喜歡比率之調查」，發現國中、小學生最不喜歡的科目是數學，而且隨著年級不穩定的比例穩定上升。目前許多中學生只為了考試成績而解題，看到較難的數學題目即放棄的態度對於其終身學習是有負面影響的。數學課程在培養學生終身學習的能力上，期望學生能知道如何學數學，並樂於學數學，如此方能在其未來的人生旅程中，保持充沛的數學學習與探究能力，以作為精巧思維及科學發展的基石。要達到這樣的境界，單單只靠開拓學生數學能力是不夠的。培養學生正面的數學態度，使得其能知道如何學並樂於學，才能強化終身學習的能力。故而培養學生願意解決數學問題之正面學習態度是數學教育亟需努力的（謝豐瑞，民 92）。二、數學態度之相關研究讓學生數學學習成功的要素乃是具有積極的數學態度、興趣、獨立學習和信心等（Montague, 1996）。所以數學態度之相關研究具有其價值，國內外針對數學低成就學生數學態度相關研究，說明如下：（一）數學低成就學生數學態度相關研究：國內部分有王三幸（民 82）針對國小五六年級學生 1,193 名進行國小高年級數學學業成就的相關因素研究，結果發現高數學態度組學生之數學成就，顯著高於低數學態度組。曾玉玲（民 82）針對國中低成就學生 200 名，普通學生 203 名進行學習信念與相關因素之研究，結果發現普通班學生在數學信念、學習態度與學習行為上，均優於低成就學生。吳明隆與蘇耕役（民 84）的研究顯示，學童的數學態度是預測數學成就之有效指標；曾琬淑（民 84）之研究指出，數學成就與數學態度之間關係密切，小學兒童數學態度可有效預測其數學成就；林月仙（民 88）認為數學成就之結構可分為知識技能及態度兩個因素，此兩個因素和數學成就有關聯。國外部份則有 Higgins（1997）針對六、七年級學生進行數學問題解決教學法對於數學成就、數學態度和數學概念之成效，研究發現學生數學成就顯著提昇，數學態度和數學信念更積極。

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（二）後設認知與數學態度之相關研究： Wilburne（1997）以 25 名修習教育學分的大學生為實驗教學的對象，採用後設認知策略的教學，經過七個禮拜的教學實驗後，結果發現受試者在數學解題測驗與數學態度兩方面，其前後測皆有顯著的差異，顯示後設認知策略的教學有正向的實驗效果。Tougan（1993）以 50 位國中生進行後設認知本位（metacognition-based）的數學解題教學，實驗教學的過程中，老師特別強調預測、探索、發現、討論、驗證與通則化（generalization）等方法。實驗結果發現學生在數學解題測驗的前後測有顯著的差異，並且經過後設認知本位的教學後，對數學的態度也有更正向的反應。Maqsud（1998）對美國南部 40 名小學生進行後設認知教學策略對數學低成就學生的數學成就和數學態度之影響，結果發現實驗組學生之後設認知覺察、數學成就和數學態度有顯著的進步。由上可知，數學態度和數學成就表現之間息息相關，數學學習態度越積極，數學學業表現就越高，如何提升數學低成就學生數學能力以改變其數學態度，使得他們不再畏懼數學，乃是每一位教師要努力的方向。三、數學態度的評量經由上述對數學態度的描述可知，數學態度是個複雜的概念，而目前對於數學態度的測量方法共有三大類:（一）觀察法；（二）面談法；(三)自我陳述法。而其中用面談法來評估學生，學生較會有所隱瞞;用觀察法來觀察學生，又易受觀察者偏見的影響。所以，一般研究還是以自我陳述法為主。自我陳述量表共同的特徵是:量表的題目內容和含意都非常明確，受試者的反應也受到固定答案的限制;一般會建立標準化的常模，以作為評分和解釋的參考;測驗的實施也有標準化的程序;而標準化和量化的特性使自陳量表具有高度客觀性(葛樹人，民 80)。評量數學態度的自我陳述法，通常會使用一系列的問句、形容詞、敘述等，要

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求受試者對每二個問句。形容詞、敘述做出「同意」或「不同意」的反應，然後再根據受試者對這些量表所做的反應加以計分。研究者將國內外常用之數學態度量表整理如下: （一）Fennema-Sherman(1976)數學態度量表 Fennema-Sherman(1976)所編訂的數學態度量表共有 108 題，以五點量表法(非常同意、同意、無意見、不同意、非常不同意)方式作答。且分為九個分測驗:（1）學習數學信心量表；（2）母親量表；(3)對數學成功的態度；（4）父親量表；（5）教師量表；（6）數學為男性科目量表；(7)數學有用性量表；（8）數學焦慮量表；(9) 數學探究動機量表。在國內經李默英（民 72）加以修訂後，共有 108 題，也是分成九個量表，經預試其內部一致性 Cronbach α 在.6160 至.9343 之間，各項目與分量表的相關係數在.273 以上，達到.05 的顯著水準。（二）Edwards（1967）數學態度量表 Edwards(1967)所編訂的「數學態度量表」僅僅只有 10 個題目，主要是用來評量受試者對於數學正向或負向的態度。本量表已經很少人在使用。（三）魏麗敏(民 77)數學態度量表魏麗敏(民 77)所編訂之「數學態度量表」乃是依據 Fennema-Shermar（1976）數學態度量修訂而成。主要是將其中的「學習數學的信心」、「對數學成功的態度」、「數學為男性領域」、「數學探究動機」與「數學有用性」等五個分量表合併而成。並且經由考驗後具有良好之信度與效度。第三節後設認知理論一、後設認知的定義

後設認知(meta-cognition)一詞係由 Flavell（1976）所提出，它是由 meta 和 cognition 兩個字組合而成的， meta 源自於希臘文，其原意是指以超然或旁觀的立

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場來看事物，而對事物有更具普遍性與更成熟的理解(邱上真，民 78)，之所以稱為後設認知，其主要的意義即是對自己認知歷程的認知。也就是當面對某種訊息或資料予以處理時，在認知上超過「知其然」的程度，進而達到「知其所以然」的程度時，即可稱為後設認知（張春興，民 80）。 Flavell（1987）將後設認知界定為:有關認知目標的知識與認知。而後設認知的概念可推廣為對心理事件的瞭解與監控，而非只有對事件的認知。Brown（1987）對後設認知的定義則與 Flavell 相似，其認為後設認知是指個人對其認知系統的知識與控制(knowledge and control of own cognitive system)。換言之，個人不但要有其有有關自己思考與學習活動的知識，並且知道如何去控制它，也就是要懂得自我管理（self-management），自我管理是包括自我偵測為達目的所使用的特定策略是否有效、以及自我檢查、自我修正與自我評鑑(邱上真，民 78)。Baird 與 White（1984）認為後設認知活動是對自己是否瞭解學習活動的自我評鑑及對自己能力的評估。此外，在學習中覺察自己的學習過程、學習本質、學習類型、學習缺點、自我監控及做決定也屬於後設認知的活動內容。Phye 與 Andre（1986）認為自我知覺的注意與自我監控歷程是後設認知的重要課題（林清山、張景媛，民 82）。至於國內學者對後設認知的觀點，張春興(民 83)認為後設認知是指對認知之認知、對思考之思考，亦即指個人對自己的認知歷程，能夠掌控、支配、監督及評鑑的高一層的認知。陳密桃(民 79)則認為後設認知是指個人其認知歷程和結果的自我覺知、自我監控、以及自我調整等之知識與能力。鄭昭明（民 82）認為，後設認知是指自己所擁有知識、認知策略的瞭解；以及指揮與使用這些知識、認知策略，以應付學習、記憶、思考或解題的工作。綜合國內外學者的論點，後設認知係指個體能對整個認知活動的歷程與結果能自我覺知，並能針對目標進行自我評估、自我監控和自我調整的能力。綜合言之，後設認知為個人對其認知或與認知有關的行動、動機、情緒，或整體認知情境的瞭

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解與自我調整(self-regulation)，使所從事的認知性活動達到最有效的結果。二、後設認知的內涵在對於後設認知的定義有初步了解之後，以下列幾位較具代表性學者的觀點，分述如下：（一）Flavell 的後設認知模式 Flavell（1987）認為後設認知包括後設認知知識(metacognition knowledge)和後設認知經驗(meta cognition experience)兩個向度。

1.後設認知知識後設認知知識是個體已習得世界知識中有關認知事件這一部分，它包含了個人、工作、策略三變項的知識。（1）個人變項知識:是指個人對其自身認知條件的知識，包括個人認知個體內差異、個體間差異及共同性的知識，例如知道自己的計算能力比解題能力好，即為個體內差異的知識;知道自己的數學能力比別人好，即為個體間的差異;知道自己若不注意就可能計算錯誤，此即為共同性的知識。（2）工作變項知識:是指個人對工作目標、工作性質、工作難易度的認識。例如知道解一題數學題時，不一定要用到題目中所給的每一個數字(涂金堂，民 88)。（3）策略變項知識:是指個人達成工作目標所需的各種策略的認知，包括認知策略及後設認知策略的知識，所謂認知策略只是用來完成目標，而後設認知策略則是用來監控認知的進行，例如知道要獲得數字的總和須用加法，此為認知策略;再算一次以確定答案的正確性，即為後設認知策略。 2.後設認知經驗後設認知經驗是個人從事認知活動後，所獲得認知與情意的知覺經驗，以及個人遇到類似事件的適當反應方式，後設認知可能發生在任何時間、任何情境中，讓

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人專注於所從事的認知活動，有意識的監控並調整個人的認知。後設認知經驗對進行中的認知活動提供了許多有用的訊息，例如：自己可能對於算出來的答案感到困惑，因此決定重算一次或請教同學或老師。

（二）Brown 的觀點

Brown（1987）將後設認知分為認知的知識(knowledge about cognition)與認知的調整（regulation of cognition）二部分。 1.認知的知識認知的知識是指個體對其本身認知資源的瞭解，以及對自己與環境之間互動的覺察，以瞭解行動的可行性、限制及優缺點等(涂金堂，民 87；楊明家，民 86)。 2.認知的調整認知的調整是指個體在其認知歷程中「執行控制」，也就是個體對其認知過程的計畫、監控與檢查的能力。（三）Paris 的觀點 Paris（1983）認為後設認知的內涵包括:認知的自我評估知識(self-appraised knowledge)及思考的自我管理(self-management)二部分(Jacobs & Paris, 1987; Cross & Paris , 1988)。

1.認知的自我評估知識

認知的自我評估是指個人對其能力、知識、學習工作及使用的策略的評鑑，它包括三種知識:

（1）陳述性知識(declarative knowledge):是指知道那是什麼（knowing that）的知識，亦即對某項概念的瞭解。

（2）程序性知識(procedural knowledge):是指知道如何去做的知識(knowing how)，亦即對思考歷程與步驟的瞭解。

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(knowing when and why)的知識，亦即對影響學習的條件或有效學習策略的適用條件、情境之瞭解(胡永崇，民 84)。 2.思考的自我管理思考的自我管理是指化知識於行動的動態層面，強調認知的執行功能，包括 : 計畫(planning)、評估(evaluation)與調整(regulation)三方面（1）計畫：指對達成目標之認知方法的選擇並安排執行次序。（2）評鑑：是指對自己目前知識狀態或能力的評估，或對自己是否達成學習目標的評估。（3）調整:是指對自身認知行動的調整，在認知活動的過程中，隨時監控活動的進展，主導活動的方向（胡永崇，民 84；陳蕙茹，民 87；葉明達，民 87）。由以上後設認知內涵的探討得知，不同學者對後設認知的看法略有不同。但是，從上述學者的理論中，仍可清楚發現，後設認知的內涵主要包含「知識」與「控制」兩種內涵。三、後設認知對學習的意義後設認知的概念是相當抽象、模糊的，但卻位處於我們認知運作的主宰地位，它對於學生的學習深具意義，以下分兩個面向做說明（郭秀緞，民 92）：（一）影響學習的主動性、有效性個人必須知道自己的認知資源、作業的需求以及什麼時候該用什麼策略？如何調整策略？方能成為一個主動而有效率的學習者。學者 Turner（1989）認為學生之所以無法有效地使用策略，無法成為主動而獨立的學習者，其中有部分原因是缺乏後設認知知覺和後設認知策略。所以讓學生成為主動、有效率的學習者，不能忽略後設認知在這方面扮演一個非常重要的角色。（二）與各認知領域的學習相關性高

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在許多學習領域的研究中，都發現後設認知扮演了非常重要的角色，如閱讀理解、寫作、數學、科學、記憶、注意力、問題解決、第二語言閱讀等（鄭麗玉，民 82；Schraw, 1998）。陳密桃（民 79）以國中、小為研究對象，發現後設認知和閱讀理解成正相關；楊宗仁（民 80）研究國中生地理科之學習，發現高成就者比低成就者更能把握學習重點，並較能做學習監控；張淑娟（民 86）以高中生為研究對象，發現後設認知能力是影響數學解題的關鍵。由此可見，後設認知對各認知領域的學習都有深遠的影響，其重要性可見一般。四、後設認知的評量方式後設認知的評量方式有許多種，各有其優點與侷限性。到目前為上尚未有一種方法能完全真實的評量出解題者的後設認知行為(潘宏明，民 84)。一方面因後設認知仍缺乏確切的定義;另一方面因為個人內隱的心理歷程很難直接觀察。茲將常用的方法分述如下（涂金堂，民 84；許淑萍，民 91；陳密桃，民 79；楊明家，民 86）： (一)晤談法(interview method) 後設認知的晤談方式最常用在閱讀研究上。後設認知的晤談方式，可分為兩種: 第一種是開放的晤談;第二種為結構式晤談，乃事先擬好問題，並有預設的答案。而關於數學解題研究所進行的晤談，通常在受試者完成解題工作後實施，為一種事後晤談(post-task interview)的方式。其目的在進一步深入的瞭解受試者解題時，所產生的心理思考歷程。

(二)信心評量法(confidence rating method)

此種自我預測的評量技術，通常都使用於個人的某些作業表現之後，且在尚未獲知學習結果之前，要求受試者對個人的表現結果，先進行自我評量和預測，然後將其預測的結果與實際的表現相比較，由其預測的正確程度，可以作為後設認知的指標(陳密桃，民 79)。此一評量方法的最大優點為能測量到受試者對本身能力的自我了解程度;而缺點是無法呈現後設認知的完整面貌。

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(三)問卷調查法問卷調查法主要是根據後設認知的理論，編妥問卷，交給受試者填寫，而後再根據受試者填寫的問卷，瞭解受試者後設認知的知識、策略的運用情形，以對受試者的後設認知能力作一評定。此法的優點為施測方便，取得的資料較為周全，同時在實施過程中，不會有主試的偏見夾雜其中;缺點則為問卷只能瞭解受試靜態的後設認知知識，而無法呈現出動態的後設認知行為，又缺乏彈性，受試者容易受到閱讀能力的限制，而受試者可能選擇傾向社會期許的答案影響作答。

(四)錯誤偵測法(error detection method)

錯誤偵測法通常用來研究「後設認知經驗」或「監控理解」。施測者在利用錯誤偵測法評估受試者的後設認知能力時，會故意將一些不正確或不一致的資料，放進受試者的工作材料中，然後要求受試者在完成工作時，要能偵測出錯誤所在。施測者及根據受試者所偵測出錯誤的數目，來評估受試者的認知監控能力。

（五）放聲思考法（think aloud method）

放聲思考法的研究方式，乃是要求受試者在進行特定工作的同時，大聲的說出他所想與做的每一件事，而施測者則利用錄影或錄音器材，錄下受試者所說的每一句話，並在事後將錄影或錄音所得的資料轉錄為書面資料，稱為原案（protocols），原案即為研究者進一步分析研究受試者思考歷程的資料。

此種放聲思考法之優點為可有效的呈現後設認知行為的原貌，被大部分學者 (Kilpatrick, 1985; Schoenfeld, 1985; Noddings, 1990)公認為較具客觀性，也較容易觀察到解題者的真實行為;缺點則為不易進行大樣本之研究;且當受試者被要求一面解題一面講出其思考過程時，容易將思考轉移到語言而影響其思考的運作，同時解題者須經充分訓練，否則不易將其想法全盤說出，而研究者亦須有良好的詮釋能力與高敏感度，否則易將資料扭曲(涂金堂，民 83；張淑娟，民 86；葉明達，民 87；楊明家，民 86；蔣宇立，民 89；Hayes ＆ Flower, 1981)。

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第四節數學解題歷程之研究所謂數學解題策略是指學生在面對數學問題時的思考和解決方式。既是數學家也是心理學家的 Skemp（1971）曾指出數學解題的學習與教學都涉及心理學的問題，應先掌握學習者是如何解題的以及解題所涉及的認知歷程或成分到底為何（引自邱上真等，民 84）。從一九八○年代起，數學教育特別重視數學解題的活動，同時也促使數學教育工作者與認知心理學者，共同投入數學解題的研究之中。因此，數學解題的研究有助於認知心理學、數學教育和特殊教育的交流與凝聚（Mayer, 1993）。在我國，教育部（民 89）公佈九年一貫數學課程綱要，將「獨立思考與問題解決」列為十大能力之一，由此可見數學解題的重要性。以下將各學者所提出的解題歷程模式，分述如下：（一）Polya 的解題歷程模式波蘭數學家 Polya(1945)在其所著的「怎樣解題」一書中提到數學解題過程，共可分為四個階段，說明如下： 1.瞭解問題：未知數是什麼?已知數和條件是什麼? 2.擬定計畫：找出未知數和已知數的關係，想辦法擬定解題計畫。 3.實施計畫：依據擬定的計劃，正確地執行及運算每一個步驟。 4.回顧解答：檢核所得解答是否正確。 Polya 指出個人在解題時可能都會經歷此四個階段，但這四個階段間，並非依直線進行，有時需折返至前面的階段，有時則需不斷地環繞，以達解決問題的最終目的。其所提出的數學解題歷程也成為後來許多研究數學解題的參考範本。（二）Lester 的解題歷程模式 Lester(1980)把數學解題活動劃分為六個階段，各階段重點如下（引自方吉正，民 84）：

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1.問題的覺知（problem awareness）：解題者對所面臨的情境，要覺知到是個問題，並有意願要去解決問題。 2.問題的理解（problem comprehension）：包括解題者對問題的「轉譯」與「內化」兩個階段。（1）轉譯（translation）：指解題者將問題提供的訊息轉譯為自己所能瞭解的名詞。（2）內化（internalization）：指解題者選擇有關訊息，並判斷這些訊息的相關程度。 3.目標分析（goal analysis）：變化問題以便應用熟悉的策略和技巧。 4.發展計劃（paln development）：擬定各種可能的解題計畫，並評估可行的解題策略。 5.執行計畫（plan implementation）：測試計畫並檢討使用策略是否正確？計畫順序是否正確？

6.程序和解答的評鑑（procedure and solution evalution）：包括檢核答案的意義及整個解題歷程的評估。

（三）Schoenfeld 的解題歷程模式

Schoenfeld(1985)在其所著的「數學解題」(Mathematical problem solving)一書中，將「後設認知」及「信念系統」的概念加入解題歷程模式中，強調數學解題的研究方向需要考慮四個因素: 1.資源（resources）：指解題者擁有有關解題的相關數學知識，而這些數學知識包含了數學事實、程序及技巧等訊息。 2.捷思（heuristics）：指一般的解題技巧和策略，許多的解題研究都非常重視受試者在解題歷程所使用的捷思策略，例如簡化問題、晝表格、尋找組型、猜測…等等。

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3.控制（control）：指著重在解題者解題時，如何決定計畫、如何選擇目標和次目標及如何監控與評估解題結果等方面。Schoenfeld 認為控制的因素與心理學上的後設認知有相當大的關連性。 4.信念系統（belief system）：指解題者對於數學的觀點，而解題者擁有的數學觀將會影響其解題行為。在 Schoenfeld(1982, 1983, 1985, 1992)的相關研究中，他發現在資源、捷思、控制及信念系統等四項變項中，控制因素居於較為關鍵的地位。因為如何有效的運用資源，如何採用適當的捷思策略，常常是由控制因素所主導。所以特別在解題歷程中，以控制因素的觀點，將解題歷程區分為（1）讀題;（2）分析;（3）探索;（4）計畫;（5）執行;（6）驗證等六個階段。（四）Mayer 的解題歷程模式 Mayer(1992)從心理學的觀點探討解題歷程，提出以著重解題成分與歷程解題四階段論，將解題歷程劃分為兩大階段：第一、問題表徵階段，包括對問題的瞭解、問題的整合等；第二、解題的執行階段，包括擬定解題計畫與監控、解題計畫的執行等，茲分述如下: 1. 問題表徵階段：（1）問題轉譯(problem translation):解題者運用「語言知識」及「事實知識」將問題轉譯為內在表徵，也就是對問題的理解及對問題所牽涉的數學的事實。（2）問題整合(problem integration)：將問題中的訊息放在一起，使連貫成一致的表徵。此階段需要能正確的辨認問題的類型，選擇適當的基模知識，辨認解題所需要或不需要的資料。而問題轉譯與問題的整合可以視為問題的表徵。 2.問題解決階段：

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（1）解題計劃及監控(solution planning and monitoring)：解題者就問題的理解，將問題分解，提出解題的計劃，並能監控自己的解題過程。（2）解題執行：需要利用算術法則等程序性的知識，以便正確而有效的執行解題計畫。 Mayer(1993)也指出結合「數學教育」、「特殊教育」、「認知心理學」是新近研究解題數學的必然趨勢。因為數學教育者能提供教學的數學內涵，及特定領域的學科知識；而特殊教育則能告訴我們學生的數學表現到底有些什麼個別差異，有些是學習有困難者其學習特質為何；至於認知心理學者則能發展解題之認知歷程（或成分）的分析技巧（引自周台傑、蔡宗玫，民 86）。王瑋樺（民 90）以 Mayer 之解題理論，針對國小三年級數學學習障礙學生進行加法文字題解題歷程與補救教學之研究，並有以下的發現：（1）語言知識不足，嚴重影響數學學習；（2）對語意知識的題目組織能力極需加強；（3）基模知識大都缺乏基本和正確概念；（4）策略性知識無法在解題時前後連貫；（5）程序性知識多是畫圈數全部的方式。

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圖 2-3 Mayer 的解題歷程模式歸納以上數學解題歷程模式探討得知，後設認知可以從「了解問題」階段就開始出現，並可在「擬定計劃」「實施計劃」到「回顧解答」階段持續運作，故要將後設認知的概念融入數學解題教學模式中實施應是重要而相當可行的。不同學者所階段知識種類實例問題敘述一支紅筆賣 15 元、一支藍筆賣 12 元，買 5 支紅筆和 3 支藍筆共要多少元？問題表徵轉譯整合問題解決計劃和監控執行語言知識語意知識基模知識一支紅筆賣 15 元、一支藍筆賣 12 元買 5 支紅筆和 3 支藍筆共要多少元？這是計算錢數總合問題。策略知識程序性知識第一、以 15×5 算出買紅筆的總共錢數第二、以 12×3 算出買藍筆的總共錢數第三、將兩種筆錢數相加起來，就是答案! 15×5＝75 12×3＝36 75＋36＝111 答案

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提出的解題歷程雖然各有不同，但大抵皆與 Polya 的解題概念相似。而 Schoenfeld （1985, 1987）的數學解題策略只是原則性的說明，對於實際數學問題解決策略的瞭解或研究並不容易進行。而 Mayer 對數學解題歷程有清楚具體的描述，不但易於瞭解，而且非常適合用來做實徵性的研究。故本研究在探究數學低成就學生解題歷程的行為特質時是以 Mayer 採用的數學解題歷程理論作為歸類依據。第五節後設認知與數學解題之研究學生在數學學習的活動上，數學解題一直深受重視。而數學解題時，解題者除了認知能力的運用外，也深受後認認知的影響。因此，研究數學解題時，後設認知的研究也相當重要，因為數學解題和後設認知兩者具有相關性（張景媛,民 83；Brown, 1987; Flavell, 1976, 1981, 1987; Paris, 1984）。在數學解題學習中，個體能否適當的採取有關的後設認知策略，如畫重點、瀏覽、調整速度、圖示、分析計畫及各類記憶術等，來增進問題解決的效率，並促使這些策略能增進學習遷移的效果，是相當重要的。許多專家學者強調教導學生各種解題策略，然而在許多報告中也顯示，學生雖然學會各種解題策略，並不知該採用何種策略以解決問題，針對這個問題，許多研究指出後設認知與數學解題有很密切的關係。國內學者對於數學解題及後設認知的研究也積極投入（汪榮才，民 79；涂金堂，民 84；馬秀蘭、吳德邦，民 88；陳李綢，民 81；張景媛，民 83；楊明家，民 86；劉秋木，民 85），由此可見，在數學解題的過程中，後設認知乃決定成敗與否的關鍵因素。一、後設認知能力與數學解題的相關研究 Montague 與 Bos(1990)研究八年級的學生，發現認知和後設認知的能力與數學問題解決的表現有關。Montague, Bos 與 Doucette(1991)更指出數學成續較佳的學生，其情意的表現和認知及後設認知的能力也都比較好。Dover 與 Shore(1991)的研究結果指出聰明的學生比中等的學生有較多的後設認知知識，而且在聰明的學生當

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中，數學解題較快的學生又比慢的學生擁有較多的後設認知知識。 Cross 與 Paris(1988)研究發現改變學生的後設認知能力會對學生的學習產生較好的影響。因此，二者是呈交互影響的關係。張景媛(民 79)的研究結果也發現後設認知能力不同，其學業表現也不同，後設認知能力高者的學業表現較佳。陳李綢(民 81)以國小五年級的學生為對象，探討其後設認知能力與數學作業表現的關係，結果發現後設認知能力是影響數學作業表現的主要因素，高後設認知能力組的學生在解題能力及數學作業表現皆優於低後設能力組的學生。涂金堂（民 84）對國小學生後設認知與數學解題表現進行研究，研究結果發現學生在後設認知量表上的得分與數學解題表現得分達顯著的正相關;而在解題歷程的分析發現，高、中、低後設認知能力的學生在讀題與計畫階段，並無明顯的不同;但在分析、探索、執行及驗證階段，低後設認知能力的學生明顯比中、高後設認知能力的學生花較少的時間在這些階段。張淑娟（民 85）在研究中也發現，其所提出學生解題成功的九項關鍵能力都與後設認知能力有關，所以讓研究者可以確定的是：後設認知能力不僅與解題能力有著高度的相關，此外，後設認知能力中，以自我監控的能力和數學解題能力的相關性最高，其次為組織訊息的能力。而後設認知能力對數學解題能力的預測力達到 51.6％。同時更能確定後設認知能力的培養與訓練，必能為學生的解題正確性帶來非常正面的價值。楊明家（民 86）研究國小六年級學生不同數學解題能力與後設認知能力之關係．發現高數學解題能力者在讀題、計畫與完成三階段中，與後設認知能力有顯著相關。馬秀蘭、吳德邦（民 88）探討六年級學生在接受或沒有接受多媒體電腦輔助教學（MCAI）光碟片學習後，研究結果發現實驗組低數學能力者之解題後設認知能力略高於控制組同等能力者。陸正威、王慧豐（民 89）自編「同儕交互指導數學解題方案」，研究結果發現，接受「同儕交互指導數學解題方案」教學的異質組學生可增強數學解題後設認知能力，同質組學生未能增強數學解題後設認知能力，不編組學生明顯降低數學解題後

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設認知能力，未接受此方案教學的控制組學生，在數學解題後設認知能力方面沒有明顯改變。綜合上述學者的研究結果，研究者發現:後設認知能力具有監控個人數學表現的功能，後設認知能力高的學生會自我調整，以致成績表現較佳。因此，數學解題能力的訓練宜從後設認知能力的訓練加強之，才能促進個人的數學作業表現。二、後設認知策略教學與數學解題的相關研究一九七○年代自從「後設認知」一詞被 Flavell 提出之後，就引起許多學者對其理論的探討及實証研究。近十年來，許多研究指出後設認知能力與數學解題有非常密切的關係。從相關文獻中可發現，後設認知策略包括:自教教導 (self-instruction)、自我監控(self-monitoring)、自我提問(self-question)、自我評鑑(self-evaluation)、自我調整(self-regulation)等。後設認知策略可以幫助學生選擇已習得的認知策略並監控自己的認知歷程。有學者指出後設認知策略的缺乏可藉由明確的教學而習得（Montague,1995; 1997）。以下就國內外的研究，來探討後設認知策略在教學上的成效：（一）國外文獻傳統在教導學生學習，老師都會要求學生以固定的方式一歩一歩來進行，而 Tei 與 Stewart（1985）卻認為這是一種盲目的訓練，正確的學習應是學生自我控制的學習，換句話說，就是要指導學生在使用前先評估其適用性；策略使用中時時監控以做調整；作業完成後要做評價，以做為下次面對類似作業的修正與改進。 Borich 與 Tombari（1997）所提出的後設認知策略的教學，分成七個步驟： 1. 針對每個科目的學習重點，教導明確的認知策略。 2. 當學習者知道如何使用策略後，派給他們兩個性質相當的認知作業，要求學習者一個作業使用策略，另一個不使用策略。 3. 要求學習者分辨使用策略與不使用策略的差別。