命題邏輯能力階層結構圖之階層次序分析

本節依據多元次序理論分析命題邏輯表現的階層結構圖，分析項目包括全體 學生數字情境與圖形情境的比較、不同性別在數字情境與圖形情境的比較、不同 年級在數字情境與圖形情境的比較，每一項都由階層分析、次序分析、題目句型 等三方面進行說明。

一、全體學生的命題邏輯表現次序分析

（一）全體學生「數字情境」之命題邏輯表現分析

分析全體學生「數字情境」的命題邏輯表現 POT 階層圖，如圖 4-4，結果如 下：

階層 得分

五 1.93~1.95

四 2.00~2.03

三 2.46~3.18

二 3.37~3.85

一 3.95

圖 4-4 全體學生「數字情境」的命題邏輯表現 POT 階層圖

1. 階層分析

就全體學生數字情境命題邏輯而言，POT 圖形共分成五階層。第一階層只有

○¹ 合取。第二階層包含 11 題，分別為○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁴

p

的肯定、○⁵ 析 取、○⁶

p

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定、○¹⁰非等價/互反排斥、○¹¹非逆蘊涵、

○¹⁹等價^b、○²⁰全備性^b。第三階層包含 4 題，分別為○⁸ 互斥、○¹²等價^a、○¹⁷析取^b、

○¹⁸蘊涵^b。第四階層包含 2 題，分別為○¹³析取^a、○¹⁶互斥^a。第五階層包含 2 題，

分別為○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a。 2. 次序分析

全體學生「數字情境」命題邏輯階層次序關係分述如下：

(1) 由於○¹ 合取屬於第一階層，故在數字情境命題邏輯中，合取運算是高年 級學童最基本的命題邏輯概念，而○¹ 合取運算恰為第二階層所有命題邏輯試題的 先備基礎，即第二階層皆是由合取運算而得。

(2) 第二階層中○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁷

q

的肯定、○¹⁹等價^b，則為第三階 層中○¹²等價^a的基礎；○¹⁹等價^b同時也為第三階層中○⁸ 互斥、○¹⁷析取^b的基礎；○³

q

的否定、○⁴

p

的肯定、○⁵ 析取、○⁶

p

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定、○¹⁹等 價^b為第三階○¹⁸蘊涵^b的基礎；○¹⁰非等價/互反排斥和○¹¹非逆蘊涵兩者，並不是第 三階試題的基礎，而為第四階層○¹³析取^a、○¹⁶互斥^a先備條件。

(3) 第三階中的○⁸ 互斥、○¹⁷析取^b為第四階層○¹³析取^a、○¹⁶互斥^a的基礎；○¹²等 價^a和○¹⁸蘊涵則不是第四階層以上階層的基礎。

(4) 第四階層的○¹³析取^a為第五階層○¹⁴蘊涵^a基礎；○¹⁶互斥^a為第五階層○¹⁴蘊 涵^a與○¹⁵逆蘊涵^a的基礎。

最高階層（第五層）的兩個運算：○¹⁴蘊涵 ^a、○¹⁵逆蘊涵 ^a是數字情境中學童 感覺最困難的二元運思。

3. 題目句型結構

以題目句型結構分析，就題目敘述的語意可將題目分成三大類型，第一類為 第 1 題到第 11 題，為一種就事實辨認的邏輯直接判斷，不需要加上任何條件思 考的語意，第二類為第 12 題到第 16 題為「如果…就…」條件假設，第三類第

儘管命題邏輯在 Piaget 二元思考的邏輯運算定義相同，但受到語言邏輯影響，學 童對題目敘述中類似句型的邏輯概念，其表現情形的階層分佈也較為相似。

(1) 先以第 1 題到第 11 題的邏輯運算說明，此類是直接判斷語句的類型，沒 有給任何條件的語意，是命題邏輯中最基礎的運算，故其分佈於較低階層內（第 一、二、三階層）。其中，○¹ 合取為第一階層內的邏輯概念，○¹ 合取必須要能理 解才能回答其他的邏輯運算，顯示合取邏輯運算是最基本的。僅有○⁸ 互斥運算分 布在第三階層內。

(2) 二擇一判斷而言，○¹⁷析取 ^b、○¹⁸蘊涵 ^b、○¹⁹等價 ^b描述、○²⁰全備性 ^b都以

「…，或…」句型描述。二擇一的成立語句，邏輯思考上會較困難，分佈在第二、

三階層內。由圖 4-4 所示，○¹⁹等價 ^b、○²⁰全備性分佈在第二階層中，其次序關係 可以發現到○²⁰全備性是獨立的運算，並不是其他的二元邏輯運算的基礎，而○¹⁹等 價是○¹⁷析取^b及○¹⁸蘊涵的基礎。○¹⁷析取和○¹⁸蘊涵則在第三階層，也就是說析取和 蘊涵運算是二擇一句型中較難的運算邏輯。

(3) 第 12 題到第 16 題是「如果…就…」條件假設的語句分佈在較高階層中

（第三、四、五階層），顯示此類句型為較困難的二元運算。○¹²等價是很獨立的，

並不是○¹³析取、○¹⁴蘊涵、○¹⁵逆蘊涵和○¹⁶互斥的基礎概念，但是，○¹²等價為條件句 中比較簡單的運算，故分佈在第三階層。此外，○¹³析取是○¹⁴蘊涵的基礎；○¹⁶互斥 是○¹⁴蘊涵和○¹⁵逆蘊涵的基礎。○¹⁴蘊涵和○¹⁵逆蘊涵則是條件假設語句類型中最高階 層的運算。

（二）全體學生「圖形情境」的命題邏輯推理表現分析

分析全體學生「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖，如圖 4-5，結 果如下：

階層 得分

三 1.93~2.00

二 2.37~3.52

一 3.53~3.88

圖 4-5 全體學生「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖

1. 階層分析

就全體學生圖形情境命題邏輯而言，POT 圖形共分成三階層。第一階層有 6 題，包括○¹ 合取、○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定和○²⁰全備性

b。第二階層有 10 題，包括○⁴

p

的肯定、○⁵ 析取、○⁶

p

的否定、○⁸ 互斥、○¹⁰非等 價/互反排斥、○¹¹非逆蘊涵、○¹²等價 ^a、○¹⁷析取 ^b、○¹⁸蘊涵 ^b、○¹⁹等價^b。第三階層 有 4 題，包括○¹³析取^a、○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a、○¹⁶互斥^a。

2. 次序分析

全體學生「圖形情境」命題邏輯階層次序關係分述如下：

(1) 第一階層的○¹ 合取為第二階層所有的命題運算的基礎。○² 非蘊涵為○¹⁸蘊 涵^b的基礎。○³

q

的否定與○⁹ 合取否定都是第三階層○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a的先備

運算。○⁷

q

的肯定為第三階層○¹³析取^a、○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a、○¹⁶互斥^a的基礎。

○²⁰全備性^b為獨立的運算。

(2)第二階層的○⁴

p

的肯定、○⁸ 互斥、○¹⁰非等價/互反排斥、○¹²等價^a、○¹⁸蘊涵

b、○¹⁹等價^b都不是第三階層的基礎。而○⁵ 析取是第三階層所有運算的基礎。○⁶

p

的否定、○¹¹非逆蘊涵、○¹⁷析取^b是第三階層○¹⁴蘊涵^a的基礎運算。而○¹⁷析取^b也是 第三階層○¹⁶互斥^a的基礎。

3. 題目句型結構

(1) 以第 1 題到第 11 題直接判斷語句的類型而言，分布在第一、二階層，為 其他運算的基礎邏輯。○¹ 合取為○⁴

p

的肯定、○⁵ 析取、○⁶

p

的否定、○⁸ 互斥、○¹⁰ 非等價/互反排斥、○¹¹非逆蘊涵的基礎。但是○¹ 合取、○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定是同屬於第一階層，互相獨立，故無次序關係，所以○¹ 合 取不是○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定的基礎。

(2) 以第 17 題到第 20 題二擇一判斷語句類型而言，分布在第一、二階層，○²⁰ 全備性分布於第一階層為是最簡單的二擇一句型，不為其他運算的基礎，且第 17 題到第 20 題彼此間並無次序關係。

(3) 以第 12 題到第 16 題條件假設的語句類型而言，除了○¹²等價在第二階層 外，其餘 13 到 16 題都是在最高階層（第三階層），顯示條件假設類型為較難的 命題運算，彼此間無次序關係。

（三）全體學生數字情境與圖形情境的次序比較

由上述全體學生數字情境與圖形情境的 POT 圖結果，整理比較如表 4-6。

1. 階層分析

由階層分析來看，數字情境分成五階層，而圖形情境分成三階層，不同情境 的命題邏輯階層結構相當類似，例如：○¹ 合取都是在第一階層中，而○¹³析取^a、○¹⁴ 蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a、○¹⁶互斥^a則在最高的階層。

不同的是，數字情境中的○⁸ 互斥、○¹²等價^a、○¹⁷析取^b、○¹⁸蘊涵 ^b分布在第三

同一階層內，此外，圖形情境中○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否

2. 次序分析

分析全體學生在數字情境與圖形情境的邏輯次序中，整理如表 4-7。

表 4-7 全體學生「數字情境」與「圖形情境」之 POT 圖次序分析比較表

16 種二元運思 數字情境 圖形情境

○¹ 合取 最基本 最基本

○² 非蘊涵 ○¹ 最基本

○³

q 的否定

○¹ 最基本

○⁴

p 的肯定

○¹ ○¹

○⁵ 析取 ○¹ ○¹

○⁶

p 的否定

○¹ ○¹

○⁷

q 的肯定

○¹ 最基本

○⁸ 互斥 ○¹ ○¹

○⁹ 合取否定 ○¹ 最基本

○¹⁰非等價/互反排斥 ○¹ ○¹

○¹¹非逆蘊涵 ○¹ ○¹

○¹²等價^a ○¹ ○² ○³ ○¹⁹ ○¹

○¹³析取^a ○¹ ○⁸ ○¹⁰ ○¹¹ ○¹⁷ ○¹⁹ ○¹ ○⁵ ○⁷

○¹⁴蘊涵^a ○¹ ○⁸ ○¹⁰ ○¹¹ ○¹³ ○¹⁶ ○¹⁷ ○¹⁹ ○¹ ○³ ○⁵ ○⁶ ○⁷ ○⁹ ○¹¹ ○¹⁷

○¹⁵逆蘊涵^a ○¹ ○⁸ ○¹⁰ ○¹¹ ○¹⁶ ○¹⁷ ○¹⁹ ○¹ ○³ ○⁵ ○⁷ ○⁹

○¹⁶互斥^a ○¹ ○⁸ ○¹⁰ ○¹¹ ○¹⁷ ○¹⁹ ○¹ ○⁵ ○⁷ ○¹⁷

○¹⁷析取^b ○¹ ○¹⁹ ○¹

○¹⁸蘊涵^b ○¹ ○³ ○⁴ ○⁵ ○⁶ ○⁷ ○⁹ ○¹⁹ ○¹ ○²

○¹⁹等價^b ○¹ ○¹

○²⁰全備性^b ○¹ 最基本

相同之處在於：

(1)無論數字情境或圖形情境，○¹ 合取都是屬於第一階層基礎的邏輯；○¹ 合取 運算不是非蘊涵、

q

的否定、

q

的肯定、合取否定、全備性 ^b 運算的先備基礎運 算外，為其他 14 種命題邏輯的基礎。

(2) ○¹¹非逆蘊涵、○¹⁷析取^b都是○¹⁴蘊涵^a的基礎命題邏輯。

(3) ○¹⁷析取^b也是○¹⁶互斥^a的基礎。

不同之處主要在於：

(1) ○¹²等價^a、○¹³析取^a、○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a、○¹⁶互斥^a、○¹⁷析取^b、○¹⁸蘊涵

由題目句型結構分析，如表 4-8。可以看出第 1 題到第 11 題事實辨認較為簡 單，數字情境與圖形情境都分布在較低階層，第 12 題到第 16 題為「如果…就…」

條件假設的句型較為困難，故分布於較高階層。事實辨認的句型中，以○¹ 合取最 為基礎。二擇一判斷句型以○²⁰全備性較為簡單；條件假設句型以○¹²等價最簡單。

二、不同性別的命題邏輯推理表現之次序分析

以下將利用次序階層結構圖，分析不同性別在「數字情境」的命題邏輯表現 以及與不同性別在「圖形情境」的命題邏輯表現之階層分布情形。

（一）不同性別在「數字情境」的命題邏輯推理表現之次序分析 1. 全體女生「數字情境」的命題邏輯推理表現分析

階層 得分

六 1.96~1.97

五 2.01

四 2.01

三 2.50~3.46

二 3.36~3.86

一 3.94

圖 4-6 全體女生「數字情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖

全體女生「數字情境」的命題邏輯推理表現分析，依據圖 4-6 所示，有如下 結果。

(1) 階層分析

就全體女生數字情境命題邏輯而言，POT 圖形共分成六階層。第一階層只有

○¹ 的合取。第二階層包含 10 題，分別為○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁴

p

的肯定、○⁵ 析取、○⁶

p

的否定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定、○¹⁰非等價/互反排斥、○¹¹非逆蘊涵、

○¹⁹等價^b。第三階層包含 5 題，分別為○⁸ 互斥、○¹²等價^a、○¹⁷析取^b、○¹⁸蘊涵^b、○²⁰ 全備性^b。第四階層包含 1 題，為○¹³析取^a。第五階層包含 1 題，○¹⁶的互斥^a。第 六階層包含 2 題，分別為○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a。

(2) 次序分析

全體女生數字情境命題邏輯階層次序關係分述如下：

a. 由於○¹ 合取屬於第一階層，故合取是女生在數字情境命題邏輯中最基本的 命題邏輯概念，而○¹ 恰為第二階層所有試題的先備基礎，即第二階層皆是由合取 運算而得。

b. 第二階中○² 非蘊涵、○³

q

的否定、○⁴

p

的肯定、○⁶

p

的否定、○⁷

q

的肯定、

○¹⁹的等價^b，則為第三階層中○¹²等價^a的基礎；○¹⁹等價^b同時也為第三階層中○⁸ 互 斥、○¹⁸蘊涵^b、○²⁰全備性^b的基礎；○³

q

的否定、○⁴

p

的肯定、○⁵ 析取、○⁶

p

的否 定、○⁷

q

的肯定、○⁹ 合取否定、○¹⁹等價 ^b，為第三階○¹⁸蘊涵 ^b的基礎。○¹⁰非等價/

互反排斥和○¹¹非逆蘊涵兩者，並不是第三階試題的基礎，而為第四階層○¹³析取 ^a 先備條件。

c. 第三階中的○⁸ 互斥、○¹⁷析取^b為第四階層○¹³析取^a的基礎；○¹²等價^a、○¹⁸蘊 涵^b、和○²⁰全備性^b就不是第四階層以上階層的基礎。

d. 第四階層的○¹³析取^a為第五階層○¹⁶互斥^a的基礎。

e. 第五階層○¹⁶互斥^a為第六階層○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a基礎的基礎。

e. 第五階層○¹⁶互斥^a為第六階層○¹⁴蘊涵^a、○¹⁵逆蘊涵^a基礎的基礎。

在文檔中 國小高年級學童解決邏輯問題的表現之階層次序分析研究 (頁 80-119)