國小高年級學童解決邏輯問題的表現之階層次序分析研究

國立台中教育大學數學教育學系碩士論文

指導教授：林原宏 博士

國小高年級學童解決邏輯問題的表現

之階層次序分析研究

研究生：黃 莉 雯 撰

中 華 民 國 九十六 年 五 月

摘要

本研究以中部縣市十一所學校的五、六年級為對象，採用自編數字情境與圖 形情境的命題邏輯測驗，藉由多元計分次序理論模式的分析方法，瞭解測驗之試 題情境與句型呈述方式，以及受試者性別、年級、學習成就等背景因素下，其學 童命題邏輯推理表現之階層次序關係。本研究結果顯示： 一、 不同性別在數字情境與圖形情境的表現皆達顯著差異，造成差異的 16 種命題邏輯運思組成是不同的。不同年級在數字情境的表現達顯著差 異，此外，造成差異的 16 種命題邏輯運思組成是不同的，但在圖形情 境方面，不同年級未達顯著差異。 二、 不同背景因素的學生，若相同情境的命題邏輯下，其階層結構相當類 似。亦即，不同性別相同情境下的邏輯階層結構相當類似，且不同年 級在相同情境的邏輯階層結構也相似。 三、 多數的運思都是以合取運思為基礎，而其他的各運思間之次序關係也 大都一致，不會受到情境、句型、性別或年級而產生極大的差異。 四、 不同句型的呈述方式會影響命題邏輯的表現，句型結構階層以直接判 斷句最低，二擇一句型居中，條件假設句最高。 五、 命題邏輯測驗與國語、數學學習成就有相關性，且圖形情境的解釋力 較佳。 最後，根據研究發現與心得，提出未來進階研究之建議。 關鍵詞：二元運思系統、次序理論、命題邏輯

The ordering hierarchies on the performance of logical

problem-solving for pupils

Abstract

The purpose of this study is to apply polytomous ordering theory proposed by Lin & Huang (2006) to analyze the hierarchies on the performance of logical problem-solving for pupils. The relationships between students' ability on different situated assement and gender, grade, and learning achievement are explored. According to the analysis of data, the results and findings of this research are discusseded as follows:

1. There is significant difference on logical problem-solving performance of varied situated assement between genders. Moreover, the performance of female is better than of male. Meanwhile, there is significant difference between grades on numeral situated assement. However, there is no significant difference between grades on geometrical situated one.

2. Under the propositional logic of the same kind situated assement, students with different background exhibit similar characteristics of propositional logical hierarchies.

3. Most binary operations are based on conjunction. Moreover, the ordering relation between different operations is quite similar. Situated assement, sentence pattern, subjects’ gender, and grade have no great influence on it.

4. Different sentence patterns will influence the propositional logical performance. Declarative form is the lowest hierarchy, alternative one is in the middle, and conditional one is the highest hierarchy.

5. When Chinese language and Mathematics learning achievement are the dependent variables, the regression results show that logical abilities are significant predictors, and the explanation of geometrical situated assement is the highest.

Finally, based on the results and findings, some recommendations and suggestions are provided for future research.

目錄

第一章 緒論

………...….…1 第一節 研究背景與動機……….….1 第二節 研究目的與問題……….…...4 第三節 研究範圍與限制………...5 第四節 名詞釋義……….….6

第二章 文獻探討

………..……..….….9 第一節 命題邏輯……….……….9 第二節 次序理論………34 第三節 國內邏輯思考相關研究………40

第三章 研究方法與設計

……….47 第一節 研究設計………47 第二節 研究工具………50 第三節 研究樣本………55 第四節 資料分析………57

第四章 研究結果與討論

……….59 第一節 數字情境與圖形情境的命題邏輯表現情形分析………59 第二節 不同性別與年級的命題邏輯表現差異分析………64 第三節 命題邏輯能力階層結構圖之階層次序分析………73 第四節 國語、數學學習成就與命題邏輯之相關分析………112

第五章 結論與建議

………. ………..….………117 第一節 結論………..…117 第二節 建議………..………124

參考文獻

……….…128

附錄一 國小高年級邏輯推理測驗

………...…137

表目錄

表 2-1 合取真值表………...13 表 2-2 相容析取真值表……….. ………14 表 2-3 不相容（排斥）析取真值表………..15 表 2-4 否定真值表………...15 表 2-5 蘊涵命題眞值表………...16 表 2-6 等價命題眞值表………...16 表 2-7 Piaget 認知發展階段………...20 表 2-8 p和p、q和q的組合關係………23 表 2-9 Piaget 的 16 種二元運思系統……….25 表 2-10 二元計分試題i和試題 j的答題人數之列聯表………..…..35 表 2-11 多元計分試題i和試題 j的答題人數之列聯表……….37 表 3-1 「國小高年級學童命題邏輯推理測驗」試題雙向細目表………53 表 3-2 預試基本統計量數信度分析表………54 表 3-3 預試施測有效樣本分布表………....55 表 3-4 正式施測抽樣學校學區背景表………56 表 3-5 正式施測樣本縣市分布一覽表………56 表 3-6 正式施測樣本一覽表………....57 表 4-1 Piaget 二元運思系統數字情境與圖形情境的得分情形表………...62 表 4-2 不同性別及年級之數字情境與圖形情境的測驗表現之平均得分…………64 表 4-3 性別和年級在數字與圖形情境表現之二因子多變量變異數分析摘要表....64 表 4-4 男生和女生的數字情境與圖形情境相依樣本 t 檢定比較表……….69

表 4-5 五年級與六年級的數字情境與圖形情境相依樣本 t 檢定比較表…………..72 表 4-6 全體學生「數字情境」與「圖形情境」之 POT 圖階層分析比較表 …….78 表 4-7 全體學生「數字情境」與「圖形情境」之 POT 圖次序分析比較表 …….79 表 4-8 全體學生「數字情境」與「圖形情境」之 POT 圖題目句型結構比較表 ..80 表 4-9 不同性別之數字情境 POT 圖階層分析比較表………..86 表 4-10 不同性別之數字情境 POT 圖次序分析比較表………87 表 4-11 不同性別之數字情境 POT 圖題目句型結構比較表………89 表 4-12 不同性別之圖形情境 POT 圖階層分析比較表………94 表 4-13 不同性別之圖形情境 POT 圖次序分析比較表………95 表 4-14 不同性別之圖形情境 POT 圖題目句型結構比較表………96 表 4-15 不同年級之數字情境 POT 圖階層分析比較表………..101 表 4-16 不同年級之數字情境 POT 圖次序分析比較表………..103 表 4-17 不同年級之數字情境 POT 圖題目句型結構比較表………..104 表 4-18 不同年級之圖形情境 POT 圖階層分析比較表………..109 表 4-19 不同年級之圖形情境 POT 圖次序分析比較表………..110 表 4-20 不同年級之圖形情境 POT 圖題目句型結構比較表………...111 表 4-21 國語及數學學習成就與命題邏輯測驗之 Pearson 積差相關……….113 表 4-22 數字與圖形情境之命題邏輯表現預測國語學習成就之逐步多元迴歸分析 ………..114 表 4-23 數字與圖形情境之命題邏輯表現預測數學學習成就之逐步多元迴歸分析 ………..115

圖目錄

圖 2-1 二元命題文氏圖………...24 圖 2-2 蘊涵的文氏圖 ………..27 圖 2-3 試題i指向試題 j圖…...………...35 圖 3-1 研究架構圖………...………47 圖 3-2 研究流程圖………...49 圖 3-3 數字情境範例：q的否定（negation of ）試題……….51 q 圖 3-4 圖形情境範例：全備性（complete affirmation）試題………52 圖 4-1 全體學生命題邏輯推理能力在數字情境的平均得分………60 圖 4-2 全體學生命題邏輯推理能力在圖形情境的平均得分………61 圖 4-3 全體學生命題邏輯推理能力在數字情境與圖形情境的平均得分…………63 圖 4-4 全體學生「數字情境」的命題邏輯表現 POT 階層圖………73 圖 4-5 全體學生「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………76 圖 4-6 全體女生「數字情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………81 圖 4-7 全體男生「數字情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………..83 圖 4-8 全體女生「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………90 圖 4-9 全體男生「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………92 圖 4-10 五年級學童「數字情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………97 圖 4-11 六年級學童「數字情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………99 圖 4-12 五年級「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………105 圖 4-13 六年級學童「圖形情境」的命題邏輯推理表現 POT 階層圖………107

第一章 緒論

本章主要在闡述本研究之背景與動機、目的、研究之範圍限制，並針對相關 名詞做明確界定。本章共分四節，第一節為研究背景與動機；第二節為研究目的 與問題；第三節為研究範圍與限制；第四節則為名詞釋義。

第一節 研究背景與動機

國內自推行九年一貫課程以來，強調要發展學生獨立思考與解決問題的能力 （教育部，2003）。思考是一種高層次的認知能力，牽涉到概念形成、推理、決策、 解決問題等心智活動，多年來受到心理學家們的關注。正確的思考都預設或隱然 應用了邏輯，尤其在個人評鑑、價值判斷和解決問題的高層次思考中，更包含運 用批判思考之邏輯推理能力（陳瑞麟，2003）。 邏輯推理是一種尋求因果關係的心理歷程，個體具有邏輯思考能力，能協助 其知悉環境因果的關係，從中做出正確的判斷與決策，教導學生具有邏輯推理能 力更是現代教育改革的重心，1997 年新加坡內閣總理即宣示「思考型學校、學習 型國家」的教育願景，由新加坡近幾屆參與國際教育學習成就評量委員會(The International Association for the Evaluation of Education Achievement, IEA)主辦「國 際數學與科學教育成就趨勢調查」(Trends in Mathematics and Science Study, TIMSS) 的結果，新加坡經常居於領先地位，與該國數學教育理念以解決問題為核心，致 力改善數學教學過程與提高學生的思維能力之所做的努力有關（林碧珍、蔡文煥， 2006；張奠宙、李忠如，2002）。

第 24 屆國際數學家大會(International Congress of Mathematicians, ICM2002 ) 2002 年 8 月在北京召開，各國數學教育學者憂心「推理、證明在基礎教育中地位 下降的危險」，故而呼籲「培養學生的數學推理能力應當作為數學教育的中心任務」 （寧連華，2003）。近年來，如何進行邏輯思考教學、訓練思考能力已成為老師關 切的教育主題，各國學校教育中，教師教導學生思考時，莫不以培養學生推理能 力為教學目標（張奠宙、李忠如，2002；張筱珊，2004；畢鴻燕、方格、王桂琴、 楊小冬，2001；寧連華，2003；鍾冬玉，2003；McCarthy-Tucker, 1998）。所以， 當下各國極力推動數學教育改革之時，重新審視邏輯推理能力的地位與功能確實 有其必要。 邏輯推理類型可以區分為兩類，一為歸納推理，另一為演繹推理。郭蓮榮 （2005）認為學校教育中教師教導學生思考時，一般都會運用演繹推理，也就是 先學會原理、定律等，再用來解決問題。基於學童推理能力及邏輯發展，是基礎 教育重要的一環，研究者就教育文獻的整理，發現國內對於邏輯推理能力以智力 測量理論為主，或有歸納推理的調查研究，但鮮少針對演繹推理做深入探討，故 引發研究者對於國小學童演繹推理能力進行研究的動機。 J. Piaget 的認知發展理論，系統化分析思考推理的結構，藉由改造過的現代數 理邏輯將不同水平的思維結構表達出來，依據 J. Piaget 的理論，個體 11 歲以後， 認知發展進入形式運思期，此階段的思維不再侷限於具體實物，而能使用運算邏 輯高層次型態的命題邏輯進行抽象的邏輯推理，命題邏輯即是演繹邏輯的一種形 式，Inhelder and Piaget (1958)提出形式運思期最明顯的特徵即為 16 種二元運算的 組合。

類型的實徵研究，藉以探討 16 種二元運算與科學成就的相關性，與形式運思測驗 的各項作業表現：如單擺實驗、化學化合作用實驗等為主，兼以受試者大多是中 學以上學生及大學生為對象，其研究結果是否能在我國甚或中小學學童獲得支 持，是頗值得關切的主題。國內邱素真（1996）首度利用 J. Piaget 的邏輯運思理 論設計演繹推理測驗，藉以瞭解國內中小學學童的邏輯發展趨勢，但試題仍採有 意義的生活情境，而非數學或科學內容。本研究以中部縣市的高年級學童為對象， 一方面驗證 J. Piaget 的邏輯運思理論在我國的適用性，同時，對本地學童的命題 邏輯發展，做較詳細的描述，另一方面也探索數學情境的試題內容對命題邏輯表 現的影響。 過去心理計量的相關研究中，次序理論主要應用於判斷兩個試題間的先備條 件之次序關係，進而呈現試題階層，故常成為用來定義、分析試題間結構的方法。 Airasian and Bart (1973)認為次序理論可以應用於多種領域，包括課程結構安排、 閱讀技巧的培養、認知歷程的階層等，但其後續應用研究仍以探討 J. Piaget 認知 發展理論的發展階段之次序性為主，所設計的測驗多以科學實驗或是生活問題有 關的主題，次序理論是一個分析認知結構有效的方法，因此本研究亦欲利用次序 理論的分析方法，來探討 16 種命題組合邏輯之間的結構關係。

國內外一些學者（林寶貴、吳純純、林美秀，1995；張景媛、陳荻卿，2003； Piburn, 1990; Ross, 1973; Schwebel, 1975）也發現到邏輯能力會受到個人背景變項 中的年齡、智力發展、學習經驗、知識獲得過程和家庭社經背景等因素影響，其 邏輯能力的表現也會因為情境脈絡與推理內容而不同，邏輯能力的發展更會影響 其後來科學成就、數學成就的發展（邱素真，1996；黃寶鈿，1989；Piburn, 1990）。 是以，命題邏輯能力是否隨個體的背景變項（性別、年齡）不同而有所差異，學

習成就是否會受到命題邏輯的影響值得探究。 Jansson (1986)研究 J. Piaget 的 16 種組合邏輯時，運用次序理論分析 16 種組 合邏輯的階層結構，探討不同的數學內容與其表現的關係，但該研究以個別施測 以及二元計分方式蒐集資料，文獻上也未能提供性別與年齡的次序分析。 本研究嘗試利用多元計分次序理論模式，並將 Jansson (1986)的邏輯測驗遊戲 改編成為一份紙筆測驗，分析高年級受試者對此測驗的表現情形，運用試題變項 「數字情境」與「圖形情境」，受試者背景變項「性別」與「年齡」，探討命題邏 輯推理表現的影響因素，並驗證「國語」、「數學」成就與邏輯概念發展之間的關 係。

第二節 研究目的與問題

本研究主要目的在利用次序理論資料分析方法，探討國小高年級學童數學情 境命題邏輯推理表現之次序性與階層結構。期以量化方式瞭解高年級學童在不同 試題情境、題目句型、受試者年級及性別上的命題邏輯推理表現之差異，歸納研 究結果，並參酌相關文獻，提出具體建議，裨益日後推展邏輯教學、編寫數學課 程以及後續研究之參考。 基於上述研究目的，研擬研究問題如下： 一、男、女學童命題邏輯推理能力在二元運思系統的階層次序性及命題邏輯推理 能力的結構之特徵為何？ 二、五、六年級學童命題邏輯推理能力在二元運思系統的階層次序性及命題邏輯 推理能力的結構之特徵為何？ 三、高年級學童命題邏輯推理能力與國語、數學成績相關性為何？

第三節 研究範圍與限制

一、研究範圍 本研究之範圍，依「研究地區」、「研究對象」、「研究內容」與「研究方法」 等方面加以說明： （一）研究地區 本研究係以中部三縣市（台中市、台中縣、彰化縣）公立小學為範圍。 （二）研究對象 民國八十九學年度入學之六年級學童，及九十學年度入學五年級學童為研究 對象。 （三）研究內容 本研究以 J. Piaget 的 16 種二元運算為依據，編製包括「數字情境」與「圖形 情境」兩數學情境分測驗，探討受試者命題邏輯能力，未含三元以上命題邏輯的 形式。受試者背景變項為性別與年級，以分析影響命題邏輯能力的因素，其他變 項則不在本研究的範圍之內。 （四）研究方法 以林原宏和黃國榮（2006）提出之多元次序理論模式為研究方法，分析試題 間結構與次序關係。 二、研究限制 基於時間、人力、研究樣本等多項因素考量，本研究的限制如下： （一）本研究開發的命題邏輯測驗，主要目的在了解國小高年級學童的 16 種二元 運算的命題邏輯能力，以及分析 16 種二元運算之次序關係，本命題邏輯測

驗並不能作為智力測驗評量。 （二）本研究範圍僅限於中部三縣市（台中市、台中縣、彰化縣）小學的五、六 年級學童，所得結果不宜做過度推論。

第四節 名詞釋義

為使本研究所討論之範圍與內容明確清晰，茲將本研究中所涉及的重要名詞 界定如下： 一、命題邏輯（propositional logic） 命題邏輯是演繹推理的一種形式，可區分成兩種，一種是可單獨存在的述句， 一般稱為簡單命題，另一種是包含有邏輯連詞的簡單命題組合成的述句，一般稱 為複合命題。通常都使用p與q代表述句，命題邏輯中有五個邏輯連詞：否定、 合取、析取、蘊涵、等價（朱水林，1997；劉福增，2001）。LeBlanc (1998)也說 （引自劉福增，2001，p.7）： 有時候說命題（proposition），而不說語句，對我們是有用的，一個命 題是一個語句的內容或意義。為發現一個論證的結構，分離出命題是 很重要的，不論這個論證如何表示。結論和支持結論的證據都是命題。 本研究中為統一名詞，使用「命題邏輯」而不採「語句邏輯」。 二、16 種二元運思系統（16 binary operations） 將涉及二個符號（p與q），以數學的方式將每個符號包含真假值（p與p、q 與q）的關係兩兩組合，可成為p⋅q，p⋅q，p⋅q，p⋅q等四種組合，各組再與 其他一組，或兩組與其他一組等繼續組合，可形成 16 種型態，正因每一種中的型 態，除第一種外，餘皆涉及兩個型態，J. Piaget 稱之為 16 種二元運思系統(Inhelder

& Piaget, 1958)。 三、次序理論 次序理論是奠基於 Guttman 量表圖分析法所發展出的一種測量模式。有兩大 目標：(1)檢驗兩個題目間假設的次序，確定階層關係；(2)當未假設兩個題目間的 次序時，能一般化題目的次序，以確定是否有階層關係。過去心理計量的相關研 究中，次序理論主要應用於判斷兩個試題間的先備條件之次序關係，進而呈現試 題階層，故常成為用來定義、分析試題間結構的方法（林原宏，2005，2006；余 民寧、陳嘉成，1987；Airasian & Bart , 1973）

四、多元計分次序理論模式 由於當今文獻上次序理論僅限於分析二元計分的資料，林原宏和黃國榮 （2006）將二元計分的次序理論擴展為多元計分的模式，因此，二元計分的次序 理論是多元計分次序理論模式的特例。 五、學習成就 本研究的學習成就以「國語」和「數學」領域的成績，成績是指九十四學年 度第一學期「國語」和「數學」二領域之學期成績。為避免各班的評分差異，將 學生該領域成績轉換為 Z 分數，Z 分數越高，代表成就越高。

第二章 文獻探討

本章共分三節，從文獻的回顧中，逐一探討與本研究相關的理論與研究。本 章之呈現，第一節先略述命題邏輯，從命題邏輯的內涵、Piaget 的 16 種二元運思 系統、命題邏輯相關研究回顧三方面分述，第二節再由次序理論的內涵、次序理 論的應用介紹次序理論，第三節回顧國內探討邏輯能力的相關文獻。

第一節 命題邏輯

本節先以演繹邏輯範疇、命題邏輯的五種形式闡述命題邏輯，再闡述 Piaget 心理邏輯學中，如何使用不同水平的邏輯—數學模式，描述認知發展階段各期特 徵，及形式運思期的青少年具備命題邏輯之理論，最後，探討命題邏輯的相關研 究。 一、命題邏輯的內涵 命題邏輯（propositional logic）是演繹推理的一種形式，故由演繹邏輯的範疇 澄清命題邏輯的論述範圍，再由邏輯學觀點，將命題邏輯區分成兩種，簡單命題 與複合命題，並就基本複合命題的五種形式加以闡明。 （一）演繹邏輯的範疇 邏輯思考隱含在人的心智能力，個體在推理歷程中，會以結構化的程序對事 物加以分析、批判與解釋。邏輯推理是正確掌握概念，並運用概念組成恰當的判 斷，進行合乎邏輯規律的思維活動，可分為兩種類型，一為歸納推理(inducative reasoning)，另一為演繹推理(deductive reasoning)。

歸納推理的思維方式是由個別事例推演到一般原則，日常決策經常是仰賴過 去經驗歸納所獲得的結果（鄭麗玉，1999）。由於歸納推理無特定法則，只是當下 依循各種可能性，從許多的可能途徑中選擇一個最好的結果，結論無法完全確定， 因為明天的經驗可能就推翻它。相對的，演繹推理的思維方法是由一般普通原則 推演到特殊事例。演繹推理是根據邏輯規則推論，評估各種已知條件後，做出有 效結論的邏輯能力。 所以，演繹推理是解决問題時的一種思考方式，也是科學研究中用來驗證假 設時不可或缺的方法，學校教育中，教師教導學生思考時，一般都會運用演繹推 理，也就是先學會原理、定律等，再用來解決問題（郭蓮榮，2005）。 許多的研究者對於個體如何進行演繹推理感到興趣，諸多研究根據觀察、思 考與實證的結果，提出各自的看法。在Deloache, Miller, & Pierroutsakos (1998)、 English (1997)、Johnson-Laird (1983)、Moshman (1997)與Sigler (1998)探討兒童邏 輯推理的理論中，認為邏輯推理理論可以分成兩個重要取向：一為法則取向 (rule-based)以Jean Piaget為代表，認為人類推理根據命題，運用邏輯法則，依論點 的型式(form)，而非內容(content)進行推理。二為模式取向以Johnson-Laird 提出的 心智模式(model-based)為代表，認為邏輯推理係個體透過直接的知覺，或間接的 語言理解，依前提的內容，建構心理表徵，無需運用邏輯法則，經由理解、發展、 驗證等歷程進行推理（江淑卿，2001b，2002）。 劉茨（2002）由心理學角度分析演繹邏輯，將演繹邏輯的心理學理論分成四 種類型。其一為形式邏輯規則理論，認為推理者的語句結構會啟動前提的邏輯形 式，推理活動是依據對應的邏輯規則或真值表自動推理而得的結論，形式邏輯推 理規則的內化結果會成為人的推理程序，J. Piaget，M. Ford，L. J. Rips，M. Braine

等學者的論述都支持此觀點，形式邏輯規則理論又可稱為心理邏輯(psycho-logic)。 綜論法則取向（江淑卿，2001b，2002）及形式邏輯規則理論（劉茨，2002）， 都是以Piaget的認知發展理論為基礎，分析個體演繹邏輯的推理過程。Piaget的認 知發展理論，是首創將人類推理思考做系統化解釋的理論，Piaget研究兒童不同智 力階段的思維結構的發展，藉助改造過的現代邏輯把不同水平的思維結構表達出 來，形成心理邏輯這一獨特的研究領域（劉茨，2002；張小燕、楊斌和張明娜， 2006）。其中，形式運思期階段的青少年邏輯思維，便是以「命題邏輯」作為描述。 劉志雅、趙冬梅和鄭雪（2001）從邏輯角度將演繹邏輯歸類成三種類型：第 一是關係推理：關心對象間關係的邏輯特性，如大小關係、空間位置等。第二是 複合命題推理：一是條件式推理，即假言推理（如果…那麼…），欲理解命題間的 蘊涵關係或條件關係；二是連接詞推理，即合取推理（…和…）與析取推理（… 或…），連接詞推理即為心理邏輯學派的主要研究領域。第三是範疇三段論：即量 詞推理，關心對象間的一般性與特殊性，以量詞「一些」、「所有」等形式描述的 範疇關係（劉志雅等，2001）。 命題邏輯是演繹推理的一種形式，研究者研究演繹邏輯僅探討命題推理，以 了解連接詞對於推理的影響，並在二元命題下使用部分的量詞描述命題，但未涉 及演繹推理中量詞範疇推理以及關係推理意涵的分析，此外，兼採Piaget主張的心 理邏輯學論述本研究。 （二）命題的形式 朱水林（1997）指出現代邏輯把能區分真假的語句稱為命題，宋文淦（2007） 則認為命題邏輯是現代邏輯較簡單、較基本的組成部分，不將命題分析成個體詞、 謂詞和量詞等非命題成份的組合，僅研究由命題和命題聯結詞構成的複合命題，

特別是研究命題聯結詞的邏輯性質和推理規律。 由邏輯學觀點，可將命題邏輯區分成兩種，簡單命題與複合命題，下文將闡 述簡單命題與複合命題的意涵，並就複合命題的五種形式加以說明。 1. 簡單命題與複合命題 簡單命題是可單獨存在的述句(statement)，也可稱為單句(atomic sentence)， 一個簡單命題陳述一個單一的事實，必須只含有一個主詞以及一個述詞，簡單命 題是最簡單、基本，且不可再分割成更簡單的命題形式，例如「我是人」就是一 個簡單命題。由於命題是能區分真假的語句，有些命題的真假需要透過經驗來檢 驗，有些命題則不需要，以「狼成群過活」為例，這個簡單命題中含有一個主詞 (subject)「狼」，一個述詞(predicate)「成群過活」。只要我們透過研究狼的生活習 性，便能夠判別此命題的真假（楊士毅，1994；劉福增譯，2001）。 另一種是複合命題，藉由邏輯連詞(logical connective)將簡單命題組成的述 句，也可稱為複句(compound sentences)。複合命題的形式可利用公式清楚表示， 公式通常由以下三類符號組成：(1) 表示任意命題的命題變元，它們是p，q， r，…；(2) 5 個基本的邏輯連詞，即可以利用以下運算符號 x、∨、－、⊃、⊃_⊂表 示，任何用來將簡單命題建造成一個複合命題的詞組，稱為邏輯連詞，在日常生 活中，這類的連詞很多，其中常用的 5 個邏輯連詞是「而且」、「或者」、「不」、「如 果…則（就）」、「恰好如果」，依次稱為合取詞、析取詞、否定詞、蘊涵詞和等價 詞，在這 5 個邏輯連詞中，否定詞屬一元連詞，其餘 4 個都是連接兩個命題以構 成複合命題，稱為二元連詞；(3) 用來顯示公式的結構層次與邏輯運算符範圍的 括弧( )。複合命題的形式都可以用這三類符號構成的公式表示。如p表示否定 命題的形式，p⋅q、p∨q、p⊃q、p_⊂⊃q，分別依次表示合取、析取、蘊涵和等

價命題的形式，它們是 5 個基本的連詞相應而得的五個基本的複合命題形式（朱 水林，1997；張筱珊，2004，劉福增譯，2001）。 2. 五種基本複合命題 由於複合命題是由簡單命題透過不同的邏輯連詞組合而成的，若把「p」和 「q」各視為簡單命題來說明，透過連接詞「合取（符號為 x ）」的連結，可構 成複合命題「p⋅q」，從而構造更加複雜的命題，並由一個邏輯命題推論得到其他 的邏輯命題。以下使用符號p與q代表述句，五個邏輯連詞分別為否定、合取、 析取、蘊涵、等價，分述五個基本的複合命題（朱水林，1997；莊文瑞譯，2005； 楊士毅，1994）。 (1) 合取命題 一個以使用「和」、「並且」等類似語詞作為主要邏輯連詞所形成的命題，稱 為合取(conjunction)，在命題邏輯中，是指一個有運算符號「x」作為連接的語句。 而這兩個由「並且」連接在一起的語句，就是此合取命題的合取因子(conjuncts)。 例如：若用符號p和q代表語句「牛頓是數學家」和「牛頓是物理學家」的縮寫， 則「牛頓是數學家，而且他也是物理學家」，可以符號化為「p⋅q」此複句中的「牛 頓是數學家」就是一個合取因子。合取命題真假判斷，決定於合取因子是否同時 為真，只要其中一個合取因子為假，整個合取命題就是假的。合取真值表如表 2-1 所示。 表 2-1 合取真值表 p q p⋅q 真（T） 真（T） 真（T） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 假（F）

(2) 析取命題 一個以「或者」作為主要邏輯連詞所形成的命題，稱為析取(disjunction)，在 命題邏輯中，是指一個有運算符號「∨」作為連接的語句。析取命題又可分成相 容析取命題和不相容（排斥）析取命題。 例如「小惠是國小學生或小惠是田徑隊隊員」，各析取因子「小惠是國小學 生」、「小惠是田徑隊隊員」可以同時並存，稱為相容析取命題。若用符號p和q代 表語句「小惠是國小學生」和「小惠是田徑隊隊員」的縮寫，則「小惠是國小學 生或小惠是田徑隊隊員」，可以符號化為「p∨q」。析取命題真假判斷，決定於至 少有一個合取因子為真，其值即真。相容析取真值表如表 2-2 所示。 表 2-2 相容析取真值表 p q p∨q 真（T） 真（T） 真（T） 真（T） 假（F） 真（T） 假（F） 真（T） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 又例如「A 角是直角，或 A 角是鈍角，或 A 角是銳角」，各析取因子「A 角 是直角」「A 角是鈍角」「A 角是銳角」不能同時並存，只能有一個析取因子存在， 稱為不相容析取命題，在中文中常以「否則」表示兩個選項中只能選擇一種，不 能兩個選項皆成立，亦即是這個選項就不能是另一個選項。不相容（排斥）析取 真值表如表 2-3 所示。

表 2-3 不相容（排斥）析取真值表 p q p∨q 真（T） 真（T） 假（F） 真（T） 假（F） 真（T） 假（F） 真（T） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 至於「或」在日常生活中的是採相容或是排斥意義，我們僅能由上下文判斷。 (3) 否定命題 一個以「並非」、「沒有」、「不是」作為主要邏輯連詞所形成的命題，稱為否 定命題(negation)，在命題邏輯中，是指一個有運算符號「~」或「－」作為連接 的語句。例如：若用符號p表示「牛頓是數學家」，則「牛頓不是數學家」就可以 符號化為「p」或「~p」。真值表如表 2-4 所示。 表 2-4 否定真值表 p p 真（T） 假（F） 假（F） 真（T） (4) 蘊涵命題 一個以「如果…，那麼…」作為主要邏輯連詞所形成的命題，稱為蘊涵命題 (implication)，在命題邏輯中，是指一個有運算符號「⊃」或是「→」作為連接的 語句。類似此形式的複句也稱為條件句(conditional)或假言(hypothetical)，例如：「如 果今天天氣晴朗，那麼媽媽外出購物」的複句。緊跟在「如果」後面的語句是前 件(antecedent)，接在「那麼」後面的語句是後件(consequent)，「如果p，那麼q」， 可以符號化為「p⊃q」。其真假情形可依據若是前件真，後件假，整個蘊涵命題

就是假判斷。蘊涵命題眞值表如表 2-5 所示。 表 2-5 蘊涵命題眞值表 p q p⊃q 真（T） 真（T） 真（T） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 真（T） 真（T） 假（F） 假（F） 真（T） (5) 等價命題 一個以「若…則必…」「恰好如果」作為主要邏輯連詞所形成的命題，稱為等 值或等價(equivalence)，日常生活中，「除非」、「只有」的後面所接的成分命題 (component proposition)，就是另一個成分命題的必要條件。在命題邏輯中，是指 一個有運算符號「≡」、「⊃⊂」 作為連接的語句。例如：「若有燃燒現象，則必定 有氧氣存在」符號化為「p_⊂⊃q」。僅有當短述句有相同真假值時，整個等價命題才 為真。等價真值表如表 2-6 所示。 表 2-6 等價命題眞值表 p q _p⊂⊃_q 真（T） 真（T） 真（T） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 真（T） 假（F） 假（F） 假（F） 真（T） 二、Piaget 的 16 種二元運思系統 J. Piaget 運用不同的邏輯語言描述認知結構，並將認知發展分成四個階段， 每一階段都有相對應的邏輯思考特徵，Piaget 並將形式運思期的運算邏輯-以命題 邏輯論述，建議使用 16 種二元運思解釋兒童如何進行形式邏輯推理。本段將就

Piaget 命題邏輯思考研究的心理邏輯學理論背景，以及二元命題的組合結構，包 括 16 種二元運算的組合、格結構與群結構等方面，闡述 16 種二元運思的組合系 統。 （一）Piaget 命題邏輯思考研究的理論背景 在皮亞傑心理邏輯學中應用運算邏輯來描述個體的認知發展，各種發展階段 中自有其邏輯特徵，研究者欲由心理邏輯學、運算、認知發展階段的分述，最後 述明命題間與命題內的邏輯，藉以了解Piaget命題邏輯思考的理論背景。 1. 皮亞傑心理邏輯學與運思 J. Piaget 等認知心理學者長久以來研究邏輯思考，在 Piaget 的認知發展理論 中把兒童到青少年時期的認知劃分成四個階段，並且以不同性質的邏輯語言相對 應加以描述，或以不同水平的邏輯—數學模式加以模組化，分析各種認知結構的 邏輯數學(logico-mathematics)，稱為皮亞傑心理邏輯學。 杜麗燕（1995）引述 Piaget 在「兒童心理發展」書中的論點，認為 Piaget 的 運算(operation)是指思維活動的過程，而不是指日常的計算。Piaget 自己對於「運 算」的解釋如下：（引自杜麗燕，1995，p.105） 運算首先是一種動作（把個體或數量單位聯合起來或進行換位的動 作）。它能應用在許多不同的現實，有邏輯的運算，為類概念和關係系 統奠定了基礎；有算術的運算（加法、乘法等等以及它們的倒轉）；有 幾何學的運算（剖面、換位等等）；有時間性的運算（事件的系列性， 如事件的連續順序以及它們之間所夾入的間距）；還有機械的運算、物 理的運算等等。 上述的說明，可以理解 Piaget 是利用各類的數學模式（如：算術、幾何學、

時間序列等）組合成認知模式，而因為「運算」範圍相當廣泛，幾乎涵蓋所有 的思維，後人探究 Piaget 的理論，當使用運算一詞時，常會以「運思」取而代 之，以強調心理運作的特徵（邱素真，1996），筆者於本研究中，則依據上下文 間採「運思」、「運算」兩詞。 2. 認知發展階段的運算邏輯 李其維（1995）從邏輯性質的角度，概述 Piaget 四個認知發展階段的特點， 邏輯在 Piaget 的認知階段理論中所扮演的角色，特別的是「運算邏輯」。如果個體 已具備邏輯，表示個體已具有可逆性的概念，動作已內化為運算，也就是說，因 為可逆性的產生，使動作能成為運算。「運算邏輯」，就是這一系統內部轉化規律 的描述的中介物。下文將概述四個認知發展階段的運算邏輯特徵。 (1) 感覺動作期（sensorimotor stage） 主體存在「動作邏輯」，也就是把一個動作包含於另一個動作之中，一個動作 必定以一定次序接續著下一個動作；或者一組動作和另一組動作之間有對應關 係。但是動作邏輯不屬於運算的邏輯，只是此階段內，運算邏輯的對應物。 (2) 前運思期（preoperational stage） 主體存在「直覺的邏輯」，直覺的邏輯仍不屬於運算邏輯，本質上屬於動作邏 輯，但是直覺奠基於表象調節基礎上。由於此期尚未發展出可逆性，動作無法反 向進行，兒童只能發現事物的依存或共變關係，不能導致守恆觀念，故又稱之「半 邏輯」或是「半運算邏輯」，推理不是運算性的，只是一種傳導或濫繹式的推理 (transduction)。而感覺動作期和前運算期合稱為前邏輯階段。

(3) 具體運思期（concrete-operational stage） 主體存在以反演可逆性為軸的「類邏輯」和以互反可逆性的「關係邏輯」，類 邏輯和關係邏輯稱之為「命題內邏輯」，屬於運算邏輯的低層次型態，此階段思維 侷限於和客體的直接聯繫，客體本身充當算符的作用對象。 (4) 形式運思期（formal-operational stage） 運算邏輯的高層次型態是命題邏輯，命題邏輯稱之為「命題間邏輯」。此階段 思維不再侷限於具體實物，而是以命題形式進行。 歸納整理 Piaget 四個認知發展階段的邏輯思考特點，如表 2-7 所示（林美珍， 2005；李其維，1995；張春興，1997；賴良助，1999；梁易琪、張昇鵬，2004； Borich & Tombari, 1997）。

表 2-7 Piaget 認知發展階段 認知發展 階段 年齡 運算邏輯 特徵 邏輯思考能力 感覺動作期 ０～２歲 動作邏輯 1. 憑感覺與動作以發揮其 基模功能。 2. 本能的反射動作進展到 具目的的活動。 能思考，尚無邏輯思考力。 前運思期 ２～７歲 直覺邏輯（表 象邏輯），本質 上仍屬動作邏 輯 1. 發展符號能力，語言與 心像的發展。 2. 能使用語言表達概念， 以符號代表實物，但有自我 中心傾向。 1. 能思維但不合邏輯，會 有跳換式推理，不能見及事 物的全面。 2. 能進行具體的邏輯思 考，並將此能力運用於解決 具體問題。 具體運思期 ７～１１歲 類邏輯 關係邏輯 1. 能根據具體經驗思維以 解決問題。 2. 能理解可逆性。 3. 能理解守恆。 真正能邏輯推理，但僅能對 具體事例做邏輯推理，無法 考慮所有的可能性。 形式運思期 １１歲以上 命題邏輯 1. 能作抽象思維。 2. 能依據假設驗證的科學 法則解決問題。 3. 能依據形式邏輯的法則 進行思維。 1. 具備抽象及複雜邏輯思 考的能力，邏輯思考能力包 含：守恆、比例推理、控制 變因、機率推理、相關推 理、組合推理，進行抽象邏 輯推理。 2. 能做假設—演繹解決假 設性的問題。

3. 命題內邏輯及命題間邏輯

Piaget and Grize（1972）認為個體進入到運算邏輯後，始具有命題內邏輯及 命題間的邏輯，並對這兩種類型的邏輯下了以下的定義：（引自李其維，1995，p.85） 命題內的邏輯運算是： 「它可能把一個命題分解為若干因素（這種分解可達於不同的程度）， 並能通過元素的轉換構成新的命題；於是這樣生成的命題之「真」和 「偽」等的值，係緣於那些元素間的組合。」 命題間的邏輯運算是： 「令一些命題不受分析，如 p、q 等等，只考慮其「真」與「偽」，並 把它們作為一個新的系統加以組合。於是，命題邏輯就形成一種自主 的運算，它僅只依賴命題間組合的形式和完全不顧命題內的任何組合 的內容。命題邏輯遵循著他們特有的規則。」 李其維（1995）根據上述定義，發現 Piaget 所謂的命題內邏輯大致與現代數 理邏輯中的述詞邏輯(predicate logic)雷同，只分析命題內部結構（莊文瑞，2005）， 命題的真假值須由其組成元素的真假值所決定。而命題間邏輯就是命題邏輯，出 自於對命題整體性質的刻畫。 然而，現代數理邏輯體系中，述詞邏輯必須在命題邏輯之後發生。但 Piaget 的運算邏輯體系中的發展次序卻恰好相反，因此引起一些邏輯學界的反對聲浪， 因為數理邏輯中，述詞邏輯比起命題邏輯更加複雜，述詞邏輯的產生，正是邏輯 學家彌補命題邏輯中形式上之不足所衍生的產物，但當 Piaget 論述具體運思期的 兒童邏輯思維，類邏輯與關係邏輯雖近似述詞邏輯，差異在於類邏輯與關係邏輯 雖然也對命題加以分析，但這種分析的發展卻先於命題運算前發生的，也就是說，

兩種可逆性（反演可逆性的類邏輯和互反可逆性的關係邏輯）在具體運算階段中 產生後，在形式運算階段獲得協調，並且成為形式運思期中命題邏輯的基礎（李 其維，1995；杜麗燕，1995）。

邏輯學家與心理學家對於述詞邏輯及命題邏輯的發展順序並無衝突，只是所 秉持的邏輯角度不同而已。而且，自 1960~1970 期間，許多重複 Piaget 實驗陸續 展開，包括 Corman and Escalona (1969)、Dasen (1973)、Dodwell (1960)、Elkind (1961a, 1961b)、Goodnow (1962)、Lovell (1961)、Uzgiris (1964)等人的研究，他們 運用較多且更具代表性的兒童樣本，甚至標準化實驗程序，其他部分則採取類似 於 Piaget 的方式，這些重複的實驗研究發現到美國、英國、加拿大、澳洲與中國 等國家的兒童，與 Piaget 以瑞士小樣本兒童為實驗對象，具有相同的結果（林美 珍，2005），所以，這些實證研究可以支持 Piaget 的理論。 但是，有些新近的研究卻不認同 Piaget 心理邏輯學所謂前運思期的孩童無法 進行科學的和演繹的推理，只有進入到形式運思期的青少年才有能力解決與處理 這類型的推理問題的想法。所以，Siegler (1998)、Sophian (1997)代表的新皮亞傑 學派(neo-Piagetian)，便認為 Piaget 可能因為採用的測量內容、材料和情境不適當， 或許低估了前運思期孩童的推理能力；另一方面，有些實驗也證實，某些青少年 與成人缺乏邏輯，而不足以稱之達到形式運思的階段（林美珍，2005；江淑卿， 2001a）。 本研究以高年級學童（約 11、12 歲），探討該年齡的學童是否能掌握 Piaget 心理邏輯學中所謂的形式運思期的運算邏輯-命題邏輯。 （二）二元命題的組合結構 Piaget 的認知發展理論中，認為具體運思階段的邏輯運算仍不完備，約在十

二歲時，認知結構會發生重大的改變，能夠以命題形式進行邏輯運算，思維不再 侷限於具體實物，前階段不完備的缺陷於是獲得補償，Piaget 將此階段稱為形式 運思期。由於形式運思期階段的認知結構便是命題運算，具有布林代數結構特徵， 並建議使用 16 種二元運思解釋兒童如何進行形式邏輯推理(Inhelder & Piaget, 1958)，這 16 種二元運思，也符合形式運思期發展特徵以「假設-演繹的思考方式」 處理其問題的模式（王文科，1991；江淑卿，2001a；李其維，1995；Markovits, Schleifer & Fortier, 1989; Overton, Ward, Noveck, Black & O’ Brien, 1987; Overton, 1990）。

1. 16 種二元運算的組合

Piaget 提出的 16 種二元運思系統，即為命題邏輯中簡單命題與複合命題所組 織的結構。因為二元命題---即含有二個支命題（p與q）的複合命題，若以符號p

與q代表述句（statment），每個述句皆可能取真假值（truth value），則有p和p、 q和q兩組共四個符號。根據四個符號兩兩組合不重複，此四個符號之關係，可 構成如下四種組合情況： a. p真且q真（p⋅q）、b. p真且q假（p⋅q）、c. p假 且q真（p⋅q）、d. p假且q假（p⋅q ），p和p、q和q的組合關係，如表 2-8 所 示。 表 2-8 p和p、q和q的組合關係 述句 q q p _{p⋅q（a） p⋅q（b）} p p⋅q（c） p⋅q （d） 此四種組合關係，Piaget 稱之為元素（element），若是以文氏圖表示，則更為 直觀，如圖 2-1。

圖 2-1 二元命題文氏圖 但是二元命題間的關係不僅止於四種，就形式運算的主體而言，因為此時 q p⋅ 、p⋅q、p⋅q和p⋅q是命題形式，不再是具體運思期中的類-關係形式（也就 是所謂的陳述性判斷）；青少年期在發現上述的四種基本結合後，還能產生對此基 本結構再組合的能力與技巧，這些元素恰好可以用符號∨構成 16（ ₂2 2 ）種各不相 同的組合型態，每一種組合型態都稱為二元運算（binary operations），分別代表全 備性（complete affirmation）、全無性（negation of complete affirmation）、合取 （conjunction）、互斥（incompatibility）、析取(disjunction)、合取否定（conjunctive negation）、蘊涵（implication）、非蘊涵（nonimplication）、逆蘊涵（reciprocal implication）、非逆蘊涵（negation of reciprocal implication）、等價（equivalence）、 非等價/互反排斥（reciprocal exclusion）、p的肯定（affirmation of p）、p的否定

（negation of p）、q的肯定（affirmation of q）、q的否定（negation of q）二元

運算，如果是三元運算，由於基本結合為 8 個，全部的組合數就是 8 = 2 256 個， 若是四元運算，則基本結合為 16 個，全部組合數為216 =65536個，其公式為22n個， 即 n 元命題，運算有 ₂n 2 個。J. Flavell（1963）運用 a、b、c 與 d 簡述 16 種二元運 算的組合型態，分別為：a、b、c、d、ab、ac、ad、bc、bd、cd、abc、abd、acd、 bcd、abcd 以及 0（無任何元素）。表 2-9 為 Piaget 的 16 種二元運思系統（李其維， 1995；Flavell, 1963; Inhelder & Piaget, 1958）。

q p⋅ p⋅q q p⋅ q p⋅

表 2-9 Piaget 的 16 種二元運思系統 真值表 a b c d 項 目 Piaget 的運思命名 Piaget 簡述 q p⋅ p⋅q p⋅q p⋅q 析取規範形式 Flavell 簡述 1 全備性 p *q ＋ ＋ ＋ ＋ (p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q) abcd 2 全無性 0 － － － － 無 ₀ 3 合取 p⋅q ＋ － － － (p⋅q) _a 4 互斥 p /q － ＋ ＋ ＋ (p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q) _bcd 5 析取 p∨q ＋ ＋ ＋ － (p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q) _abc 6 合取否定 p⋅q － － － ＋ (p⋅q) _d 7 蘊涵 p⊃q ＋ － ＋ ＋ (p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q) _acd 8 非蘊涵 p⋅q － ＋ － － (p⋅q) _b 9 逆蘊涵 q⊃ p ＋ ＋ － ＋ (p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q) _abd 10 非逆蘊涵 p⋅q － － ＋ － (p⋅q) _c 11 等價 p q ⊃ ⊂ q p≡ ＋ － － ＋ ) ( ) (p⋅q ∨ p⋅q _ad 12 非等價/互反排斥 p∨∨q _{－ ＋ ＋ －} (p⋅q)∨(p⋅q) _bc 13 p的肯定 p

[ ]

q ＋ ＋ － － (p⋅q)∨(p⋅q) _ab 14 p的否定 p

[ ]

q － － ＋ ＋ (p⋅q)∨(p⋅q) _cd 15 q的肯定 q

[ ]

p ＋ － ＋ － (p⋅q)∨(p⋅q) _ad 16 q的否定 q

[ ]

p － ＋ － ＋ (p⋅q)∨(p⋅q) _bd

2. 格結構與群結構

Piaget 認為，這些二元命題運算的所有可能的組合支集合，形成了一個具有 布林代數的格結構(lattic structure)。格(lattice)是一種指偏序關係集合(partial ordering set，簡稱 POS)的代數系統，偏序關係集合的性質包括三個性質：反身性、 反對稱性、遞移性，並且其中所有的元素兩兩之間具有唯一的最大下界與最小上 界。進入到形式運思期的兒童能將兩種可逆性結合，建立新的運算組合系統，這 一系統中，每一個運算都是另一個運算的逆向，又是第三個運算的互反，由此在 命题组合系统中，產生了四種變換形式，以「蘊涵p⊃q」為例： (1) 其正向轉換（I）為本身； (2) 逆向轉換（N）有一個反命題，「非蘊涵p⋅q」； (3) 互反轉換（R）有一個互反命题，「逆蘊涵q⊃ p」； (4) 互反的逆向轉換（C）：有一個關聯性命題，「非逆蘊涵」p⋅q，也就是互 反命题的反命题。 經由 NR=C； CR=N； CN=R 以及 NRC=I 所組成的運算關係，Piaget 稱之 為「INRC 四元轉換群」，即克萊茵群（李其維，1995；杜麗燕，1995；王憲鈿、 張梅玲、劉靜和、林嘉綏和余碧筠，1989）。 邱素真（1996）整理格結構系統以介紹 Piaget 的命題運算，定義集合 G 中有 十六個元素，G=

{

1,2,...,16

}

，此集合運算子(operator)”~”為包含關係。則有序對 〉 〈 ~G, 成為一個偏序關係集合，用哈氏圖解法（Hasse Diagram）可以建構一個格 系統，並獲知二元運算的特徵如下。 (1)在集合 G 中最大元素為「全無性」，最小元素為「全備性」。 (2)集合 G 中，兩兩之間存在一個最大下界與最小上界。

(3)N 運算，R 運算，C 運算各有其對應的二元運算。 李其維（1995）認為個體若存在統一的認知結構，組合系統中的格結構， 能反映形式運算認知結構總的系統特徵，而 INRC 群結構，則是從可逆性這 一特殊的角度出發，揭示組合系統中各運算之間的轉換機制，所以格結構較 具概括意義。是以，本文內容不述及組合系統中之 INRC 群結構，惟以討論 「格系統」為研究範疇。 但是，形式運思思維階段的邏輯意義，在於指出組合系統的存在之後，能夠 解釋十六種可能組合所隱涵的邏輯意義。這些邏輯正是已達到形式思維的個體所 應當把握的命題邏輯。本研究以「蘊涵」運算為例說明。 蘊涵運算就是p蘊涵q，即為(p⋅q)∨(p⋅q)∨(p⋅q)，p是q的充分條件，而非 必要條件。在 Piaget 的彈性形變實驗中，討論一個金屬棒的性質，如果令p表示 簡單命題「一條鐵絲是細的」，q表示簡單命題「它是容易彎曲的」，則p蘊涵q （p⊃q）的複合命題可以是： (1) 「如果鐵絲是細的，那麼它就是容易彎曲的。」 (2)「或者這根鐵絲不是細的，或者它是容易彎曲的。」 (3) 「說這根鐵絲是細的，等於是說他既是細的又是容易彎曲的。」 以上表述都視為蘊涵。蘊涵的文氏圖如圖 2-2（李其維，1995）。 圖 2-2 蘊涵的文氏圖 q p⋅ q p⋅ q p⋅ q p⋅

由上述的蘊涵表述方式，可以了解「如果…，就…」與「…，或…」都是代 表蘊涵運算，只是由不同的表述句型呈現。 三、命題邏輯的相關研究 歷史上最早研究命題邏輯的是古希臘斯多噶學派(Stoicism)的哲學家。現代對 命題邏輯的研究始於 19 世紀中葉的 G. Boole，他開始運用類演算的方式，處理亞 里士多德邏輯，在此之前，邏輯的研究以自然語言為主要工具，而自然語言本質 上不富於推論性及運算性。G. Frege 則於 1879 年建立了第一個經典命題邏輯的演 算系統，自此大量利用數學符號表示邏輯的概念，並建造邏輯系統，人工符號的 特色就是富於精密概念的表達和運算（劉福增，2003a，2003b）。 Piaget 將現代邏輯引入心理學的領域，探討個體認知發展的歷程，其獨創的 理論引發後續研究者的興趣，其中命題邏輯的能力發展，大都以十六種二元運算 的組合實驗為主，近代也有少數研究者以命題邏輯為核心，設計命題邏輯測驗， 藉以探究命題邏輯能力的表現情形，下文將分述之。 （一）十六種二元運算組合系統實證研究 就 Piaget 的認知發展理論而言，具體思階段的兒童，易受限於具體事實而做 出無效的推論，唯有進入到形式運思期的階段，才能獨立於實物，以命題形式進 行邏輯運算進行有效推理（李其維，1995；張景媛、陳荻卿，2003）。根據 Piaget 的理論，形式運思期中最明顯的特徵便是十六種二元運算的組合，國內外許多實 證性研究也都支持 Piaget 對於青年期前期會有命題邏輯特徵的論述（李其維， 1995；邱素真，1996；Kuhn, 1977; Roberge, 1976; Shapiro & O' Brien, 1970; Taplin, Staudenmayer & Taddonio, 1974）。

回顧國外學者著手進行十六種二元運算組合系統實證研究 (Nagy & Griffiths, 1982)中，Bynum, Thomas, and Weitz (1972)重新分析原先 Piaget 的實驗，則指出能 確實掌握使用的只有八種。Weitz, Bynum, Thomas and Steger (1973)從 57 個十八到 二十歲的樣本中，發現到沒有一人可以使用超過五種以上的運算。Benefield and Capie (1976)曾經企圖找出這十六個二元運算的難度次序。在測驗編製過程中，第 十到十六個並沒有編列題目，第 4 個題目過於冗長和第 2 題因為沒有同意義的普 通語言可以寫出，也沒有列為題目，故其研究結果中雖呈現一些階層模式，但並 不十分明確。Moshman (1977)認為判斷個體能夠做形式運思的關鍵，端視個體能 否將十六種運思整合成一個整體。Ennis (1975)對於 Piaget 理論中形式運思期能時 使用邏輯的概念也多所評論，他發現發展至形式運思期時，人能理解命題邏輯的 16 種二元運思，分辨其中的差異，並運用這些運思來解決問題。 儘管 Piaget 做出如此形式運思發展的推論，與其經由多次邏輯思考臨床實驗 後，獲得人們使用運算能力的認知發展次序有關，而且 Piaget 自己對於早先提出 的相關理論立場也有所軟化(Piaget & Grize, 1972)，不再這麼堅持「形式運思的重 要特徵是十六種二元運算的出現」，現今提出的證據對於 Piaget 提出的形式運思推 論正確性有所質疑，某些學者歸因於或許是實驗設計的不當所致（江淑卿，2001a； 林美珍，2005）。

不容否認的，許多學者認為與受測學生作診斷式面談，是評量學生認知發展 層次以瞭解其邏輯概念架構的最佳方式(Inhelder & Piaget, 1958; Sayre & Ball, 1975)。但是，診斷式面談(clinical interview, CI)通常只適用於小群樣本，實施時往 往受限於時間與施測者的能力等因素，因此，近代教育學者積極尋找及發展替代 性省時的邏輯思考診斷工具，目前的測驗工具包括：Bart (1970)的符號邏輯測驗；

Gray (1973)開放性試題，問題內容則與 Piaget 的單擺、力的平衡及化學化合等有 關，題型包括邏輯互斥、邏輯比例、邏輯組合與排列等；Burney (1974)的默爾尼 邏輯推理試題(Burney's Logical Reasoning Test)內容也綜合多種模式的優點，其測 驗架構則與 Piaget 的面談測驗類似，但為紙筆測驗形式，Grant and Renner (1975) 形式運思測驗、Rowell and Hoffman (1975)內容以 Piaget 的單擺、化學化合作用等 為主、Staver and Gabel (1978)的 Piaget 邏輯運思測驗(Piagetian Logical Operations， Test PLOT)內容包含液體的體積守恆、化學化合、控制變因與比例觀念等、Tobin and Capie (1980)邏輯思考試題(The Test of Logical Thinking, TOLT)，綜合以上這些 工具，都是測量認知發展且與診斷式面談有顯著相關的紙筆測驗工具（李芳森， 1997）。然而，這些邏輯測驗工具仍奠基於科學實驗所開發而得，研究主題大都環 繞在是邏輯與科學能力的相關性。 1960~1980 年代大多實驗以重複 Piaget 的各項作業實驗的探究為主，到了 1980 後期有些研究便聚焦於命題邏輯能力的探討，下文將就命題邏輯測驗的開發論述。 （二）近代命題邏輯能力的研究

美國羅格斯紐澤西州立大學 Rutgers University 科學教育系的師生應用 Piaget 認知發展次序中的元素複製到命邏輯測驗(The Propositional Logic Test, PLT)紙筆 測驗中，並展開長達數年命題邏輯能力的研究(Piburn, 1989)。PLT 主要是利用樣 本對於所描述的情況符合與否，來獲得這些受試者對於判定運算元真假值的能 力。這是一個評定命題邏輯推理，具有信度效度的測驗，並且由四個分測驗 (conjunction，disjunction，bicondition，implication)組合而成。命題邏輯測驗具有 簡短的、容易施測、並且非常可靠的優點，效度與別的推理測驗和科學成就有相 關，藉由分析在此測驗中系統性錯誤，可以顯示出某些特徵，而這些特徵過去是

必須運用一些更艱難臨床診斷技術才有辦法獲得。Piburn (1989)認為命題邏輯測 驗不但可以使用在群體的標準測驗上，對於個體的邏輯語句上的困難也能有更精 密分析。

Piburn (1989)在澳洲西部的一個教區找尋兩個單一性別學校的十年級學生進 行 PLT 及 The Test of Logical Thinking（TOLT）（Tobin & Capie, 1981）施測，樣本 包括 98 位男性，128 位女性。實驗結果發現 PLT 信度是.82，該次信度比過去對 於樣本群為大學生或是高中生的研究，其信度是要低的。但該研究中發現，PLT 與 TOLT 的相關係數是.63，與學生的科學成績相關是.57，可以說科學成就、邏輯 思考和命題邏輯測驗是有相關性，這群學生的合取分數最高、析取次之，雙條件 (biconditional)與蘊涵是四個分測驗中平均分數較低。而且，由析取和合取的成績 可以高度預測科學成就的表現（Piburn, 1989, 1990）。 Almstrum (1999)研究 Piburn（1989）的命題邏輯測驗的試題，並探討該命題 邏輯測驗對於當做診斷邏輯運算迷思偵錯工具的好處。由個別學生的做答分析在 PLT 試題項目中，解釋邏輯操作過程中許多系統性迷思。Almstrum (1999)認為該 命題邏輯測驗作為檢查學生對於命題邏輯確有其功效。 綜合上述關於 Piaget 命題邏輯十六種二元運思的實證研究，Piaget 十六種二 元運思確實可為命題邏輯測驗提供理論的基礎，經由良好設計的命題邏輯測驗， 更可以獲得受試者的邏輯迷思資訊(Almstrum, 1999; Piburn, 1989, 1990)，而紙筆測 驗相較於傳統的診斷式面談，更可以快速、大量的收集到各類邏輯思考能力的訊 息（李芳森，1997）。過去的實證研究也大多以科學實驗為內容，尋求命題邏輯推 理與科學能力之間的關係（李芳森，1997；Nagy & Griffiths, 1982）。數學是邏輯 性很強的一門學科，數學體系是依據嚴格的演繹程序建立的，數學家利用一套數

學語言，把有意義的命題建構成特殊的符號系統（郭貴春、康仕慧，2006；劉杰、 郭貴春，2006；邱素真，1996），是以命題邏輯不但與科學、更應該與數學密切關 聯，但過去十六種二元運思的實徵研究中，鮮少於數學領域進行分析，故本研究 欲探究數學與命題邏輯之關係，發展一套適合國內學童的命題邏輯紙筆測驗。 （三）Piaget 邏輯理論對於教育的啟示 Piaget 將數理邏輯改造後，應用來描述兒童不同智力水平的認知結構，其中 的目的、特點與作用皆不同於數理邏輯，這種邏輯包括具體運算與形式運算兩大 系統，具體運算包括類和關係的八個群集，形式運算包括 16 種命題的運算和 INRC 群的結構（張小燕、劉愛河，2005；張小燕等，2006），Piaget 從心理發生 的角度，瞭解人類思維結構如何由動作產生、發展與形成的過程，揭示邏輯思維 的環節內容間內在聯繫關係（杜雄柏，1997）。然而，Piaget 的經典認知發展理論 雖然堪稱典範，但因為內容並非盡如人意，以致 60、70 年代中飽受抨擊（蔣京川， 2005），張小燕和劉愛河（2005）認為 Piaget 對於數理邏輯的改造，備受邏輯學界 指責，主要批評 Piaget 的邏輯論過於專注在細節和系統的不完美。所以，在 Piaget 晚年新理論中，已試圖以「水準」概念淡化早期的「階段」概念，並以「意義邏 輯」弱化早期的「命題邏輯」（蔣京川，2005）。 然而，學校教育中課程的設計該如何與學生的能力相配合，是個早已受重視 的問題。過去的智力理論研究對象以成人為主，且關心量的改變而非質的變化， Piaget 理論之於教育的參考價值在於 Piaget 指出兒童的認知、思維結構確與成人 有所差異，成人應按兒童思維方實施教學。而且，Piaget 是以「認知結構」作為 劃分能力的標準，認知結構的不同，可以反映思維能力的差異，儘管認知發展的 階段與年齡的增加或者說與個體生物性的成熟度有關，然而，改變的主因並非在

於年齡的增長，而是認知結構的變化，故需依循兒童認知發展順序設計課程（張 春興，1997）。 杜雄柏（1997）也認為在中小學及幼稚教育中，根據 Piaget 提出的兒童邏輯 思維發展進行教學，教導學童由現實思維活動中總結出新的思維規律，Piaget 對 於豐富現代邏輯學的內容也有不容小覷的啟發意義。 張小燕和劉愛河（2005）認為若以現代認知科學背景，對 Piaget 的邏輯論重 新省思： 1. 開闢了邏輯研究的新方向，並為與心理學相關的邏輯認識論問題的解決提 供基礎。 2. 用邏輯結構刻劃兒童認知結構，擴展心理學的研究範圍。 3. 邏輯研究對於認知科學的跨學科合作提供了樣板。 所以，Piaget 的邏輯運算理論確實可以提供數學教育新的想法，個體是否具 有命題邏輯，又是 Piaget 所謂形式運思期與具體運思期的分野，故本研究以命題 邏輯為主，試圖探究國內學童到了高年級的階段，是否發展出符合 Piaget 的運思 邏輯論的推理思考特徵，從中獲取命題邏輯研究對於教育的啟示。

第二節 次序理論

本節依據次序理論的基礎、及目標概述次序理論的內涵，並說明多元計分次 序理論模式，次序理論於認知發展次序性相關研究及命題邏輯相關研究的應用情 形。 一、次序理論的內涵 本段依次序理論基礎、目標、多元計分次序理論模式，闡述次序理論的內涵。 （一）次序理論的基礎 次序理論是奠基於Guttman量表圖分析法(Guttman scalogram analysis)(Guttman, 1944, 1950)所發展出的一種測量模式。Guttman量表圖分析法能 找出測驗試題順序或調查研究問題的次序，以利編排試題，但礙於Guttman量表圖 分析法僅以線性次序(linear ordering)的關係進行分析，於是遇到兩項難題：(1)一 組題目中的線性排序只能顯示出最精簡的題目關係，一旦題目數增加，就越難獲 得複製力(reproductability)；(2)一些邏輯與統計的分析結果指出並非所有的次序都 是線性的。Airasian and Bart (1973)提出一個可供以分析線性與非線性次序的方法-次序理論 (Airasian & Bart, 1973; Bart & Krus, 1973)。

（二）次序理論的目標

Airasian and Bart (1973)的次序理論有兩大目標：1. 檢驗兩個題目間假設的次 序(hypothesized ordering)，確定階層關係。2. 當未假設兩個題目間的次序時，能 一般化題目的次序，以確定是否有階層關係。

過去心理計量的相關研究中，次序理論主要應用於判斷兩個試題間的先備條 件(precondition)之次序關係，進而呈現試題階層(item hierarchy)，故常成為用來定 義、分析試題間結構的方法（林原宏，2005，2006；余民寧、陳嘉成，1987）。

綜合次序理論的分析，可分為四大步驟： 1. 以言詞或圖繪方式描述假設的次序。 例如：試題i為試題 j的先備條件，即試題i指向試題 j。 圖 2-3 試題i指向試題 j圖 2. 說明試題的正確與錯誤反應組型。 當給予兩個題目間假設的次序，可以判斷出該試題反應組型（item response pattern）是正確（confirmatory）或錯誤（disconfirmatory）。以二元計分試題i和試 題j為例（i ≠ j），其答對（以 1 表示）和答錯（以 0 表示），反應組型包括（1,1）、 （1,0）、（0,1）、（0,0）四種，其中（1,1）、（1,0）、（0,0）是正確組型，表示試題i指 向試題 j，而（0,1）的反應組型為錯誤組型，表示試題i不指向試題 j。 3. 收集試題列聯表資料及決定閾值ε

Bart and Krus (1973)根據二元計分(dichotomous)試題列聯表資料，計算試題的 先備條件及次序關係。以二元計分試題i和試題 j為例（i ≠ j），其答對（以 1 表 示）和答錯（以 0 表示）之答題人數列聯表，如表 2-10 所示。 表 2-10 二元計分試題i和試題 j的答題人數之列聯表 試題j 1 0 總和 1 n11 n10 n1• 試題i 0 n01 n00 n0• 總和 n•1 n•0 n=n11+n10+n01+n00

Airasian and Bart (1973)認為表 2-10 中試題i和試題 j有四種反應組合，包括

（1,1）、（1,0）、（0,1）、（0,0）四種，其中（0,1）的反應不滿足「試題i為試題 j的

先備條件」，也就是說，「試題i不指向試題j」。由於錯誤反應組型可能肇因於答 j

題者的猜測或遺漏情形，故允許有一小部分錯誤反應的比例，稱為閾值(threshold)。 閾值ε 數值的決定，Bart and Krus (1973)建議可取ε =.2，Airasian , Bart and

Greaney (1975)建議可取ε =.05~.1，Jansson (1986)認為若該研究是以探討本質且

樣本不多的情形下，閾值ε數值可以更小。但實證研究中，可由研究者自行決定。

4. 計算錯誤反應組型的衡量係數，決斷是否具階層關係

Bart and Krus (1973)定義「試題i指向試題 j」的衡量係數為n01 n，其n01 n

的範圍是0≤(n01 n)≤1，若衡量係數n01 n愈小，表示試題i愈可能是試題 j的先備 條件，並以閾值ε(0<ε <1)決定試題i與試題 j的次序關係如下： (1) 若(n01 n)<ε，表示試題i為試題 j的先備條件，即試題i與試題 j有次序關係， 此時以r_ij =1表示，以圖繪i→ j表示； (2) 若(n01 n)≥ε ，表示試題i不是試題j的先備條件，即試題i與試題 j沒有次序 關係，此時以r_ij =0表示，圖繪中i不指向 j。 次序理論的第二個目的：當未假設兩個題目間的次序時，能一般化題目的次 序，以確定是否有階層關係。Bart (1971)利用 Boolean algebraic (布林代數)的方法 排列出試題反應組型的代數模式，再列出各試題反應的答題人數比例，推估是否 存在階層關係及其階層結構。

（三）多元計分次序理論模式

由於 Bart and Krus (1973)二元計分的次序理論對於多元計分的資料有其限 制。林原宏和黃國榮（2006）基於 Bart and Krus (1973)的二元計分模式，擴展為 多元計分的次序理論模式。其多元計分的次序理論分析步驟如下： 1. 假設試題i和試題 j的計分點數分別為C_i和C_j，且以k =0,1,_L,(C_i −1)和 ) 1 ( , , 1 , 0 − = Cj l _L 表示，則多元計分試題i和試題 j之答題人數列聯表如表 2-11 所示，其中

∑ ∑

− = − = = 1 0 1 0 i j C k C l kl n n 。