問題解決的探討

一、問題解決的意義

問題解決是一個所有學生都需要的基本技能，可以從下列幾個報告中得 知：美國數學督導學會（National Council of Supervisors of the Mathematics

：NCSM，1977）將問題解決列為十項必須精熟的事物之首。NCTM（1980）

提出的《行動綱領》（Agenda for Action）即明白表示：問題解決是中學數學 的 焦 點 (NCTM，1980，p.1)。 NCTM（ 1989） 在 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics 中列出九項目標並清楚闡述數學素養的理 念，其中五項是針對學生的，包括：了解數學的價值、學會以數學溝通、學 會以數學推理、對自己的能力有信心及成為一個數學解題者。國內外學者對 於「問題解決」（problem solving）這個名詞提出許多不同的面向與解釋，但 我們可以從其中更進一步了解其內涵。茲將整理如下表 2-1-1：

表 2-1-1 國內外學者對於「問題解決」的定義

學者 問題解決的定義

Polya（1962） 認為問題解決就是「有意識地尋找某一種適當的行 動，以便達到一個被清楚意識到但又不能立即達到 的目標」。

Gagne’s（1965） 認為問題解決是「學習階層中的最終能力」。 Branca（1980） 認為問題解決是「目標、過程及基本技能」。

Mayer（1983） 認 為 問 題 解 決 是 從 已 知 敘 述 到 目 標 敘 述 的 移 動 過 程。而問題解決的思考是朝向某種目標的系列運作。

Mason et al.（1985） 認為問題解決是「數學思考」。

（續後頁）

表 2-1-1（接前頁）

Kahney（1986） 認為問題解決是利用個體已學過的知識技能去滿足 情境的需要，以獲致解答的過程。

Stanic &

Kilpatrick

（1989）

認為問題解決是「脈絡(context)、技能及藝術」，問 題解決是「脈絡」，是基於問題及解問題是獲得其它 目的的途徑。

Hayes（1989） 認為問題解決是發現一個適當的方法去跨越另一個 落差。 徵的轉換、面臨僵局的經驗、驚喜的經驗（the “aha” experience）；各種情意 與情緒上的（affective/emotional）反應、後設認知、對於數學的信念系統；

各人長期、短期對於意義的內在建構、調適、同化與平衡，平衡的同時產生 新的意義。在此同時，解題者感受到來自學校、教室、同儕團體、研究者，

甚 至 學 校 以 外 的 實 際 情 境 中 的 期 望 ， 這 些 來 自 解 題 者 和 社 會 及 文 化 脈 絡

（human social and cultural context）的因素，也可能對於解題過程產生更強 而有力的影響。

（一）Polya 對問題解決的貢獻

Polya（1945）的《如何解題》是最早針對問題解決這個議題，深入 探 討 解 題 方 法 的 一 本 書 ， 本 書 對 於 數 學 教 育 的 影 響 甚 巨 。 書 中 的 第 二 部 份，可以說是本書的精華，詳述解題步驟的四階段：了解問題（understanding

the problem）、擬定計劃（devising a plan）、執行計劃（carrying out the plan）

在 Zambo 和 Follman（1994）的文章中，對於文字題的解題文獻進行 探討，並指出：問題解決是一個多步驟的過程，在這篇文章中，作者引用 Uprichard, Phillips 和 Soriano 等人的觀點，認為解決問題的模式約可以分 成 兩 大 類 ， 一 類 是 處 方 式 的 （ prescriptive ） 模 式 ， 另 一 類 是 描 述 式 的

Abbott &

Wells（1985a）

表 2-1-3 描述式問題解決步驟的比較

Webb（1979） Romberg &

Collis （1985）

Sherrill

（1983）

Kinstch &

Greeno

（二）Schoenfeld 的解題架構

Scheonfeld（1985，1992）提出，學生解題行為的理論架構，包含五個

的方式形成（formulating）與表徵（representing）問題，而表徵問題

Schoenfeld （1981，引自 Garfalo & Lester，1985）已區別出解 題 過 程 中 ， 兩 種 不 同 的 行 為 ： 戰 術 的 （ tactical ） 行 為 及 管 理 的

（Simon,1982, 引自，McLeod, 1988），他認為有下列兩個因素：術 語的混淆與缺乏堅強的理論。McLeod（1992）認為還有部份的原因 是情意方面的資料，並不容易以問卷的方式所測得。「情意」（affect）

這 個 字 是 一 個 常 被 用 來 表 示 「 對 於 數 學 學 習 所 有 感 覺 的 術 語 」，

McLeod（1992）認為應該包括下列的主要類別：信念（belief）、態 度（attitude）及情緒（emotion）。一般而言，信念與態度是穩定一 致的反應，而情緒指的是短暫而密集的反應。

不管是先前受挫或頓悟的驚喜的經驗（Aha experience），對於之 後 的 學 習 或 解 題 ， 都 會 產 生 相 當 程 度 的 影 響 。 Wagner, Rachlin 和 Jensen（1984，引自 McLeod，1992，p.582）的研究指出：曾經在解 代數問題時受挫的學生，有時候會在解題時感到煩厭（upset）並且 會任意摸索任何可能的答案，不論這些答案是多麼不合理。Mason, Burton 和 Stacey（1982）談到學生解題時所遇到的頓悟驚喜經驗，

這種喜悅的來源，能提供學生進行更進一步學習及解題的嘗試。

（5）實務的問題

許多學者，如：Cooney（1985）及 Schoenfeld（1994）等人，對 於 學 生 及 教 師 信 念 的 研 究 中 發 現 ， 學 生 及 教 師 對 於 數 學 的 信 念 或 看 法，和數學社群間的數學實務（mathematical practice）有所不同，因 此有「學校數學」（school mathematics）一詞的出現，這意謂著中學 校園中所學的數學，在實際生活中發揮不了作用，中學校園中傳授數 學的方式，和數學社群中數學知識發生情況是不同的。社會實務的議 題是指如何將以問題解決為主的數學教育，能接近實際數學社群中的 運作情況。

綜合上述，本研究是使用圓形釘板進行數概念的探索，依據開放式問題 的 教 學 活 動 ， 因 圓 形 釘 板 能 隨 著 釘 板 數 與 間 隔 數 之 不 同 設 定 而 產 生 多 樣 變 化，輔助學生透過自行探索發現樣式的變化，啟發學生的解題思維，達到與 數 學 知 識 的 連 結 。 根 據 以 上 的 探 討 ， 本 研 究 圓 形 釘 板 輔 助 教 學 ， 主 要 參 考 Polya、Schoenfekd 的解題歷程，加強學習歷程中對相關數學知識或概念的了 解，進而產生的圓形釘板的開放式問題教學探索活動歷程。如圖 2-1-1。

1. 了解問題

2. 擬訂計畫

3. 計畫執行

4. 檢查結果

能了解釘板數與間隔數所 呈現的圖形之相互關係。

決定固定釘板數，間隔數變 化；與固定間隔數，釘板數 變化的解題想法。

依據計畫之步驟執行。

遇 到 問 題

結論

驗證樣式猜測的結果，依據 釘板數、間隔數、路徑數與 路徑上點數之關係，數學概 念產生。

圖 2-1-1 圓形釘板的開放式問題教學探索活動歷程