數位釘板的探討

本節分別就「圓形釘板的數學概念」、「釘板在教學上的應用」與「數位 圓形釘板」三方面來探討。

一、圓形釘板的數學概念

圓形釘板是指在一個圓周上，每一個釘子排列距離為相等弧長，如此所 形成一個釘板，稱之為圓形釘板。美國加州帕羅奧多市 Ventura 小學的數學 實驗室中，最廣為使用也最成功的活動之一就是釘板模型。他們會用到彩色 橡皮筋和釘子，讓學生利用釘子數為 36 或 37 的釘板去發現圖形中，數字不 同 特 性 所 造 成 的 影 響 。 學 生 可 以 製 造 一 些 極 為 吸 引 人 的 釘 板 模 型 帶 回 家 。

（Perl，2004）以下針對圓形釘板所引發的數學概念做探討。

首先，先定義名稱並做假設，方便後面的說明。

路 徑：從一開始的釘子，我們稱為起始釘子（數字設定為 0），經 過多次間隔，最後又回到起始釘子，這樣稱為完成一次「路 徑」。

繞經的圈數：從一開始的釘子，變化間隔數，每經過起始釘子一次，稱 繞經圈數一次。

例如：釘子數 12，間隔數 5，0→5→10→‧→3→8→‧→1

→6→11→‧→4→9→‧→2→7→S 繞經 5 圈

（‧表示經過起始釘子，S 表示回到終點）。

我們假設『釘子數為 ，間隔數為b，路徑數為c，路徑上的點數為d， 繞經的圈數為e』。

a

（一）圖形的變化

開啟一個釘子數為 12 的釘板，變化間隔數從 1 到 11，觀察圖形的 變化，我們可以發現：

1. 當間隔數為 1 與 11 時，圖形為一多邊形。

2. 當釘子數不能被間隔數（除了間隔數 1 與 11）整除時，圖形為星形。

3. 當兩個間隔數的和為釘子數時，所產生的圖形是相同的。

4. 間隔數和圓形大小之間的關聯。選擇的間隔數越大，勾出的圓形就 會越小，反之亦然。

從圓形釘板的操作，學生可以觀察到圖形的變化，並發現許多現象。

（五）同餘類

開啟一個釘子數為 12 的釘板，間隔數為 3，觀察路徑的變化，我們 可以發現：

如果間隔數是釘子數的因數，則每一條路徑上的點，構成一個同餘 類。觀察： 1: 0→3→6→9→S 繞經 1 圈

2: 1→4→7→10→S 繞經 1 圈 3: 2→5→8→11→S 繞經 1 圈

三條路徑上的點除以 3，餘數均相同，我們發現同餘的概念。

（六）其他的概念發現

1. 釘子數＝路徑數×路徑上的點數（a= ×c d）。

2. 間隔數＝路徑數×繞經的圈數（b= ×c e）。

3. 釘子數×繞經的圈數＝間隔數×路徑上的點數 （a e× = ×b d）。

4. 正比與反比的概念。

5. 釘子數與間隔數的最小公倍數＝路徑數、路徑上的點數與繞經圈 數的最小公倍數（

[ ] [

]

（七）圓形釘板布題

1. 製作一個擁有一條路徑和三個繞經圈數的星形。

2. 製作一個擁有四條路徑，每條路徑有五個繞經圈數的星形。

圓形釘板是一個很優良的數學教材，裡面蘊含了許多數的概念，而且可 以涵蓋從小學到中學不同年級的學習程度，只要教師設計合適的學習活動，

學生一定能夠從中探索許多數學概念。但普遍存在的問題是，一般圓形釘板 的實體教具在課堂中使用與收拾不便，且無法隨時更換釘子數的多寡，釘板 太小，教師解說也不易。因此，本研究採用圓形釘板數學電子軟體為輔具探 索數概念，設計開放式問題教學活動，以觀察學生的解題表現。

二、釘板在教學上的應用

釘板是小學數學課常用的教具之一。在教授三角形的一些類型時，教師 們都喜歡使用釘板，讓學生以橡皮圈在釘板上圍出各種大小不同的直角三角 形、等腰三角形和不規則三角形。這種類型的釘板，幾乎都是以上下左右間 隔相等的釘子排列，不僅可以針對三角形教學，對於一些四邊形或是其他的 幾何圖形均可以使用此釘板教學，讓學生透過實際操作、探索、嘗試錯誤的

學習中，慢慢建立數學的幾何的概念。在 NCTM 的網站上我們可以找到許多 從幼稚園到十二年級釘板的教學應用，整理如下表 2-3-1：

表 2-3-1 NCTM 從「幼稚園到十二年級」釘板的教學應用

階段 教學目標 教學應用

幼稚園到二年級 1. 使 用 釘 板 說 明 說 明 面積、周長與有理數 的概念。

2. 使 用 釘 板 說 明 立 體 圖形。

1. 認識三角形與正方形：三角 形著綠色，正方形著黃色。

三年級到十二級 1. 使 用 長 方 形 排 列 的 釘 板 ， 認 識 坐 標 系 統。

2. 使 用 釘 板 配 合 等 量 的 概 念 說 明 立 體 圖 形。

3. 使 用 長 方 形 排 列 的 釘 板 ， 認 識 坐 標 系 統。

4. 使 用 釘 板 配 合 等 量 的 概 念 說 明 立 體 圖 形。

1. 做一個三角形只接觸 5 根釘 子，並量測周長與面積。

2. 利 用 圓 形 排 列 釘 板 製 作 30 度角與 52.5 度角與 105 度 角。

早期的釘板教學都是利用實體教具，教師先將大型釘板移至教室中，上 課 時 配 合 課 程 內 容 加 以 應 用 說 明 ， 學 生 則 發 給 小 型 釘 板 與 數 條 橡 皮 筋 或 繩 索，讓學生在課堂中實際操作，課後再一一回收教具，以便下次教學時使用。

釘板實體教具的使用上諸多不便，使用釘板時，一個活動完成之後必須將釘 板上的橡皮筋或繩索卸除，才能進行下一個活動，並且活動的設計也受限於 釘板的實際大小。這些問題都或多或少影響教學活動的進行，浪費寶貴的學 習時光。

如今資訊科技發達，是否可以利用科技改良我們的教具？是否可以藉由 科技的幫助，使我們的教具更便於使用？可不可以讓新的教具更有彈性足以 解決更多的問題？可不可以有「一次設計」而能常常「方便使用」的教具呢？

我們在 NCTM 的網站上看到了虛擬教具的發展，透過軟體設計，讓釘板教學 更加豐富，教師省去了教具的製作與設計時間，讓教師更專注於教學內容的 豐富與深入。

三、數位圓形釘板

在學習因數倍數時，國外經常使用到兩種圓形的釘板，一般是在正方形 的木板上畫一個大圓，通常是將 36 及 37 支鐵釘等距離的釘在圓周上（36 and 37 circular geoboards），學生以繩索在釘子上等間距的纏繞，不同的間距將產 生不同的幾何圖形，再藉由觀察每一圈纏繞的釘子數可以發現一些有趣的因 數倍數潛藏在其中。36 是合成數，37 是質數，用這兩個釘板來探索因數倍數 的關係是一個趣味性十足又頗有深度的教學活動（Perl，2004）。如圖 2-3-1。

圖 2-3-1 36 與 37 釘板

在 On-Math Volume3, Number1, Fall 2004 有一篇釘板教學「Discovering Stars & Building Star Boards」，教學對象是七年級的學生，在一般的數學課堂 上，作者設計星形的學習單，讓學生透過在圓形釘板上的以不同的釘子數，

不同的間隔數，在連接過程中去發現其中樣式的關連性，藉此建立一些數學

的概念，並實際完成學生個人獨特的星形釘板。學生在整個活動過程中，可 以學習到多邊形、正多邊形、內接多邊形、五邊形以及六邊形的幾何的部分

，在數的概念上，因為所有釘板上的點都要全部連結，且間隔數不同模組也 需要連結，學生學習到「路徑」的概念，並從活動過程中，體驗問題解決的 方法與同儕之間的互動（Stegemoller, Stegemoller & Willett, 2004）。

Lavy（2004，2006）利用 MWPB（MicroWorld Project Builder）的電腦 環境—使用 Logo-based 語言，針對兩位七年級的學生，在課後探索數學（針 與線）的問題。使用的程式軟體一樣是產生類似圓形釘板的環境。學生輸入 以及 general presented-as-specific，並以此作為數學證明之前的基礎論證研究。

國內很少見到老師們使用這種圓形釘板來教學，而不常使用的原因應是