以電子圓形釘板為輔具的開放式問題數學教學設計研究

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(1)國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. 以電子圓形釘板為輔具的開放式問題數學教學設計研究 Using Electronic Circular Geoboard as an Instructional Aid to Study the Application of Open-ended Approach in Teaching Mathematics. 研究生：蔡宜璋指導教授：袁. 媛. 教授. 中華民國九十八年七月.

(2) 以電子圓形釘板為輔具的開放式問題數學教學設計研究 Using Electronic Circular Geoboard as an Instructional Aid to Study the Application of Open-ended Approach in Teaching Mathematics 研究生：蔡宜璋. Student：Yi-Chang Tsai. 指導教授：袁. Advisor：Yuan Yuan. 媛. 國立交通大學理學院網路學習學程碩士論文. A Thesis Submitted to Degree Program of E-Learning College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Degree Program of E-Learning July 2009 Hsinchu, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十八年七月.

(3) 中文摘要. 以電子圓形釘板為輔具的開放式問題數學教學設計研究學生：蔡宜璋. 指導教授：袁. 媛教授. 國立交通大學理學院專班網路學習組. 摘. 要. 本研究主要是使用由 Flash 開發的圓形釘板數學電子軟體，依據開放式問題教學模式，對國中學生實施圓形釘板探索數概念的教學活動，來探討開放式問題教學模式在國中數學教學實施的可行性，並從教學歷程中觀察國中學生的解題表現與不同年級的國中學生在接受圓形釘板探索數概念的開放式問題教學活動後，解題表現的差異。本研究以台北縣某私立完全中學國中部的國中一、二年級兩個班級的學生為研究樣本，兩班學生均接受圓形釘板探索數概念的開放式問題教學活動，並以研究者自行設計之圓形釘板教學個人學習單與團體學習單及數學學習問卷為主要研究工具。教學研究主要發現如下：一、開放式問題教學模式在國中數學教學上實施是可行的。二、在實施圓形釘板探索數概念的開放式問題教學活動後，國中學生提出多數的樣式猜測，但個人猜測結果仍十分有限。三、在實施圓形釘板探索數概念的開放式問題教學活動後，學生發現了「因數與倍數」、「正比與反比」、「互質」、「最大公因數」、「最小公倍數」、「短除法」、「圖形的變化」與「等量公理」的數學概念。四、不同年級的國中學生在接受圓形釘板探索數概念的開放式問題教學活動後，解題表現有差異。最後根據研究結果與發現，提出若干建議以做為教師教學改進與未來研究之參考。關鍵字：開放式問題、圓形釘板、電子教具、國中生. i.

(4) 英文摘要. Using Electronic Circular Geoboard as an Instructional Aid to Study the Application of Open-ended Approach in Teaching Mathematics. Student：Yi-Chang Tsai. Advisors：Dr. Yuan Yuan. Degree Program of E-Learning of College of Science National Chiao Tung University. ABSTRACT. The purpose of this study was, by using the electronic circular geoboard software developed by Flash and open-ended approach, to find out whether the open-ended approach was feasible in teaching basic concepts of number theory to junior high students. Furthermore, by observing the problem-solving performance and the acceptability of the open-ended approach, the study also wanted to find out the differences between students from different grades. This study was conducted to one junior first and one junior second class respectively at a complete school in Taipei County. All the students learned the basic concepts of number theory by the open-ended approach, and completed the self-designed learning sheets, individually and in a group, and learning questionnaire. And the findings of the study were as follow: 1. The application of open-ended approach in teaching mathematics to junior high students is feasible. 2. During the application, by using the electronic circular geoboard, more pattern conjectures were brought up by students than personal conjectures. 3. By using open-ended approach, students learned the mathematic concepts of the following: divisor and multiple, direct ratio and inverse ratio, relative primes, the greatest common divisor, the least common multiple, short division, graph diversity, and equality axiom. 4. There was difference between two different grades in problem-solving performance. ii.

(5) At the end of this study, some suggestions were made for future application and further study. Keyword: open-ended questions, circular geoboard, electronic manipulatives, junior high school students. iii.

(6) 誌謝. 誌. 謝. 這一路走來要感謝很多人。首先，感謝我的指導教授袁媛博士，她嚴謹做學問的態度，清楚而詳細的指引我的研究方向，並不時給予鼓勵，使我得以順利完成論文，老師的身教言教，讓我衷心感激；同時，也感謝中原大學高欣欣教授與本校的李榮耀教授，在炎炎夏日百忙之中，特別撥空批閱我的論文，指正錯誤並提供寶貴的建議，增廣我的視野。其次，感謝我的同組同學張世明老師、王智弘老師、謝銘祥老師，大家相互的討論，腦力的激盪，讓我獲益良多。也感謝莊朝淵同學不時的來電鼓勵。對於我的同事翁立衛博士、蔡興祥老師、廖純如老師、李明德老師、陳璽文老師，你們的協助、支持與鼓勵，是我持續研究的動力，感謝你們的愛護。也感謝我服務的學校長官，提供我研究揮灑的空間。更有許多關心我的親朋好友，不時的打氣、加油，謝謝大家！最後，感謝父親、母親、岳父與岳母的鼓勵與包容，給我最大的信心，更要感謝我的老婆，無怨無悔的付出與一路相挺陪伴，讓我無後顧之憂得以順利完成論文。學業到此告一個段落，但人生另外的研究課題，正要啟航。對於所有關心我、幫助我、愛護我的人，再一次感謝。宜璋謹誌 2009 年七月. iv.

(7) 目錄中文摘要 ...........................................................................................................i 英文摘要 ..........................................................................................................ii 誌謝 ................................................................................................................. iv 目錄 .................................................................................................................. v 表目錄 ............................................................................................................ vii 圖目錄 ...........................................................................................................viii 第一章緒論 .................................................................................................... 1 第一節研究動機 .......................................................................................... 1 第二節研究目的與問題 .............................................................................. 3 第三節研究限制 .......................................................................................... 3 第四節名詞釋義 .......................................................................................... 4 第二章文獻探討 ............................................................................................. 5 第一節問題解決的探討 .............................................................................. 5 第二節開放式問題教學模式的探討 .......................................................... 12 第三節數位釘板的探討 ............................................................................ 20 第三章研究設計 ........................................................................................... 26 第一節研究方法與研究流程 ..................................................................... 26 第二節研究對象 ........................................................................................ 29 第三節研究工具 ........................................................................................ 30 第四節資料分析 ........................................................................................ 39 第四章研究結果與討論 ................................................................................ 40 第一節開放式問題教學模式對學生在數學學習上的影響 ........................ 40 第二節教學實施後學生產生的解題想法 .................................................. 50 第三節教學實施後不同年級學生解題表現的異同 ................................... 66 第五章結論與建議 ....................................................................................... 70 第一節結論 ............................................................................................... 70 第二節建議 ............................................................................................... 72 參考文獻 ........................................................................................................ 74 中文部分 ..................................................................................................... 74 英文部分 ..................................................................................................... 75 附件一數學學習問卷 ................................................................................... 81 v.

(8) 附件二圓形釘板數學電子軟體教學設計及學習單 ...................................... 82. vi.

(9) 表目錄表 2-1-1 國內外學者對於「問題解決」的定義 .............................................. 5 表 2-1-2 處方式的問題解決步驟的比較 ......................................................... 7 表 2-1-3 描述式問題解決步驟的比較 ............................................................. 8 表 2-3-1 NCTM從「幼稚園到十二年級」釘板的教學應用 .......................... 23 表 3-2-1 研究樣本人數統計表 ...................................................................... 29 表 3-3-1 主畫面元件功能列表 ...................................................................... 31 表 3-3-2 學生版基本元件功能 ...................................................................... 33 表 3-3-3 教師版增加的元件功能 .................................................................. 33 表 3-3-4 文字版面元件功能列表 .................................................................. 35 表 3-3-5 資料表視窗元件功能列表 ............................................................... 36 表 3-3-6 學生可能的樣式發現與數學聯想 ................................................... 37 表 4-1-1 數學學習問卷同意部分的整理 ....................................................... 47 表 4-2-1 老師猜測與學生實際樣式發現的項目整理 .................................... 52 表 4-2-2 國一學生個人與團體樣式發現項目數量的整理 ............................. 63 表 4-2-3 國二學生個人與團體樣式發現項目數量的整理 ............................. 64 表 4-2-4 國一學生與國二學生樣式發現數目的百分比 ................................ 65. vii.

(10) 圖目錄圖 1-4-1 釘子數為 12 的圓形釘板 .................................................................. 4 圖 2-1-1 圓形釘板的開放式問題教學探索活動歷程 .................................... 11 圖 2-3-1 36 與 37 釘板 ................................................................................... 24 圖 3-1-1 研究架構 ......................................................................................... 26 圖 3-3-1 主畫面 ............................................................................................. 31 圖 3-3-2 多個釘板呈現 ................................................................................. 32 圖 3-3-3 學生版的圓形釘板畫面 .................................................................. 32 圖 3-3-4 教師版的圓形釘板畫面 .................................................................. 32 圖 3-3-5 文字版面之操作紀錄 ...................................................................... 34 圖 3-3-6 資料表視窗 ..................................................................................... 35 圖 4-1-1 學生熱烈討論的情形 ...................................................................... 43 圖 4-1-2 使用文字記錄模式與資料表 ........................................................... 44 圖 4-1-3 列表尋找樣式 ................................................................................. 45 圖 4-1-4 回S8150511 ..................................................................................... 48 圖 4-1-5 回S8330511 ..................................................................................... 48 圖 4-1-6 回S8160511 ..................................................................................... 48 圖 4-1-7 回S8490511 ..................................................................................... 48 圖 4-2-1 單S7140505 ..................................................................................... 53 圖 4-2-2 單S8160506 ..................................................................................... 53 圖 4-2-3 單S7270505 ..................................................................................... 54 圖 4-2-4 單S7390505（一） .......................................................................... 54 圖 4-2-5 單S7010505 ..................................................................................... 55 圖 4-2-6 單S7030505 ..................................................................................... 55 圖 4-2-7 單S7070505 ..................................................................................... 56 圖 4-2-8 單S8130506 ..................................................................................... 57 圖 4-2-9 單S7390505（二） .......................................................................... 57 圖 4-2-10 單S7300505 ................................................................................... 57 圖 4-2-11 國一學生第四組的樣式發現 ......................................................... 59 圖 4-2-12 國一學生第九組的樣式發現 ......................................................... 59 圖 4-2-13 國二學生第三組的樣式發現 ......................................................... 60 圖 4-2-14 國二學生第六組的樣式發現 ......................................................... 60 圖 4-3-1 學生利用表單找規律 ...................................................................... 66 viii.

(11) 圖 4-3-2 學生錯誤的推論 .............................................................................. 67 圖 4-3-3 學生不完整的猜測 .......................................................................... 67. ix.

(12) 第一章緒論數缺形少直覺，形缺數難入微。 —華羅庚（1910–1985）. 第一節研究動機根據台灣教育長期追蹤資料庫（Taiwan Education Panel Survey：TEPS）第二十二期的電子報調查結果，超過六成的學生認為「數學問題總是令人頭痛」（其中國中占 64.7％，高中職五專占 63.5％），顯示出數學依舊是多數學生感到頭痛的科目，因此如何讓學生快樂學習數學，相信是許多數學老師的夢想。一直以來，數學是所有學科中最不受學生歡迎的科目，而且學生討厭數學的程度通常會隨著年級的增加而加深，但大部分的學生都表示喜歡「電腦」，並認為利用資訊科技來學習數學，會覺得學數學比以前快樂、也比較有把握（教育部，1998；莊一凡、陳光勳，2004）。在數學教育方面，強調知識統整及資訊融入教學中，試圖應用資訊科技及網際網路資源，協助師生進行相關教學，以尋求數學教育的完善發展。資訊融入教學的目的，是將資訊科技融入課程、教材與教學中，讓資訊成為師生一項不可或缺的教學與學習工具，並使得資訊科技的使用成為在教室中日常活動的一部分，且能延伸資訊科技為一個方法或一種程序，在任何時間、地點來尋求問題的解答（溫嘉榮，2003）。早期 Taylor（ 1980）認為電腦在教育功用中是扮演教師（tutor）、輔具（tool）與學生（tutee）的角色。近年來教育以學習者為中心，科技的角色逐漸變成學習伙伴（learning partner），學生由「從科技學習」（ learning from technology）轉變成「運用科技學習」（ learning with technology）（ Jonassen, Peck & Wilson, 1999）。研究顯示，在數學課程中使用教具的學生通常比不使用教具的學生表現得更好（Raphael & Wahlstorm, 1989；Sowell, 1989）。十九世紀的 Pestalozzi 以及後來的 Froebel 與 Montessori 都倡導使用教具，Piajet 的認知發展論則為這種教育概念建立了理論基礎，他認為兒童建構知識的發展過程必須經歷具體運思期（7~11 歲）之後，才能進入形式運思期（11 歲以上），而教具正好提供兒童一個具體的思考媒介（引自王智弘，2006）。隨著資訊科技的進步，結合多媒體系統協助數學學習已呈現一股新的教學潮流（Najjar, 2001；饒達欽， 1991）。張漢宜（2002）也提到，因為科技的革新，數學教具也有了新的變 1.

(13) 革。這種教具利用電腦影像模擬出真實教具的模樣，同時提供操弄的介面，讓老師及學生可以透過滑鼠對它進行操作，可以輕鬆營造學習環境，此外還具有不佔空間、容易複製、分享，課堂上易於整理等優點，也是傳統教具所不及的。透過這樣的虛擬教具來輔助學習數學，是未來的趨勢。科技可以有助於數學教育的主要理由是，它對認知歷程（cognitive processes）的影響—數學思維和理解的本質（Heid, 1997）。數學思維是指人關於數學對象的理性認識過程，亦是人腦和數學對象交互作用並按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。廣義的，可理解為包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程（孫名符，1996）。九年一貫數學學習領域的課程目標，強調規律的探討，期望學生達成掌握數、量、形的概念與關係，培養蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等的技能，俾使學生達成「發展形成數學問題與解決數學問題的能力」，並透過數學學習激勵多樣性的獨立思維方式，激盪各種想法，激發創造力（教育部，2001）。黃敏晃（2000）所出版的《規律的尋求》一書中，亦探討到許多數學上的規則、規律，他認為規律的覺察有助於數學的學習。數學家Polya 所提問題的解決策略中，其中有一個步驟即為發現樣式（Look for a pattern），許多學者也認為發現樣式有助於解決問題（曹亮吉，2003；Howden, 1989; Krulik & Rudnick,1989; Rey, 1999; Whimbey & Lochhead, 1999）。綜合以上學者的研究，可見透過樣式的覺察與一般化，進而解決數學問題，一直都是數學學習的要點。謝秀宏（2005）在國中生胚騰推理與數學能力之相關性研究中指出，國三學生的胚騰推理能力大致上明顯優於國一與國二學生，且研究結果驗證了國中階段學生的胚騰推理能力與數學能力應該有顯著的相關。八十年代以後，全世界數學教育家普遍注意到「問題解決」的重要性，而將數學視為「解題」。認為「問題解決」是一種創造性思考，是一連串自我發現的活動過程，要解決問題，須由學習者親身體驗並建構解題邏輯，不再只是由師長告訴他們「最精彩的解題技巧」（林素微，1998）。日本數學教育趨勢逐漸走向強調個別學生的發展及能在數學討論中提出問題和解決問題，學生應能夠模擬一個數學化的情境和處理它，並和別人合作去解決一個數學問題。基於此目標，整個教育活動是使學生現在的學習連接到未來的學習，強調學生在活動中有自治的能力；發展和整合數學知識的本質；教師能在教室中做適當的決定（鍾靜，2005）。在開放的基礎下，活動過程是開放的，學生透過群體討論去尋求一個較好的解題過程；結果是開放，這一類的問題是有多個正確答案，並非單一的；而發展的方向也是開放的，當學生解題之後，教師可以改變原問題的狀況和條件，布出新的問題。在解決問題中，老師不只是強調求出正確答案，而是注意誘發學生進行數學思考與發展創造 2.

(14) 力，能對問題能提出各種不同的觀點（Shimada, 1977；Takeuchi & Sawada, 1984；Christansen & Walter, 1986）。基於以上的研究動機，本研究旨在應用資訊科技，設計開放式問題的教學活動，提供現職教師一種新的教學模組，進而啟發學生的解題思維，提升學習的動力。. 第二節研究目的與問題本研究期望使用圓形釘板數學電子軟體，針對國中學生以圓形釘板數學電子軟體當成輔具，設計開放式問題的教學探索活動，並探討此一教學模式在國中實施的可行性及此活動對國中學生解題表現之影響。具體而言，本研究目的有二：一、探討開放式問題的教學模式在國中數學教學上實施的可行性。二、依據開放式問題的設計方法，實施圓形釘板的探索活動，以了解其對國中學生解題表現的影響。依據上述的研究目的，本研究採開放式問題教學的研究設計方式進行，研究對象為台北縣某私立國中一、二年級兩個班級的學生，使用圓形釘板進行數概念的探索。根據上述研究目的，本研究提出下列三個研究問題：一、開放式問題教學模式於國中數學教學的可行性如何？有什麼實施上的困難？二、接受圓形釘板的開放式問題探索活動的國中學生發現了哪些數關係？三、不同年級的國中學生，其接受圓形釘板的開放式問題探索活動後，發現的數關係有何不同？. 第三節研究限制研究者基於取樣的便利性，本研究只針對研究者所任教班級進行，而研究結果會因教師與學生特質的不同，而有不同的結論，故本研究結果不宜作過度的推論。本研究的學習單與數學學習問卷的設計上，由於受限於研究時間、人力及研究取向等客觀因素，研究者只針對任教的國一班級與國二班級各一班之特質作問題的設計。所以，研究結果不能類推到其他年級，不同的領域更因為性質的差異，無法用同樣的研究結果作推論。 3.

(15) 第四節名詞釋義為了使研究更具體明確，本節針對本研究涉及到的重要名詞說明如下：一、圓形釘板方形釘板的釘子排列以前、後、左、右等距離排列，在教授三角形的一些類型時，教師們都喜歡使用釘板，讓學生以橡皮圈在釘板上圍出各種大小不同的直角三角形、等腰三角形和不規則三角形。本研究所指的圓形釘板是指在一個圓周上，每一個釘子排列距離為相等弧長，如此所形成一個釘板，稱之為圓形釘板。例如：圖 1-4-1，就是一個釘子數為 12 的圓形釘板。. 圖 1-4-1 釘子數為 12 的圓形釘板二、開放式問題在數學教室中所探討的數學問題，通常有一個共同的特徵，就是針對該問題先確定一個且只有一個正確答案，問題的設計也要可以清楚分辨答案是正確或錯誤的，並且正確答案必須是唯一的。我們稱這樣的問題是「完整的」或「封閉」的問題。反之，我們稱有多於一個以上正確答案的問題為「不完全」或「開放式」的問題。例如：12 與 21 的最大公因數是多少？這就是一個封閉的問題。例如：兩個數的最大公因數是 3，則這兩個數可能是多少？這樣就是一個開放式的問題。. 4.

(16) 第二章文獻探討本章旨在探討本研究之相關文獻，做為本研究之理論基礎，並藉以建立本研究之架構。全章共分為三節，第一節為問題解決的探討，第二節為開放式問題教學模式的探討，第三節為數位釘板的探討。. 第一節問題解決的探討一、問題解決的意義問題解決是一個所有學生都需要的基本技能，可以從下列幾個報告中得知：美國數學督導學會（National Council of Supervisors of the Mathematics ：NCSM，1977）將問題解決列為十項必須精熟的事物之首。NCTM（1980）提出的《行動綱領》（Agenda for Action）即明白表示：問題解決是中學數學的焦點(NCTM， 1980， p.1)。 NCTM（ 1989）在 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics 中列出九項目標並清楚闡述數學素養的理念，其中五項是針對學生的，包括：了解數學的價值、學會以數學溝通、學會以數學推理、對自己的能力有信心及成為一個數學解題者。國內外學者對於「問題解決」（problem solving）這個名詞提出許多不同的面向與解釋，但我們可以從其中更進一步了解其內涵。茲將整理如下表 2-1-1：表 2-1-1 國內外學者對於「問題解決」的定義學者 Polya（1962）. 問題解決的定義認為問題解決就是「有意識地尋找某一種適當的行動，以便達到一個被清楚意識到但又不能立即達到的目標」。. Gagne’s（1965）認為問題解決是「學習階層中的最終能力」。 Branca（1980）認為問題解決是「目標、過程及基本技能」。 Mayer（1983）. 認為問題解決是從已知敘述到目標敘述的移動過程。而問題解決的思考是朝向某種目標的系列運作。. Mason et al.（1985）認為問題解決是「數學思考」。（續後頁）. 5.

(17) 表 2-1-1（接前頁） Kahney（1986）認為問題解決是利用個體已學過的知識技能去滿足情境的需要，以獲致解答的過程。 Stanic &. 認為問題解決是「脈絡(context)、技能及藝術」，問. Kilpatrick. 題解決是「脈絡」，是基於問題及解問題是獲得其它. （1989）. 目的的途徑。. Hayes（1989）. 認為問題解決是發現一個適當的方法去跨越另一個落差。. 張春興（1991）認為問題解決是個體企圖達到某一目標時，所產生的思考心理歷程。綜合以上觀點，問題解決可說是個人運用先前知識、技能與理解去滿足新情境的需要，並重組他所擁有的資訊，提出有效的方法解決現在情境與問題目標之間差異的過程。二、問題解決歷程的探討問題解決是一個複雜的心智活動，複雜的原因主要可以分成兩方面來談：一、來自解題者和題目本身間的互動；二、解題者和情境的互動。Goldin （1992）指出：數學解題是一連串複雜的心理過程的聚合，此聚合過程發生在於解題者本身和問題之間的互動，根據理論的方針，可能包括下列過程：目標與子目標的建立、語文與句法的處理（processing）、視覺化過程、空間表徵、動覺的編碼（kinestheic encoding）、各種啟思法的使用、長短期記憶的存取、演算法處理（ algorithmic processsing ）、演算法學習及除錯（debugging）、數學記號的使用、概念學習、察覺結構與結構的相似性、表徵的轉換、面臨僵局的經驗、驚喜的經驗（the “aha” experience）；各種情意與情緒上的（affective/emotional）反應、後設認知、對於數學的信念系統；各人長期、短期對於意義的內在建構、調適、同化與平衡，平衡的同時產生新的意義。在此同時，解題者感受到來自學校、教室、同儕團體、研究者，甚至學校以外的實際情境中的期望，這些來自解題者和社會及文化脈絡（human social and cultural context）的因素，也可能對於解題過程產生更強而有力的影響。（一）Polya 對問題解決的貢獻 Polya（1945）的《如何解題》是最早針對問題解決這個議題，深入探討解題方法的一本書，本書對於數學教育的影響甚巨。書中的第二部份，可以說是本書的精華，詳述解題步驟的四階段：了解問題（understanding 6.

(18) the problem）、擬定計劃（devising a plan）、執行計劃（carrying out the plan）及回顧（looking back）。這個部份的描述是以一個假想的老師和一個假想的學生的對話方式來呈現的，它除了可以看成是老師與學生的對話外，其實也可以看成是解題者本身「自問自答」式的對話，從問答中，一步步接近問題核心的方式。啟思法可以說是本書的另一個重要的核心觀點，Polya 提供的這些方法，不但希望閱讀本書的解題者能用之於發現問題的解答，有探索與發現的功能，同時，應更進一步將這些幫助解題的一般性原則內化到個人的思維中，成為一種思考的習慣。在 Zambo 和 Follman（1994）的文章中，對於文字題的解題文獻進行探討，並指出：問題解決是一個多步驟的過程，在這篇文章中，作者引用 Uprichard, Phillips 和 Soriano 等人的觀點，認為解決問題的模式約可以分成兩大類，一類是處方式的（ prescriptive ）模式，另一類是描述式的（descriptive）模式。處方式的模式多半是教科書的作者推薦解題者遇到問題時用以解題的模式，而描述式的模式多半是研究者在實際的研究觀察或理論操作中，發現解題者或假設解題者應該遭遇到的解題過程。以下將兩種不同問題解決的處理模式整理如下表 2-1-2 與表 2-1-3。我們可以從表 2-1-2 與表 2-1-3，清楚地看出 1980 年代的數學文字題的解題研究是深受 Polya 的影響。表 2-1-2 處方式的問題解決步驟的比較 Polya （1945）了解問題. 擬定計劃. 執行計劃檢查結果. Abbott & Bolster 等人 Wells（1985a）（1985）閱讀問題 1.閱讀問題 2.注意事實 3.問自己：問題是什麼？. Keedy 等人（1985） 1.仔細閱讀問題 2.列出資訊 3.選出需要的資訊 1.圖通常有用 1.畫一個圖 1.做一個圖表 1.選擇運算 2.寫出方程式 2.決定使用那 2.選擇一個變 2.選擇運算數一運算 3.寫出方程式 3.估算 3.寫出方程式 3.轉換成方程 4.估算並選擇式一個合理的答案解方程式回答問題解方程式 1.檢查答案 2.答案合理嗎？. Lowry 等人（1986）注意事實. Phillips 等人（1974,1983） 1.閱讀問題 2.寫下問題 3.圈選出事實 4.列出已知及未知的事實 1.將問題畫成圖 2.選擇運算 3.寫出方程式 4.估算答案. 1.解方程式 2.回答問題以問題中的文回顧，看看答字來檢查結果案是否合理. 1.回顧 2.給予一個合理的答案. 本表翻譯自 Zambo 和 Follman（1994）. 7.

(19) 表 2-1-3 描述式問題解決步驟的比較 Sherrill Webb（1979） Romberg & Collis （1985）（1983） 1.閱讀問題. 2.將問題畫成 1.直接建立模 1.畫一個圖圖型（direct modeling）. Kinstch & Gagne’s Greeno （1983）（1983） 1.將英文句子 1.將文字問題轉換成命題轉換成數學表達 2.產生問題表徵（產生能夠表現出集合之間關係的表徵）. 3.寫下方程式 2.寫下開放句 2.寫方程式子 4.使用演算法 3.使用演算法 3.使用演算法 3.活化執行計 2.實現指示的運算算的正確基（algorithm）（algorithm）模 5.計算（counting） 6.驗証解答 3.讓解答有效. Schoenfeld （1985） 1.閱讀（read） 2.分析（analyze） 3.探索（explore）. 4.計劃（plan） 5.執行（implement）. 6.驗証（verify）. 本表翻譯自 Zambo 和 Follman（1994）本研究採用處方式的問題解決模式，依據 Polya 的解題步驟：了解問題 →擬定計劃→執行計劃→回顧。讓學生接受圓形釘板的探索數概念的開放式問題教學活動，因為這個部份的是以一個假想的老師和一個假想的學生的對話方式來呈現的，它可以看成是老師與學生的對話也可以看成是解題者本身「自問自答」式的對話，從問答中，一步步接近問題核心的方式。Polya 提供的這些方法，不僅希望解題者能用之於發現問題的解答，有探索與發現的功能，同時，應更進一步希望能幫助解題的一般性原則內化到個人的思維中，成為一種思考的習慣。（二）Schoenfeld 的解題架構 Scheonfeld（1985，1992）提出，學生解題行為的理論架構，包含五個向度：（1）解題的資源、（2）啟思法、（3）監控、（4）信念與情意的因素、（5）實務的問題。其中的第四及第五向度在 Scheonfeld（1985）的文獻中是合併在「世界觀」(worldview)這個類別中。（1）解題的資源解題的資源指的是解題者的認知結構，特別是他們所學過的認知風格、數學知識、知識結構、記憶的結構、表徵方式及知識獲取的方式等。人們常常根據經驗、先備知識與其它外來資訊，將問題分類，真正遇到問題的時候，解題者會將注意力集中在問題中的相關元素及判準，並提取相關知識基模，利用類別鑑別（category identification） 8.

(20) 的方式形成（formulating）與表徵（representing）問題，而表徵問題的成功與否，便影響是否能成功解題。（2）啟思法啟思法方面，Schoenfeld（1979）原則上同意 Polya 的觀點，但他認為還要加上更高層次的思考方法，建議要考慮到解題者對於數學本身的信念因素。Schoenfeld（1985）指出學生通常在教科書的範例中遇到啟思法，或是觀察他的教師學習使用啟思法，例如：引入適當符號、利用相關問題及建立次目標等。然而，教科書上的範例或是教師在使用這些啟思法的時候，並沒有談論到這些啟思法的一般適用性，因此，雖然學生學到了許多啟思的技巧，但是並不能有效將之應用在解題的過程中。只有一些學生在很多種場合下看到某一種特別的啟思法之後，會把它當成一個常用的技巧。啟思法並不能在一致的基礎下被教導，而且，在使用他們所學到的啟思法時，也會因為能力的不同而呈現顯著的差異；很自然地，具反思（reflective）特質學生對於啟思法的應用有較好的效果，同時，儲存有大量數學知識的解題者使用啟思法時可以發揮更好的功效。（3）監控在 1970 年代，認知發展的文獻、人工智慧及數學教育等領域都曾共同聚焦於自我校正（self-regulation）的議題中（Schoenfeld，1992， p.355），因此，對於監控方面的行為，有各種不同的名稱描述，例如：後設認知（ metacognition）、自我監控（ self-monitoring）、自我校正（ self-regulation ）、狀態評量（ state evaluation ）及自我批判（self-criticism）等。 Schoenfeld （1981，引自 Garfalo & Lester，1985）已區別出解題過程中，兩種不同的行為：戰術的（ tactical ）行為及管理的（managerial）行為，戰術的行為是指演算法（algorithm）的執行及啟思法的使用，而管理的行為包括：選擇問題的觀點（perspectives）及架構、在思路分岐的時候，選擇要往那一個方向走、決定是否要放棄某一個解法、從某些已放棄或失敗的嘗試中，決定那些概念或原則還有剩餘價值及監控戰術的執行等行為。（4）信念與情意的因素數學解題之情意面向的研究一直被認為是比較困難與煩雜的（Simon,1982, 引自，McLeod, 1988），他認為有下列兩個因素：術語的混淆與缺乏堅強的理論。McLeod（1992）認為還有部份的原因是情意方面的資料，並不容易以問卷的方式所測得。「情意」（affect） 9.

(21) 這個字是一個常被用來表示「對於數學學習所有感覺的術語」， McLeod（1992）認為應該包括下列的主要類別：信念（belief）、態度（attitude）及情緒（emotion）。一般而言，信念與態度是穩定一致的反應，而情緒指的是短暫而密集的反應。不管是先前受挫或頓悟的驚喜的經驗（Aha experience），對於之後的學習或解題，都會產生相當程度的影響。 Wagner, Rachlin 和 Jensen（1984，引自 McLeod，1992，p.582）的研究指出：曾經在解代數問題時受挫的學生，有時候會在解題時感到煩厭（upset）並且會任意摸索任何可能的答案，不論這些答案是多麼不合理。Mason, Burton 和 Stacey（1982）談到學生解題時所遇到的頓悟驚喜經驗，這種喜悅的來源，能提供學生進行更進一步學習及解題的嘗試。（5）實務的問題許多學者，如：Cooney（1985）及 Schoenfeld（1994）等人，對於學生及教師信念的研究中發現，學生及教師對於數學的信念或看法，和數學社群間的數學實務（mathematical practice）有所不同，因此有「學校數學」（school mathematics）一詞的出現，這意謂著中學校園中所學的數學，在實際生活中發揮不了作用，中學校園中傳授數學的方式，和數學社群中數學知識發生情況是不同的。社會實務的議題是指如何將以問題解決為主的數學教育，能接近實際數學社群中的運作情況。綜合上述，本研究是使用圓形釘板進行數概念的探索，依據開放式問題的教學活動，因圓形釘板能隨著釘板數與間隔數之不同設定而產生多樣變化，輔助學生透過自行探索發現樣式的變化，啟發學生的解題思維，達到與數學知識的連結。根據以上的探討，本研究圓形釘板輔助教學，主要參考 Polya、Schoenfekd 的解題歷程，加強學習歷程中對相關數學知識或概念的了解，進而產生的圓形釘板的開放式問題教學探索活動歷程。如圖 2-1-1。. 10.

(22) 能了解釘板數與間隔數所. 1. 了解問題. 呈現的圖形之相互關係。決定固定釘板數，間隔數變. 2. 擬訂計畫. 化；與固定間隔數，釘板數變化的解題想法。依據計畫之步驟執行。. 3. 計畫執行遇到. 驗證樣式猜測的結果，依據. 4. 檢查結果. 釘板數、間隔數、路徑數與. 問. 路徑上點數之關係，數學概. 題. 念產生。結論圖 2-1-1 圓形釘板的開放式問題教學探索活動歷程. 11.

(23) 第二節開放式問題教學模式的探討日本數學教育從一九七一年開始為期六年的「開放式教學模式」計劃，目的是提升日本學生的高階思維能力。經過一連串的研究與實驗，將其實驗過程與實際教學案例寫成了「The Open-Ended Approach：A New Proposal for Teaching Mathematics」（Becker, J. P., & Shimada, 1997）這本書，並經由 NCTM 出版，推廣「開放式教學」的概念。本研究採取「開放式問題」的教學設計，在此針對「開放式問題」做相關探討。一、何謂開放式問題傳統數學教育中所使用的問題，在小學和中學裡都有一個共通點：唯一的答案是預先決定好的。問題已經被規劃好，答案不是對就是錯（包括不完整的問題），正確答案只有一個、是獨一無二的。我們把這些問題稱作「完整」或「封閉」的問題。反之，我們將這些有多於一個正確解答的問題稱為「非完整」或「開放式」問題。在傳統教學中，學生被要求要知道解答同一個問題的不同方法，而不是專注在找出問題的答案上。從某種意義上來說，學生面對和處理的是開放式問題，因此要求的不應是問題的答案，而是得到答案的方法。所以，不只一種，可能很多種不同的方法都能讓我們得到想要的答案。在這種情況下，如果老師只讓學生探討只有一個解題方法的問題，則學生會產生問題只有一個正確答案的刻板印象，遇到問題時也不會多做思考。在稱為開放式方法的教學法中，不完整的問題是之後增加的。如果一個問題有許多正確解答，在解題過程中就能讓學生得到發現新東西的體驗。這可以藉著整理學生以前經驗所得，自身的知識、能力或思考方法來達成。例如：原. 題：鉛筆一支 10 元，原子筆一支 15 元，小明買了 6 支鉛筆，4 支原子筆，共花了多少錢？. （答：120 元）. 重新布題：鉛筆一支 10 元，原子筆一支 15 元，小明共花了 120 元，請問小明買了多少支鉛筆與原子筆？答：鉛筆數. 12. 9. 6. 3. 0. 原子筆數. 0. 2. 4. 6. 8. 將原來題目作了修正之後，就可能出現多組正確的答案。. 12.

(24) 二、開放式問題教學模式的研究動機與過程普遍存於我們腦中的問題是，在數學教育中，如何評估學生高階思維的能力。數學教學中，一系列的知識、能力、觀念、準則和定律均會以漸進的方式傳達給學生知道。教授這系列，並非因為其中每個獨立環節都是重要的，而是因為我們期待此系列可以結合每個學生的能力和學習態度，藉此在他們腦中形成一個智能組織（intellectual organization）。雖然個人知識、能力等是構成整體的重要元素，但更需要的是，它們應該被整合進每個學生的智力結構中。因此，為了知道每個學生可以達到高階思維的程度，我們應觀察他們如何在具體情況中學習到的東西，還有他們如何應付所學沒有按照預想中派上用場的狀況。這樣的觀察說比做容易多了，因為具體情況需要在自然的情境下發生。這種情況有時候可能自然地結合了教室或學生的日常生活，但大部分時間它只會不經意地出現。相對地，大部分紙筆測驗是為了蒐集數據，以便評估封閉式的問題。在這些問題中，所有解答需要的數學條件都完備了，這對學生彌補他們所學的知識和能力是很充分的，並把問題條件作為方向，採取最適合的找出答案。因此，評估不能超出由他們的知識、技能或能力，並且要依循學習觀念、準則或定律做依據。因此日本數學教育界提出兩個問題： 1. 哪些學生行為的例子可以被視為高階思維的衡量基準？在教室教學時，直接評估高階思維的成果是很難的，哪些學生行為可以被視為判斷他們的基準？換句話說，哪些是學生顯現出來的理想行為模式？ 2. 那些被認為是衡量高階思維的基準，被觀察的學生的行為，如何和以紙筆測驗或其他工具衡量的成果做連結？針對第一個問題，研究者發給全日本所有數學教育領導者一份問卷，來蒐集他們對這議題的意見，得到高階思維是「面對問題情境（ problem situation）時，學生可以將情境數學化，並適當的處理」或者是「在分析一個問題情境（problem situation）時，學生們可以利用已學習的數學技能，將情境以數學化方式重新解釋，並選擇自己偏好的方法，讓他們能以自己喜歡的思考方式，提出問題中的重要之處」。為了蒐集第二個問題的數據，思考如何以上面所提去準備問題情境是必須的。基於下列理由，我們應採用開放式問題：當問題情境的分析的結果是獨一無二的，它可能會發生（一）情境涉及到學生已學習的知識，（二）學生可以用自己喜好的方式思考的空間太少。這些研究者設計了一些問題，諸如：「棒球比賽的中場成績」或「馬拉 13.

(25) 松比賽各隊排名」，並利用一個一般測驗與所設計的問題相互結合。試著在數個小學、國中和高中的學生身上從事實驗研究去探討這些問題。故意在各個層級的學校都使用相同的問題配置，結果顯示這樣的實驗研究對各層級造成了正面影響。我們相信，將這個正面影響的因素歸因於使用開放式問題，這意義是重大的。在第二個問題的調查中，得到一個負面結果，就是高階目標的成果並不一定需要和用普通測試衡量的成果相同。同時也發現，學生對高階思維的成果的多樣性遠遠超越當初一般測驗所預期的。在第二階段的研究中，擴大小組以便複製第一個問題的結果，並開始研究下一個問題。 3. 知識、能力和思考方式是高階思維的重要元素，但這些元素可以透過額外的教學加以提昇嗎？或者，比起知識、能力等，進步和天份更有關係，但真的是這樣嗎？為了回答這個問題，教學實驗（experimental teaching）此時就派上用場。研究者設立了實驗組和對照組，讓兩組先接受預先考試，再要求他們在三到四個月中使用開放式問題兩到三次。老師也以平常的教法教授兩個組別。在教授學期結束之時，兩組都會接受測試，以便檢驗其不同之處。通常在這種教育實驗中，嚴格並持續地控制實驗狀況是很難的，也不能從數據分析得到最後的結論。然而，可以得到一個概論：教導學生使用開放式問題，可以讓他們更接近高階目標。學生的進步，需要知識和能力作為高階目標的構成元素。不光靠學生天生的天份，這也和老師是否提供讓學生成長和諮詢的機會、適當地鼓勵學生，有很大的關係。以此發現為背景，研究者認為，用學生相異的反應和數學素質去評估他們對開放式問題的反應，可以看作是對高階目標的評估（Becker, J. P., & Shimada, 1997）。三、以數學活動來說明開放式問題教學與傳統教學的異同許多方面的思考都和數學有緊密關聯，例如：了解數學理論、解決數學問題、建立一個新理論或是透過數學來解決非數學領域的問題。綜合這些方面的思考，並稱它們作「數學活動」。在整個過程的許多部份上，我們會去思考數學世界和現實世界的關係（就像圖 2-2-1）的意含。這個模型，以胚胎重演論（ontogeny recapitulates phylogeny）的意義來說，可以反映學生學習數學的歷程。. 14.

(26) 圖 2-2-1 一個數學活動的模型（本圖譯自 Becker, J. P., & Shimada, 1997, p.4）. 15.

(27) 首先，讓我們假設有兩個世界—（a）現實世界和（b）數學世界，還有（c）要在現實世界解決的問題。在這裡，（a）可能不是物質世界經驗，而是一個和（b）比起來較不抽象的概念世界。對於（c）而言，（f）的條件和假設應由（a）的經驗來制定，並透過處理程序抽象化、理想化或簡化，將其轉換成數學語言，這樣（e）數學理論就可能適用。這些程序很多都需要用數學處理，這個階段學生嘗試以個人喜歡的思考方式改寫問題，這稱作（g）公理化（axiomatization）。以下是演繹過程說明：（一）當數學用來處理現實問題，程序通常是由（f）→（g），無視於學生感知過程（awareness of the process）。舉例來說，午休後當老師為了確認小朋友是否在座位上，去計算小朋友的人數，如果他只單純使用有限理論，這樣就不用考慮到每個孩子的個體狀態。（二）由（g）階段為出發點所做的命題需要暫時性檢驗。我們是否有足夠的、答案符合命題？換句話說，轉換任何（a）命題到公理系統（g）是可能的嗎？如果不是，增加更多符合（f）條件或假說的命題會是必要的。之後在（g）中我們便有足夠的公理（axiom），我們可以做一個（g）命題來對應（a）命題。（g）命題的真實性應該只靠公理系統（g）的演繹來決定。這個演繹，（e）也是使用（g）公理系統。（三）即使經過縝密檢查，個案仍可能無法如我們所想演繹。在這樣的案例中，我們便需要採取（i）建立新理論。（四）結論（j），由演繹得來，結合階段（l），用（k）數據驗證，可以得到經驗（a）。如果（f）→（g）中錯誤的部份太多，那麼就可以認為部份假設是錯誤並到（m）修改假說。為了要到階段（f），從程序（e）到（j）也需要持續地以演繹邏輯為基礎。這對於數學論證或數學證明是很重要的。（五）現在，我們進行到程序中最後一個階段，（f）→（g）→（j）→ （l），如果檢驗的結果是肯定的，那麼公理系統（g）就可以被稱作是（f）的數學模型，並且應該被檢驗是否有相似的案例存在。如果沒有相似的案例，結果可以視為是學生個人的（e）數學理論。除此，學生可以藉由了解它們的共通點嘗試將其歸納。學生透過重整它們，將獲得的論點系統化。用此方式，學生可能會繼續（o）建立一個一般理論和演算法。（o）階段的結果也會和（e）結合。經由（i）新理論、（n）類似例子和（o）一般理論的灌輸，數學理論（e）會變得越來越豐富。 16.

(28) 讓我們透過圖 2-2-1 思考傳統學習活動：老師要向班上介紹一個新觀念時，通常會從介紹問題開始，這可以幫助學生找出對新觀念的需求。在學習前，先建立新觀念並帶領他們了解新理論也是很常見的作法。如果介紹的問題是現實世界問題，教學要先將情境或假說轉換成數學語言開始，課程將會從（f）→（g）等等。然而經常是由（g）開始，轉換經由其他人完成（老師或課本的編者）。接著，課程再從（g）→ （i）→（j）→（n）而省略（l）。這意味著（g）中使用的模型是個準模型。接著，一般教學可能會進行至（o）。練習中的活動通常都像是符號遊戲。這些階段的共同點是，每個階段的結論是預先決定的，從（n）→（o）會有一個合乎邏輯的解釋。即使是特殊例子，許多老師在教學計劃中會先決定一般理論，此時，其他學生建議的很可能會被老師完全忽略。相對地，從（f）到（g）抽象化、理想化或簡化的過程以及歸納從（n）到（o）的必須性，在廣義的說法中，它們都是開放的，結果並非預先決定好。在此階段學生的思考，為了適應現階段狀況，他們要摸索先前學習到的技能，發揮能力、結合能力或修正能力。它也需要去選擇最可能成功的技能來規劃狀況。之後，透過下列演繹可能會重複從（l）到（m）的過程。在這種情況中，學生技能越豐富，他們便能使用更多不同的規劃方法而且規劃品質會越高。此階段，學生需要高能力去整合他們所學。換句話說，學生需要能力來設想新東西，而且如果需要的話，要改變他們的觀念。從這些想法中，我們可以合理的斷言，活動和過程（f）→（g）→（h） →（j）→（l）→（m）或者是（f）→（g）→（h）→（j）→（l）→（n） →（o）的形式，應和為大多數學生而設的數學教育計畫相符合。所提議的活動和學校傳統採用的，應該被視為相互補充，而不是相互取代。為了提昇這互補關係，學年中最好有一到兩次，成立幾個教學小組，去修改傳統元素，而不是成立大規模分組，這可以提供學生多點機會，由不同觀點找出解答，而此也牽涉到整個程序（f）→（g）→（h）→（j）→（l）→（m）→（g）等。此程序的主要特點是，構想可以根據學生思考情形更動，而不是事先決定好的。這提供他們樣本機會，去主動使用他們已經學會或他們天生就會的知識、技能、觀點和思考方式。四、開放式問題教學模式的優點與缺點使用開放式問題教學當然有其優缺點，Sawada 和Toshio（1997）提出開放式教學模式有助於： 1. 學生更積極參與課堂教學活動，並且經常表達自己的想法。 2. 學生擁有更多機會，全面地使用數學知識與技能。 17.

(29) 3. 即使成績較差的學生也能以他們自己的方式回答問題。 4. 學生從內心被激發來證明自己有解決問題的方法。 5. 學生累積豐富的經驗，樂於發現並接受別的同學的意見。但開放式問題教學也有其缺陷： 1. 較難準備一個有意義的數學情境。 2. 對教師來說較難成功地提出問題。有時學生在理解問題的回答與證明上，出現困難。 3. 一些優秀的學生會對自己的回答產生焦慮。 4. 學生會因為在一些問題回答產生困難時，不滿足自己的學習狀況。當然上述缺陷不是不能克服。在設計教學計畫時，應該首先考慮到如何設計合理的問題？如何在課堂教學中使用這些問題？如何評估學生的活動？在教學活動上要充分發揮開放式教學的優勢，克服有關的缺陷。五、如何建構開放式問題與設計開放式問題教學計畫設計一個好的，合適的開放式問題需要考慮許多因素，經過理論與實際上的探索研究，徐斌艳（2000）建議，應遵循以下規則： 1. 準備一個物理情境，其中包括一些可以觀察數學關係的變量。 2. 把幾何定理的證明做一些改變，例如若 P 則 Q 的證明，改成若 P，在圖形上你可以找到哪些元素間的關係？ 3. 為學生準備一些與幾何定理相關的幾何圖形，然後為他們畫出與所給圖形相似的其他圖形，要求學生推測一個由這些圖形所引起的定理。 4. 為學生展示一個數字序列或數字表格，要求學生去發現一些數學規則。 5. 為學生展示幾個具體例子，並以其中一個例子為主，要求學生列舉具有相同特徵的其它例子。例如多方塊，經過旋轉、對稱等的變化。 6. 為學生提供一組相類似的練習或問題。要求學生解決問題，然後至少在兩個問題間找出共同性質，越多越好。 7. 為學生提供幾個準數學情境，在這些情境中可以觀察特定的差異，要求他們找出測量差異的方法。 8. 為學生提供一個代數存在架構（如群的架構），以及容易收集數字數據的具體例子，然後要求學生找出接近真實的數學規則。在設計開放式問題教學計畫，徐斌艳（2000）也提出以下建議： 1. 確定問題是否合適？（1）這個問題是否有豐富的數學內容？在數學上是否有價值？ 18.

(30) （2）解決問題所需要的數學能力，學生程度是否合適？（3）問題是否具有延伸性，適合在未來數學研究上繼續探索？ 2. 編製教學計畫（1）列出學生對問題可能的答案。（2）說明使用這問題的意圖。（3）設計形成問題的一種方法，使學生更易了解問題的意義或意涵。（4）使問題儘可能吸引學生。參考上述文獻的流程，本研究圓形釘板探索數概念的開放式問題設計流程為：（f）→（k）→（l）→（m）→（g） →（n）→（e）。圓形釘板可以變動釘子數與間隔數，學生因此得到許多數據，學生檢驗原本的假設，如果通過檢驗，尋找類似的例子，產生數學概念。如果沒有通過檢驗，學生須修改假設繼續驗證，產生數學算式。此程序的主要特點如同上述所言，構想可以根據學生思考情形更動，而不是事先決定好的。因此學生所得到的樣式發現，也隨著每個人解題思維的差異而有所不同。而教學計畫參考學者徐斌艳（2000）建議， 1. 為學生準備圓形釘板數學電子軟體，可以任意變動釘板數（軟體設定 2-50）與間隔數，透過自行連接釘子所產生的圖形，要求學生推測一個由這些圖形所引起的定理。（參考：準備一個物理情境，其中包括一些可以觀察數學關係的變量。） 2. 軟體提供文字記錄模式與資料表，協助學生去發現一些數學規則。（參考：為學生展示一個數字序列或數字表格，要求學生去發現一些數學規則。） 3. 為學生展示釘子數 12，間隔數 1 與 2 的兩個具體例子，要求學生列舉具有相同或不同特徵的其它例子，觀察其中的變化。（參考：為學生展示幾個具體例子，並以其中一個例子為主，要求學生列舉具有相同特徵的其它例子。） 4. 圓形釘板裡面蘊含了許多數的概念，而且可以涵蓋從小學到中學不同年級的學習程度。（參考：這個問題是否有豐富的數學內容？解決問題所需要的數學能力，學生程度是否合適？） 5. 列出學生對問題可能的猜測。（參考：列出學生對問題可能的答案。）使用開放式問題教學並不是要推翻傳統教學的方法，而是希望在眾多教學法中，提供一個新的元素，讓學生在數學學習上有更多的刺激，並藉此啟發學生的解題思維。 19.

(31) 第三節數位釘板的探討本節分別就「圓形釘板的數學概念」、「釘板在教學上的應用」與「數位圓形釘板」三方面來探討。一、圓形釘板的數學概念圓形釘板是指在一個圓周上，每一個釘子排列距離為相等弧長，如此所形成一個釘板，稱之為圓形釘板。美國加州帕羅奧多市 Ventura 小學的數學實驗室中，最廣為使用也最成功的活動之一就是釘板模型。他們會用到彩色橡皮筋和釘子，讓學生利用釘子數為 36 或 37 的釘板去發現圖形中，數字不同特性所造成的影響。學生可以製造一些極為吸引人的釘板模型帶回家。（Perl，2004）以下針對圓形釘板所引發的數學概念做探討。首先，先定義名稱並做假設，方便後面的說明。路. 徑：從一開始的釘子，我們稱為起始釘子（數字設定為 0），經過多次間隔，最後又回到起始釘子，這樣稱為完成一次「路徑」。. 繞經的圈數：從一開始的釘子，變化間隔數，每經過起始釘子一次，稱繞經圈數一次。例如：釘子數 12，間隔數 5，0→5→10→‧→3→8→‧→1 →6→11→‧→4→9→‧→2→7→S. 繞經 5 圈. （‧表示經過起始釘子，S 表示回到終點）。我們假設『釘子數為 a ，間隔數為 b ，路徑數為 c ，路徑上的點數為 d ，繞經的圈數為 e 』。（一）圖形的變化開啟一個釘子數為 12 的釘板，變化間隔數從 1 到 11，觀察圖形的變化，我們可以發現： 1. 當間隔數為 1 與 11 時，圖形為一多邊形。 2. 當釘子數不能被間隔數（除了間隔數 1 與 11）整除時，圖形為星形。 3. 當兩個間隔數的和為釘子數時，所產生的圖形是相同的。 4. 間隔數和圓形大小之間的關聯。選擇的間隔數越大，勾出的圓形就會越小，反之亦然。. 20.

(32) 從圓形釘板的操作，學生可以觀察到圖形的變化，並發現許多現象。研究者在介紹多邊形課程時，曾提出七角星形要如何畫出來，多半學生無法馬上回答。如果能透過這樣的圖形觀察與實際操作，相信多角星形的畫法對學生都可以迎刃而解。（二）因數與倍數、互質、最大公因數開啟一個釘子數為 12 的釘板，變化間隔數從 1 到 11，觀察圖形的變化，我們可以發現： 1. 當繞經圈數為 1，表示該間隔數為釘子數的因數，釘子數為間隔數的倍數。 2. 當繞經圈數不為 1，表示該間隔數不為釘子數的因數。 3. 當繞經圈數不為 1，且與間隔數相等，即路徑數為 1，表示釘子數與間隔數互質。（ ( a, b) = 1 = c ）. 4. 當繞經圈數不為 1 ，且與間隔數不相等，即路徑數不為 1 ，表示釘子數與間隔數的最大公因數為路徑數。（ ( a, b) = c ）（三）檢驗質數開啟一個釘子數為 13 的釘板，變化間隔數從 1 到 12 ，觀察路徑的變化，我們可以發現：間隔數從 1 到 12 的路徑數均為 1 ，表示該釘子數為質數。（四）短除法開啟一個釘子數為 12 的釘板，變化間隔數從 1 到 12 ，觀察圖形的變化，我們可以發現：釘子數、間隔數、路徑數、路徑上點數、繞經圈數有一定關連。路徑數 ). 釘子數路徑上的點數. 間隔數. c) a b. 繞經的圈數. d e. 21.

(33) （五）同餘類開啟一個釘子數為 12 的釘板，間隔數為 3，觀察路徑的變化，我們可以發現：如果間隔數是釘子數的因數，則每一條路徑上的點，構成一個同餘類。觀察： 1: 0 → 3 → 6 → 9 → S. 繞經 1 圈. 2: 1 → 4 → 7 → 10 → S 繞經 1 圈 3: 2 → 5 → 8 → 11 → S 繞經 1 圈三條路徑上的點除以 3 ，餘數均相同，我們發現同餘的概念。（六）其他的概念發現. 1. 釘子數＝路徑數×路徑上的點數（ a = c × d ）。 2. 間隔數＝路徑數×繞經的圈數（ b = c × e ）。 3. 釘子數×繞經的圈數＝間隔數×路徑上的點數（ a × e = b × d ）。 4. 正比與反比的概念。 5. 釘子數與間隔數的最小公倍數＝路徑數、路徑上的點數與繞經圈數的最小公倍數（ [ a, b] = [ c, d , e ] ）。（七）圓形釘板布題. 1. 製作一個擁有一條路徑和三個繞經圈數的星形。 2. 製作一個擁有四條路徑，每條路徑有五個繞經圈數的星形。圓形釘板是一個很優良的數學教材，裡面蘊含了許多數的概念，而且可以涵蓋從小學到中學不同年級的學習程度，只要教師設計合適的學習活動，學生一定能夠從中探索許多數學概念。但普遍存在的問題是，一般圓形釘板的實體教具在課堂中使用與收拾不便，且無法隨時更換釘子數的多寡，釘板太小，教師解說也不易。因此，本研究採用圓形釘板數學電子軟體為輔具探索數概念，設計開放式問題教學活動，以觀察學生的解題表現。二、釘板在教學上的應用釘板是小學數學課常用的教具之一。在教授三角形的一些類型時，教師們都喜歡使用釘板，讓學生以橡皮圈在釘板上圍出各種大小不同的直角三角形、等腰三角形和不規則三角形。這種類型的釘板，幾乎都是以上下左右間隔相等的釘子排列，不僅可以針對三角形教學，對於一些四邊形或是其他的幾何圖形均可以使用此釘板教學，讓學生透過實際操作、探索、嘗試錯誤的. 22.

(34) 學習中，慢慢建立數學的幾何的概念。在 NCTM 的網站上我們可以找到許多從幼稚園到十二年級釘板的教學應用，整理如下表 2-3-1 ：表 2-3-1 NCTM 從「幼稚園到十二年級」釘板的教學應用階段幼稚園到二年級. 教學目標. 教學應用. 1. 使用釘板說明說明 1. 認識三角形與正方形：三角面積、周長與有理數. 形著綠色，正方形著黃色。. 的概念。. 2. 使用釘板說明立體圖形。. 三年級到十二級. 1. 使用長方形排列的 1. 做一個三角形只接觸 5 根釘釘板，認識坐標系. 子，並量測周長與面積。. 統。. 2. 使用釘板配合等量的概念說明立體圖形。. 3. 使用長方形排列的釘板，認識坐標系統。. 4. 使用釘板配合等量 2. 利用圓形排列釘板製作 30 的概念說明立體圖. 度角與 52.5 度角與 105 度. 形。. 角。. 23.

(35) 早期的釘板教學都是利用實體教具，教師先將大型釘板移至教室中，上課時配合課程內容加以應用說明，學生則發給小型釘板與數條橡皮筋或繩索，讓學生在課堂中實際操作，課後再一一回收教具，以便下次教學時使用。釘板實體教具的使用上諸多不便，使用釘板時，一個活動完成之後必須將釘板上的橡皮筋或繩索卸除，才能進行下一個活動，並且活動的設計也受限於釘板的實際大小。這些問題都或多或少影響教學活動的進行，浪費寶貴的學習時光。如今資訊科技發達，是否可以利用科技改良我們的教具？是否可以藉由科技的幫助，使我們的教具更便於使用？可不可以讓新的教具更有彈性足以解決更多的問題？可不可以有「一次設計」而能常常「方便使用」的教具呢？我們在 NCTM 的網站上看到了虛擬教具的發展，透過軟體設計，讓釘板教學更加豐富，教師省去了教具的製作與設計時間，讓教師更專注於教學內容的豐富與深入。三、數位圓形釘板在學習因數倍數時，國外經常使用到兩種圓形的釘板，一般是在正方形的木板上畫一個大圓，通常是將 36 及 37 支鐵釘等距離的釘在圓周上（ 36 and ，學生以繩索在釘子上等間距的纏繞，不同的間距將產 37 circular geoboards ）生不同的幾何圖形，再藉由觀察每一圈纏繞的釘子數可以發現一些有趣的因數倍數潛藏在其中。36 是合成數，37 是質數，用這兩個釘板來探索因數倍數。如圖 2-3-1 。的關係是一個趣味性十足又頗有深度的教學活動（ Perl，2004 ）. 圖 2-3-1 36 與 37 釘板在 On-Math Volume3, Number1, Fall 2004 有一篇釘板教學「 Discovering ，教學對象是七年級的學生，在一般的數學課堂 Stars & Building Star Boards 」上，作者設計星形的學習單，讓學生透過在圓形釘板上的以不同的釘子數，不同的間隔數，在連接過程中去發現其中樣式的關連性，藉此建立一些數學 24.

(36) 的概念，並實際完成學生個人獨特的星形釘板。學生在整個活動過程中，可以學習到多邊形、正多邊形、內接多邊形、五邊形以及六邊形的幾何的部分，在數的概念上，因為所有釘板上的點都要全部連結，且間隔數不同模組也需要連結，學生學習到「路徑」的概念，並從活動過程中，體驗問題解決的方法與同儕之間的互動（ Stegemoller, Stegemoller & Willett, 2004 ）。. Lavy （ 2004 ， 2006 ）利用 MWPB （ MicroWorld Project Builder ）的電腦環境—使用 Logo-based 語言，針對兩位七年級的學生，在課後探索數學（針與線）的問題。使用的程式軟體一樣是產生類似圓形釘板的環境。學生輸入. n 與 k，軟體會呈現 n 個頂點，每隔 k 個間隔依序連線，一直到所有頂點都連線完成。兩位七年級的學生反覆的操作不同的輸入值，以便探索其中數學的樣式。研究者以電腦化環境結合合作學習的方式針對兩位學生探索的過程中，應用質性分析，分析學生推理論證的過程。研究結果顯示，兩位學生透過螢幕所呈現星形與正多邊形做討論，彼此在探索中的討論與爭辯中，呈現出基本論證的概念，研究者將其區分成四種類型：basic、compund、elaborated 以及 general presented-as-specific，並以此作為數學證明之前的基礎論證研究。國內很少見到老師們使用這種圓形釘板來教學，而不常使用的原因應是這個活動有一些先天性的限制：. 1. 釘板太小，不適合全班共同觀看討論。 2. 釘子的數目受限制，想要使用不同數目的釘子時，就必須製造一片該數目的釘板。. 3. 以繩索纏繞帶來操作不便和拆卸費時。 4. 每一次都要拆卸繩索之後才能進行下一個活動，很難比較先後圖形的差別，除非有許多相同的釘板。因此本研究將資訊科技融入進來，以軟體實作一個圓形電子釘板，預期達到的是：. 1. 搭配單槍投影機，釘板可以很大，適合課堂討論。 2. 釘子數可以自由設定，不會侷限在某一個數目。 3. 以滑鼠代替繩索，輕輕點擊就可操作，可以快速清除。 4. 可以繪製出許多釘板，使得操作的結果得以保留，有利於比較多次操作的異同。依據開放式問題教學模式設計數概念的探索活動，觀察國中學生在此教學模式下所產生的解題想法，並瞭解不同年級的國中學生，接受相同的教學活動，解題表現是否有差異？. 25.

(37) 第三章研究設計本研究基於研究目的以及考量方法論的適切性，採取行動研究方法進行研究。研究者設計一圓形釘板探索數概念的開放式問題教學活動，本章針對相關活動設計與研究方法進行探討，全章分成四節。第一節為研究方法與研究流程，第二節為研究對象，第三節為研究工具，第四節為資料分析。. 第一節研究方法與研究流程本研究採行動研究的方式，使用圓形釘板進行數概念的探索，配合開放式問題的教學模式，藉以了解學生解題思維的形成。教育行動研究是一個繼續不斷反省的歷程，每一個循環歷程均可能包括瞭解和分析一個須加以改善的問題、有系統地研擬行動方案策略、執行行動方案策略並檢視其成效及進一步澄清所產生的新問題或新工作情境，接著便進入下一個行動反省循環（蔡清田，2000 ）。行動研究具有的批判理論精神，提供「教師即研究者」實踐的基礎與原則，其研究模式為計劃、行動、觀察、反省不斷循環的探究過程（王振興， 1997 ）。依此原則，本研究架構如圖 3-1-1 所示，重視教學活動實施時之即時問題及反思後的回饋，立即修正調整出較合適之教學活動。. 訂定教學目標. 設計教學活動修正. 實施與觀察. 反思圖 3-1-1 研究架構. 26.

(38) 研究對象為台北縣某私立完全中學國中部國一與國二學生各一班。國一與國二學生均已學過因數、倍數、質數、互質、最大公因數、最小公倍數、正比、反比與短除法等概念，但同餘概念為高一的課程內容，故本研究對象多未學習過此概念。分組依據為學生的上學期數學成績，分組方式採異質性分組，每組 5-6 人，每班均分成十組。兩班所使用的軟體與實施的教學內容均相同。2009 年 5 月 1 日，兩班學生第一次填寫「數學學習問卷」（見附件一），於 2009 年 5 月 5 日，國一學生實施教學活動， 2009 年 5 月 6 日，國二學生實施教學活動。2009 年 5 月 11 日，兩班學生第二次填寫相同的「數學學習問卷」。在教學活動中，研究者兼具教師的角色，主要引導教學活動的進行，當學生遇到數學概念相關問題，以開放式的問答協助學生觀念釐清並進一步探索，若有學生發生電腦操作上的問題，無力解決時，才會給予適時的指引。並商請兩位數學老師（李老師，陳老師）擔任觀察者，於教學活動進行期間，協同觀察記錄。教學設計與學習單（見附件二）。第一堂課，由研究者先行說明軟體使用與操作方式，確認學生操作無礙後，發下學習單，讓學生自行探索學習；第二堂課分組討論與報告，學生為教學活動的主角，研究者僅作總結或對於錯誤的概念或結果，加以修正。教學活動進行同時，架設ＤＶ攝影機拍攝教學過程。國一學生教學活動實施後，研究者依據學生學習狀況調整教學活動之設計，以作為國二學生教學實施之依據。兩次教學活動結束後，蒐集教學活動的學習單予以整理分析，加上研究者在教學活動中的觀察與兩位觀察者的紀錄，俾以評估教學設計的可行性。詳細流程圖如圖 3-1-2 。. 27.

(39) 形成研究問題準備預試階段. 蒐集相關資料. 確定研究主題. 確定研究工具. 圓形釘板數學電子軟體如下方註. 選定研究對象. 以上學期數學成績進行分組. 國一學生. 開放式問題教學設計. 國二學生. 正式實施階段. 數學學習問卷. 數學學習問卷. 結果分析階段. 資料分析. 撰寫研究結果並完成論文. 圖 3-1-2 研究流程圖註：研究工具包含軟體、活動設計、問卷、學習單. 28.

(40) 第二節研究對象本研究選取台北縣某私立完全中學國中部「國一」與「國二」學生各一班為教學活動實施的研究對象。該校採取常態男女合班的模式教學，且該校為完全中學，因此國中部上課時間配合高中部上課時間，每節課為五十分鐘，每節下課十分鐘。該校位於市中心，且為私立完全中學，學生家長社經背景普遍較佳，學生入學條件參酌小學成績優異者優先，超過入學名額時，採抽籤選取。因此學生入學時程度普遍優於當地一般公立國中同年級學生。有效樣本的選取，排除當天請假學生，各班人數與有效受測學生人數，如表 3-2-1。表 3-2-1 研究樣本人數統計表年級. 人數（男生，女生）. 有效樣本（男生，女生）. 國一. （ 28 ， 24 ）. （ 28 ， 24 ）. 國二. （ 25 ， 27 ）. （ 25 ， 27 ）. 合計. （ 53 ， 51 ）. （ 53 ， 51 ）. 擔任本研究教學活動的教師即為研究者本人，具有十三年的數學科教學經驗，對於電腦輔助教學有較深入的研究與興趣，國一與國二兩班都是同一位教師進行教學活動，且兩班均為研究者任教班級，學生對於施教者不陌生。本研究使用圓形釘板數學電子軟體，學生於電腦自行操作前均接受教師教學指引，按部就班的熟悉數學電子軟體的操作方式。. 29.

(41) 第三節研究工具一、數學學習問卷（見附件一）（一）目的本問卷目的在於了解學生對於數學學習上的看法與感想。實施問卷時間為開放式問題教學活動前、後，且問卷內容一致，藉以了解學生在活動前後的態度變化情形。（二）預試「數學學習問卷」請國一與國二學生各一位（非參與活動學生）先行填寫問卷內容，確認問題清楚，沒有語意不清的情形且適合國中學生閱讀。（三）內容「數學學習問卷」共有 13 個問題，主要分成四個面向。第一是對數學的感受，第二是對數學解題的看法，第三是對數學學習的看法，最後是上數學課的想法。（四）分析待蒐集到學生問卷後，以 SPSS 12.0 統計軟體進行 Cronbach Alpha 係數分析來檢定問卷信度。二、圓形釘板數學電子軟體（一）「圓形釘板」數學電子軟體的選用「圓形釘板」數學電子軟體為張世明老師藉由軟體 Flash MX 2004 設計開發，研究者在確定研究方向後與張世明老師洽詢並得到應允與授權使用「圓形釘板」數學電子軟體，進行相關數概念的教學探索活動。為了評估此軟體，張老師針對此數學教學軟體的使用及概念呈現，經過多位使用後的老師建議對該軟體已做了修正。（二）軟體介面與使用說明本軟體介面與使用說明分成四部分，第一部份是主畫面；第二部份是釘板，區分為學生版與教師版；第三部份是文字版面；第四部份是視窗版面。. 1. 主畫面（如圖 3-3-1 ）：只有一個調整器和兩個按鈕。. 30.