因數與倍數概念研究

壹、現行國小因數與倍數概念教材分析

因數與倍數概念在教育部所公布 92 年及 97 年「九年一貫課程綱要」

中，均歸屬數學學習領域之「數與量」主題。由表 2-2-1 及表 2-2-2 所見，

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92 課綱與 97 課綱雖年級階段分法不同，但因數與倍數相關概念能力指標 與分年細目內容雷同，只是 97 課綱將 92 課綱部分分年細目加以細分，最 大變革在於 92 課綱在國小因數與倍數概念學習時，僅以列表法舉出因數、

倍數、公因數及公倍數，而 97 課綱將使用短除法做質因數分解的教學由 國中移至國小六年級，期使學生提前能以正確而快速的方法解題；另外可 見， 92 課綱於六年級方讓學生理解最大公因數及最小公倍數概念，但 97 課綱於五年級便指導學生認識最大公因數與最小公倍數。

各版本現行國小數學領域教科書依課綱編排，均將因數與倍數相關單 元安排於五上第九冊及六上第十一冊教學，但對因數與倍數概念的詮釋過 程稍有不同。南一版和康軒版由除法觀點引入，判斷除數是被除數的因數；

翰林版先教倍數，再由乘法觀點引入，判斷乘數是積的因數。另外，有關 理解倍數的規律部分，康軒版及翰林版均在五上教學，南一版則在六上才 進行教學。

本研究對象為 101 學年度五年級學童，所使用數學領域教科書乃依據 92 年版國民中小學九年一貫課程綱要編寫，因此現行因數與倍數概念教材 內容可區分為因數、倍數、公因數與公倍數四個主題。教材中之因數問題，

由總量為問題起點，利用除法觀點，在情境問題中探討可能組成的單位量，

來引入因數概念。倍數的意義則因生活中有關倍的語言與經驗足夠，因此 透過乘法算式直接引入相關概念，要求學童判斷某數是否為另一數之倍數，

並求出某一範圍內所有倍數。公因數概念之引入，係透過探討兩總量之相 同組成單位量的方式進行。公倍數概念教材，乃要求學童各別求出兩數在 一界定範圍內的倍數，再由兩數相同的倍數之比較活動引入。

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貳、因數與倍數相關研究

因數與倍數概念是較為抽象的概念，學童學習時經常產生學習困難與 迷思概念。因數與倍數相關研究，國外學者如 Edwards (1987)、 Ewbank (1987)、 Graviss & Greaver (1992)、 Lamb & Hutcherson(1984)、 Olson (1991)，大多以國中學生為研究對象(李慶祥，2013；黃培甄、葉啟村，2005)；

惟 Orhun(2002)以國小六年級學童為對象，分析其因數與倍數解題策略，

結果發現學童最主要的困難，在於對文字理解與符號形式之轉譯產生障礙，

因此無法了解題意。另有 Bassarear (1997)及 Kennedy, Tipps & Johnson (2004) 針 對 因 數 與 倍 數 教 材 的 編 製 加 以 研 究 ， 前 者 提 出 維 恩 圖 (Venn diagram )，利用交集聯集圖形來協助學童，理解最大公因數及最小公倍數 概念，後者使用因數樹(factor tree)之樹狀圖結構，釐清學生因數概念(引自 周素萍，2011)。

而國內因數與倍數概念研究報告，大部分以國小階段之學生或課程為 研究對象，而其研究主題可分為，探究學生因數與倍數學習障礙癥結，及 因數與倍數教學應用兩大主軸。

有關探究學生因數與倍數學習障礙癥結之相關研究為數頗多，主要利 用自編試題施測結果，或觀察學生解題歷程，歸納提出學生之因數倍數概 念錯誤類型及迷失概念，並推論其原因。林原宏、何欣玫(2005)分析國小 六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力，將學生因數與倍數概念錯誤 類型分為語言概念錯誤、認知概念錯誤、策略概念錯誤、個人態度錯誤。

劉伊祝(2009)曾歸納不少國內學者的研究，提出學童在因數與倍數單元常 見之錯誤情形及原因，包含：(1)在因數、倍數、公因數、公倍數的計算過 程中，發生遺漏的錯誤，尤其是1或本身、(2)對於因數、倍數、公因數、

公倍數的概念認知錯誤連結或互相混淆，導致使用錯誤的解題策略、(3) 因新舊經驗的連結不當、題意認知不清、粗心等而造成計算錯誤、(4)缺乏

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閱讀能力，造成文字應用題錯誤解讀，而影響解題。近年則有許多研究，

嘗試建構學生因數與倍數概念詮釋結構模式，企圖找出影響學生因數與倍 數學習成就之因素。

有關因數與倍數教學應用方面之研究，包含因數與倍數之教材、教法 及評量等，主題涵蓋不同版本教科書比較、資訊融入因數與倍數教學與評 量、補救教學等，俱希望教師運用合適的教材及試題，或使用創新的教學 策略，有效的幫助學生突破因數與倍數學習瓶頸。

參、直覺法則與因數倍數概念學習關聯性之研究

有關直覺法則與因數倍數概念學習關聯性之研究逐漸受重視，可見 於：Zazkis(1999)提出「學生認為較大的數有較多個因數」此直覺法則特例，

以及林珮如(2002)依據 Mayer 及 Brainbridge 解題理論和直觀法則理論自編 因數迷思概念診斷工具，探討學童因數問題的迷思概念、解題策略及可能 成因，結果發現學童會存在數字越大因數會越多的直覺想法、或直覺以為 質數就是奇數。另外，周文忠(2002)研究發現十種國小高年級學童學習因 數與倍數產生之迷思概念，其中「直觀法則」被列為第六種。林原宏、何 欣玫(2005)分析國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力，其中「直 觀法則」被列舉為認知概念錯誤之一。汪端正(2008)以國小六年級質數與 合數單元為例，研發適性診斷測驗與數位個別指導教材時，從認知運思能 力、先備知識、生活經驗、語意理解、過程概念、教材內容及直覺法則理 論等七方面，來探討學生在質數與合數概念上的學習瓶頸。陳渝(2011)針 對低成就學生進行因數與倍數補救教學研究，發現透過補救教學活動，可 減少個案學童「直觀法則與關鍵字解題」發生的情況。林嘉憲(2012) 以因 數與倍數為例，進行屏東地區國小五年級數學解題歷程及策略之分析研究，

發現中、低數學能力學生執行解題，大致上只有閱讀題目、問題分析兩階 段，但出現困難時，常憑直覺套用題目中的數字表徵來猜測解題方向或答

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案，因此無法作出有效的解題計畫。蔡彩暖、林原宏、易正明(2012) 進行 學童比較型問題直覺法則與因數概念關聯性探討之行動研究，發現其研究 對象中，存在「數字越大因數會越多」概念的學生，即是慣用「 More A- More B」法則的學生。

綜合上述，直覺法則確有其影響因數倍數概念學習之情形發生，而尤 以因數個數比較問題中，呈現之「 More A- More B」直覺法則較為明顯。

另外，邱慧珍(2002)研究中雖未提及直覺法則之影響，但發現學童有認為 兩個整數中較小者有較多的倍數之情形，同時也發現另有部分學童認為兩 個整數中較大者有較多的倍數，後者狀況符合「More A- More B」直覺法 則之定義，但前者是否可稱為使用直覺法則之特例尚待進一步研究。