五年級學童數學直覺法則與因數倍數概念關聯性探討

(1)

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：林原宏博士易正明博士

五年級學童數學直覺法則與因數倍數

概念關聯性探討

研究生：蔡彩暖撰

中華民國一百零三年一月

(2)

謝誌

畢業後二十年，帶著離青春太遠的猶豫回到母校就讀研究所，白髮註解了這兩年人生騷動的煎熬，但一再出現的貴人，成就了我獲得碩士學位的喜悅。誠摯感謝指導教授易正明博士與林原宏博士，他們於百忙之中，給予鼓勵與鞭策，使論文得以完成，師恩之情，永誌難忘。感謝三位口試委員鄭景俗教授、陳創義教授、張其棟教授，對論文提出精闢的建議，使整篇論文更顯周延。研究所諸位師長的指導及學長姐、同學之友誼，將銘記在心，特別是與麗貞再續大學同窗共硯之情，令我感激莫名，而嘉鴻對資料的分析提供了寶貴的意見，令我由衷感謝。花壇國小一群好夥伴的關懷、體諒，與施測過程中，各校參與班級導師及學生的配合，亦深表謝忱。這輩子令我最驕傲的，就是生命中總有貴人相助，心中的感激，言語實不能表達於萬一，只能虔誠祈求上天，賜福於所有關心我、幫助我的人。最後，謹將此篇論文，獻給我摯愛的家人，尤其是親愛的爸媽！蔡彩暖謹誌 2014.01

(3)

I

摘要

本研究旨在了解五年級學童使用數學直覺法則以及因數與倍數概念學習之情況，並探究受試者在此二方面表現的相關性，且進一步利用模糊集群(fuzzy clustering)加以分群，呈現各集群使用數學直覺法則特徵，同時比較他們在因數與倍數概念學習表現之差異。所探討之直覺法則包括「More A─More B 法則」、「Same A─Same B 法則」、「有限細分法則」、「無限細分法則」、「習慣化法則」及在因數與倍數個數比較問題時使用的「數字越大因數越多」、「數字越大倍數越多」直覺法則想法。研究結果摘要如下: 一、在因數個數比較問題中，學生答題經常使用「More A- More B」直覺法則，而選擇「數字越大因數越多」。在倍數個數比較問題中，學童存在「數字越小倍數越多」直覺想法之比率，高出選擇「數字越大倍數越多」直覺法則之比率。因此研究者提出新的直覺法則「More A- Less B」，可提供日後研究者參考。

二、使用「More A─ More B 法則」和「習慣化法則」均與各因數與倍數概念表現呈現負相關。使用「Same A─ Same B 法則」與因數、公因數和公倍數概念表現呈現正相關。使用「有限細分法則」與倍數、公因數、公倍數概念表現呈現負相關。使用「無限細分法則」與倍數、公因數、公倍數概念表現呈現正相關。三、藉由模糊集群分析，將學童依直覺法則表現分為三群。各群學生因數與倍數概念表現有所不同，而性別顯著差異僅出現在第一群的女生於因數概念的表現優於男生。本研究結果期能幫助教師，了解學童使用直覺法則及因數與倍數概念學習之相關情形，必要時施行適當的分組與補救教學，並提供未來進階研究之參考。 關鍵字：直覺法則、因數與倍數概念、模糊集群

(4)

II

Abstract

This study aims to investigate the intuitive rules usages about mathematics problems and their correlations with the performance of concepts of factor and multiple for fifth graders. Furthermore, fuzzy clustering is adopted to classify all students in order to analyze the respective intuitive rule usages and compare the differences on performance of concepts of factor and multiple among groups. The results are shown as follow:

1. Students’ belief that a larger number has more factors is revealed. It’s an example of application of the "More A-More B" intuitive rule. However, students tend to believe that a smaller number has more multiples. This result seems to support to the existence of the new "More A-Less B" intuitive rule.

2. The correlations between the intuitive rules usages and the performance of concepts of factor and multiple vary. "More A-More B" and "Habituation" have negative correlation with "factor", "multiple" ,"common factor" and "common multiple". "Same A-Same B" has positive correlation with "factor", "common factor" and "common multiple". "Everything comes to an end" has negative correlation with "multiple", "common factor" and "common multiple", but "Everything can be divided " has positive correlation with them.

3. According to the results of clustering, three clusters display their characteristics on intuitive rule usages. Each cluster has its own performance of concepts of factor and multiple.

The findings of this study could be as references for remedial instruction and curriculum design. And suggestions for future research are provided.

(5)

III

第一章緒論 ... 1 第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 3 第三節名詞釋義 ... 4 第二章文獻探討 ... 7 第一節直覺法則的意義及相關研究 ... 7 第二節因數與倍數概念研究 ... ... 14 第三節模糊集群之理論與應用... ... 19 第三章研究方法 ... 27 第一節研究架構及流程 ... 27 第二節研究對象 ... 29 第三節研究工具 ... 30 第四節資料處理及分析 ... 40 第四章研究結果與討論 ... 43 第一節施測結果描述性分析 ... 43 第二節直覺法則相關分析結果 ... 50 第三節因數與倍數概念相關分析結果 ... 55 第四節模糊集群分析結果 ... 57 第五節直覺法則與因數倍數概念之相關分析 ... 63 第五章結論與建議 ... 67 第一節結論 ... 67 第二節建議 ... 71 參考文獻 ... 75 一、中文部分 ... 75

(6)

IV

二、英文部分 ... 80

附錄... 84

附錄一數學直覺法則試卷 ... ... 84

(7)

V

表次

表 2-2-1 92 年版及 97 年版九年一貫課程綱要國小因數與倍數相關概念能力指標 ... 16 表 2-2-2 92 年版及 97 年版九年一貫課程綱要國小因數與倍數相關概念分年細目 ……... 16 表 3-2-1 正式施測人數統計表 ... 30 表 3-3-1 數學直覺法則題號、類別及人數比例 ... 31 表 3-3-2 預試試卷試題變更一覽表 ... 33 表 3-3-3 直覺法則試卷欲測試之直覺法則及對應之正式施測題目….... 33 表 3-3-4 因數與倍數概念試卷雙向細目表 ... 37 表 3-3-5 因數倍數概念測驗試題各題難度、鑑別度及與總分相關情形 ……….…………. 39 表 4-1-1 數學直覺法則正式施測使用比率一覽表 ... 44 表 4-1-2 因數倍數概念正式施測通過率與 Pearson 相關係數一覽表..…44 表 4-1-3 數學直覺法則試題使用直覺法則人數及比率 ... 47 表 4-1-4 因數倍數概念試題得分之人數及比率... 49 表 4-2-1 直覺法則各題之男女平均使用率及差異表現 ... 50 表 4-2-2 直覺法則之男女平均使用情形及差異表現 ... 52 表 4-2-3 直覺法則間相關情形 ... 52 表 4-3-1 因數與倍數概念各題之男女平均答對率及差異比較 ... 55 表 4-3-2 因數與倍數概念之男女平均答對率及差異比較 ... 56 表 4-4-1 模糊集群分析結果 ... 57 表 4-4-2 各群組男女生人數分布與使用直覺法則情況計分 ... 58 表 4-4-3 各群組男女生人數分布與因數倍數概念平均得分... 59 表 4-4-4 各群組之使用直覺法則男女生平均計分與獨立樣本 t 檢定…. 61

(8)

VI

表 4-4-5 各群組之因數倍數概念男女生平均得分與獨立樣本 t 檢定... 62 表 4-5-1 全體學生直覺法則與因數倍數概念相關分析 ...,,... 63 表 4-5-2 各群組學生直覺法則與因數倍數概念相關分析 ... 65

(9)

VII

圖次

圖 2-1-1 「More A- More B」法則舉例... 10 圖 3-1-1 研究架構圖 ... 27 圖 3-1-2 研究流程圖 ... 28 圖 4-2-1 各直覺法則間之關係圖 ... 54 圖 4-4-1 各群組直覺法則平均使用情況 ... 58 圖 4-4-2 各群組因數與倍數概念平均得分 ... 60

(10)

(11)

1

第一章緒論

本研究以五年級學童為對象，進行數學直覺法則試題與因數倍數概念試題施測，據以了解學童使用直覺法則情形，及其因數與倍數概念學習之表現，並探究二者相關性與不同性別差異性。此外，更進一步利用模糊集群(fuzzy clustering)加以分群，呈現各群學童直覺法則使用特徵，且探討他們因數與倍數概念學習表現之差異。研究結果期能幫助教師，深入了解學童之直覺法則使用及因數與倍數概念學習狀況，必要時施行適當的分組與補救教學。本章以研究動機、研究目的及名詞釋義三節分述。

第一節研究動機

直覺(intuition)亦稱為直觀，我們常用直覺來表達自己的想法，因此直覺是人類對生活中各種事項提出決策的重要依據。直覺思維的認知，雖然產生立即可得的資訊，可能帶來正確的判斷，成為重要發明、發現的創見，但直覺也常造成誤導，使人歸納出根本不存在的規律，而判斷失準，無法真正解決問題。早期教會神學主導的數理科學理論，便是以其直覺想法解釋日常所見現象，但數理科學史正式揭開序幕，是在於大力提倡觀察和實驗，而發現直覺並非完全可靠，有時必須依靠證明，才能反映數理科學的本來面目。在教學過程中，教師可發現，學童的反應常依賴其直覺所認識的世界，而無法體現數理的邏輯思維，就如他們直覺得認識自然數和 0 等有理數，無法理解不能循環的無限小數。學童許多課室中的直覺反應，是具有其普遍性和共通性的，值得教師深入了解。Stavy, Tirosh, Tsamir & Ronen (1996) 針對學童解題時類似的直覺反應找出其規律性，歸類出四種直覺法則(the Intuitive Rules )，分別為「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「有限細分( Everything comes to an end )」和「無限細分( Everything can be divided)」。Stavy & Tirosh (2000)認為直覺法則具有很強的推測力，亦即可

(12)

2

根據問題的外在特徵，用直覺法則來預測學生的答案。紀宗秀(2005) 認為教學者基於直覺法則觀點，可以了解學生思考過程，進而改善教學方式，增進學生學習成效。Tsamir(2006)認為讓師資生接觸直覺法則是重要的，若能精通直覺法則，則可成為一種提升他們數學解題上的學科專業知識 (subject matter knowledge, SMK)，以及學科教學知識 (pedagogical content knowledge, PCK)之工具。由上可知，直覺法則對教學之重要性可見一斑，但前述四類直覺法則理論，並無法全面詮釋學生錯誤答題之直覺反應運作類型，因此其後陸續有文獻嘗試找出其他直覺法則類型。雖然，此些後續提出之直覺法則，仍待未來各方研究者加以檢視，但利用直覺法則來分析學童思考過程，對於教師教學及學生的學習確實有很大的助益(楊美惠，2002)。紀宗秀(2005) 認為學童在進入教室學習某個概念前，就已經擁有個人的直覺想法，教學者在教學前如果能夠考慮到學童的直覺想法，將有助於學童產生有意義的學習過程。因此，研究者試圖利用數學直覺法則問題，了解學童受直覺法則影響的具體情況，以做為將來教學之參考。但在諸多研究的限制下，本研究無法一一檢視新的直覺法則，且研究者認為直覺法則本來就無必要，也不可能涵蓋所有學生答題類型，故篩選欲探究之直覺法則。本研究僅就 Stavy et al. (1996)原創之四種直覺法則，加上謝展文(2000)提出之「習慣化法則」，共五類型直覺法則進行探究其相關及性別差異性。至於國小學童在數學科因數與倍數概念的學習上，是否受直覺法則影響，亦為研究者所關注，因為依研究者教學經驗，發現國小學童的因數倍數概念表現並不理想，常造成五年級學童數學成績低落而導致喪失數學科學習興趣。而因數與倍數概念的學習，是學習等值分數、分數加減、分數乘除、比例等概念有關的基礎，具重要地位，雖則探究因數與倍數學習問題的相關研究頗多，但在因數與倍數學習過程中，學童是否某些觀念受直覺法則影響，而造成錯誤的答題模式，此關聯性之研究卻是鮮少，僅見於

(13)

3 Zazkis(1999)研究提出「學生認為較大的數有較多個因數」此種直覺法則的特例，以及數篇以因數與倍數學習為主之研究中，簡單提及學生受直覺法則之影響。因此，本研究想了解學童存在「數字越大因數越多」直覺想法之普遍性，同時想探究學童是否也存在「數字越大倍數越多」之直覺想法，且意欲進一步探究此兩種因數與倍數個數比較問題直覺想法，與其他五類直覺法則及學童因數倍數概念表現之關聯性。陳嘉甄、陳慶彥(2009)認為，就認知發展的觀點，認知具有個別差異性，但也會有群體共同性，因此主張快速得到學生錯誤概念的組型，自群體的類別傾向得到某些意義，以提供教師補救教學時的初步分類依據，或日常教學分組參考。本研究考量到學童思考邏輯個別化及群體性，對直覺法則使用情形應具其特殊組型，因此透過模糊集群進行分群，相信能歸類出最佳群組，以進一步探究各群組使用直覺法則之共同特徵，且能深入瞭解各群組因數與倍數概念表現之差異性。藉由研究結果，期能展現學生受數學直覺法則影響的具體情況，及其與抽象之因數與倍數概念學習間的關聯性，提供教師做為未來進行數學教學之參考。

第二節研究目的

本研究以「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「有限細分」、「無限細分」及「習慣化」五種直覺法則為基礎，穿插因數及倍數個數比較問題，編製「數學直覺法則試卷」，探討五年級學童使用數學直覺法則之表現，相關性及不同性別表現之差異性，並了解因數與倍數的個數比較問題中，學童是否存在「數字越大因數越多」或「數字越大倍數越多」概念，或是依循其他規律作答，造成類似之迷思概念；此外，再利用模糊集群方法，呈現數學直覺法則試卷中各群學童直覺法則使用特徵。同時，本研究編製另一份「因數倍數概念測驗試題」，用來了解五年級學童在因數與倍數概念學習之表現，並分析依數學直覺法則進行分群學童在因數與倍數概

(14)

4 念表現情形。具體研究目的如下：（一）分析學童解答數學問題時受直覺法則影響情況，及其因數與倍數概念學習之表現。（二）探究學童回答因數與倍數個數比較問題時，隨從「數字越大因數越多」直覺概念之普遍性，以及是否存在「數字越大倍數越多」直覺概念？

（三）探討學童在「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「有限細分」、「無限細分」及「習慣化」五種數學直覺法則、因數與倍數個數比較直覺反應及因數與倍數概念表現彼此之關聯性。（四）探討不同性別學童，在數學直覺法則及因數與倍數概念學習表現是否有差異。（五）分析學童使用直覺法則的分群結果及各群特徵。（六）探討依直覺法則分群之不同群組間，因數與倍數概念測驗表現之差異。

第三節名詞釋義

為使本研究重要名詞界定明確，以便進行研究結果的分析討論，茲釐清本研究中重要名詞如下：

壹、直覺

直覺亦稱為直觀，它是一種不需透過繁複思考過程，亦不需正式嚴謹證明程序所產生的認知型態(cognition style) (Fischbein , 1987)。

貳、直覺法則

直覺法則是可以解釋和預測學童在數學及科學某些類別問題上，基於直覺觀點產生之共通反應模式的理論。Stavy et al. (1996)歸類出「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「有限細分」和「無限細分」四種法則。後續有文獻嘗試找出其他直覺法則，其中謝展文(2000)提出「習慣化」法則。

(15)

5

一、「 More A- More B」法則

「More A- More B」法則是指被比較的兩物體或系統，在特徵 A 上有明顯量差 A1＞A2，造成學童在比較另一特徵 B 時，產生直覺想法，認為 B1＞B2。

二、「 Same A- Same B」法則

「Same A- Same B」法則是指被比較的兩物體或系統，在特徵 A 上有相等量 A1＝A2，造成學童在比較另一特徵 B 時，產生直覺想法，認為 B1=B2。

三、「有限細分」法則和「無限細分」法則

「有限細分」法則與「無限細分」法則，二者皆為「連續細分型問題 (successive division tasks)」直覺法則。「有限細分」法則是指學童不管對物理物質(繩子、紙張、水等)或數學幾何物件(線段、正方形、長方體等)兩類不同連續細分型問題，均採取相同反應，認為它們無法被持續分割，其被細分的過程是有限度的；而「無限細分」法則是認為它們被細分的過程是無限度，可以持續進行下去的。

四、習慣化法則

習慣化法則是指受試者以一種固定的型式來回答連續問題，即使例外情形出現，仍採取習慣使用的該型式來解題，以致導向錯誤的解答。

參、因數與倍數概念

本研究以 101 學年度國小五年級學童為對象，其所使用數學領域教科書版本，係根據教育部 92 年所公布「九年一貫課程數學課程綱要」編擬，因此本研究中提及之因數與倍數概念相關名詞，依 92 課綱之標準名詞解釋，分述如下：

(16)

6 一、因數 : 「一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，甲稱為乙的因數。 國小階段只學習正因數。」 二、倍數 : 「一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，乙稱為甲的倍數。 國小階段只學習正倍數。」 三、公因數 : 「一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數的公 因數。」 四、公倍數 : 「一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的公 倍數。」

肆、模糊集群

模糊集群是根據模糊理論進行集群分析的方法，它將模糊理論之隸屬度觀點，用於決定元素之距離，達成集群分析之目的。常見之模糊集群分析法有「目標函數法」、「α 截矩陣法」、「最大樹法」三種。本研究使用之模糊集群分析軟體係由林原宏、黃國榮(2003)採用目標函數法研發而成的 FCUT 程式。

(17)

7

第二章文獻探討

第一節直覺法則的意義及相關研究

壹、直覺的內涵與影響

有關直覺的意義，一般首由Bruner(1977)引用Weber之「直覺就是直接的了解或認知」論點加以說明。他定義直覺是一種不以正式的分析和證明方法為中介，所獲得的了解或認知；並認為直覺是一種行為，透過這種行為，人們不必明顯地依靠其分析技巧，便可以掌握問題或情境的意義、重要性和結構。他稱此種有別於分析性思考的直覺思考方式，為一種直覺的跳躍(邵瑞珍譯，1995)。Fischbein(1987)提出相當多對直覺的論述，他認為直覺是一種不需經由繁複思考過程，亦不需具有正式嚴謹證明程序的認知型態(a type of cognition)，並指出「直覺」的瞬間想法常存在於人類日常生活中，它會在穩定、自我一致性預期的基礎下成為信念，並在特殊情境中主宰而影響個體的判斷。謝展文(2000) 定義直覺等同於直覺的知識，它是一種認知形態，源自於個人經驗的一種直接了解或認知；並認為這種直覺認知不同於分析性的思考，具有其整體性，是一種整體的跳躍性認知。Torff & Sternberg (2001)界定直覺概念，認為是指個人沒有透過意識反省或教學，即獲得並大量使用知識或知識結構；並指出直覺思考可以快速產生假設，形成不驗自明的嘗試性關係( tentative ordering)。論及直覺的特性，Fischbein (1987)共提列八種：不驗自明(self-evident)、理所當然(certainty) 、頑固性(perseverance) 、強制性(coerciveness) 、理論型態(theory status)、外推性(extrapolativeness)、整體性(globality)和隱含性 (implicitness)。Resnick (1999)認為直覺認知的最基本特性是不驗自明，直覺的知識必須看起來極其顯而易見(obvious)，並且立即被接受，不需任一形式或經驗加以證明。Chiu(1996)指出，直覺是不驗自明的認知，此種認

(18)

8 知是強韌的(robust)、一體的(holistic)和概念的(conceptual)。 Fischbein(1987)將直覺分成兩大類，分類原則係根據其所扮演角色及起源。若從直覺扮演的角色來看，共分為:「肯定的(affirmatory)直覺」、「猜測的(conjectural)直覺」、「預測的(anticipatory)直覺」、「結論的 (conclusive)直覺」四類，其中肯定的直覺可再分為兩小類，其一包含語意的(semantic)、關係的(relational)、推論的(inferential)三種直覺，其二包含共同的(ground)、個別的(individual)兩種直覺；而猜測的直覺亦可細分為專家 (expert)和生手(novice)兩種直覺。另從直覺的起源來看，分為:「最初的 (primary)直覺」與「二次的(secondary)直覺」，其中最初的直覺是依據個人生活經驗所發展得來，而二次的直覺是透過系統化教學影響所產生的直覺。直覺在學習的過程中，有其重要的影響力。Kant(1980)提及，直覺是直接掌握物體的能力；van Hiele (1986)認為，所有理性的知識發端於直覺知識(intuitive knowledge)，若能嘗試將直覺知識擴展成語言符號，相關的理性知識即會出現；Fischbein (1987)也認為，直覺在個人推理及假設或解答時，具有高壓性的影響，並且說明在科學和數學上，沒有直覺就沒有真正的創造性活動。直覺無論在哲學或科學發展均有其正面影響，常能導致突破性的發現，羅增儒與鐘湘湖(2000)詮釋直覺時，就引用 Poincare「邏輯用於論證，直覺用於發明」之見解，並提及 Polya 之說法，認同「直觀的洞察和邏輯的證明是感知真理的兩種不同方式。直觀的洞察可能遠遠超前於行事邏輯的證明」。我們不可否認初始概念的形成確實需要直覺瞬間想法之推動，但直覺所形成的概念常只是依循部分外在特徵而建立，尚需經過論證才能定奪其立足之地位，否則可能是迷思概念的主要來源(謝展文，2000)。直覺有其創造性的突破，但也經常是錯誤的源頭，不應該認為凡直覺都是正確的。羅增儒與鐘湘湖(2000)特別引用蘇聯心理學家 Luque 分析所提出的三種直覺可能產生之錯誤：忽視數學統計規律、忽視選擇事實的範圍、有時會把

(19)

9

兩個偶然巧合的事物當作一種必然聯繫來看待，以致做出一種錯誤的判斷來。Labinowicz (1980)就認為運思前期之兒童深受直覺優勢的支配，只注意到轉換前後之間的不同形象，而忽略其歷程。Fischbein (1997)、 Resnick (1999)都以「直覺」觀點來探討學生的迷思概念。 Tirosh & Stavy (1999) 認為，學童在數學問題上，會因題目特別的及外在的特徵，而使用相同的規律來作答，而非針對題目中的數學概念進行思考。呂玉琴、陳瑞發(2004) 提出「學生因直觀想法而對問題不能提出清楚和完整的證明所做出的猜測，勢必影響學生日後對該概念的學習」。余民寧(1997)認為學童在學習過程中，經常憑藉直覺獲得結論，如此形成的迷思概念(misconception)，通常都會偶發性的或長期性的主宰個人的信念，對於學習科學知識是非常不利的。林原宏、郭竹晏(2010)也認為「一旦個體存在了某種直覺知識，該直覺極容易對個體強加一些無庸置疑的詮釋或表徵，而此詮釋或表徵，會在個體進行推理時，強制引導其進入錯誤的思考方向，阻礙個體進行知識學習」。由前述直覺的內涵及影響可知，直覺是一種個人依據其生活經驗或學習所得，在關鍵瞬間對問題情境所做出，未經邏輯證明之合理或錯誤的認知。

貳、直覺法則之理論

Stavy et al. (1996)、Tirosh & Stavy (1999)研究發現：不同變項(例如: 國家、領域、年級)下，學生在數學及科學某些類別問題上，出現類似的直覺反應。他們提出一個可以解釋和預測學生共通反應模式的理論—直覺法則理論，並歸納出以下兩類，共四種直覺法則： (一)「比較型問題(comparison tasks)」直覺法則，包括: 1. 「 More A- More B」法則指被比較的兩物體或系統，在特徵 A 上有明顯量差 A1＞A2；造成學童在比較另一特徵 B 時，認為 B1＞B2。如圖 2-2-1 所示，比較甲、乙兩相

(20)

10 似三角形中角 1、角 2 的大小時，學童根據「甲三角形的面積比較大」或「甲三角形邊長比較長」等外在特徵，認定角 1 大於角 2，此即「 More A- More B」法則之使用。 圖 2-1-1 「 More A- More B」法則舉例 2. 「 Same A- Same B」法則指被比較的兩物體或系統，在特徵 A 上有相等量 A1＝A2；造成學童在比較另一特徵 B 時，認為 B1=B2。如一物漲價，依原價增加 10%後為標價，但因滯銷而打折，最終售價是將標價減少 10%，學童傾向於認定「增減比例 10%是相等的」，所以誤以為最後賣出的價格是原價，此即「 Same A- Same B」法則使用之例子。

(二)「連續細分型問題(successive division tasks)」直覺法則

「連續細分型問題」直覺法則包含「有限細分 (everything comes to an end )」法則和「無限細分(everything can be divided)」法則。前者是指學童不管對物理物質或數學物件的兩類不同連續細分型問題，採取相同的反應，認為它們被細分的過程是有限度的；而後者則認為它們是可以被無限的細分。連續細分型問題均先呈現一個連續細分的過程，然後由學生判定此過程是否可以持續進行，當連續細分的是物理材料，如繩子、紙張、水等，依微粒物質的概念，細分過程到達分子或原子應會停止；當連續細分的是數學幾何物件，如線段、正方形、長方體等或是數列，依數學無限的概念，細分過程應是無窮盡的。學童若是對連續細分型問題認為無法持續細分下去，即隨從「有限細分」法則作出反應；若認為一切事物均可被分割，即 1 甲 2乙

(21)

11 隨從「無限細分」法則作出反應。Stavy et al. (1996)認為，「有限細分」法則主要來自學童日常生活經驗的外推，而「有限細分」法則主要來自一種個體認知系統外推的自然趨勢之直接結果。上述四種直覺法則並無法涵蓋學生答題時使用直覺的類型，而不同學童對同一題目使用的直覺法則也可能不同，紀宗秀(2005)研究提出，學生面對特殊類別問題時，絕大部分會直覺地根據問題外在特徵來做判斷，但學生對問題外在特徵的觀點並不一致，所以同一個題目裡會有一個以上的直覺法則出現。而學童使用直覺法則答題時，有可能產生錯誤或正確的答案(林原宏、郭竹晏，2010)。

Tirosh & Stavy(1999)認為直覺法則可據以預測學童解題結果，教師可運用適當的教學法幫助學童克服直覺法則之負面作用，而引出正確的答案，因此直覺法則對教育的影響力逐漸受到重視，陸續有多人研究推求其他直覺法則，以解釋學生利用直覺解題之思考歷程。

Stavy& Tirosh (2000) 提出「If A then B , if not A then not B」直覺法則的推論，Stephanou L. & Pitta-Pantazi D. (2006) 研究此法則對學童在面積和邊長問題之影響，確實發現相當比率的學童依循「If A then B , if not A then not B」直覺法則，而認為長方型的長、寬不同，面積或周長一定不同。

謝展文(2000) 根據教學上的經驗，並透過實證資料的收集，驗證新的直覺法則「習慣化法則」與「More A—More A法則」的存在。「習慣化法則」是指學童回答一系列相同學習領域的問題時，此類問題重複出現相同的答案或相同的運算法，使學生產生一種直覺，認為此類問題的解法型式是固定的，而忽略瞭解題意的過程，不再作思考，僅使用該種型式來解題，以致產生錯誤解題的情形，例如: 有30 個同學，總共摘了6 公斤的水果，請問平均每一個人可分到多少公斤的水果？學生會照之前的習慣，錯誤地計算成30 ÷ 6 ＝5(公斤)；「More A—More A法則」是指某一量A1是另一

(22)

12 量A2的倍數(即A1＝nA2)，之後這兩個量均加入一相同的量，經此改變後的兩量關係，學童還是認為維持原有倍數關係(即A1’＝nA2’)，例如：今年爸爸的年齡是兒子的五倍。如果過5年以後爸爸30歲，那麼要計算兒子5年以後會是幾歲，學生仍會以5倍的關係運算，作出錯誤回答，認為兒子今年6歲。何健誼(2002) 研究提出，國內K-6年級學童在體積概念有「Different A Different B」之直覺現象。「Different A Different B」指的是兩物體作比較時，當A性質不同時，自然而然也認為擁有不同的B性質，如：圖形外形不同( Different A )就認為其面積不同( Different B )。

楊美惠(2002)依過去教學之經驗及蒐集到的相關文獻，除了呼應前述何健誼「Different A Different B」法則之發現，亦探討新的直覺法則「Linear A Linear B」。「Linear A Linear B」法則是指有關線性之屬性，即當一物體某一向度增為n倍，另一個向度也被直覺認為，同樣增為n倍。如：一長方形每邊長增加2倍之後，被誤認為是原先長方形面積的2倍。

張世昌(2002)提出「因為A＞B，所以A－B 或 A÷B」直覺法則，認為有相當比例的學童受此影響，造成在數學問題上常忽略題意，總是以大數減小數或大數除以小數的方式解題。

對於上述提出的新的直覺法則，研究者認為「If A then B , if not A then not B」與「Different A Different B」有異曲同工之意，皆是「 More A- More B」法則的前提，因為有所不同，才去比較二者大小；而「More A—More A 法則」與「Linear A Linear B」二法則，研究者認為是「 Same A- Same B」法則的特例，前述二法則所謂相同的 n 倍，即是後者找到的兩物或系統相同特徵；至於「因為 A＞B，所以 A－B 或 A÷B」直覺法則，研究者將之歸類為「習慣化法則」的相同處理模式。經以上篩選過程後，本研究探討的直覺法則除了原創的「 More A- More B」法則、「 Same A- Same B」法

(23)

13 則、「有限細分」法則和「無限細分」法則，僅加上「習慣化法則」，共歸類為五種。

參、直覺法則相關研究

自直覺法則理論提出後，國內外研究者除了提出新的直覺法則加以探討，主要研究面向，還是在於直覺法則對概念的教與學之影響；近年，則有朝向探究使用直覺法則相關性、性別及分群表現差異性之趨勢。

有關新的直覺法則，包括: Stavy & Tirosh (2000) 嘗試推論「If A, Then B - If not A, Then not B」直覺法則；謝展文(2000)憑藉教學經驗，並透過實證資料蒐集，驗證新的直覺法則「習慣化法則」與「More A—More A」的存在；何健誼(2002)提出「Different A Different B」直覺法則；楊美惠(2002) 認定「Linear A Linear B」是一種新直覺法則；張世昌(2002)發現「因為A ＞B，所以A－B 或 A÷B」直覺法則。有關了解學生使用直覺法則之情形、受影響程度差異方面的研究，可見如下：Zazkis(1999)發現國小學童數字概念受直覺法則影響；Tsamir(2003) 使用直覺法則預測分析學生在幾何問題之解答；張玉枝(2002)發現國二學生詮釋地球科學課本附圖受直覺法則影響；楊美惠(2002) 探討K-6學童在面積概念所蘊藏的直覺法則想法；在分數概念學習上，陳瑞發(2003)和詹婉華(2003)分別發現低年級、高年級學童，會依循直覺法則進行分數解題。呂玉琴、陳瑞發(2003)則以代課老師為對象，發現解題時計算的難易及能否透過計算解題，可能是影響教師使用直覺法則解數學問題的重要因素；蔡秉恆、黃天佑(2005a)針對國小六年級學童進行研究，提出學童明顯受直覺法則影響的數學概念，包含角度、長度、面積、容積、比率，以及連續細分型數學問題。另一方面，在減少學生依循直覺法則解題之教學法相關研究，則有 Stavy & Tirosh (2000)提出利用「搭橋類比教學」與「衝突介入教學」，將

(24)

14

直覺法則影響降至最低；紀宗秀(2005) 利用「POE」教學法，進行「預測 (Predict)－觀察(Observe)－解釋(Explain)」(White & Gunstone, 1992)教學策略，讓學生減少依循直覺法則解題的情形，並且讓學童產生概念改變。蔡秉恆、黃天佑(2005b) 運用網頁類比教材及視訊教學促進國小學生科學直覺改變，使學童來自直覺法則的迷思概念獲得澄清。金鈐、王安蘭(2006) 透過合作「教師－師培者的行動實務社群」(T-TECOP)的運作模式，進行高中機率概念的直觀教學，使學生了解直覺法則思考模式及限制，學會檢測個人直覺反應，養成批判思考習慣，修正原生直覺。近年有關直覺法則關聯性等研究，可見郭竹晏(2009)探究國小學童使用直覺法則之相關及分群情形；林原宏、郭竹晏(2010)進行國小五年級學童數學直覺法則之認知評量分析，利用多元計分混合Rasch模式加以分群，並進行性別差異探討；蘇瑩瑩、林原宏(2010)以國小四年級學童為對象，探討學童在直覺法則上之表現和後設認知之相關及性別差異；蘇瑩瑩(2010) 及李幸娟(2012)同樣以四年級學童為對象，探討學童在數學領域中直覺法則表現情形、關聯性及性別差異，亦同樣使用潛在類別分析法(latent class analysis,LCA)將學童使用直覺法則結果加以分群，作為教學分組參考。由上述文獻可見，直覺法則對科學及數學概念之教與學，確有其影響層面，因此植基於直覺法則，推求其與相關概念之聯結，應對學生科學與數學之學習有所助益，實具研究之必要性。

第二節因數與倍數概念研究

壹、現行國小因數與倍數概念教材分析

因數與倍數概念在教育部所公布 92 年及 97 年「九年一貫課程綱要」中，均歸屬數學學習領域之「數與量」主題。由表 2-2-1 及表 2-2-2 所見，

(25)

15 92 課綱與 97 課綱雖年級階段分法不同，但因數與倍數相關概念能力指標與分年細目內容雷同，只是 97 課綱將 92 課綱部分分年細目加以細分，最大變革在於 92 課綱在國小因數與倍數概念學習時，僅以列表法舉出因數、倍數、公因數及公倍數，而 97 課綱將使用短除法做質因數分解的教學由國中移至國小六年級，期使學生提前能以正確而快速的方法解題；另外可見， 92 課綱於六年級方讓學生理解最大公因數及最小公倍數概念，但 97 課綱於五年級便指導學生認識最大公因數與最小公倍數。各版本現行國小數學領域教科書依課綱編排，均將因數與倍數相關單元安排於五上第九冊及六上第十一冊教學，但對因數與倍數概念的詮釋過程稍有不同。南一版和康軒版由除法觀點引入，判斷除數是被除數的因數；翰林版先教倍數，再由乘法觀點引入，判斷乘數是積的因數。另外，有關理解倍數的規律部分，康軒版及翰林版均在五上教學，南一版則在六上才進行教學。本研究對象為 101 學年度五年級學童，所使用數學領域教科書乃依據 92 年版國民中小學九年一貫課程綱要編寫，因此現行因數與倍數概念教材內容可區分為因數、倍數、公因數與公倍數四個主題。教材中之因數問題，由總量為問題起點，利用除法觀點，在情境問題中探討可能組成的單位量，來引入因數概念。倍數的意義則因生活中有關倍的語言與經驗足夠，因此透過乘法算式直接引入相關概念，要求學童判斷某數是否為另一數之倍數，並求出某一範圍內所有倍數。公因數概念之引入，係透過探討兩總量之相同組成單位量的方式進行。公倍數概念教材，乃要求學童各別求出兩數在一界定範圍內的倍數，再由兩數相同的倍數之比較活動引入。

(26)

16 表 2-2-1 92 年版及 97 年版九年一貫課程綱要國小因數與倍數相關概念能力指標 課程綱要階段能力指標 92 年版國民中小學九年一貫課程綱要四、五年級: 六、七年級: N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。 97 年版國民中小學九年一貫課程綱要五、六年級 N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-04 能認識質數、合數，並能用短除法做質因數分解。 N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡分數。 資料來源：教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。 教育部(2008)。國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。 表 2-2-2 92 年版及 97 年版九年一貫課程綱要國小因數與倍數相關概念分年細目 課程綱要階段分年細目 92 年版國民中小學九年一貫課程綱要五年級: 六年級: 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解 (質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100)。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 97 年版國民中小學九年一貫課程綱要五年級六年級 5-n-04 能理解因數和倍數。 5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。 6-n-01 能認識質數、合數，並用短除法做質因數的分解(質數＜20，質因數＜20，被分解數＜100)。 6-n-02 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。 6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。 資料來源：教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。 教育部(2008)。國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。

(27)

17

貳、因數與倍數相關研究

因數與倍數概念是較為抽象的概念，學童學習時經常產生學習困難與迷思概念。因數與倍數相關研究，國外學者如 Edwards (1987)、 Ewbank (1987)、 Graviss & Greaver (1992)、 Lamb & Hutcherson(1984)、 Olson (1991)，大多以國中學生為研究對象(李慶祥，2013；黃培甄、葉啟村，2005)；惟 Orhun(2002)以國小六年級學童為對象，分析其因數與倍數解題策略，結果發現學童最主要的困難，在於對文字理解與符號形式之轉譯產生障礙，因此無法了解題意。另有 Bassarear (1997)及 Kennedy, Tipps & Johnson (2004) 針對因數與倍數教材的編製加以研究，前者提出維恩圖 (Venn diagram )，利用交集聯集圖形來協助學童，理解最大公因數及最小公倍數概念，後者使用因數樹(factor tree)之樹狀圖結構，釐清學生因數概念(引自周素萍，2011)。而國內因數與倍數概念研究報告，大部分以國小階段之學生或課程為研究對象，而其研究主題可分為，探究學生因數與倍數學習障礙癥結，及因數與倍數教學應用兩大主軸。有關探究學生因數與倍數學習障礙癥結之相關研究為數頗多，主要利用自編試題施測結果，或觀察學生解題歷程，歸納提出學生之因數倍數概念錯誤類型及迷失概念，並推論其原因。林原宏、何欣玫(2005)分析國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力，將學生因數與倍數概念錯誤類型分為語言概念錯誤、認知概念錯誤、策略概念錯誤、個人態度錯誤。劉伊祝(2009)曾歸納不少國內學者的研究，提出學童在因數與倍數單元常見之錯誤情形及原因，包含：(1)在因數、倍數、公因數、公倍數的計算過程中，發生遺漏的錯誤，尤其是1或本身、(2)對於因數、倍數、公因數、公倍數的概念認知錯誤連結或互相混淆，導致使用錯誤的解題策略、(3) 因新舊經驗的連結不當、題意認知不清、粗心等而造成計算錯誤、(4)缺乏

(28)

18 閱讀能力，造成文字應用題錯誤解讀，而影響解題。近年則有許多研究，嘗試建構學生因數與倍數概念詮釋結構模式，企圖找出影響學生因數與倍數學習成就之因素。有關因數與倍數教學應用方面之研究，包含因數與倍數之教材、教法及評量等，主題涵蓋不同版本教科書比較、資訊融入因數與倍數教學與評量、補救教學等，俱希望教師運用合適的教材及試題，或使用創新的教學策略，有效的幫助學生突破因數與倍數學習瓶頸。

參、直覺法則與因數倍數概念學習關聯性之研究

有關直覺法則與因數倍數概念學習關聯性之研究逐漸受重視，可見於：Zazkis(1999)提出「學生認為較大的數有較多個因數」此直覺法則特例，以及林珮如(2002)依據 Mayer 及 Brainbridge 解題理論和直觀法則理論自編因數迷思概念診斷工具，探討學童因數問題的迷思概念、解題策略及可能成因，結果發現學童會存在數字越大因數會越多的直覺想法、或直覺以為質數就是奇數。另外，周文忠(2002)研究發現十種國小高年級學童學習因數與倍數產生之迷思概念，其中「直觀法則」被列為第六種。林原宏、何欣玫(2005)分析國小六年級學生因數與倍數之數學解題溝通能力，其中「直觀法則」被列舉為認知概念錯誤之一。汪端正(2008)以國小六年級質數與合數單元為例，研發適性診斷測驗與數位個別指導教材時，從認知運思能力、先備知識、生活經驗、語意理解、過程概念、教材內容及直覺法則理論等七方面，來探討學生在質數與合數概念上的學習瓶頸。陳渝(2011)針對低成就學生進行因數與倍數補救教學研究，發現透過補救教學活動，可減少個案學童「直觀法則與關鍵字解題」發生的情況。林嘉憲(2012) 以因數與倍數為例，進行屏東地區國小五年級數學解題歷程及策略之分析研究，發現中、低數學能力學生執行解題，大致上只有閱讀題目、問題分析兩階段，但出現困難時，常憑直覺套用題目中的數字表徵來猜測解題方向或答

(29)

19 案，因此無法作出有效的解題計畫。蔡彩暖、林原宏、易正明(2012) 進行學童比較型問題直覺法則與因數概念關聯性探討之行動研究，發現其研究對象中，存在「數字越大因數會越多」概念的學生，即是慣用「 More A- More B」法則的學生。綜合上述，直覺法則確有其影響因數倍數概念學習之情形發生，而尤以因數個數比較問題中，呈現之「 More A- More B」直覺法則較為明顯。另外，邱慧珍(2002)研究中雖未提及直覺法則之影響，但發現學童有認為兩個整數中較小者有較多的倍數之情形，同時也發現另有部分學童認為兩個整數中較大者有較多的倍數，後者狀況符合「More A- More B」直覺法則之定義，但前者是否可稱為使用直覺法則之特例尚待進一步研究。

第三節模糊集群之理論與應用

壹、模糊理論的基本概念與應用

在日常生活中，個人思維的主觀意識受人、事、時、地、物變遷的影響，使得語意具模糊性，譬如描述性質概念時，「很可能」、「一點點」、「美與醜」、「冷與熱」等用語，沒有絕對分明的界線，皆含有混淆的不確定性。但在現實世界中，我們又常希望透過明確的數學方法，將日常觀測資料加以量化，提供可參考的訊息量值；加以科學所欲研究的物件結構複雜性日益增加，使得科學家無法清楚研究其真實本質以適應研究的需求，以往經典的「非此即彼」二元邏輯被發現只是理想世界的模型，因此模糊理論的想法應運而生。模糊理論憑藉模糊邏輯模式的呈現方式，被認為要比直接指定單一物體的特定值，較符合實際狀況，而適於評估物體間的相關特性。

(30)

20

早在 1923 年，B.Russell 就寫出了有關「含模糊性」的論文，他認為所有的自然語言均是模糊的。M. Black 於 1937 年也針對「含模糊性」的問題深入研究，並提出「輪廓一致」的新概念，可視為「歸屬度函數」概念之思想萌芽(馮國臣，2007)。但模糊理論的建立歸功於 L.A. Zadeh：它發端於 Zadeh 在 1965 發表的模糊集合(fuzzy set) 論文，文中首次提出表達事物模糊性重要的隸屬函數概念，從而突破了 19 世紀末 Rene Descartes 的經典集合理論，奠定模糊理論的基礎。其後模糊理論中大部分的基本概念也由 Zadeh 陸續提出，包括 1968 年的模糊演算法概念、1970 年與 Bellman 共同提出的模糊決策，以及 1971 年的模糊順序，Zadeh 並於 1973 年發表論文，介紹語意變數概念，提出使用「模糊若-則(If-Then)」規則將人類知識公式化，而建立模糊控制的基礎(汪惠健譯，2006)，他更在 1999 年建議引用感覺測度(perception measure) 和軟計算( soft computing system) ，共同應用作為模糊函數估計量(吳柏林，2005)。原本有許多學者反對模糊理論，認為它違背基本科學原理，但隨著對模糊理論投入研究者日增，1984 年國際模糊系統學會(International Fuzzy Systems Association) 正式成立。1987 年日本將模糊理論應用於仙台市 (Sandai)地下鐵的模糊控制系統引起轟動，並在 1990 年發展出模糊系統的第一個消費性產品－模糊洗衣機，至此「fuzzy」變得耳熟能詳。模糊理論逐漸成為研究主流後，便持續充實為一種定量化處理人類語言與思維的新興學門，它成就了模糊測量理論、模糊拓樸學、模糊代數、模糊分析等數學分支，並且不再侷限於研究人類的思維與情感，而是提供一種新的模式，去處理以往在嚴謹精確原則要求下衍生的技術層面灰色地帶(吳柏林， 2005)，因此被廣泛運用到不同的領域。在自動控制方面，各種家電、工業電力、交通工具駕駛及機器人等控制技術；在影像辨識方面，對醫學病症、手寫字體、語音、指紋的判別；在訊號處理、通訊、積體電路製造與專家

(31)

21 系統知識庫建置等，甚至在自然環境及社會現象的研究、財經商業管理、心理分析、教學評量等，均可見模糊理論應用的實例，如模糊問卷分析、模糊回歸與景氣循環、模糊時間數列與股價指數預測(王文俊，2001；汪惠健譯，2006；馮國臣，2007；阮亨中、吳柏林，2000)。模糊理論是參考人腦思維方式對環境所使用模糊測度與分類原理，給予較為穩健的描述方法處理多元複雜的曖昧、不確定現象(阮亨中、吳柏林， 2000)。模糊理論最基本的概念是模糊集合概念，它將觀測值轉換為模糊資料集，利用隸屬度函數(membership function)描述模糊集合的性質。以往的集合是二元現象，認為一個元素屬於一個集合即以 1 表示，若是不屬於一個集合即以 0 表示，而模糊理論中，則用介於 1 和 0 之間的數來表示其隸屬程度。模糊理論一般是對模糊集合、模糊關係、模糊邏輯、模糊控制、模糊量測等理論的泛稱。阮亨中、吳柏林(2000)認為，對傳統集合論進行擴充之後而形成的模糊集合論、具有概率擴充意味的模糊測度論以及把模糊概念(fuzziness)導入通常邏輯而形成的模糊邏輯，統稱為模糊理論。 Wang(1996)將模糊理論的研究領域分為五個主要分支，並提出各分支不同的研究主題(汪惠健譯，2006)，其分類如下: (一) 模糊數學：包含模糊集合、模糊量測、模糊分析、模糊關係、模糊拓樸等。 (二) 模糊系統：分為模糊控制、模糊訊號處理、通訊三類。模糊控制包含控制器設計、穩定性分析等；模糊訊號處理包含圖樣識別、影像處理等；通訊包含等化頻道分配等。 (三) 模糊決策：包含多準則最佳化、模糊數學規劃等。 (四) 不確定性與資訊：包含可能性理論、不確定性的量測等。 (五) 模糊邏輯與人工智慧：包含模糊邏輯原理、近似推論、模糊專家系統等。

(32)

22 綜上所述，模糊理論是一種不以精確計算為手段，僅透過模糊邏輯的近似推理，而使用模糊集合或隸屬性函數，針對模糊概念外延帶來的不確定性訊息，做出積極處理與正確判斷的近代數學理論；而其應用的範圍廣泛，涵蓋電機工程、資訊科技、社會科學、醫學、教育學與心理學等。

貳、模糊集群相關理論及演算法

模糊集群為集群分析與模糊理論二者概念之連結 (Kaufman & Rousseeuw, 1990)，此種分群方式在資料歸類時，所得到的歸屬關係比傳統集群分析方法更具合理性。集群分析又稱聚類分析，是統計學中多變量分析的一種，用以處理類別型態的資料。集群分析方式是考慮群體中具有相似特性的族群，將其歸併在一起(阮亨中、吳柏林，2000)。它將同質性資料聚合成群，同時又讓群與群之間達到顯著之差異性。一個確切的分類可以按照等價類的形式來確定，但是現實社會中的分類問題，往往伴隨著模糊性質(馮國臣，2007)，因此分群若僅依照彼此之間有無關係的絕對限制條件，往往失真，倘能運用模糊理論，考量相互關係的深淺程度，將可得到反映真實情況的完善分類效果，模糊集群即應運而生。傳統集群常以距離(distance)表示群體中各元素之間的相似度，而在模糊集群分析中，隸屬度是決定元素之間距離的重要因素(林原宏，2001)。模糊集群分析有多種方法，常見者為「目標函數法」、「α截矩陣法」、「最大樹法」三種，各具特色。其中，目標函數法對於分割圓形或橢圓形的資料有較佳的分群結果，對於函數型態的資料或不規則分佈的資料，分割效果較差(吳子恆，2003)；α截矩陣法將元素漸次歸併，使集群數逐步減少，最終形成一個最大集群，具階層性優點，但缺點在於無法具體描述出隸屬度，且先決條件必須其模糊矩陣為等價矩陣，方可直接進行分析；最大樹法在研究者希望分為固定集群數再進行分析時適用，可觀察各元素間距離

(33)

23 關係。最被廣泛使用之模糊集群分析法為目標函數法。目標函數法由Bezdek (1973)首先導出一般化公式並求得一般解，之後學者多依據其基本準則進行研究，定義出不同的目標函數。林原宏、黃國榮(2003)採用適合分析大樣本資料的目標函數法，研發出模糊集群程式FCUT，本研究即是使用該軟體，其演算法如下所示(引自林原宏，2005): (1) 將欲分析之 N 位個體，及每位個體M 個變項，以資料矩陣表示為

 

nm N M NM N N M M x x x x x x x x x x X                       2 1 2 22 21 1 12 11 (2) 在分群數C個潛在集群之下(C2)，將個體的隸屬度矩陣表示為 U，集群中心矩陣表示為 V：              u u u u u u u u u U cn c c n n        2 1 2 22 21 1 12 11

 

cm C M CM C C M M v v v v v v v v v v V                       2 1 2 22 21 1 12 11

(3) 定義目標函數Jq(U,V)，並採用最小平方法(least square method)之準則，

取目標函數之極小值。其中q值影響隸屬度值，q值愈小，分割愈明確 (Zimmermann, 1991)，一般取q



1.25,5



較佳。 ( , ) ( ) ( , ) 1 1 2 n c d u V U J N n C c cn q q



   ，



   M m cm nm v x n c d 1 2 2 ) ( ) , ( (4) 以 Lagrange’s multipliers 方法，求 Jq(U,V) 之極小值。令：









               _                   N n C c cn n N n C c M m cm nm cn q N n C c cn n N n C c cn q u v x u u n c d u F 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) , ( ) (   (5) 針對參數進行偏微分求極值，得到參數

u

cn _、

v

cm 之關係式：

(34)

24































_



_



           C l M m lm nm q M m cm nm q C l q cn v x v x n l d n c d u 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( ) , ( 1



    _  _N n cn q N n nm cn q N n cn q N n nm cn q cm u x u u x u v 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 若 ( ) 0 1 2_ 



 M m cm nm v x , 則

u

cn



1

_且

u

c'n



0 ,



c

'



c

(6) 利用迭代法(iteration)直到

u

cn_、

v

cm 收歛至最後穩態為止，所得之隸屬度矩陣

_U

及集群中心矩陣

_V

即為所求。有關分群數之選擇，可由研究者配合集群之意義，視研究內容需求而決定，亦可根據效度測量(validity measure)所得指標而決定。集群效度指標 (validity index)之研究，近年已成為模糊集群方法論之重要議題之一，在資料的分群數未知情況下，效度指標將可幫助找出最佳的分群數目。這些效度指標大部分是利用歸屬程度和距離組合而成的，其中，以Bezdek ( 1981) 所提之分割係數(partition coefficient)與分割亂度(partition entropy)使用較廣，說明如下: (1) 分割係數定義為



   N n C c cn u N C U F 1 1 2 ) ( 1 ) ; ( 其數值範圍 1  F(U;C)1 C ，取其較大值為較佳的分割數。 (2) 分割亂度定義為 ( ; ) 1 ( ) 1 1 cn N n C c cnlnu u N C U H



    ，



u

cn



0

其數值範圍 0H(U;C)ln(C)，取其較小值為較佳的分割數。

(35)

25

參、模糊集群相關研究

模糊集群相關研究涉及領域廣泛，除了有關理論架構及演算法的探討之外，更在電機資訊工程、經營管理科學、醫學心理、教育學術等領域有許多應用模糊集群的研究。在電機資訊工程方面，謝享奇(1999)、許臣君(2007)分別將模糊集群應用於數位影像及指紋辨識系統之研究；邱華凱(2005)用以探討綠色工程產業發展策略；王淑貞(2006)則提出模糊集群新演算法及其在電力系統工程之應用；許智豪(2011)應用模糊分群法於主動噪音抑制系統之設計與製作。在經營管理科學方面，鄭俊昇(1996) 應用模糊集群進行茶葉品質鑑定研究；溫裕弘、蔡明穎(2012)用以進行台灣物流業之產業群聚分析；詹惠君、徐村和、朱國明(2000)則運用於信用卡市場區隔之研究；吳舜如(2003)提出運用模糊集群調配二審法院民庭人力資源之研究；Zarandi, Rezaee, Turksen & Neshat (2007)用以發展出一套模糊規則專家系統對股價進行分析。

在醫學心理方面，何正宏(1990) 提出模糊聚類法於胃癌診斷之分析； Masulli & Schenone (1999)運用模糊集群所形成之分割系統來協助醫學影像診斷；吳文祥(2003)運用模糊集群，於探勘紅斑性狼瘡患者之中醫潛在證型類別；熊書顯(2004)探討模糊集群在體適能的應用情形；黃昇平(2006) 應用模糊聚類進行半導體產業作業員之工作壓力分析。 至於模糊集群在教育學術方面之應用，更是本研究關注的焦點。黃馨瑩、王士信、林原宏(2007) 整合模糊集群與多元計分次序理論探討六年級學童在植物繁殖概念上的知識結構。林靜宜(2008) 進行新竹市高中職家長對學生品格教育內涵之期望類型及滿意度研究，經由集群分析將家長分為「全人發展型」、「堅毅上進型」、「保守期望型」等三種類型。而在教育學術之數學領域中，模糊集群的應用更受到重視。Law (1996, 1997)和Yen (1996)利用模糊隸屬度函數的定義關係，用於數學教育指標系統的建立。

(36)

26

Perdikaris (1996) 利用模糊集合隸屬度函數理論，建立出van Hiele 幾何認知發展模式(引自林原宏，2001)。施勝耀(2007)進行國小一到三年級，數學學習領域代數分年細目之模糊集群與詮釋結構模式分析。黃秀玉(2007)將模糊集群分析與次序理論整合應用，進行國小低年級學童在整數加減法概念之縱貫研究。陳嘉甄、陳慶彥(2009) 以模糊集群方法，分析國小三年級學童數學錯誤概念組型。鄭如君(2010) 應用模糊集群，分析國小六年級學生數與量分年細目之概念階層結構。模糊集群分析將一大筆異質的群體，區隔為內部同質性較高的群集，而隸屬於不同集群的受試者又具有迥異的性質，透過研究者的說明，配合群集的意義，使得研究的結果更客觀完備，因此應用相當普遍。

(37)

27

第三章研究方法

本研究旨在探討五年級學童於數學解題時，使用直覺法則與因數倍數概念表現之情形及關聯性，並利用模糊集群分析方法，進行植基於直覺法則之分群，了解分群特徵並與因數倍數概念表現進行相關性探討。所使用研究方法，以下以研究架構及流程、研究對象、研究工具、資料處理及分析四節加以說明。

第一節研究架構及流程

基於研究動機與目的及相關文獻之整理，本研究以國小五年級學童為對象，自編「數學直覺法則試卷」及「因數倍數概念測驗試題」二份試卷，進行立意取樣施測，作為分析探討依據，先針對學童使用數學直覺法則及因數倍數概念測驗之表現，進行選項分析及相關性分析，再利用 FCUT 軟體進行模糊集群分析，呈現數學直覺法則試卷中各群學童使用直覺法則特徵，及探討分群學童在因數倍數概念表現情形。研究架構如圖 3-1-1 所示。 圖 3-1-1 研究架構圖 數學直覺法則測驗因數倍數概念測驗「 More A- More B」「 Same A- Same 」「無限細分」「有限細分」「習慣化」「數字越大因數越多」「數字越大倍數越多」因數倍數公因數公倍數選項分析相關性分析模糊集群分析

(38)

28 依研究架構進行如下流程: 一、編擬「數學直覺法則試卷」及「因數倍數概念測驗試題」兩份試卷。二、諮詢專家意見，修改後進行預試。三、預試之原始資料經處理以 SPSS 進行分析檢視，據以修改部分試題。四、約略依據學校規模分配，進行立意取樣，尋訪願意配合研究之學校班級進行正式施測。五、分析正式施測資料，進行量的研究。六、撰寫報告。研究流程如圖 3-1-2 所示。 圖 3-1-2 研究流程圖 依據相關文獻編製數學直覺法則試卷依據九年一貫課程綱要編製因數倍數概念測驗試題專家審查試題修正進行預試並修正正式施測原始資料整理轉換模糊集群分析各群學童使用直覺法則特徵，及探討分群學童在因數倍數概念表現情形 SPSS 分析直覺法則及因數與倍數概念表現情形、相關性及性別差異性進行選項分析歸納學童答題情形

(39)

29

第二節研究對象

本研究對象為國小五年級接受過因數倍數單元教學之學童，因研究內容包含兩份試卷，需尋覓願意配合之學校班級不易，且囿於時間、人力、經費等限制，研究樣本採立意取樣。填答不完整或內容雜亂不清者，視為無效樣本。所選取樣本，詳細說明如下。一、預試樣本預試樣本為研究者任教學校之五年級三個班級，因兩份試卷施測日期不同，出席學生數不同，且預試結果不做兩份試卷間相關性及分群等研究，因此各取有效樣本，對象並不一致。其中「數學直覺法則試卷」於 102 年 5 月底施測，回收 84 份，有效樣本 82 人；「因數倍數概念測驗試題」於 102 年 6 月初施測，回收 82 份，有效樣本 79 人。二、正式樣本正式施測日期為 102 年 6 月中旬至 6 月底學期末期間，選用樣本來自中彰投雲嘉地區。雖為立意取樣，但為避免同質性過高，約略依學校規模做班級數取樣分配，再多方徵詢願意配合之班級進行施測。學校規模按照班級數量區分，24 班以下為小型學校，25 至 48 班為中型學校，49 班以上為大型學校。施測學校共計 13 所，施測班級共計大型學校 9 班、中型學校 7 班、小型學校 7 班，合計 23 班。因兩份試卷將做相關性及分群研究，因此每位學生必須兩份試卷均完整作答，方視為有效樣本。所回收有效樣本，共計 570 份，其中男生 287 人、女生 283 人。正式施測人數統計如表 3-2-1。

(40)

30 表 3-2-1 正式施測人數統計表 學校類型縣市學校編號班級編號男生女生小計大型台中市 A 1 16 14 30 B 2 11 12 23 B 3 12 13 25 B 4 13 15 28 B 5 15 14 29 彰化縣 C 6 15 14 29 D 7 15 11 26 D 8 16 11 27 D 9 14 12 26 中型南投市 E 10 13 15 28 E 11 12 17 29 E 12 12 14 26 彰化縣 F 13 16 14 30 F 14 15 14 29 台中市 G 15 13 11 24 G 16 14 9 23 小型嘉義縣 H 17 10 13 23 H 18 8 14 22 彰化縣 I 19 10 7 17 J 20 9 11 20 K 21 12 12 24 台中市 L 22 10 9 19 雲林縣 M 23 6 7 13 合計 13 23 287 283 570

第三節研究工具

本研究除了分析學童在數學問題使用直覺法則之情形，還要探討學童因數倍數概念學習成就表現，並進行後續分群等相關性探討，因此研究工具包含「數學直覺法則試卷」、「因數倍數概念測驗試題」，以及SPSS、FCUT 軟體。

一、「數學直覺法則試卷」

此試卷參考國內外直覺法則相關文獻(李幸娟，2012；蔡秉恆、黃天佑， 2005a；蘇瑩瑩，2010；謝展文，2000； Tirosh & Stavy，1999)，依文獻已

(41)

31

證實之「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「無限細分」、「有限細分」及「習慣化」五種直覺法則，編擬五類型數學直覺法則問題。其中，「 More A- More B」法則及「 Same A- Same B」法則各編三題選擇題。「無限細分」法則及「有限細分」法則因可由相同之連續細分型問題，同時測出學童使用之傾向，因此合編三題選擇題。「習慣化」法則是檢視受試者是否以一種固定的型式來回答連續問題，因此編製一組題目要求學童列出算式，六個子題中第四及第六題應以不同於其他子題之運算式回答，學童若以一致方法列出算式，則為使用「習慣化」法則解題。另外，為了解學童是否存在「數字越大因數越多」、「數字越大倍數越多」直覺概念，或是其他迷思概念，因此在直覺法則問題中，穿插因數個數比較問題及倍數個數比較問題兩大題，每大題包含三個選擇題。整份試卷合計12大題，共21 小題。考量同一個題目裡可能會有一個以上的直覺法則出現，除「習慣化」法則大題外，其他題目要求學生述明選擇答案之理由，據以篩除猜答試卷，並做為認定符合該題所界定的直覺法則類型之給分依據，學童回答各問題時，若使用非題目所欲測試之直覺法則類型，不予計分。試卷編擬後，請研究者任教學校內預定進行預試之五年級三個班級中，擔任數學科教學，教學經驗5年以上之級任教師檢視後修正，確定預試版本後施測。預試有效樣本82人，施測結果如表3-3-1所示。表3-3-1 數學直覺法則題號、類別及人數比例 題號類別人數比例 1 More A─More B 法則 28% 2 More A─More B 法則 63% 3 More A─More B 法則 48% 4 Same A─Same B 法則 59% 5 Same A─Same B 法則 69% 6 Same A─Same B 法則 56% (續下頁)

(42)

32 題號類別人數比例 7 無限細分法則 50% 8 無限細分法則 55% 9 無限細分法則 89% 7 有限細分法則 50% 8 有限細分法則 45% 9 有限細分法則 11% 10-(1) 「數字越大因數越多」概念 17% 10-(2) 「數字越大因數越多」概念 27% 10-(3) 「數字越大因數越多」概念 34% 11-(1) 「數字越大倍數越多」概念 9% 11-(2) 「數字越大倍數越多」概念 13% 11-(3) 「數字越大倍數越多」概念 14% 12-(4) 習慣化法則 80% 12-(6) 習慣化法則 47% 由表3-3-1可見，各試題呈現直覺法則使用人數比例不一，其中第十一大題三子題比例偏低，但因其目的為探究學生是否有「數字越大倍數越多」直覺法則想法，而三子題測試結果，9%、13%、14%差異性不大，故不予修正題目，視其為正常反應學生答題狀況，不予修正。而第九題為連續細分型問題之數列類型細分法則題目，同時呈現學童使用「有限細分」法則或「無限細分」法則兩種反應，雖然預試結果使用「有限細分」法則學童比例11%偏低，使用「無限細分」法則學童比例89%偏高，但因其呼應謝展文(2000)研究之發現：除了在數列的問題上，大部分的學生傾向於做出無限的反應以外，其餘在連續細分累加問題上，「有限細分法則」和「無限細分法則」同時具有主導性，故亦視為正常呈現學童作答反應，無修正必要。惟第十大題三子題，探討學生是否存在「數字越大因數越多」直覺法則想法，第一子題與其他二子題差異較大，經與指導教授討論後，認為因數個數比較問題，若比較的兩數字太小，學生正確答題率高，不易呈現

(43)

33 學童使用直覺法則情況，故修改題目，將第十大題中欲比較因數個數之二數數字提高，修正內容如表3-3-2。表3-3-2 預試試卷試題變更一覽表 題號預試試題內容修改後正式施測試題內容 10. 請比較哪一數的因數個數比較多: (1)( ) 6 和 23，哪一數的因數個數比較多？ (2)( ) 30 和 45，哪一數的因數個數比較多？ (3)( ) 174 和 136，哪一數的因數個數比較多？請比較哪一數的因數個數比較多: (1)( ) 70 和 105，哪一數的因數個數比較多？ (2)( ) 174 和 136，哪一數的因數個數比較多？ (3)( ) 693 和 782，哪一數的因數個數比較多？題目修正後，確定正式施測題目。各題目與所欲測試之學生直覺法則反應，如表 3-3-3 所示，其中「數字越大因數越多」概念之直覺法則反應，概稱為因數直覺法則；「數字越大倍數越多」概念之直覺法則反應，概稱為倍數直覺法則。題目包含學校教過課程，及學童尚未習得之數學概念。表 3-3-3 直覺法則試卷欲測試之直覺法則及對應之正式施測題目 題號欲測試之直覺法則題目 1 More A- More B 法則有甲、乙兩個正六邊形，如圖示，請問角 1 和角 2 哪一個角比較大？甲乙 2 More A- More B 法則園遊會時，橘子拿出他身上零用錢的 1 3買一個漢堡，而柚子則拿出他口袋中所有錢的2 7買一個銅鑼燒，請問一個漢堡和一個銅鑼燒，哪個貴？ (續下頁)

五年級學童數學直覺法則與因數倍數概念關聯性探討

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：林原宏博士 易正明博士