施測結果描述性分析

本研究以直覺法則試題與因數倍數概念試題為研究工具，其中直覺法 則試題採用文獻提出之「More A-More B」、「Same A-Same B」、「有限細分」、

「無限細分」、「習慣化」五種直覺法則，加上研究者欲探究之因數個數比 較問題中的「數字越大因數越多」直覺法則想法、倍數個數比較問題中的

「數字越大倍數越多」直覺法則想法，在本研究中將之概稱為「因數直覺 法則」與「倍數直覺法則」，合計共七個法則為研究直覺之向度，據以編 擬 12 大題數學直覺法則試題。另一份因數倍數概念試題，則包含因數概 念、倍數概念、公因數概念與公倍數概念四大向度，每個向度皆有 6 題，

共 24 題。研究工具以國小五年級學童為研究對象進行施測，其中有效樣 本男生 286 人、女生 284 人，共 570 人。

一、施測工具品質分析

研究者將學生作答資料轉換為 0、1 二元計分後，進行直覺法則試題 與因數倍數概念試題品質分析，其結果整理如表 4-1-1、表 4-1-2。根據表 4-1-1 之數據，受試者直覺法則使用比率介於.09 至.91 之間；根據表 4-1-2

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概念類別 題號 通過率 Pearson相關係數

倍數

1-3 .55 .565**

1-4 .51 .601**

2-3 .82 .545**

2-4 .71 .451**

3-3 .62 .583**

3-4 .71 .553**

公因數

1-5 .65 .623**

1-6 .62 .658**

2-5 .69 .566**

2-6 .44 .545**

3-5 .33 .529**

3-6 .56 .585**

公倍數

1-7 .53 .581**

1-8 .63 .629**

2-7 .79 .622**

2-8 .55 .489**

3-7 .67 .637**

3-8 .44 .591**

∗∗ p < .01

二、「數學直覺法則試卷」施測結果分析

本研究針對直覺法則文獻提出之「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「無限細分」、「有限細分」及「習慣化」五種法則，及文獻中受直覺 法則影響之因數與倍數個數比較問題，編擬「數學直覺法則試卷」。其中

「 More A- More B」法則及「 Same A- Same B」法則各三題；另由三題 連續細分型問題，同時測出學童使用「無限細分」法則或「有限細分」法 則之傾向；「習慣化」法則利用包含六個子題之題組測試；因數個數比較 問題及倍數個數比較問題各兩大題，每大題有三小題，測試「數字越大因 數越多」因數直覺法則及「數字越大倍數越多」倍數直覺法則。整份試卷 合計 12 大題，共 21 小題，測試七大法則類型。學童作答情形概述如下:

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(一) 學童各題受直覺法則影響之選項分析

由直覺法則試卷中學生的答題反應，有以下發現:

1. 「 More A- More B」、「 Same A- Same B」、「無限細分」、「有限細分」

及「習慣化」五種直覺法則問題中，學童會依循題目中提到之數字、

圖型的大小等，或其生活經驗，來回答問題，而忽略所學數學概念。

研究工具已界定所預測試之直覺法則類型方予計分，但由學生的答題 反應可見如同紀宗秀(2005)所提出之發現，學生對問題外在特徵的觀點 並不一致，所以同一問題，不同學生所持之直覺法則或直覺想法，有 所不同，會呈現一個以上的直覺法則。惟一般受直覺法則影響之學生，

大多依循題目所欲測試的直覺法則類型選答，因此直覺法則確實可以預測 學生共通反應模式。

2. 學童使用直覺法則答題常導致錯誤解答，但也有可能獲致正確答案，如 第一題中，學童若僅以兩圖型均為六邊形，而選擇角 1 和角 2 相等，

此符合「 Same A- Same B」直覺法則理論，雖回答正確，卻非依數學 概念；第六題中，有學生認為月初機型新所以價格貴，此符合「 More A- More B」直覺法則理論，結果選出正確選項，但亦非依循正確數學 概念作答。此呼應林原宏、郭竹晏(2010)所提出，學童使用直覺法則答 題時，有可能產生錯誤或正確的答案。

3. 在因數個數比較問題中，學生答題確實經常出現選擇「數字越大因數越 多」情形，此符合「 More A- More B」直覺法則理論。研究者認為基 於題目數字較大，五年級又以列舉法為解題方式，計算費時，學生猜 測大的數中可能有多一些可列舉的數，因此直接選擇大的數。而由學 生答題原因中，也發現有部分學生使用短除法，而使用短除法答題者 常能計算出正確答案。另外，也有少數學童有「偶數的因數比奇數多」

之想法，研究者認為是基於學童在列舉因數過程中，偶數極容易先找 出 2 這個因數，因此產生偶數比奇數多了 2 這個因數之直覺反應，而

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2. 在連續細分型的數列問題上，絕大部分學生傾向於做出無限細分的反應。

蔡秉恆、黃天佑(2005a)研究顯示，學生對數字的概念具有較正確的無 限概念，但對幾何物體的本質與物理物體的本質，在認知概念上無法 分辨差異。在本研究中，亦有相同發現。

3. 七大向度之直覺法則中，男生在「無限細分法則」、「因數直覺法則」與

「倍數直覺法則」各題使用該法則之人數比率大於女生；女生在「Same A-Same B 法則」、「有限細分法則」與「習慣化法則」各題使用該法則 之人數比率大於男生。

4. 在因數個數比較問題中，學生隨著題目數字增大，存在「數字越大因數 越多」概念比率增加。

5. 在倍數個數比較問題中，學生存在「數字越大倍數越多」概念之比率 並不高，因此研究者進一步了解學生答題狀況，發現學童存在「數字 越小倍數越多」之想法出現頻率不少。經研究者另行統計，第 11 大題，

三題倍數個數比較問題，各具有 24%、19%、20%的學童選擇小的數倍 數多，比選擇「數字越大倍數越多」之學童比率 9%、12%、14%來得 高。由學生答題過程所見，以第一小題 2 和 5 的倍數個數比較為例，

有部分學生列舉 2 的倍數 2、4、6、8、10……，及 5 的倍數 5、10，

當他們發現有相同倍數 10 出現時，便逕行下結論，2 的倍數較多。研 究者認為他們的思慮過程，以為在固定範圍內，小的數可乘出較多個 倍數，乃因他們尚未具備無限的概念。因應此種「數字越小倍數越多」

直覺反應，且基於比較型問題中，A 與 B 特徵之多少本應相對，B 特 徵之比較既有 B1>B2 及 B1=B2 兩直覺法則情況，理應也有 B1<B2 之 發生可能，因此研究者提出新的直覺法則「 More A- Less B」，提供日 後研究者參考。此「 More A- Less B」直覺法則，可定義為: 被比較的 兩物體或系統，在特徵 A 上有明顯量差 A1＞A2，造成學童在比較另一

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根據表 4-1-5，分析結果如下：

1. 每個試題中，不論男生、女生皆有某比率的受試學童擁有該因數與倍數 概念，且各試題之比率皆有所不同。

2. 於四個因數與倍數概念中，女生在「因數概念」各題答對人數比率皆大 於男生。