模糊集群之理論與應用

壹、 模糊理論的基本概念與應用

在日常生活中，個人思維的主觀意識受人、事、時、地、物變遷的影 響，使得語意具模糊性，譬如描述性質概念時，「很可能」、「一點點」、「美 與醜」、「冷與熱」等用語，沒有絕對分明的界線，皆含有混淆的不確定性。

但在現實世界中，我們又常希望透過明確的數學方法，將日常觀測資料加 以量化，提供可參考的訊息量值；加以科學所欲研究的物件結構複雜性日 益增加，使得科學家無法清楚研究其真實本質以適應研究的需求，以往經 典的「非此即彼」二元邏輯被發現只是理想世界的模型，因此模糊理論的 想法應運而生。模糊理論憑藉模糊邏輯模式的呈現方式，被認為要比直接 指定單一物體的特定值，較符合實際狀況，而適於評估物體間的相關特 性。

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早在 1923 年，B.Russell 就寫出了有關「含模糊性」的論文，他認為 所有的自然語言均是模糊的。M. Black 於 1937 年也針對「含模糊性」的 問題深入研究，並提出「輪廓一致」的新概念，可視為「歸屬度函數」概 念之思想萌芽(馮國臣，2007)。但模糊理論的建立歸功於 L.A. Zadeh：它 發端於 Zadeh 在 1965 發表的模糊集合(fuzzy set) 論文，文中首次提出表 達事物模糊性重要的隸屬函數概念，從而突破了 19 世紀末 Rene Descartes 的經典集合理論，奠定模糊理論的基礎。其後模糊理論中大部分的基本概 念也由 Zadeh 陸續提出，包括 1968 年的模糊演算法概念、1970 年與 Bellman 共同提出的模糊決策，以及 1971 年的模糊順序，Zadeh 並於 1973 年發表 論文，介紹語意變數概念，提出使用「模糊若-則(If-Then)」規則將人類知 識公式化，而建立模糊控制的基礎(汪惠健譯，2006)，他更在 1999 年建議 引用感覺測度(perception measure) 和軟計算( soft computing system) ，共同 應用作為模糊函數估計量(吳柏林，2005)。

原本有許多學者反對模糊理論，認為它違背基本科學原理，但隨著對 模糊理論投入研究者日增，1984 年國際模糊系統學會(International Fuzzy Systems Association) 正式成立。1987 年日本將模糊理論應用於仙台市 (Sandai)地下鐵的模糊控制系統引起轟動，並在 1990 年發展出模糊系統的 第一個消費性產品－模糊洗衣機，至此「fuzzy」變得耳熟能詳。模糊理論 逐漸成為研究主流後，便持續充實為一種定量化處理人類語言與思維的新 興學門，它成就了模糊測量理論、模糊拓樸學、模糊代數、模糊分析等數 學分支，並且不再侷限於研究人類的思維與情感，而是提供一種新的模式，

去處理以往在嚴謹精確原則要求下衍生的技術層面灰色地帶(吳柏林，

2005)，因此被廣泛運用到不同的領域。在自動控制方面，各種家電、工業 電力、交通工具駕駛及機器人等控制技術；在影像辨識方面，對醫學病症、

手寫字體、語音、指紋的判別；在訊號處理、通訊、積體電路製造與專家

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系統知識庫建置等，甚至在自然環境及社會現象的研究、財經商業管理、

心理分析、教學評量等，均可見模糊理論應用的實例，如模糊問卷分析、

模糊回歸與景氣循環、模糊時間數列與股價指數預測(王文俊，2001；汪惠 健譯，2006；馮國臣，2007；阮亨中、吳柏林，2000)。

模糊理論是參考人腦思維方式對環境所使用模糊測度與分類原理，給 予較為穩健的描述方法處理多元複雜的曖昧、不確定現象(阮亨中、吳柏林，

2000)。模糊理論最基本的概念是模糊集合概念，它將觀測值轉換為模糊資 料集，利用隸屬度函數(membership function)描述模糊集合的性質。以往的 集合是二元現象，認為一個元素屬於一個集合即以 1 表示，若是不屬於一 個集合即以 0 表示，而模糊理論中，則用介於 1 和 0 之間的數來表示其隸 屬程度。模糊理論一般是對模糊集合、模糊關係、模糊邏輯、模糊控制、

模糊量測等理論的泛稱。阮亨中、吳柏林(2000)認為，對傳統集合論進行 擴充之後而形成的模糊集合論、具有概率擴充意味的模糊測度論以及把模 糊概念(fuzziness)導入通常邏輯而形成的模糊邏輯，統稱為模糊理論。

Wang(1996)將模糊理論的研究領域分為五個主要分支，並提出各分支不同 的研究主題(汪惠健譯，2006)，其分類如下:

(一) 模糊數學：包含模糊集合、模糊量測、模糊分析、模糊關係、模糊拓 樸等。

(二) 模糊系統：分為模糊控制、模糊訊號處理、通訊三類。模糊控制包含 控制器設計、穩定性分析等；模糊訊號處理包含圖樣識別、影像處理 等；通訊包含等化頻道分配等。

(三) 模糊決策：包含多準則最佳化、模糊數學規劃等。

(四) 不確定性與資訊：包含可能性理論、不確定性的量測等。

(五) 模糊邏輯與人工智慧：包含模糊邏輯原理、近似推論、模糊專家系統 等。

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綜上所述，模糊理論是一種不以精確計算為手段，僅透過模糊邏輯的 近似推理，而使用模糊集合或隸屬性函數，針對模糊概念外延帶來的不確 定性訊息，做出積極處理與正確判斷的近代數學理論；而其應用的範圍廣 泛，涵蓋電機工程、資訊科技、社會科學、醫學、教育學與心理學等。

貳、 模糊集群相關理論及演算法

模 糊 集 群 為 集 群 分 析 與 模 糊 理 論 二 者 概 念 之 連 結 (Kaufman &

Rousseeuw, 1990)，此種分群方式在資料歸類時，所得到的歸屬關係比傳統 集群分析方法更具合理性。

集群分析又稱聚類分析，是統計學中多變量分析的一種，用以處理類 別型態的資料。集群分析方式是考慮群體中具有相似特性的族群，將其歸 併在一起(阮亨中、吳柏林，2000)。它將同質性資料聚合成群，同時又讓 群與群之間達到顯著之差異性。一個確切的分類可以按照等價類的形式來 確定，但是現實社會中的分類問題，往往伴隨著模糊性質(馮國臣，2007)，

因此分群若僅依照彼此之間有無關係的絕對限制條件，往往失真，倘能運 用模糊理論，考量相互關係的深淺程度，將可得到反映真實情況的完善分 類效果，模糊集群即應運而生。

傳統集群常以距離(distance)表示群體中各元素之間的相似度，而在模 糊集群分析中，隸屬度是決定元素之間距離的重要因素(林原宏，2001)。

模糊集群分析有多種方法，常見者為「目標函數法」、「α截矩陣法」、「最 大樹法」三種，各具特色。其中，目標函數法對於分割圓形或橢圓形的資 料有較佳的分群結果，對於函數型態的資料或不規則分佈的資料，分割效 果較差(吳子恆，2003)；α截矩陣法將元素漸次歸併，使集群數逐步減少，

最終形成一個最大集群，具階層性優點，但缺點在於無法具體描述出隸屬 度，且先決條件必須其模糊矩陣為等價矩陣，方可直接進行分析；最大樹 法在研究者希望分為固定集群數再進行分析時適用，可觀察各元素間距離

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24 度指標大部分是利用歸屬程度和距離組合而成的，其中，以Bezdek ( 1981) 所提之分割係數(partition coefficient)與分割亂度(partition entropy)使用較廣，

說明如下:

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參、 模糊集群相關研究

模糊集群相關研究涉及領域廣泛，除了有關理論架構及演算法的探討 之外，更在電機資訊工程、經營管理科學、醫學心理、教育學術等領域有 許多應用模糊集群的研究。

在電機資訊工程方面，謝享奇(1999)、許臣君(2007)分別將模糊集群應 用於數位影像及指紋辨識系統之研究；邱華凱(2005)用以探討綠色工程產業發 展策略；王淑貞(2006)則提出模糊集群新演算法及其在電力系統工程之應用；

許智豪(2011)應用模糊分群法於主動噪音抑制系統之設計與製作。

在經營管理科學方面，鄭俊昇(1996) 應用模糊集群進行茶葉品質鑑定 研究；溫裕弘、蔡明穎(2012)用以進行台灣物流業之產業群聚分析；詹惠君、徐 村和、朱國明(2000)則運用於信用卡市場區隔之研究；吳舜如(2003)提出運 用模糊集群調配二審法院民庭人力資源之研究；Zarandi, Rezaee, Turksen &

Neshat (2007)用以發展出一套模糊規則專家系統對股價進行分析。

在醫學心理方面，何正宏(1990) 提出模糊聚類法於胃癌診斷之分析；

Masulli & Schenone (1999)運用模糊集群所形成之分割系統來協助醫學影 像診斷；吳文祥(2003)運用模糊集群，於探勘紅斑性狼瘡患者之中醫潛在 證型類別；熊書顯(2004)探討模糊集群在體適能的應用情形；黃昇平(2006) 應用模糊聚類進行半導體產業作業員之工作壓力分析。

至於模糊集群在教育學術方面之應用，更是本研究關注的焦點。黃馨 瑩、王士信、林原宏(2007) 整合模糊集群與多元計分次序理論探討六年級 學童在植物繁殖概念上的知識結構。林靜宜(2008) 進行新竹市高中職家長 對學生品格教育內涵之期望類型及滿意度研究，經由集群分析將家長分為

「全人發展型」、「堅毅上進型」、「保守期望型」等三種類型。而在教 育學術之數學領域中，模糊集群的應用更受到重視。Law (1996, 1997)和Yen (1996)利用模糊隸屬度函數的定義關係，用於數學教育指標系統的建立。

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Perdikaris (1996) 利用模糊集合隸屬度函數理論，建立出van Hiele 幾何認 知發展模式(引自林原宏，2001)。施勝耀(2007)進行國小一到三年級，數學 學習領域代數分年細目之模糊集群與詮釋結構模式分析。黃秀玉(2007)將 模糊集群分析與次序理論整合應用，進行國小低年級學童在整數加減法概 念之縱貫研究。陳嘉甄、陳慶彥(2009) 以模糊集群方法，分析國小三年級 學童數學錯誤概念組型。鄭如君(2010) 應用模糊集群，分析國小六年級學 生數與量分年細目之概念階層結構。

模糊集群分析將一大筆異質的群體，區隔為內部同質性較高的群集，

而隸屬於不同集群的受試者又具有迥異的性質，透過研究者的說明，配合 群集的意義，使得研究的結果更客觀完備，因此應用相當普遍。

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