結論

本研究利用「數學直覺法則試卷」及「因數倍數概念測驗」紙筆測驗 方式，進行實證資料蒐集，以中彰投雲嘉地區 570 位國小五年級學童為樣 本，針對學童使用「More A-More B」、「Same A-Same B」、「有限細分」、「無 限細分」、「習慣化」、「數字越大因數越多」因數直覺法則與「數字越大倍 數越多」倍數直覺法則之情形，以及「因數」、「倍數」、「公因數」、

「公倍數」四大概念之表現，進行深入探討及相關性分析。並利用模糊集 群適當分群，了解分群學生特徵以利教學運用。歸納研究結論如下:

壹、學童使用直覺法則情況及因數與倍數概念表現

一、「More A- More B」、「Same A- Same B」、「無限細分」、「有限細分」及

「習慣化」五種直覺法則問題中，學童會依循題目中提到之數字、圖 型的大小等，或其生活經驗，來回答問題，而忽略所學數學概念，因 此直覺法則確實可以預測學生共通反應模式。

二、在連續細分型問題，學生作答時對幾何物體與物理物體的本質，無法 分辨差異，因此「有限細分法則」和「無限細分法則」同時具有主導 性，但絕大部分學生在數列問題上，傾向於做出無限細分的反應，表 示對數字具有較正確的無限概念。

三、在因數個數比較問題中，學生答題確實經常出現選擇「數字越大因數 越多」情形，此符合「More A- More B」直覺法則理論。少數學童有

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「偶數的因數比奇數多」之想法，研究者認為可視為「More A- More B」

直覺法則之特例。

四、在倍數個數比較問題中，學童存在「數字越小倍數越多」直覺法則之 比率，高出選擇「數字越大倍數越多」直覺法則之比率。因此研究者 提出新的直覺法則「 More A- Less B」，可提供日後研究者參考。此

「 More A- Less B」直覺法則，可定義為: 被比較的兩物體或系統，

在特徵 A 上有明顯量差 A1＞A2，造成學童在比較另一特徵 B 時，產 生直覺想法，認為 B1<B2。

五、男女學童在各因數與倍數概念類別得分表現，均是倍數>公倍數>因數

>公因數。原因可歸究於，因數概念相當抽象，學童也較少接觸相關 問題，但日常生活中卻有許多倍的問題的解題經驗，使倍數的意義易 於了解。

貳、數學直覺法則與因數倍數概念表現之關聯性

各直覺法則經皮爾森相關係數檢定，「More A─More B 法則」和「習 慣化法則」呈現正相關，「More A─More B 法則」和「倍數直覺法則」呈 現正相關，「Same A─Same B 法則」和「無限細分法則」呈現正相關，「Same A─Same B 法則」和「有限細分法則」呈現負相關，「有限細分法則」和「無 限細分法則」呈現負相關，「習慣化法則」和「倍數直覺法則」呈現正相 關，「因數直覺法則」和「倍數直覺法則」呈現正相關。

因此，學童使用直覺法則的習慣有其共通性，可能同時使用的直覺法 則，包括:「More A─More B 法則」和「習慣化法則」、「More A─More B 法則」和「數字越大倍數越多」因數直覺法則、「Same A─Same B 法則」

和「無限細分法則」、「習慣化法則」和「數字越大倍數越多」倍數直覺法 則。可能不同時使用的法則為「Same A─Same B 法則」和「有限細分法則」。

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二、 各直覺法則與各因數與倍數概念表現之相關

研究顯示學童使用直覺法則情況，與因數與倍數概念學習表現有其關 聯性如下:

(一)「More A─More B 法則」與各因數與倍數概念之間呈現負相關，即作 答反應上常使用「More A─More B 法則」的學童，在因數概念、倍數 概念、公因數概念與公倍數概念之表現較差。

(二)「Same A─Same B 法則」與因數概念、公因數概念、公倍數概念之間 呈現正相關。即作答反應上常使用「Same A─Same B 法則」的學童，

也是因數概念、公因數概念、公倍數概念表現較佳的學童。

(三)「有限細分法則」與倍數概念、公因數概念、公倍數概念之間呈現負 相關。即常使用「有限細分法則」的學童，在倍數概念、公因數概念、

公倍數概念的表現上並不佳。而「無限細分法則」則與上述相反。

(四) 「習慣化法則」與各因數倍數概念之間呈現負相關。即常使用「習慣 化法則」的學童，在各因數與倍數概念的表現上不佳。

參、數學直覺法則與因數倍數概念表現之性別差異

一、男、女生在使用「More A─More B 法則」、「有限細分法則」、「無限細 分法則」、「因數直覺法則」與「倍數直覺法則」五個直覺法則上，並 不因性別不同而有所不同，但女生比男生慣用「Same A─Same B 法則」

與「習慣化法則」。

二、「因數」、「倍數」、「公因數」、「公倍數」四大概念中，女生於

「因數概念」各題答對人數比率皆大於男生。

由上可見，不同性別學童，在各類數學直覺法則及因數與倍數概念學 習表現，並無普遍差異。

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肆、模糊集群分析結果

本研究以學童使用「More A─More B 法則」、「Same A─Same B 法則」、

「有限細分法則」、「無限細分法則」、「習慣化法則」五個直覺法則之總分，

進行模糊集群分析，將學童分為三群，探究各群組學童使用直覺法則及因 數與倍數概念表現之特徵及性別差異。結果如下:

一、各群組學童使用直覺法則及因數與倍數概念表現之特徵

(一) 第一群學童較其他群組學童更常使用「有限細分法則」，而較少使用

「More A─More B 法則」、「無限細分法則」與「習慣化法則」。而在 因數與倍數概念表現中，「因數概念」與「倍數概念」之平均得分，

明顯較其他群組高，

(二) 第二群學童人數最多，較其他群組學童更常使用「Same A─Same B 法 則」與「無限細分法則」，而較少使用「有限細分法則」。而在因數與 倍數概念表現中，「公倍數概念」之平均得分，明顯較其他群組高。

(三) 第三群學童人數最少，較其他群組學童更常使用「More A─More B 法 則」與「習慣化法則」，較不常使用「Same A─Same B 法則」。而在因 數與倍數概念表現中，「因數概念」、「倍數概念」、「公因數概念」與

「公倍數概念」，平均得分均比其他二組相對較差。

研究顯示各群組學童使用直覺法則特徵不同，其因數與倍數概念學習 表現也有所差異。

二、各群組學童使用直覺法則及因數與倍數概念表現之性別差異 (一) 第一群學童男、女生使用各類直覺法則情形，均無性別差異。但女生

在「因數概念」的表現優於男生，至於「倍數概念」、「公因數概念」

與「公倍數概念」，性別差異皆未達顯著。

(二)第二群學童男、女生使用直覺法則情形，於「More A─More B 法則」、

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「Same A─Same B 法則」和「習慣化法則」皆達顯著差異，但於「有 限細分法則」與「無限細分法則」及各因倍與倍數概念中，性別差異 均未達顯著。

(三) 第三群學童男、女生之間平均得分，於「習慣化法則」達顯著差異，

而在「More A─More B 法則」、「Same A─Same B 法則」、「有限細分法 則」、「無限細分法則」與各因數與倍數概念，則無顯著差異。

研究顯示，各群組不同性別學童，在使用各直覺法則及因數與倍數概 念表現上，並無普遍之差異性。