第四章 結果與討論
第一節 國中數學教科書幾何活動發展學生數學能力情形
本節從三個方向分析不同版本國中教科書幾何教材發展學生數學能力之各 類幾何活動的分佈情形與異同。第一部份，國中數學教科書發展學生數學能力的 整體趨勢；第二部份，國中數學教科書發展學生數學能力各版本的情形；第三部 份，比較各版本培養學生八種數學能力的教材安排情形。
壹、國中數學教科書中幾何活動發展學生數學能力整體趨勢
本研究以溝通、思考及推理、表徵及表徵化、論證、問題呈現與解決技巧、
運用符號形式化及科技的語言和運算、使用輔助工具、建模技巧等八項數學能力 的發展為主軸，分析國中數學教科書中幾何活動需要學生練習或回應的部份，是 否安排促進學生前述八項能力的活動。研究者將四個版本各類目下，有安排學生 該項數學能力之相關活動，佔該版本全部幾何活動學生練習題題數的百分比整理 如表 4-1。整體來看四個版本教科書發展學生數學能力的幾何活動安排，其趨勢 相近，都是以 1.思考及推理；2.問題呈現與解決技巧；3.運用符號、形式化及科 技的語言和運算；4.表徵及表徵化；5.溝通等五項能力所佔的百分比較高。而使 用輔助工具、建模技巧、論證等三項能力所佔的百分比相對較低，如圖 4-1。
由圖 4-1 可看出各版本在八項數學能力的分佈，整體趨勢一致性高。這八項 能力佔整體教材幾何活動的百分比大致可分成兩群，第一群是百分比皆在 80%
表 4-1
2.建模技巧 3.論證。兩群分述如下：
在思考及推理能力方面，各版本所有幾何活動的學生練習題，幾乎 100%和 此能力有關。此結果顯示，國中數學教科書大部分的幾何練習活動需要學生運用 思考及推理能力。本節後面在數學思考及推理能力教材安排情形中，更會細部討 論組型，可看出各版本都強調培養學生能夠確定數學問題的特性和結構，部份題 目更安排讓學生將數學問題重新組織或轉化成數學形式處理，進而運用數學定理 說明數學概念或關係，是各版本數學教科書活動所關連的數學能力比例最高者。
其次，在問題呈現與解決技巧方面，各版本相關活動的百分比介於 89%~97%
之間，表示國中數學教科書中，有九成或九成以上的幾何活動，和培養學生將問 題以數學方式重新建構並運用假設或數學定理及公式，進而採用簡單或多步驟的 解題過程得到數學答案或結論等有關。
在運用符號、形式化及科技的語言和運算方面，各版本相關活動的百分比介 於 86%~89%之間，表示國中數學教科書中有近九成的幾何活動，和培養學生解 碼和詮釋符號和公式化語言，或使用適當的變數、符號、圖、表、數學語言以表 達、計算或證明，甚至部份題型要培養學生能夠了解和利用奠基於定義、規則和 公式化系統下的正式結構，並運用算術表達式和運算處理陳述式等方面的能力有 所關連。
至於表徵及表徵化方面，本研究分別就「表徵」和「表徵化」分別加以分析。
結果顯示，在「表徵」相關活動方面，各版本所佔的百分比在 85%~94%之間，
其中康軒版、翰林版、南一版約占八成五左右，部編版有九成四的幾何活動問題 和培養學生能夠依循指示運用單一或簡單程序性操作的表徵型態有關。至於「表 徵化」方面，活動所占的比率在 10%左右，研究者分析這樣的結果，有以下幾種 可能性。第一、教科書中大多數題目是屬於給定表徵且表徵完整的題目，學生只 要理解表徵的意含依循題目的指示來解題即可，不需要再做表徵轉換或自行再做 新的表徵，因此在表徵化的劃記上會相對比較少；第二、本研究以「題」作為記 錄單位而非題組，因此除非該題表徵不完整，需要經過學生構思圖形或相對關係
圖進而利用運算或證明解題，或是題目有直接要求兩種以上表徵形式，否則僅單 一問題不易達到表徵化的能力。
在溝通方面，本研究溝通類目下分為兩個大的子類目，其中「辨識並理解不 同明確程度訊息下的數學概念」下，分為明確訊息、大部分訊息明示與大部分訊 息隱含，此三者屬於互斥的類目，各版本三者合計都是佔 100%，表示各版本都 安排了訊息傳遞的幾何活動問題，差別僅在訊息明確程度的不同。而另一個子類 目「採用各種方式，表達自己本身理解的數學問題情境，並用口語或書面解釋」
百分比就有所差異，各版本分佈在 82%~93%之間，主要是因為每個題目所給定 的訊息明確程度不同，以及題目要求學生答題方向的差異，而使學生需要使用不 同的表達方式來做數學的溝通，但整體來看溝通能力仍然是教科書所重視的。
以上五種是數學教科書跨版本都十分重視要培養學生的五大數學能力，屬於 百分比高的第一群，而其他三項是百分比相對較低的數學能力。就使用輔助工具 類目來看，所佔百分比在 32%~39%之間，此類作圖題研究者設定分為給定表徵 與未給定表徵兩類的活動。給定表徵類型的題目，題目中大多會有不完整的圖，
安排的主要目的在培養學生根據題意，做圖形的輔助線或將圖形利用作圖才能進 一步進行推論並確認答案的能力。未給定表徵的題目，題目中大多僅有文字敘述 而沒有圖，此類題目的安排在於培養學生能夠根據文字自行建構圖形的能力，並 將圖形回歸題意，評估和驗證使脈絡下的問題有意義。此類作圖題涉及表徵轉化 及整合的能力，典型只會出現在上述兩類活動上，因此出現的百分比自然會較低。
建模技巧類目百分比則是介於 20%~23%之間，此類能力主要出現在同上述 作圖題中的未給定表徵的題目，藉由沒有圖形表徵的文字題中，培養學生能夠根 據文字自行建構圖形的能力，多屬於建模技巧的初階經驗，而並非完整符合建模 技巧的所有次類目。
論證類目百分比介於 11%~21%之間，此類能力僅出現在部份需要運用概念 或定理證明的幾何活動，且有的版本用填充題形式引導學生培養證明題的表達。
從有證明題的幾何活動安排量以及題目形式的差異性，使其所佔百分比較低。
貳、各版本國中數學教科書發展學生數學能力的情形
此部份研究者呈現各版本數學教科書在八項數學能力上整體的分佈情形，以 及在數學能力下該版本出現頻率最高的組型題目之舉例及說明，並分析各版本在 幾何活動上的編排特色與呈現的形式。
一、康軒版
研究者針對康軒版數學教科書中幾何活動學生練習題共計 570 題加以分 析，這些問題和八項數學能力培養的關連，以思考及推理所佔百分比最高，佔 100%，其他較高者依次為問題呈現與解決技巧佔 89%、運用符號、形式化及科 技的語言和運算兩類目均佔 86%、表徵及表徵化佔 86%、溝通佔 83%，此五項 皆佔整體八成以上；其他三項數學能力相關活動所占的百分比則相對較低，依序 為使用輔助工具佔 35%、建模技巧佔 21%、論證佔 15%。詳如表 4-2。
表 4-2
康軒版國中數學教科書幾何活動中數學能力整體分佈情形
數學能力 康軒版
出現題數 百分比(%)✽
溝通 理解 570 100
表達 474 83
思考及推理 569 100
表徵及表徵化
表徵 492 86
表徵化 69 12
論證 87 15
問題呈現與解決技巧 505 89
運用符號、形式化及科技的語言
和運算 490 86
使用輔助工具 198 35
建模技巧 119 21
✽註：百分比(%)是以總題數 570 題為基準的計算結果。
研究者依據八項類目，針對康軒版幾何活動進行劃記得到表 4-2 的結果。研
究者設定為該類目下的次類目只要有劃記到一個(含以上)，就算該題活動的安排 有培養學生該項數學能力。因此研究者進一步分析康軒版百分比較高的前五個數 學能力，根據其劃記結果，發現有許多題目是能夠同時培養此五種能力，例題詳 如圖 4-2，圖 4-3。
圖 4-2 出自康軒版生活中的平面圖形單元，透過此題目的圖形結構，學生需 解讀複合圖形，將兩個 30o及 60o扇形面積和扣掉三角形面積即為綠色部份面積，
且運用舊知識從三角形內角和推得∠ACB＝90o，進而推算三角形面積。因此本 題主要與培養學生下列五種能力有關：1.思考及推理能力，透過圖形解讀的過程 確定數學問題的特性和結構，並轉化成數學形式處理，運用三角形內角和及三角 形面積扇形面積公式計算，並覺察扇形與三角形的疊合關係，運用給定的條件推 理；2.問題呈現與解決技巧能力，將問題以數學方式重新建構並運用用數學式，
以及採用多步驟解題過程得到數學答案；3.溝通能力，培養學生透過三角形內角 和，並採用計算方式表達得到未知的∠ACB＝90o；4.表徵能力，即為培養學生 運算表達的過程；5.運用符號、形式化及科技的語言和運算能力，透過該題諸多 的線段、角度、根式等數學符號及語言，旨在培養學生解讀並運用數學符號表達 的能力，再藉由公式計算出扇形及三角形的面積。
圖 4-2 康軒版第四冊第二章第一節自我評量。洪有情（2013）。國民中學數學課 本（第四冊），頁 62。臺北：康軒。
圖 4-3 出自康軒版垂直、平分與線對稱單元，透過題目所安排的對稱關係及 給定圖形的角度與對稱線段長度等條件，學生運用先備知識經過充分整合運用，
並透過文字與圖像的結合進行表徵整合的分析，發現等腰三角形進而推論 ABCD 為正方形，再推算角度及面積。因此本題主要與培養學生下列五種能力有關：1.
溝通能力，從題目大部分隱含的訊息中利用線對稱圖形辨識出角度及正方形，並
溝通能力，從題目大部分隱含的訊息中利用線對稱圖形辨識出角度及正方形，並