幾何主題在數學領域的重要性

本節從兩個方向探討幾何主題在數學領域的重要性，第一部份從數學課程標 準來分析幾何的角色與地位；第二部份從幾何教材中活動編排來檢視其角色與重 要性。

壹、從數學課程標準分析幾何的角色與地位

幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學，國內外中學數學課程發展均將 幾何列為基本學習素材，可見其重要的角色與地位。檢視芬蘭、臺灣、英國、美 國、加拿大、日本、新加坡、南韓等這些在國際數學與科學教育成就趨勢調查

（Trends in International Mathematics and Science Study, 簡稱 TIMSS）和國際學生 評量計畫（Programme for International Student Assessment, 簡稱 PISA）等國際性 評比中，被評為學生數學能力優秀的國家（TIMSS, 2003 ; PISA in Finland, 2006）

的數學課程也能發現，這些國家的數學課程改革皆將「幾何」或「幾何測量」納 入數學科學習主體裡，可見幾何主題受到臺灣及其他數學評比優秀的國家重視。

世界各個國家的數學課程皆將幾何主題納入數學科學習主體中，表示幾何在 數學教育中有其必然存在的重要性與無可取代性，可從以下幾個國家的數學課程 標準、學習目標、能力指標中，看出一些端倪。因此，研究者整理出國中階段幾 何主題共同強調的方向與重點，分別為：二維及三維形體的特徵與性質以及幾何 推理；而對於培養學生數學能力，學習幾何可以提升其邏輯思考、分析、歸納、

演繹、表徵、溝通等能力。以下分別簡述美國、芬蘭與我國的數學課程目標，並 做簡單的整理與比較。

一、 從美國的 NCTM 課程標準分析幾何的角色與地位

美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM）

的課程標準是各國訂定數學課程綱要的重要參考，就美國的課程目標來看幾何，

發現從《學校數學課程與評量標準》（Curriculum and evaluation standards for school mathematics）（NCTM, 1989），以及後續的《學校數學評量標準》（Assessment standards for school mathematics）（NCTM, 1995）及《學校數學原則與標準》

（Principles and standards for school mathematics）（NCTM, 2000），「幾何」主 題適度地從測量中獨立出來，並列為數學五大主題之一（數與計算、代數、幾何、

測量、資料分析和機率），而且增加其教材份量，因為他們認為幾何概念的發展 在各年級都是很重要的（NCTM, 2000）。NCTM《學校數學的原則和標準》中 提到，幾何在數學教育的目的，在於協助學生學習瞭解及運用幾何的性質和關 係，並將幾何目標區分成：（一）分析二維、三維幾何形體的特徵與性質及發展 有關幾何關係的數學論證。（二）使用坐標幾何及其他表徵系統來確定位置與描 述空間的關係。（三）應用變換以及使用對稱性來分析數學情境。（四）使用視 覺化、空間推理以及幾何模式化來解題。每個階段皆以此四大目標為主軸，明列 學生應具備的幾何能力（NCTM, 2000）。因本研究對象為國中階段，橫跨美國 6-8 年級以及 9-12 年級兩部份，以下表 2-1 為四項幾何目標的細目說明。

間的關係(包含全等與相

(vertex-edge graph)來模型化 與解決問題。

註：整理自 Principles and Standards for School Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics, 2000. Reston, VA: NCTM.

幾何被視為一門探討空間物件（spatial objects）、幾何關係（geometric relationships）、變換（transformation）與表徵上述幾何關係的數學公理（axiomatic mathematical systems that have been constructed to represent geometric

relationships）的課程（Clements, 2003）。上述目標一即在學習二維及三維形體 的特徵與性質以及數學論證的概念，以及創造並評論關於幾何概念和關係之歸納 與演繹；目標二討論到座標幾何以及座標表徵與幾何形體之關係；目標三含有二 維及三維形體變換及移動的概念，目標四包含二維及三維形體繪製、表徵、模式 化等概念。綜合上述，研究者發現美國NCTM（2000）《學校數學的原則和標準》

在幾何目標上重複出現二維形體、三維形體、坐標幾何的相關概念，整理細目說 明內容更發現，其課程目標希望能夠培養學生空間、表徵、分析、歸納、演繹等 數學能力，此部分也明顯看出幾何主題之獨特性。

二、 從芬蘭的國家核心課程綱領分析幾何的角色與地位

除了美國之外，芬蘭自 1970 年代開始推行九年一貫國民教育，並進行課程 改革，其成果於 PISA2000、2003 評量總成績稱冠可見一斑，且其在 PISA 2006 學生數學素養的差異值分析更是前四名國家中幅度最小的（林煥祥等人，2008）。

芬蘭的教育水準被國際經濟暨合作發展組織（Organization for Economic

Cooperation and Development,簡稱 OECD）評為整體表現優異，學生個別學習差 異與校際學習差異是全球差距最小的教育體制（OECD, 2001, 2002, 2003），如 此優異的教學成效，實有值得我們探究之處。因此以下研究者將就芬蘭的數學課 程標準中的幾何主題進行整理與分析。芬蘭在 1994 年訂定基礎教育國家核心課 程綱領，2004 年對於 1994 年版的基礎教育國家核心課程綱領修正調整，完成 新的基礎教育國家核心課程綱領，明訂所有教育活動必須遵守國家核心課程架構

（The National Core Curriculum for Basic Education），根據架構所涵蓋的主流與 特殊教育的教學指引、學習目標和評量標準，各市政教育局發展其地方性課程架 構，學校在國家與地方性課程架構下，自行設計教學課程（張家倩，2005）。

芬蘭 2004 年修訂的國家核心課程綱領，「數學」強調能提供學生發展數學 計；第三階段：數與計算、代數、函數、幾何、機率統計（Finnish National Board of Education, 2004）。由上述可發現「幾何」同時存在於三個階段中，針對「幾 何」課程，各階段有訂定核心內容，做為地方政府教科書編定的標準；另核心課 程綱領裡，也羅列了各階段實施課程之後的學習目標，因本研究對象為國中階 段，因此以下表 2-3 針對幾何課程期望九年級學生所能達成的成效進行整理：

表 2-3

註：採自 FNBE（2004）。National Core Curriculum for Basic Education 2004(p.

165)。Finland: The Finnish National Board of Education。

芬蘭第三階段數學課程目標的第四點：學習邏輯思維與創造思維，是能藉由 幾何學習充分發展的部份。因為Clements 和 Battisa（1992）曾提出，幾何提供 我們一種方法去闡釋與反映外在的物理環境，並且可以作為學習其他數學與科學

三、從我國的九年一貫課程綱要分析幾何的角色與地位

我國為了迎接二十一世紀的來臨與世界各國之教改脈動，配合國家發展需求 與回應社會期待，致力教育改革，期以提升國民素質及國家競爭力，在 2003 年 進行九年一貫課程規畫與實施，並於 2009 年修正。九年一貫課程綱要中，在能 力發展的部份提到：「抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其他數 學語言、清楚傳達量化、邏輯關係。發展邏輯思考，用來分析證據、提出支持或 否定假設的論點」（教育部，2009，頁 1）。另外，在能力主軸的部分：「除了數 學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸」（教 育部，2009，頁 2）。除此之外，在數學溝通能力上，學生必須具備理解圖形並 以圖形表達自己意思的能力。由上述可發現幾何在提升學生抽象化能力、邏輯思 考能力、分析推論能力及溝通能力，皆佔有其重要之角色與地位。具體而言，九 年一貫數學學習領域第四階段（國中一至三年級）幾何的教學目標為：「學習三 角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何 推理」（教育部，2009，頁 4），此部分可發現我國在階段性目標的訂定上，強 調幾何性質及幾何推理。

我國將九年國民教育區分為四個階段，四個階段的數學內容是固定的，分別 為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，國中屬於 第四階段。在數學幾何課程綱要課程目標中提到：國中幾何教學的目標，首先在 於提供學生日後有用的核心幾何知識，其次是提供豐富的背景，可以展示數學推 理證明的過程與威力，而推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一。此外，

國中的幾何學習，乃由直觀、歸納轉入幾何推理與證明，希望課程目標的達成，

可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。國中階段的幾何課 程的核心概念是畢氏定理、全等、相似、對稱，並將之應用於常見的幾何圖形如 三角形、四邊形、多邊形、圓等，而得到許多特殊圖形上的個別性質（教育部，

2009）。

綜合我國九年一貫課程綱要第四階段幾何主題的能力指標，如表 2-4（教育

S-4-14

教科書影響著學生的學習，更是學生獲得知識的來源之一（Devetak, Vogrinc

& Glazar, 2010）。Reys、Reys 與 Chavez（2004）認為教科書中之佈題與呈現方 式在教學過程中影響著教師教學以及學生的學習；而 Stein、Remillard 與 Smith

（2007）等人在研究美國兩套數學教材時發現，此兩套教科書在組織形式、相異 因子組成的比重以及內容呈現之順序等方面差異性將會影響學生日後的的學習 表現；此外，Zhu 與 Fan（2006）認為學生的學習以及解決問題能力與其所接 觸問題數量的多寡息息相關，而相關研究（Cai, 1995; Zhu & Fan, 2006; Michael, 2002）亦指出不同型態的問題對學生的解題能力亦深具影響力。從前面討論可推

型態問題」與「視覺型態問題」之注重程度明顯偏低。在數學內容主題差異方面，

三套教材在主題類目中皆不約而同的著重於「三角形」的編製；次類目方面，「幾 何量計算」在各版本所佔比例都是最高的；而在「康軒版數學」排序第二且佔有 相當比例之「推理與證明」，在其餘兩套教材之排序卻是最後。在編排內容與特 色方面，「康軒版數學」在抽象符號之使用上較為廣泛，且常以數學符號表徵方 式來論述其題目，教材中對於公式之使用與運算能力之培養亦著墨甚多；「連結 數學」在佈題的安排方式較不注重公式之使用，且不以大量同質性問題使學生熟 悉某個數學概念，而是改以提問的方式引導學生能說明或描述其解題策略與過 程，其內容是以較多真實生活情境問題來作為學習之引發，同時題目有較多之文

三套教材在主題類目中皆不約而同的著重於「三角形」的編製；次類目方面，「幾 何量計算」在各版本所佔比例都是最高的；而在「康軒版數學」排序第二且佔有 相當比例之「推理與證明」，在其餘兩套教材之排序卻是最後。在編排內容與特 色方面，「康軒版數學」在抽象符號之使用上較為廣泛，且常以數學符號表徵方 式來論述其題目，教材中對於公式之使用與運算能力之培養亦著墨甚多；「連結 數學」在佈題的安排方式較不注重公式之使用，且不以大量同質性問題使學生熟 悉某個數學概念，而是改以提問的方式引導學生能說明或描述其解題策略與過 程，其內容是以較多真實生活情境問題來作為學習之引發，同時題目有較多之文