數學連結的涵義

第三節 數學連結的涵義

本節先概述數學連結的綜合性涵義，其後再分別就數學的外部連結與數學的 內部連結兩部份進行細部的探討與說明。

壹、數學連結的涵義

連結（connection）一詞最早出現在美國數學教師協會 1989 年出版的「學校 數學課程與評鑑標準」中，連結是跨所有年級重要歷程標準之一，內容強調各主 題間的數學概念、相同數學概念與概念、過程間的數學內部連結，及數學與其他 領域、日常生活、社會活動等外部的連結（NCTM, 1989）。美國數學教師協會在 1989 年及 2000 年皆強調連結在數學教育中的重要性，表示如果數學知識與技能 欠缺內部連結，那麼個體必須記憶過多獨立的概念；如果欠缺外部連結，則無法 發現數學知識在其它領域的功能，也無法運用這些數學知識在其它領域中。

NCTM（2000, p. 274）提出貫穿 K-12 年級數學課程中的三個連結標準，希望所 有學生都能獲得下列三項連結能力：

一、能夠瞭解數學概念並具有連結這些概念的能力。

二、能夠瞭解數學概念相互連結的關係，並藉此建立連貫的數學體系。

三、能夠做數學外部的連結，並應用數學所學的知識於相關領域。

另一方面，國內九年一貫能力指標中將連結主題分為「數學內部的連結」和

「數學外部的連結」兩部分，數學內部的連結之課程設計應注重數學各學習領域 內在結構的互相連結，範圍可貫穿數與量、圖形與空間、統計與機率以及代數四 個知識層面的主題，將各學習階段的內容能前後連結，強調的是解題能力的培

養；而數學外部的連結則強調生活與其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、

以及它與一般語言

連結，認為學習數學正如一個積極的建構過程，教學應教導與生活連結的真實問 題（NCTM, 1989）。在NCTM《學校數學課程與評量標準》中，針對每個階段都 有數學連結的具體建議，外部連結部份，在五到八年級，強調運用數學思維以及 模式化來解決藝術、音樂、心理學、科學以及企業方面的問題，重視文化及社會 中數學的角色；在九到十二年級，更應進一步納入數學主題以及應用各主題之間 相互關係，運用並且重視數學與其他領域間的連結（NCTM, 1989；引自洪碧霞 等人，2002 )。

近年來，具有真實情境脈絡的數學教材也漸漸成為世界各國數學教材設計的 趨勢（林慧欣，2003）。莊月嬌即在其研究中整理出，英國的數學課程主張在工 作與日常生活中使用數學；美國NCTM（1989）強調學生才是學習的主體，希望 學生從自身的學習經驗中建構自己的數學知識；荷蘭RME 課程的核心是「個人 所接觸的事實」可發展成數學，數學想要對人類有其價值，必須和真實相連結、

和兒童更貼近，以及和社會相關聯（莊月嬌，2005）。我國學者也提出，九年一 貫課程是以培養學生日常生活所需的數學素養為目標，教師在數學教學上應協助 學生體驗生活情境與數學連結的過程，培養學生能從數學的觀點考察周遭事物的 習慣，提高應用數學的能力（劉文杰，2005）。由此可見，重視數學的生活化與 真實情境的連結，著實是現在數學教育現場所重視的核心價值之一。

另外，PISA 的核心理念數學素養中的一個重要層面：在各類的情境中使用 以及做數學。這意味著數學處理、數學方法的選擇以及表徵通常依賴問題呈現的 情境。而情境是作業內容中學生世界的部分，試題的脈絡是在情境中被特定化，

它包含問題形成中的所有細節要素。由此可知，PISA 進行學生數學知識和技能 判定的標準之一為學生必須懂得將問題置於一個脈絡或情境中，再運用數學化的 過程解決問題。對 PISA 而言，最接近的情境為學生的個人生活；接著是學校生 活、工作以及休閒；然後是日常生活中所會碰到的社區及社會；最後是科學和數 學情境。個人部份的情境則是直接和學生個人日常活動有關；教育或職業部分的 情境則和學生在校生活或者工作場合有關；公眾情境則和當地或廣泛的社群有

關，需要學生觀察週遭環境的某些層面或環節；而科學情境則較為抽象，可能包 含技術的過程、理論情境或者明確數學問題的理解，問題分類涉及將數學應用於 自然世界，及與科學和技術有關的問題和主題（PISA, 2006）。

九年一貫國民中小學課程綱要中提到，數學外部的連結除了強調生活應用解 題外，也要能適當結合其他學科教材的發展，讓學生能認識到數學與其他學科的 關係。在外部連結的部份從科學史來看，數學的發展和科學的發展密切相連，科 學可以視為日常生活情境應用的深化，數學概念的發展相當多得力於科學應用的 推動；而且並不僅止於科技，在教學中恰當連結數學史與科學史的材料，往往能 讓學生更理解數學概念發展的合理性（教育部，2009）。

綜合而言，國內外資料皆顯示，數學的外部連結重視數學的應用，強調數學 與其他學科及真實生活的連結。因此，研究者將其納入分析教科書的類目方向，

界定探討教科書的外部連結即為關注佈題的情境脈絡，藉此審視教科書佈題情境 取材面向的多樣性，以了解國內數學教科書培養學生數學的外部連結的情形與題 目所佔比重編配等實際情形。

參、數學的內部連結

美國數學教師協會（NCTM, 1989）認為各階段之學生首先必須建立清楚之 數學概念，能夠連結各數學概念之間的關係。在其數學課程評鑑規準中，針對每 個階段都有數學連結的具體建議。針對其數學的內部連結部份，在五到八年級，

強調連結的探索來開拓學生的數學視野，包括將數學視為一個整體；運用圖形數 字代數以及語言等的數學模式或表徵來探討問題以及描述結果；運用數學概念增 進其他數學概念的理解。在九到十二年級，強調除數學連結的探索外，包含辨識 相同概念的等價表徵，運用並重視各個數學主題間的連結（NCTM, 1989 )。NCTM

（2000）更進一步指出數學課程應該要使學生能夠辨識及運用數學觀念之間的連 結，理解數學概念之間的內部連結並從中擴大成有連貫性的整體，且在日常生活 情境脈絡中辨識與應用數學。

國內數學教科書中數學內部的連結包含貫穿四個數學主題內容橫向的連 結，及同一數學主題內容縱向的連結（孫菁璣，2008）。九年一貫課程綱要中也 提到，在內部連結的部份，代數與幾何的關係，充分說明了數學內在結構連結的 重要性。在編撰教材時，須注意數學內部連結的貫穿，以強調解題能力的培養（教 育部，2009）。而本研究主要在數學的內部連結部份，僅針對橫向的連結作分析，

以瞭解國民中學數學教科書中，幾何活動和其他數學主題的概念連結情形。

肆、小結

綜合上述，學生必須擁有良好的數學內部連結能力，清楚數學概念與概念間 的相互關係，才能妥善應用數學外部連結能力，以和真實生活情境連結，以實踐 數學化，讓學生在生活上展現學習數學的意義與重要性。因此，本研究將「連結」

作為教科書分析類目之一，並將數學連結分為「數學外部的連結」和「數學內部 的連結」兩部分，外部連結為數學與其他生活情境或學科的連結；內部連結為數 學內部概念與概念間的連結。目的在瞭解國民中學數學教科書中，幾何活動與生 活及其他領域的連結情形，以及幾何活動和其他數學主題的概念的連結情形。