數學能力內涵的變遷與發展

數學教育品質一直是近年來各先進國家教育發展的重點，國際性評量因應而 生，多是評量學生「基本能力」和「基本素養」，例如：PISA、NAEP、TIMSS、

PIRLS 等，這些都是具有公信力的參考基準，以用來審視國內的數學教育是否跟 得上國際的水準，人才的培育能否符合時代的需求，並藉此檢視國內的數學教育 制度、學生的數學學習成效，以擬定數學教育改革的方向及發展目標，進而提昇 學生的競爭力。

對於數學能力的提升是許多專家學者認同的數學教學目標，然而對於「數 學能力」的用字、涵義、範圍及認定卻有其異同之處。舉例來說，OECD（2010）

用 competencies 表示數學素養中歷程向度的能力；TIMSS（2011）數學認知領域 是指評量試題的數學認知層次，此部份的數學能力偏向於視學生應用認知技巧回 答評量試題數學內容的熟悉度來評定學生的數學能力；美國的「全國教育進展評 量」（National Assessment of Educational Progress[NAEP], 2008）用數學能力 mathematical abilities 及數學力 mathematical power 來連結學生的數學能力；而我 國則是以演算能力、抽象能力及推論能力，作為培養學生數學能力的三個具體面 向，並說明所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體 性的感覺。

數學能力一詞隨著不同背景年代教育思潮的改變，而衍生出不同涵義。近 年來，更可從國際性評量對於數學能力的界定，瞭解國際的趨勢與方向，以及目 前國際對於數學能力的界說甚至是核心的意義。因此，以下就近年數學能力內涵 與發展趨勢及國際性評量的角度，說明數學能力之內涵。

壹、近年數學能力內涵的變遷與發展趨勢

數學能力一詞受到不同時代教育思潮改變的影響，有不同涵義。以下就約近 四十年來數學能力內涵的變遷與發展進行探討與說明。二十世紀 70 年代以前，

數學教育目標在於注重心智的鍛鍊（exercising the mind）與社會實用的工具性

質，偏重規則（計算算則，包含運算與記憶算則）、歸納（從具體教具的操作，

展示與歸納數概念）、分析（將解題方法作詳細分析）的教學取向（Michalowicz

& Howard, 2003）；再以美國的數學課程變遷來看，二十世紀 60 年代的新數學 運動關注的是嚴密的邏輯抽象推理，其後的「回歸基本」(back to basics) 則是偏 向數學基本技巧的學習與熟練（游自達，2010）。

二十世紀 70 年代之後，受到認知心理學派中「訊息處理理論」的興起，學 生的學習不再侷限於外在的學習成就訓練及實用性質，而是重視學習者的內在思 考和策略。數學教育工作者逐漸認知到在數學教育中，應把培養學生的數學思維 的能力放在首位，不再侷限於單純的知識傳授；如何提高學生的思維能力，成為 世界各國研究的重點。因此，學者開始以數學思考的本質及問題解決取向來檢視 數學能力，Krutetskii（1976）提出：形成問題、一般化、以數字與文字符號運算、

邏輯推理、簡捷思考、逆向思考、彈性思考、空間概念、數學記憶等九種數學能 力因子。由此可見，二十世紀 70 年代後期開始，強調提昇數學能力的重點在於 問題解決與數學內在的認知和思考，重視學生表徵與符號運用的能力，甚至開始 出現後設認知的觀點，Flavell（1976）在其《Metacognitive aspects of problem solving》文章中最早使用「後設認知」一詞，強調學習者後設認知能力，經由對 自己各種認知歷程的理解，進而重塑自己的認知歷程以達到有效處理訊息的目 的。

二十世紀80年代以後，問題解決成為此時期數學教育的核心，且其範圍不斷 擴充，數學學習被視為問題解決的過程，世界各國開始積極重視提升中小學學生 數學問題解題能力的培養。此理念早在1977年美國「全國數學視導者協會」

（National Council of Supervisors of Mathematics,簡稱NCSM）即指出「學習問題 的解決乃是學習數學的主要目的」。且美國數學教師協會（NCTM）在1980年亦 提及，數學解題是1980年代後，學校數學教育發展的焦點。在強調解題的趨勢下，

數學被視為一種思考方法，並重視溝通與學習信心的培養（游自達，2010）。而 以問題解決為核心之下，除了有二十世紀70年代後期一直延續下來的後設認知取

向，重視學生解題思考歷程的監控與調整，使學生成為自我調整學習者；更擴充 到將數學學習視作逐步數學化的過程。數學化強調在真實情境中，利用數學概念 重新組織數學問題，並透過假設、一般化以及形式化凸顯數學特性以解決數學問 題，最後回到真實情境使其產生意義。荷蘭的真實數學教育（Realistic Mathematics Education,簡稱RME）即偏向數學化的取向，其起源於1970年的荷蘭，荷蘭數學 教育大師Freudenthal（1971,1973）認為數學活動是人類解決問題、尋找問題與數 學化的活動，數學教育應從對兒童具有真實意義的問題著手，進行數學化活動。

1980－1990年間，RME取向的課程與教學延伸至校園；Freudenthal 在《數學結 構的教學現象學》（Didactical phenomenology of mathematical structures, 1983）一 書中主張在教學中運用「真實世界的問題，發展（學生的）數學概念」，學生學 習數學時，透過漸次累進的基模化過程( progressive Schematisierung)，組織普遍 的數學概念，在物理世界、社會世界與思維世界的各種現象中以有效的心智模式 建立數學概念（周玉秀，2006）。RME強調數學化的型式有二種：水平數學化

（horizontal mathematization）和垂直數學化（vertical mathematization）（Treffers, 1987）。所謂水平數學化指的是學生能利用數學的工具達到組織和解決真實生活 情境的問題，強調形成模式、組織化(schematize)、符號化等數學活動；所謂垂直 數學化指的是藉由數學本身的系統再重構的過程，關照數學系統內的運作與層次 的提昇。Freudenthal（1991）更指出水平數學化是從生活的世界進入到符號的世 界，而垂直數學化是指在符號的世界研討。由此可見，此階段數學能力的發展進 入到提昇學生問題解決的能力，其內涵不斷擴充，延伸至後設認知能力及數學化 能力的提昇。

在此趨勢下，以培養數學能力為核心的數學教育成為 1990 年代至今的主 流。美國科學促進協會（The American Association for the Advancement of Science, 簡稱 AAAS）早在 1985 年所發起的 Project 2061 計劃即反映了以能力培養為導向 的教育。Gravemeijer 在 1994 也曾提出，學生需透過數學的察覺、概念與程序的 再創造，以「描述」（describe）問題，並透過基模化（schematizing）和說明問題

情境中的重要關係，使得自己對問題更了解。美國國家科學教育標準（National Research Council,簡稱 NRC,1996）認為數學的思惟模式有六大重點，以學生數學 能力的提昇為方向，分別為：一、建模（modeling）：運用心理構思，往往是視 覺的或符號的方式來表徵世俗現象，以捕捉重要及有用的特徵。二、最佳化

（optimization）：透過詢問“假如……”來尋找最好的解答，並探索所有的可能性。

三、符號化（symbolism）：延伸自然語言至符號表徵，以有效的形式表示抽象的 概念，以使溝通和計算成為可能。四、推論（inference）：從資料、假設、圖表、

片段或矛盾的來源中推理。五、邏輯分析（logical analysis）：搜尋假設的意涵並 尋找第一原則去解釋觀察到的現象。六、抽象化（abstraction）：運用特殊的研究 選出許多不同現象的某些共通屬性。另外，丹麥數學家 Niss（2002）認為要擁有 數學能力就是要精熟數學，並定義數學能力是指能瞭解、判斷實做，及能在各種 數學情境與脈絡內外使用數學。他將數學能力結構分成兩個部份，個體所擁有的 數學能力須考慮三個面向，其中包含八種數學能力，分述如下：

一、三個面向：

（一）適用度：個體精熟數學能力的範圍。

（二）行動半徑：個體能使用這個能力的脈絡與情境範圍。

（三）技術層面：個體使用這個能力時能精進其概念及技術。

二、八種數學能力：

（一）數學思維（thinking mathematically）

能提問有數學意義的問題，並能辨識何種答案為數學答案；對於給定的概 念，能清楚掌握其適用範疇；透過抽象化與類化擴展數學概念範圍；辨識各種數 學敘述（條件、定義、定理、假設、臆測、數量值敘述）。

（二）數學擬題與解題（posing and solving mathematical problems）

確認提出及詳細說明不同類型的數學問題；能解自己或別人提問不同類型數 學問題；並以不同方法解題。

（三）數學建模（modeling mathematically）

分析既有數學模式的性質與屬性，並評估該模式試用的範疇及其效度；轉化 或解讀既有數學模式在現實問題中的意義；在給定情境中建立數學模型；監控整 個建模過程。

（四）數學推理（reasoning mathematically）

能理解他人論證的條理，並能評估該論證是否有效；知曉何者是數學證明並 能區分數學證明與直觀的不同；能從論證條理中找到基本想法；能從直觀論證轉 化成有效證明。

（五）數學表徵（representing mathematical entities）

能解讀、詮釋及辨識數學物件、現象、情境的各類表徵；瞭解相同數學物件 不同表徵間的關係並掌握不同表徵的優勢與限制；可在表徵間進行選擇與轉化。

（六）數學符號和形式操作（handling mathematical symbols and formalisms）

解讀與詮釋符號形式的數學語言並瞭解它們與日常生活的關係；瞭解數學語 言的語意及語法；日常語言與數學正式符號語言間的轉換處理和操弄包含符號與 公式的敘述與表達方式。

（七）數學溝通（communicating in, with, and about mathematics）

瞭解他人以書寫、視覺及口語所傳達的數學資訊；能使用精確的數學語言 表達自己的（口語的、視覺的或書寫的）意思。

（八）輔具與工具的運用（making use of aids and tools IT included）

知曉已存在的數學活動工具或輔具性質並清楚其功能與限制；能反思地使用 這些工具或輔具。

這些趨勢反應在國際評量的架構上，對 2000 年開始進行的「國際學生評量 計畫」（PISA）的數學素養中，數學化能力的發展評量方向產生影響，其重視根

這些趨勢反應在國際評量的架構上，對 2000 年開始進行的「國際學生評量 計畫」（PISA）的數學素養中，數學化能力的發展評量方向產生影響，其重視根