國中數學教科書幾何教材發展學生數學能力與數學連結活動之內容分析

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(1)國立臺中教育大學教育學系課程與教學碩士在職專班論文. 指導教授：游自達博士. 國中數學教科書幾何教材發展學生數學能力與數學連結活動之內容分析. 研究生：楊雅婷撰. 中華民國 104 年 1 月.

(2) 謝. 辭. 這本論文從無到有耗費四年的時間，終於到了寫謝辭的這一刻。首先最感謝的是我的指導教授─游自達博士，從他身上我學到了研究的精神，老師就像一盞明燈，從不斷地提問並釐清問題過程中，讓我更清楚自己論文的方向；從論文的寫作技巧，到內容分析的方法，以及資料的彙整與呈現，老師總不厭其煩以專業的角度引導我朝正確的方向前進。同時，也由衷感謝吳德邦教授和張宇樑教授，在百忙之中撥冗審閱論文，提供許多寶貴的建議，使論文更臻完善。在這寫作的一千多個日子裡，我歷經了結婚生子，一直支持我、陪伴我、鼓勵我的是我最親愛的先生─陳建廷。謝謝你總是在我為論文煩心時，聽我訴苦、安慰我並承受我的無理與任性；謝謝你總是在我埋頭苦幹寫論文時，打理好家裡的事務並照顧我們可愛的兒子；謝謝你總是在我遇到瓶頸無助厭倦時，逗我開心、幫我打氣、給我繼續走下去的力量。還有最照顧我的爸爸、媽媽、妹妹，謝謝您們無私的付出，當我堅強的後盾。在寫作的過程中，感謝我的研究所同學─綉婷，支持並協助我分析，提供許多寶貴的建議。感謝我的同事─燕枝，在工作繁忙之餘還願意協助我分析，以讓我順利完成研究進度。感謝我先生─建廷，在我遇到電腦或分析軟體的問題時，在第一時間幫我解決。感謝我大學的同窗─珈霖，幫我修改我的英文摘要。真的由衷感謝諸位，沒有你們，雅婷無法完成論文，最重要的是：我真的做到了！我畢業了！.

(3) 國中數學教科書幾何教材發展學生數學能力與數學連結活動之內容分析. 摘要本研究旨在探討國中數學教科書幾何教材中發展學生數學能力與數學連結之各類幾何活動分佈情形，以及幾何活動編排的具體做法。本研究以 101 學年度國民中學數學領域各審定本課本為研究對象，以學生練習題為分析範圍，綜合 PISA（2010）的評量架構及 Niss（2002）的歸納發展出分析類目，採用內容分析法進行探究。本研究結果如下：國中數學教科書數學能力的分佈整體趨勢一致性高，較被重視的五項數學能力為：思考及推理；問題呈現與解決技巧；運用符號、形式化及科技的語言和運算；表徵及表徵化；溝通。而使用輔助工具、建模技巧、論證等三項能力安排的較少。教科書幾何活動安排的內外部連結情形，整體趨勢一致性高。外部連結四版本所佔比例皆不到一成，其中以個人情境及教育職業情境較高，公共情境次之，科學情境最少。而內部連結中有連結兩個以上數學概念的題目，四版本所佔比例皆超過一半，其中又以部編版所佔百分比最高，達 66%。部編版在具體做法上與其他三個版本有較多的差異。差異在於以下幾點：在概念的編排上以及學生練習題內容都有其獨立的方式；在思考與推理的層次較高，題目的隱含訊息較多；較少外部連結的題目。最後根據本研究結果提出建議給後續教材編修者、使用者及研究者，作為參考的依據。. 關鍵詞：幾何活動、數學教科書、數學能力. I.

(4) II.

(5) A Content Analysis of Geometric and Connection Activities in Mathematic Textbooks for Developing Students’ Mathematics Competencies Adviser: Tzu-ta Yiu Graduate student: Ya-ting Yang This study aimed at analyzing geometric and connection activities in the mathematic textbooks for developing students’ mathematics competencies. Student exercises in the junior-high-school mathematic textbooks of 2012 academic year were analyzed. Four serials of mathematics textbooks were explored by the method of content analysis. The researcher developed a coding framework for the analysis with reference to the evaluation framework of PISA 2010 and suggestions of Niss(2002). The main findings of this study were as follows. 1. Student exercises in four serials of mathematic textbooks are mostly relevant to the development of five competencies, which are thinking and reasoning, problem posing and solving skills, usage of symbolic-formal-technical language and operations, problem transformation and representation, and mathematics communication. Relatively less student exercises relate to development of the other three competences, which are the usage of aids and tools, modeling, and argumentation. The arrangements of student exercises for competences development are similar across four serials of mathematics textbooks. 2. The activities of internal and external connections are similar across four serials of mathematics textbooks. There are much more activities of internal connection than those of external connection in the textbooks. The overall percentages of activities of external connection are less than ten percent in all four serials. 3. There are more than a half of student exercises connect to two or more III.

(6) mathematics concepts in each of the four serials of mathematics textbooks. 4. Each serial of mathematics textbooks shows its unique characteristics. The textbooks published by the National Academy of Educational Research (NAER) are different from other three serials in many aspects, including the ways of activityarrangement, the format of student exercises, and the level of thinking and reasoning required for solving mathematics problems. Based on the findings, the researcher provides some recommendations for mathematic teachers and textbooks editors. Issues for further studies are also discussed.. Keywords: Geometric activities, Mathematical Textbooks, Mathematical competences. IV.

(7) 目. 次. 第一章緒論 ............................................................................................ 1 第一節研究動機 ..............................................................................1 第二節研究目的..............................................................................2 第三節研究問題..............................................................................3 第四節名詞釋義..............................................................................4 第二章文獻探討 .................................................................................... 7 第一節幾何主題在數學領域的重要性 .........................................7 第二節數學能力內涵的變遷與發展 ...........................................20 第三節數學連結的涵義................................................................38 第四節幾何教材內容分析的相關研究 .......................................43 第三章研究設計與實施 ......................................................................49 第一節研究設計............................................................................49 第二節研究對象............................................................................52 第三節研究工具............................................................................56 第四節資料之分析處理................................................................60 第五節研究的信度與效度 ...........................................................65 第四章結果與討論 ..............................................................................69 第一節國中數學教科書幾何活動發展學生數學能力情形 .......69 V.

(8) 第二節國中數學教科書幾何活動的數學內外部連結 .............159 第三節幾何活動培養學生數學能力與數學連結的具體做法 .177 第五章結論與建議 ............................................................................223 第一節結論..................................................................................223 第二節建議..................................................................................226. 參考文獻 ................................................................................................229 一、中文文獻..................................................................................229 二、西文文獻..................................................................................233 附錄.........................................................................................................238 附錄一. .........................................................................................238. 附錄二. ......................................................................................261. 附錄三. ......................................................................................276. 附錄四. ......................................................................................279. 附錄五. ......................................................................................283. VI.

(9) 表. 次. 表 2-1 美國 NCTM 2000 數學課程標準六至十二年級之幾何學習目標................................................................................................8 表 2-2 芬蘭數學課程第三階段核心任務與目標..................................11 表 2-3 芬蘭第三階段幾何核心內容與幾何學習目標..........................12 表 2-4 我國九年一貫數學課程綱要第四階段幾何主題能力指標......14 表 2-5 九年一貫課程能力指標幾何主題與代數主題重疊的部份…..17 表 2-6 九年一貫課程分年細目表中幾何主題與代數主題連結的部份.... ..........................................................................................17 表 2-7 美國、芬蘭與我國數學課程標準中幾何目標的整理與比較....18 表 2-8 TIMSS 2011 認知領域-知識.........................................................32 表 2-9 TIMSS 2011 認知領域-應用........................................................33 表 2-10 TIMSS 2011 認知領域-推理.......................................................34 表 2-11 Niss、PISA、NAEP、TIMSS 評量中數學能力的整理與分析…36 表 2-12 九年一貫課程綱要「連結」主題之步驟、說明及相對應的能力指標………………………………………………………...39 表 2-13 幾何教材內容分析的相關實徵研究........................................44 表 3-1 研究對象─數學教科書版本.......................................................52 表 3-2 研究範圍 1─各版本各年級幾何教材內容................................53 VII.

(10) 表 3-3 研究範圍 2─各版本教科書幾何教材內活動類型…................55 表 3-4 數學能力分析類目......................................................................57 表 3-5 數學連結分析類目......................................................................59 表 3-6 資料代碼說明...............................................................................63 表 4-1 各版本國中數學教科書幾何活動中數學能力整體分佈情形 70 表 4-2 康軒版國中數學教科書幾何活動中數學能力整體分佈情形 73 表 4-3 南一版國中數學教科書幾何活動中數學能力整體分佈情形 78 表 4-4 翰林版國中數學教科書幾何活動中數學能力整體分佈情形 81 表 4-5 部編版國中數學教科書幾何活動中數學能力整體分佈情形 85 表 4-6 國中數學教科書幾何活動中表徵次類目各版本呈現情形.....89 表 4-7 國中數學教科書幾何活動中思考及推理次類目排列組型.....94 表 4-8 國中數學教科書幾何活動中問題呈現與解決技巧次類目排列組型...........................................................................................105 表 4-9 國中數學教科書幾何活動運用符號、形式化及科技的語言和運算次類目排列組型...................................................................114 表 4-10 國中數學教科書幾何活動中表徵次類目排列組型.............123 表 4-11 國中數學教科書幾何活動中表徵化次類目排列組型..........133 表 4-12 國中數學教科書幾何活動中辨識數學概念次類目排列組型.............................................................................................137. VIII.

(11) 表 4-13 國中數學教科書幾何活動中表達並解釋數學問題情境次類目排列組型..................................................................................140 表 4-14 國中數學教科書幾何活動中使用輔助工具次類目排列組型..............................................................................................145 表 4-15 國中數學教科書幾何活動建模技巧次類目排列組型...........148 表 4-16 國中數學教科書幾何活動中論證次類目排列組型...............154 表 4-17 各版本國中數學教科書幾何活動中數學連結整體分佈情形...............................................................................................160 表 4-18 各版本國中數學教科書幾何活動中數學外部連結整體分佈情形...............................................................................................161 表 4-19 各版本國中數學教科書幾何活動中數學內部連結整體分佈情形...............................................................................................171 表 4-20 康軒版國中數學教科書「圓」單元架構表..........................178 表 4-21 南一版國中數學教科書「圓」單元架構表...........................189 表 4-22 翰林版國中數學教科書「圓」單元架構表...........................201 表 4-23 部編版國中數學教科書「圓」單元架構表...........................211. IX.

(12) 圖. 次. 圖 2-1 數學素養的三向度......................................................................26 圖 2-2 數學化的循環..............................................................................27 圖 2-3 美國 NAEP 的數學評量架構.......................................................30 圖 3-1 研究架構......................................................................................50 圖 3-2 研究流程......................................................................................51 圖 4-1 國中數學教科書幾何活動中各版本八項數學能力比例..........70 圖 4-2 康軒版第四冊第二章第一節自我評量. ....................................74 圖 4-3 康軒版第四冊第二章第二節隨堂練習......................................75 圖 4-4 康軒版第三冊第二章第三節隨堂練習......................................76 圖 4-5 康軒版第四冊第二章第一節隨堂練習......................................77 圖 4-6 康軒版第五冊第一章引導問題..................................................77 圖 4-7 南一版第四冊第四章第一節隨堂練習......................................79 圖 4-8 南一版第五冊第二章第一節隨堂練習......................................79 圖 4-9 南一版第四冊第四章第一節溫故啟思......................................80 圖 4-10 南一版第四冊第三章第一節探索活動....................................80 圖 4-11 翰林版第四冊第三章第三節隨堂練習....................................82 圖 4-12 翰林版第五冊第一章第二節隨堂練習....................................83 圖 4-13 翰林版第四冊第三章第二節隨堂練習....................................84 X.

(13) 圖 4-14 翰林版第五冊第二章第二節數學定理說明............................84 圖 4-15 翰林版第五冊第二章第二節隨堂練習....................................85 圖 4-16 部編版第四冊第二章第一節隨堂練習....................................86 圖 4-17 部編版第四冊第三章第三節隨堂練習....................................87 圖 4-18 部編版第三冊第二章第四節隨堂練習....................................88 圖 4-19 部編版第四冊第二章第三節隨堂練習....................................88 圖 4-20 部編版第三冊第二章第一節數學定理說明............................90 圖 4-21 部編版第四冊第四章第二節案例引導與說明........................91 圖 4-22 部編版第三冊第二章第四節動動腦........................................91 圖 4-23 部編版第四冊第三章第三節隨堂練習....................................92 圖 4-24 部編版第四冊第三章第三節隨堂練習....................................92 圖 4-25 各版本幾何活動思考及推理次類目排列組型累加百分比....95 圖 4-26 康軒版第四冊第二章第一節隨堂練習....................................96 圖 4-27 康軒版第四冊第二章第一節隨堂練習....................................96 圖 4-28 康軒版第四冊第三章第一節隨堂練習....................................96 圖 4-29 康軒版第四冊第三章第三節自我評量....................................96 圖 4-30 康軒版第四冊第三章數學櫥窗................................................97 圖 4-31 南一版第四冊第二章第一節溫故啟思....................................98 圖 4-32 南一版第四冊第三章第一節隨堂練習....................................98. XI.

(14) 圖 4-33 南一版第四冊第三章第二節隨堂練習....................................99 圖 4-34 南一版第四冊第三章第四節自我評量....................................99 圖 4-35 南一版第四冊第四章第三節文化櫥窗..................................100 圖 4-36 翰林版第四冊第二章第三節隨堂練習..................................101 圖 4-37 翰林版第三冊第二章第三節隨堂練習..................................101 圖 4-38 翰林版第四冊第三章第二節自我評量..................................102 圖 4-39 部編版第三冊第二章第一節動動腦......................................103 圖 4-40 部編版第四冊第二章第一節隨堂練習..................................103 圖 4-41 部編版第五冊第二章第三節自我評量..................................104 圖 4-42 部編版第四冊第四章第二節隨堂練習..................................104 圖 4-43 部編版第四冊第三章第二節隨堂練習..................................104 圖 4-44 各版本幾何活動問題呈現與解決技巧次類目排列組型累加百分比..........................................................................................106 圖 4-45 康軒版第四冊第二章第一節隨堂練習..................................107 圖 4-46 康軒版第四冊第二章第三節自我評量..................................108 圖 4-47 康軒版第四冊第二章第二節問題探索..................................108 圖 4-48 南一版第四冊第三章第二節引導問題..................................109 圖 4-49 南一版第四冊第二章第三節隨堂練習..................................109 圖 4-50 南一版第四冊第三章第四節隨堂練習..................................109. XII.

(15) 圖 4-51 翰林版第四冊第二章第一節引導問題..................................110 圖 4-52 翰林版第四冊第二章第二節探索活動..................................110 圖 4-53 翰林版第四冊第三章第二節隨堂練習..................................111 圖 4-54 翰林版第四冊第四章第一節動動腦......................................111 圖 4-55 部編版第四冊第四章第二節自我評量..................................112 圖 4-56 部編版第四冊第三章第一節隨堂練習..................................112 圖 4-57 部編版第四冊第二章第三節隨堂練習..................................112 圖 4-58 部編版第四冊第四章第三節自我評量..................................113 圖 4-59 各版本幾何活動數學運用符號、形式化及科技的語言和運算次類目排列組型累加百分比..................................................115 圖 4-60 康軒版第四冊第二章第一節隨堂練習..................................116 圖 4-61 康軒版第四冊第三章第一節自我評量..................................116 圖 4-62 康軒版第四冊第四章第一節隨堂練習..................................117 圖 4-63 康軒版第四冊第二章第二節隨堂練習..................................117 圖 4-64 南一版第三冊第二章第三節隨堂練習..................................118 圖 4-65 南一版第三冊第二章第三節自我評量..................................118 圖 4-66 南一版第四冊第二章第二節自我評量..................................118 圖 4-67 南一版第四冊第二章第一節隨堂練習..................................118 圖 4-68 翰林版第四冊第四章第一節隨堂練習..................................119. XIII.

(16) 圖 4-69 翰林版第四冊第三章第三節自我評量..................................119 圖 4-70 翰林版第四冊第四章第一節自我評量..................................120 圖 4-71 翰林版第四冊第二章第二節自我評量..................................120 圖 4-72 部編版第五冊第一章第三節隨堂練習..................................121 圖 4-73 部編版第五冊第一章第一節自我評量..................................121 圖 4-74 部編版第三冊第二章第一節自我評量..................................121 圖 4-75 部編版第四冊第四章第一節自我評量..................................122 圖 4-76 部編版第四冊第二章第二節自我評量..................................122 圖 4-77 各版本幾何活動數學表徵次類目排列組型累加百分比......124 圖 4-78 康軒版第三冊第二章第三節問題探索..................................125 圖 4-79 康軒版第四冊第三章第一節動動腦......................................126 圖 4-80 康軒版第四冊第四章第三節問題探索..................................126 圖 4-81 康軒版第四冊第三章第二節問題探索..................................126 圖 4-82 南一版第四冊第四章第一節自我評量..................................127 圖 4-83 翰林版第四冊第四章第一節自我評量..................................128 圖 4-84 南一版第四冊第四章第一節自我評量..................................128 圖 4-85 翰林版第四冊第二章第二節隨堂練習..................................128 圖 4-86 翰林版第四冊第三章第一節自我評量..................................129 圖 4-87 翰林版第四冊第四章第二節自我評量..................................130. XIV.

(17) 圖 4-88 部編版第四冊第二章第一節自我評量..................................131 圖 4-89 部編版第四冊第四章第二節隨堂練習..................................131 圖 4-90 部編版第四冊第四章第二節隨堂練習..................................131 圖 4-91 部編版第四冊第四章第二節隨堂練習..................................132 圖 4-92 部編版第四冊第三章第二節動動腦......................................132 圖 4-93 各版本幾何活動數學表徵化次類目排列組型累加百分比..133 圖 4-94 康軒版第四冊第二章第一節動動腦......................................134 圖 4-95 康軒版第四冊第三章第一節自我評量..................................134 圖 4-96 南一版第四冊第二章第三節隨堂練習..................................135 圖 4-97 南一版第四冊第三章第二節探索活動..................................135 圖 4-98 翰林版第四冊第三章第一節隨堂練習..................................135 圖 4-99 翰林版第四冊第三章第三節隨堂練習..................................135 圖 4-100 部編版第四冊第四章第二節動動腦.....................................136 圖 4-101 部編版第五冊第一章第一節隨堂練習................................136 圖 4-102 各版本幾何活動辨識數學概念次類目排列組型累加百分比...........................................................................................138 圖 4-103 各版本幾何活動表達並解釋數學問題情境次類目排列組型累加百分比...........................................................................140 圖 4-104 康軒版第六冊第二章第一節隨堂練習................................141. XV.

(18) 圖 4-105 南一版第六冊第二章第一節自我評量................................141 圖 4-106 翰林版第四冊第四章第一節隨堂練習................................142 圖 4-107 翰林版第六冊第二章第一節隨堂練習................................142 圖 4-108 康軒版第四冊第二章第一節動動腦....................................142 圖 4-109 部編版第四冊第四章第一節自我評量................................143 圖 4-110 部編版第三冊第二章第一節隨堂練習................................143 圖 4-111 部編版第四冊第二章第一節引導問題................................144 圖 4-112 各版本幾何活動使用輔助工具次類目排列組型累加百分比............................................................................................146 圖 4-113 南一版第三冊第二章第三節自我評量................................146 圖 4-114 康軒版第四冊第四章第一節隨堂練習................................147 圖 4-115 部編版第四冊第三章第二節動動腦....................................147 圖 4-116 翰林版第四冊第二章第三節自我評量................................147 圖 4-117 建模技巧次類目排列組型下各版本佔幾何活動比例........149 圖 4-118 康軒版第四冊第四章第三節隨堂練習................................150 圖 4-119 翰林版第三冊第二章第三節隨堂練習................................150 圖 4-120 南一版第六冊第二章第一節隨堂練習................................151 圖 4-121 部編版第四冊第四章第一節隨堂練習................................151 圖 4-122 康軒版第三冊第二章第三節自我評量................................152. XVI.

(19) 圖 4-123 南一版第五冊第二章第二節引導問題................................152 圖 4-124 翰林版第四冊第二章第一節自我評量................................152 圖 4-125 部編版第五冊第二章第一節隨堂練習................................153 圖 4-126 論證次類目排列組型下各版本佔幾何活動比例................154 圖 4-127 康軒版第四冊第三章第二節自我評量................................155 圖 4-128 南一版第四冊第四章第三節隨堂練習................................156 圖 4-129 翰林版第四冊第四章第三節自我評量................................156 圖 4-130 部編版第四冊第四章第三節動動腦....................................156 圖 4-131 康軒版第四冊第二章第二節引導問題................................157 圖 4-132 南一版第三冊第二章文化櫥窗............................................157 圖 4-133 翰林版第三冊第二章第三節數學萬花筒............................157 圖 4-134 部編版第四冊第三章第二節引導問題................................158 圖 4-135 國中數學教科書幾何活動中各版本數學內外部連結百分比圖............................................................................................160 圖 4-136 國中數學教科書幾何活動中各版本數學外部連結情境百分比圖........................................................................................162 圖 4-137 康軒版第四冊第四章第二節隨堂練習................................163 圖 4-138 南一版第四冊第四章第二節探索活動................................163 圖 4-139 翰林版第四冊第四章第二節隨堂練習................................163. XVII.

(20) 圖 4-140 部編版第四冊第四章第一節隨堂練習................................163 圖 4-141 康軒版第四冊第四章第一節引導問題................................164 圖 4-142 南一版第四冊第四章第一節引導問題................................164 圖 4-143 翰林版第四冊第四章第一節引導問題................................165 圖 4-144 部編版第四冊第二章第三節案例描述................................165 圖 4-145 康軒版第四冊第三章第一節隨堂練習................................166 圖 4-146 南一版第四冊第三章第一節自我評量................................166 圖 4-147 翰林版第四冊第三章第一節引導問題................................167 圖 4-148 部編版第四冊第二章第二節隨堂練習................................167 圖 4-149 翰林版第五冊第一章第三節自我評量................................168 圖 4-150 康軒版第五冊第一章第三節數學櫥窗................................169 圖 4-151 南一版第五冊第一章第二節引導問題................................170 圖 4-152 部編版第五冊第一章第三節隨堂練習................................170 圖 4-153 各版本幾何活動數學內部連結次類目累加百分比............172 圖 4-154 南一版第四冊第二章第二節隨堂練習................................172 圖 4-155 康軒版第四冊第二章第一節隨堂練習................................173 圖 4-156 翰林版第四冊第三章第二節自我評量................................173 圖 4-157 部編版第四冊第四章第一節隨堂練習................................173 圖 4-158 翰林版第四冊第三章第一節例題與隨堂練習....................174. XVIII.

(21) 圖 4-159 康軒版第四冊第三章第一節例題與隨堂練習....................175 圖 4-160 南一版第四冊第三章第一節隨堂練習................................175 圖 4-161 部編版第四冊第三章第三節例題與隨堂練習....................176 圖 4-162 康軒版第五冊第二章引導問題............................................179 圖 4-163 康軒版第五冊第二章第一節數學概念引導........................181 圖 4-164 康軒版第五冊第二章第二節概念推導................................182 圖 4-165 康軒版第五冊第二章第二節例題........................................182 圖 4-166 康軒版第五冊第二章第一節隨堂練習................................183 圖 4-167 康軒版第五冊第二章第一節隨堂練習................................183 圖 4-168 康軒版第五冊第二章第二節問題探索................................184 圖 4-169 康軒版第五冊第二章第一節重點強化................................184 圖 4-170 康軒版第五冊第二章第一節動動腦....................................185 圖 4-171 康軒版第五冊第二章第二節重點整理................................185 圖 4-172 康軒版第五冊第二章第一節自我評量................................185 圖 4-173 康軒版第五冊第二章數學櫥窗............................................186 圖 4-174 康軒版第五冊第二章第一節表格整理................................188 圖 4-175 康軒版第五冊第二章第二節自我評量................................188 圖 4-176 南一版第五冊第二章引導問題............................................190 圖 4-177 南一版第五冊第二章第一節表格整理說明........................191. XIX.

(22) 圖 4-178 南一版第五冊第二章第二節例題........................................192 圖 4-179 南一版第五冊第二章第一節隨堂練習................................192 圖 4-180 南一版第五冊第二章第一節問題與討論............................193 圖 4-181 南一版第五冊第二章第一節重點強化................................194 圖 4-182 南一版第五冊第二章第二節重點整理................................194 圖 4-183 南一版第五冊第二章第一節自我評量................................194 圖 4-184 南一版第五冊第二章數學部落格........................................195 圖 4-185 南一版第五冊第二章第二節例題........................................197 圖 4-186 南一版第五冊第二章第一節引導問題................................197 圖 4-187 南一版第五冊第二章第一節隨堂練習................................198 圖 4-188 南一版第五冊第二章第一節例題........................................198 圖 4-189 南一版第五冊第二章第一節隨堂練習................................198 圖 4-190 南一版第五冊第二章第一節案例描述................................199 圖 4-191 南一版第五冊第二章第二節案例描述................................199 圖 4-192 南一版第五冊第二章第二節引導反證................................200 圖 4-193 翰林版第五冊第二章案例描述............................................203 圖 4-194 翰林版第五冊第二章第一節表格整理說明........................203 圖 4-195 翰林版第五冊第二章第一節例題........................................204 圖 4-196 翰林版第五冊第二章第一節隨堂練習................................204. XX.

(23) 圖 4-197 翰林版第五冊第二章第一節重點強化.................................204 圖 4-198 翰林版第五冊第二章第一節動動腦.....................................205 圖 4-199 翰林版第五冊第二章第二節重點回顧................................205 圖 4-200 翰林版第五冊第二章第一節自我評量................................205 圖 4-201 翰林版第五冊第二章數學萬花筒........................................206 圖 4-202 翰林版第五冊第二章第一節例題........................................208 圖 4-203 翰林版第五冊第二章第一節自我評量................................208 圖 4-204 翰林版第五冊第二章第二節隨堂練習................................209 圖 4-205 翰林版第五冊第二章第二節隨堂練習................................209 圖 4-206 翰林版第五冊第二章第二節隨堂練習................................209 圖 4-207 翰林版第五冊第二章第二節隨堂練習................................210 圖 4-208 翰林版第五冊第二章第二節自我評量................................210 圖 4-209 部編版第五冊第二章第一節案例描述................................212 圖 4-210 部編版第五冊第二章第一節概念說明................................213 圖 4-211 部編版第五冊第二章第一節例題........................................213 圖 4-212 部編版第五冊第二章第一節隨堂練習................................214 圖 4-213 部編版第五冊第二章第一節動動腦....................................214 圖 4-214 部編版第五冊第二章第一節重點強化................................214 圖 4-215 部編版第五冊第二章第一節重點摘要................................214. XXI.

(24) 圖 4-216 部編版第五冊第二章第一節自我評量................................215 圖 4-217 部編版第五冊第二章第二節隨堂練習................................217 圖 4-218 部編版第五冊第二章第一節例題和重點強化和動動腦....217 圖 4-219 部編版第五冊第二章第一節概念說明................................218 圖 4-220 部編版第五冊第二章第一節動動腦....................................218 圖 4-221 部編版第五冊第二章第一節例題........................................219 圖 4-222 部編版第五冊第二章第一節隨堂練習................................219 圖 4-223 部編版第五冊第二章第一節例題........................................220 圖 4-224 部編版第五冊第二章第一節自我評量................................220 圖 4-225 部編版第五冊第二章第二節例題與動動腦........................221 圖 4-226 部編版第五冊第二章第三節定理反證................................222. XXII.

(25) 第一章緒論第一節. 研究動機. 臺灣參與國際學生能力評量計畫（PISA），數學素養的排名自 2006 年的第一名下滑至 2009 年的第五名，使研究者不禁想到是否為臺灣的數學教育出了問題？研究者本身任教於國中數學科，在使用數學教科書時，發現教科書常在很簡短的引導下立即歸納出數學概念或通則，缺乏給予學生多樣性的思考、情境的分析與轉換、關係推理及表徵的機會。此外，我國在 2007 年 AMC (American Mathematics Contest) 8 成績公佈之後，我國主辦單位九九文教基金會指出：我國參加該項測驗的學生，在幾何、推理的題目表現較差，儘管整體成績相當耀眼，表示臺灣學生也在幾何的表現較不理想。Haggarty & Pepin（2007）指出，教科書被廣泛的應用在數學課堂上，它對學生的數學思考模式和數學理解有深遠的影響。再加上，Crawford & Snider（2000）指出，課程是提高學生成就的關鍵，改進數學課程最好的路線是對數學課本的評論及分析，教科書仍然在小學及中學裡主導教學，即使好的教師提供超出教科書以外的教學機會，還是有 75%到 90% 的教學架構在教科書上。基於教科書所佔地位，是義務教育階段學生的重要學習資源之一，且對教師教學方向及學生學習成效也具重要影響，研究者認為從教科書著手，進行深入的分析與比較將有實質的助益。幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學。在國際數學與科學教育成就趨勢調查（Trends in International Mathematics and Science Study, 簡稱 TIMSS）和國際學生評量計畫（Programme for International Student Assessment, 簡稱 PISA）等國際性評比中，被評為學生數學能力優秀的國家（TIMSS, 2003 ; PISA in Finland, 2006）的數學課程中也能發現，這些國家的數學課程改革皆將「幾何」或「幾何測量」納入數學科學習主體裡，可見幾何主題受到的重視。此外，國內外中學數學課程發展均將幾何列為基本學習素材。Clements（2003）指出，幾何為一門探. 1.

(26) 討空間物件（spatial objects）、幾何關係（geometric relationships）、變換（transformation）與表徵上述幾何關係的數學公理（axiomatic mathematical systems that have been constructed to represent geometric relationships）的課程。 Clements 和 Battisa （1992）亦指出：幾何提供我們一種方法去闡釋與反映外在的物理環境，並且可以作為學習其他數學與科學素材的工具，尤其幾何的學習更能加強空間方面之思考，有助於提升高層次的創造思考能力。左台益（2002）也強調，學習幾何除了可使學生獲得以及處理數、量、形等方面之相關知識外，同時亦可培養學生邏輯思考以及推理之能力。綜合前述，幾何在數學教育中扮演其不可或缺的核心角色及其具備重要價值的獨特地位，基於幾何對學生的思考模式、數學能力的提昇具有關鍵的影響，且目前並未有國中教材幾何活動發展學生能力的研究，研究者乃擇定以幾何主題作為教科書分析的研究範圍，探討教科書幾何教材中發展學生數學能力與數學連結的各類幾何活動分佈情形與具體做法。綜合上述，研究者對國內數學教材產生興趣，希望透過國際數學成就評量為參考架構，分析國中數學教科書幾何教材中發展學生數學能力與數學連結之各類幾何活動分佈情形，以及幾何活動編排的具體做法，藉此了解臺灣數學教材在引導學生發展數學能力及數學連結的實際情形。研究者將以 PISA（2010）的評量架構及 Niss（2002）對數學能力的歸納為參考基準，並綜合各國際性評量及專家學者的理念，加上研究者依據相關評量架構對照國中教科書的適用狀況發展出分析類目，從數學教科書著手，瞭解幾何教材中發展學生數學能力與數學連結的各類幾何活動分佈情形與具體做法。. 第二節. 研究目的. 本研究主要目的在於分析並比較國中數學教科書幾何教材中發展學生數學能力與數學連結之各類幾何活動分佈情形，以及幾何活動編排的具體做法。因此，本研究的主要目的有三：. 2.

(27) 一、分析並比較不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學能力之各類幾何活動的分佈情形。二、分析並比較不同版本國中數學教科書幾何教材中之各類幾何活動的數學內外部連結情形。三、分析並比較不同版本國中數學教科書幾何教材中之各類幾何活動培養學生數學能力與數學連結的具體做法。. 第三節. 研究問題. 根據研究目的，本研究探究的問題如下：一、不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-1 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學溝通能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-2 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學思考及推理能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-3 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學表徵及表徵化能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-4 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學論證能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-5 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學問題呈現與解決技巧能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-6 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學運用符號、形式化及科技的語言和運算能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？ 1-7 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學使用輔助工具能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？. 3.

(28) 1-8 不同版本國中數學教科書幾何教材中發展學生數學模式建立能力之各類幾何活動的分佈情形為何？有何異同？二、不同版本國中數學教科書幾何教材中之各類幾何活動的數學內外部連結情形為何？有何異同？ 2-1 不同版本國中數學教科書幾何教材中之各類幾何活動的數學外部連結情形為何？有何異同？ 2-2 不同版本國中數學教科書幾何教材中之各類幾何活動的數學內部連結情形為何？有何異同？三、不同版本國中數學教科書幾何教材中之各類幾何活動培養學生數學能力與數學連結的具體做法為何？有何異同？. 第四節. 名詞釋義. 一、教科書一般而言，「教科書」係指依政府明令公布之課程標準（綱要），選擇適當材料編輯而成書本型式之教材，作為學校教師教學及學生學習之主要依據，其體例大都為「分年級」、「分學科」、「分單元（課）」（藍順德，2006）。廣義的教科書包含了課本、習作、教學指引及教師於課堂中所使用的各種媒體教材。而本研究所稱的教科書乃指狹義的教科書，亦即依政府公布之課程標準（綱要）所編輯供學生使用的「課本」。. 二、幾何活動幾何活動通常是指學生學習幾何素材有關聯的經驗，在本質上乃是學生學習活動。根據相關文獻，學生學習活動一般是指提供學生參與探索之機會，激發學生學習動機、興趣，讓學生有機會表達和應用習得的知識，並激勵學生主動解決問題、創造思考和更進一步的學習動力的活動。根據本研究之研究目的，本研究將「幾何活動」界定為教科書中幾何單元提供學生參與機會並能激發學生學習動 4.

(29) 機與興趣的活動，包含需要學生思考、操作、演練，或作答的問句、問題與練習題。至於教師講授部份或課本內直接以敘述式說明或整理的部份，因其中少有讓學生發揮其能力的活動，因此不在本研究的分析範圍。. 三、數學能力數學能力指的是懂得運用數學知識解決與分析問題的能力。例如：我國現行國民中小學課程綱要中所稱的數學能力是對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺；除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。這三者是連貫而非獨立分開的，也是培養學生數學能力的三個具體面向（教育部，2009）。PISA 所指的數學能力為學生在各種情境中提出、形成、以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析、推理、以及溝通數學概念的能力。丹麥數學家 Niss（2002）將數學能力界定為瞭解、判斷實做，及能在各種數學情境與脈絡內外使用數學的能力。綜合來說，數學能力是指在各種數學情境中具備瞭解、運用、分析、解決與推論的能力。本研究所指的數學能力係指溝通；思考及推理；表徵及表徵化；論證；問題呈現與解決技巧；運用符號、形式化及科技的語言和運算：使用輔助工具；建模技巧等八項能力。. 四、數學連結數學連結指的是能夠瞭解數學概念，並具有連結這些概念及其相互關係，進而應用到相關領域的能力。例如：美國學校數學課程與評鑑標準，連結強調各主題間的數學概念、相同數學概念與概念、過程間的數學內部連結，及數學與其他領域、日常生活、社會活動等外部的連結（NCTM，1989）。國內九年一貫能力指標中將連結主題分為「數學內部的連結」和「數學外部的連結」兩部分，數學內部的連結之課程設計應注重數學各學習領域內在結構的互相連結，及各學習階段的內容能前後連結，強調的是解題能力的培養；而數學外部的連結則強調生活與其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析能力的培養，重視數學在生活情境、歷史、其它學科的連結（教育部，2009）。綜合來說，數學連結分 5.

(30) 為外部連結和內部連結，外部連結指的是數學與其他領域的連結，內部連結指的是數學概念間內在結構的連結。本研究基於教科書分析上的需要，將數學連結，界定為安排在教科書中的數學外部連結與數學內部連結；「數學外部連結」指的是取材的情境來自生活情境，能夠引導學生連結生活經驗去進行思考的數學相關活動，包含個人情境、教育或職業情境、公共情境、科學情境等五類的相關活動；本研究所指的「數學內部連結」為特定的數學概念與其他相關的數學概念之間的相互關係，或在佈題上能夠整合兩個以上數學概念的相關活動。. 6.

(31) 第二章文獻探討第一節. 幾何主題在數學領域的重要性. 本節從兩個方向探討幾何主題在數學領域的重要性，第一部份從數學課程標準來分析幾何的角色與地位；第二部份從幾何教材中活動編排來檢視其角色與重要性。. 壹、從數學課程標準分析幾何的角色與地位幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學，國內外中學數學課程發展均將幾何列為基本學習素材，可見其重要的角色與地位。檢視芬蘭、臺灣、英國、美國、加拿大、日本、新加坡、南韓等這些在國際數學與科學教育成就趨勢調查（Trends in International Mathematics and Science Study, 簡稱 TIMSS）和國際學生評量計畫（Programme for International Student Assessment, 簡稱 PISA）等國際性評比中，被評為學生數學能力優秀的國家（TIMSS, 2003 ; PISA in Finland, 2006）的數學課程也能發現，這些國家的數學課程改革皆將「幾何」或「幾何測量」納入數學科學習主體裡，可見幾何主題受到臺灣及其他數學評比優秀的國家重視。世界各個國家的數學課程皆將幾何主題納入數學科學習主體中，表示幾何在數學教育中有其必然存在的重要性與無可取代性，可從以下幾個國家的數學課程標準、學習目標、能力指標中，看出一些端倪。因此，研究者整理出國中階段幾何主題共同強調的方向與重點，分別為：二維及三維形體的特徵與性質以及幾何推理；而對於培養學生數學能力，學習幾何可以提升其邏輯思考、分析、歸納、演繹、表徵、溝通等能力。以下分別簡述美國、芬蘭與我國的數學課程目標，並做簡單的整理與比較。. 一、從美國的 NCTM 課程標準分析幾何的角色與地位美國數學教師協會（National Council of Teachers of Mathematics,簡稱 NCTM） 7.

(32) 的課程標準是各國訂定數學課程綱要的重要參考，就美國的課程目標來看幾何，發現從《學校數學課程與評量標準》（Curriculum and evaluation standards for school mathematics）（NCTM, 1989），以及後續的《學校數學評量標準》（Assessment standards for school mathematics）（NCTM, 1995）及《學校數學原則與標準》（Principles and standards for school mathematics）（NCTM, 2000），「幾何」主題適度地從測量中獨立出來，並列為數學五大主題之一（數與計算、代數、幾何、測量、資料分析和機率），而且增加其教材份量，因為他們認為幾何概念的發展在各年級都是很重要的（NCTM, 2000）。NCTM《學校數學的原則和標準》中提到，幾何在數學教育的目的，在於協助學生學習瞭解及運用幾何的性質和關係，並將幾何目標區分成：（一）分析二維、三維幾何形體的特徵與性質及發展有關幾何關係的數學論證。（二）使用坐標幾何及其他表徵系統來確定位置與描述空間的關係。（三）應用變換以及使用對稱性來分析數學情境。（四）使用視覺化、空間推理以及幾何模式化來解題。每個階段皆以此四大目標為主軸，明列學生應具備的幾何能力（NCTM, 2000）。因本研究對象為國中階段，橫跨美國 6-8 年級以及 9-12 年級兩部份，以下表 2-1 為四項幾何目標的細目說明。表 2-1 美國 NCTM 2000 數學課程標準六至十二年級之幾何學習目標幾何目標. 6-8 年級說明. 9-12 年級說明. 1.使用定義性質，確切地描述、 1.分析性質與確定二維、三維物分類與了解各種二維與三維體的屬性。物體的關係。 2.探究各類二維與三維物體之一、分析二 2.了解相似物體的角度、邊長、間的關係(包含全等與相維及三維幾周長、面積和體積之間的關似)，製作和檢驗其推測，以何形體的特係。及解決相關問題。徵與性質以 3.創造並評論關於幾何概念和 3.利用演繹建立幾何推測的效及發展有關關係之歸納與演繹，如全等、度，證明定理，以及評論其他幾何關係的相似與畢氏定理。的論證。數學論證 4.分析性質與確定二維、三維物 4.利用三角形的關係來確定長體的屬性。度與角度測量。 5.探究各類二維與三維物體之 8.

(33) 間的關係(包含全等與相似)，製作和檢驗其推測，以及解決相關問題。 6.利用演繹建立幾何推測的效度，證明定理，以及評論其他的論證。二、使用座 1.使用座標幾何來表徵與檢查 1.利用笛卡兒座標與其他座標標幾何及其幾何形體的性質。系統，如導航系統、極座標系他表徵系統 2.使用座標幾何來檢查特殊的統或球座標系統，分析幾何情來確定位置幾何形體，如正多邊形或有平境。與描述空間行邊或垂直邊的多邊形。 2.研究推測並解決利用笛卡兒的關係. 座標表徵的幾何物體之問題。. 1.在非正式的變換下，如翻轉、 1.使用延伸、座標、向量、函數三、應用變旋轉、平移與放大縮小，描述符號，以及矩陣，了解與表徵換以及使用形體的大小、位置與定向。平面上物體的平移、鏡射、旋對稱性來分 2.使用變換來檢查物體的全轉與擴張。析數學情境等、相似以及線對稱或旋轉對 2.使用不同的表徵以幫助對簡稱。單變換及其組成要素的了解。 1.繪製具有特定性質的幾何物體，像邊長或角度測量。 2.利用三維物體的二維表徵來想像及解決表面積與體積這. 1.使用各種工具描繪、建構二維與三維幾何物體的表徵。 2.從不同的觀點想像三維物體，以及分析它們的截面。. 類的問題。 3.利用頂點─邊之圖形四、使用視 3.使用像展開圖這種視覺教 (vertex-edge graph)來模型化覺化、空間具，來表徵與解題。與解決問題。推理以及幾 4.使用幾何模型來表徵與解釋 4.利用幾何模型以增加洞察何模式化來數與代數關係。力、回答數學其他領域的問解題 5.在數學課堂外的範圍內能認題。清與應用幾何概念與關係，例 5.利用幾何概念以增加洞察如藝術、科學及每天的生活。力、解決其他學科與有興趣的 6.使用各種工具描繪、建構二維領域中的問題，如藝術與建築與三維幾何物體的表徵。學。註：整理自 Principles and Standards for School Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics, 2000. Reston, VA: NCTM.. 9.

(34) 幾何被視為一門探討空間物件（spatial objects）、幾何關係（geometric relationships）、變換（transformation）與表徵上述幾何關係的數學公理（axiomatic mathematical systems that have been constructed to represent geometric relationships）的課程（Clements, 2003）。上述目標一即在學習二維及三維形體的特徵與性質以及數學論證的概念，以及創造並評論關於幾何概念和關係之歸納與演繹；目標二討論到座標幾何以及座標表徵與幾何形體之關係；目標三含有二維及三維形體變換及移動的概念，目標四包含二維及三維形體繪製、表徵、模式化等概念。綜合上述，研究者發現美國NCTM（2000）《學校數學的原則和標準》在幾何目標上重複出現二維形體、三維形體、坐標幾何的相關概念，整理細目說明內容更發現，其課程目標希望能夠培養學生空間、表徵、分析、歸納、演繹等數學能力，此部分也明顯看出幾何主題之獨特性。. 二、從芬蘭的國家核心課程綱領分析幾何的角色與地位除了美國之外，芬蘭自 1970 年代開始推行九年一貫國民教育，並進行課程改革，其成果於 PISA2000、2003 評量總成績稱冠可見一斑，且其在 PISA 2006 學生數學素養的差異值分析更是前四名國家中幅度最小的（林煥祥等人，2008）。芬蘭的教育水準被國際經濟暨合作發展組織（Organization for Economic Cooperation and Development,簡稱 OECD）評為整體表現優異，學生個別學習差異與校際學習差異是全球差距最小的教育體制（OECD, 2001, 2002, 2003），如此優異的教學成效，實有值得我們探究之處。因此以下研究者將就芬蘭的數學課程標準中的幾何主題進行整理與分析。芬蘭在 1994 年訂定基礎教育國家核心課程綱領，2004 年對於 1994 年版的基礎教育國家核心課程綱領修正調整，完成新的基礎教育國家核心課程綱領，明訂所有教育活動必須遵守國家核心課程架構（The National Core Curriculum for Basic Education），根據架構所涵蓋的主流與特殊教育的教學指引、學習目標和評量標準，各市政教育局發展其地方性課程架構，學校在國家與地方性課程架構下，自行設計教學課程（張家倩，2005）。 10.

(35) 芬蘭 2004 年修訂的國家核心課程綱領，「數學」強調能提供學生發展數學思維、數學概念學習和使用最廣泛的解題方法的機會。核心課程將中小學分為三個階段：第一階段是 1-2 年級，第二階段為 3-5 年級，第三階段是 6-9 年級。每個階段都有其核心任務與目標，課程內容也有所差異。而本研究對象為國中階段，相對於芬蘭核心課程的第三階段：6-9 年級，以下表 2-2 為第三階段發展的核心任務與目標：表 2-2 芬蘭數學課程第三階段核心任務與目標階段別. 第三階段（6-9 年級）. 任務. 目標. 加深數學概念的理解，提供包含日常生活中數學模式問題足夠的基本能力，數學思考模式的學習，記憶、聚焦、準確表達的練習。. 1.學習相信自己，並且對自己的數學學習要有責任感。 2.瞭解數學概念和規則的重要性，並能瞭解數學與真實世界間的連結。 3.學習執行運算並解決數學問題。 4.學習邏輯思維與創造思維。 5.學習提出獲取和處理訊息的多元方式。 6.學習明確地表達想法，並證明他們的行動和結論。 7.學習提出初步觀察的疑問和結論。 8.學習感知規律。 9.學習持續的、專注的工作，並在團體中運作。. 芬蘭核心課程三階段的數學課程內容有別，第一階段：數與計算、代數、幾何、測量、資料處理和統計；第二階段：數與計算、代數、幾何、資料處理和統計；第三階段：數與計算、代數、函數、幾何、機率統計（Finnish National Board of Education, 2004）。由上述可發現「幾何」同時存在於三個階段中，針對「幾何」課程，各階段有訂定核心內容，做為地方政府教科書編定的標準；另核心課程綱領裡，也羅列了各階段實施課程之後的學習目標，因本研究對象為國中階段，因此以下表 2-3 針對幾何課程期望九年級學生所能達成的成效進行整理：. 11.

(36) 表 2-3 芬蘭第三階段幾何核心內容與幾何學習目標階段別. 第三階段（6-9 年級）. 幾何核心內容. 幾何學習目標. 1.角度之間的關係 2.三角形和四邊形相關概念 3.正多邊形 4.圓和相關概念 5.計算平面圖形的周長和面積 6.三維圖形的命名和分類 7.計算三維圖形體積和表面積 8.相似和全等. 1.認識不同的幾何圖形且知道他們的性質。 2.應用所學的方法計算周長、面積和體積。 3.使用指南針和尺，製造一個簡單的幾何結構。 4.找出相似，全等，和對稱的圖形，他能夠將此技能用在. 9.幾何架構調查三角形和四邊形的性 10.繪製全等：對應、旋轉、轉質。換 5.在簡單的情境提供兩個角度 11.畢氏定理之間的關係。 12.三角形和圓之間的關係 6.使用畢氏定理和三角形定理 13.三角形定理和處理直角三處理部分直角三角形問題。角形問題 7.進行測量和計算，並做常見計量單位之間的轉換。. 註：採自 FNBE（2004）。National Core Curriculum for Basic Education 2004(p. 165)。Finland: The Finnish National Board of Education。芬蘭第三階段數學課程目標的第四點：學習邏輯思維與創造思維，是能藉由幾何學習充分發展的部份。因為Clements 和 Battisa（1992）曾提出，幾何提供我們一種方法去闡釋與反映外在的物理環境，並且可以作為學習其他數學與科學素材的工具，尤其幾何的學習更能加強空間方面之思考，有助於提升高層次的創造思考能力；此外，左台益（2002）也指出，學習幾何除了可使學生獲得以及處理數、量、形等方面之相關知識外，同時亦可培養學生邏輯思考以及推理之能力，由此可看出幾何在芬蘭數學課程中的價值。而在核心內容與學後理想表現的部份，與美國同樣強調二維形體、三維形體的相關概念，惟坐標幾何在芬蘭的幾何課程內容中沒有出現。在幾何學習目標的部份，芬蘭偏重於培養學生在形體性質上做分析、比較、歸納、演繹等數學能力，這也是幾何獨特的訓練與其在數學中不可或缺的角色與定位。 12.

(37) 三、從我國的九年一貫課程綱要分析幾何的角色與地位我國為了迎接二十一世紀的來臨與世界各國之教改脈動，配合國家發展需求與回應社會期待，致力教育改革，期以提升國民素質及國家競爭力，在 2003 年進行九年一貫課程規畫與實施，並於 2009 年修正。九年一貫課程綱要中，在能力發展的部份提到：「抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其他數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係。發展邏輯思考，用來分析證據、提出支持或否定假設的論點」（教育部，2009，頁 1）。另外，在能力主軸的部分：「除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸」（教育部，2009，頁 2）。除此之外，在數學溝通能力上，學生必須具備理解圖形並以圖形表達自己意思的能力。由上述可發現幾何在提升學生抽象化能力、邏輯思考能力、分析推論能力及溝通能力，皆佔有其重要之角色與地位。具體而言，九年一貫數學學習領域第四階段（國中一至三年級）幾何的教學目標為：「學習三角形及圓的基本幾何性質，認識線對稱與圖形縮放的概念，並能學習簡單的幾何推理」（教育部，2009，頁 4），此部分可發現我國在階段性目標的訂定上，強調幾何性質及幾何推理。我國將九年國民教育區分為四個階段，四個階段的數學內容是固定的，分別為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，國中屬於第四階段。在數學幾何課程綱要課程目標中提到：國中幾何教學的目標，首先在於提供學生日後有用的核心幾何知識，其次是提供豐富的背景，可以展示數學推理證明的過程與威力，而推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一。此外，國中的幾何學習，乃由直觀、歸納轉入幾何推理與證明，希望課程目標的達成，可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。國中階段的幾何課程的核心概念是畢氏定理、全等、相似、對稱，並將之應用於常見的幾何圖形如三角形、四邊形、多邊形、圓等，而得到許多特殊圖形上的個別性質（教育部， 2009）。. 13.

(38) 綜合我國九年一貫課程綱要第四階段幾何主題的能力指標，如表 2-4（教育部，2009），研究者歸納出幾何主題大致分為形與量。形的部份包含認識幾何符號、平面幾何圖形及簡單的立體圖形，瞭解圖形的幾何結構與相關性質，甚至運用工具尺規作圖完成簡單的平面幾何圖形等，這些都能增強學生圖形與空間的概念及表徵轉換的能力；在量的部份，運用畢氏定理計算，外角和與內角和定理，熟練計算簡單幾何圖形及其複合圖形的面積等，此部份學生除了擁有基本的計算能力之外，還需要有將圖形問題以數學方式重新建構並善用假設或數學定理及公式的能力。此外，在幾何證明的部份，能針對幾何推理中的步驟，寫出所依據的幾何性質；並能從幾何圖形的判別性質，判斷圖形的包含關係；甚至能舉例說明正逆敘述是否成立；這些都在增強學生的邏輯思考、分析與歸納、運用推論與演繹進行數學證明的能力。綜合上述發現，幾何在我國課程綱要中的重要性，尤其在圖形與空間的概念以及幾何證明中，更具備其無可取代的角色與地位。. 表 2-4 我國九年一貫數學課程綱要第四階段幾何主題能力指標階段別. 代碼. 能力指標. 能理解常用幾何形體之定義與性質。能指出滿足給定幾何性質的形體。能透過形體之刻畫性質，判斷不同形體之包含關係。能利用形體的性質解決幾何問題。能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題。能理解外角和定理與三角形、多邊形內角和定理的關係。第四階段 S-4-07 能理解平面上兩平行直線的各種幾何性質。（7-9 年級） S-4-08 能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理。 S-4-09 能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。 S-4-10 能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。 S-4-11 能理解一般三角形的幾何性質。 S-4-12 能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的幾何性質。 S-4-13 能理解特殊四邊形(如正方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形)與正多邊形的幾何性質。 S-4-01 S-4-02 S-4-03 S-4-04 S-4-05 S-4-06. 14.

(39) S-4-14. 能理解圖形縮放前後不變的幾何性質。. S-4-15 能理解三角形和多邊形的相似性質，並應用於解題和推理。 S-4-16 能理解三角形內心、外心、重心的意義與性質。 S-4-17 能理解圓的幾何性質。 S-4-18 能用反例說明一敘述錯誤的原因，並能辨識一敘述及其逆敘述間的不同。 S-4-19 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明。. 貳、幾何教材的活動編排與連結其他主題之角色分析教科書影響著學生的學習，更是學生獲得知識的來源之一（Devetak, Vogrinc & Glazar, 2010）。Reys、Reys 與 Chavez（2004）認為教科書中之佈題與呈現方式在教學過程中影響著教師教學以及學生的學習；而 Stein、Remillard 與 Smith （2007）等人在研究美國兩套數學教材時發現，此兩套教科書在組織形式、相異因子組成的比重以及內容呈現之順序等方面差異性將會影響學生日後的的學習表現；此外，Zhu 與 Fan（2006）認為學生的學習以及解決問題能力與其所接觸問題數量的多寡息息相關，而相關研究（Cai, 1995; Zhu & Fan, 2006; Michael, 2002）亦指出不同型態的問題對學生的解題能力亦深具影響力。從前面討論可推知幾何教材的活動編排，也需關注佈題的種類、內容、型態、呈現的順序、組織等安排與連結等重點。國內即有針對幾何教材內容進行分析與比較之相關研究，研究結論如下，可作為本研究在審視國內教科書幾何活動的參考。鄭婷芸（2011）的研究乃針對臺灣「康軒版數學」、美國「連結數學」與新加坡「新課程數學」三套教科書進行國中階段幾何教材內容之分析與比較，分別就教材比重、佈題表徵、數學內容主題、編排內容與特色四大區塊分析。在幾何教材比重分佈上，單元數量「新課程數學」最多，教學時數「康軒版數學」最多，教學活動數「新課程數學」最多。在佈題表徵方式上，三套版本教科書皆以傳統類型問題、封閉型問題所佔比例較高，且佈題表徵方式多仰賴「聯合型態問題」，其次則為「文字型態問題」，兩者約略涵蓋七至八成左右；換言之，對於「數學. 15.

(40) 型態問題」與「視覺型態問題」之注重程度明顯偏低。在數學內容主題差異方面，三套教材在主題類目中皆不約而同的著重於「三角形」的編製；次類目方面，「幾何量計算」在各版本所佔比例都是最高的；而在「康軒版數學」排序第二且佔有相當比例之「推理與證明」，在其餘兩套教材之排序卻是最後。在編排內容與特色方面，「康軒版數學」在抽象符號之使用上較為廣泛，且常以數學符號表徵方式來論述其題目，教材中對於公式之使用與運算能力之培養亦著墨甚多；「連結數學」在佈題的安排方式較不注重公式之使用，且不以大量同質性問題使學生熟悉某個數學概念，而是改以提問的方式引導學生能說明或描述其解題策略與過程，其內容是以較多真實生活情境問題來作為學習之引發，同時題目有較多之文字敘述；「新課程數學」在許多面向與「康軒版數學」之編製方式十分雷同，且更為強調公式之運用與計算能力之訓練，教材中亦發現課程之規劃適時的融入多媒體或工具之使用，而教材之佈題方式則習慣出現重複性與相似度較高之例題，以增加公式之熟悉度，並使用大量的練習題來強化數學概念之學習。幾何扮演著連結其他數學主題的重要角色，尤其在數與量及代數的概念。我國數學課程綱要中也提到，在內部連結的部份，代數與幾何的關係，充分說明了數學內在結構連結的重要性，以下表 2-5 和表 2-6 即為根據九年一貫課程能力指標與分年細目表整理出幾何與其他主題連結的部份（教育部，2009）。研究者分析如下：從點、數線進到直角坐標平面即是代數與幾何連結最經典的一部分，學生必須先擁有二元一次方程式的概念，並懂得將其轉換成圖形，甚至從解的形式判斷圖形的情況；另外，畢氏定理的證明必須運用面積公式、三角形全等性質、代數、平方根的概念；有畢氏定理的概念才能充分瞭解坐標平面上兩點距離公式，並且希望透過對坐標平面的認識，建立坐標幾何的初步經驗；再者，相似形與比例的關係也涉及幾何與代數的連結。這些都充分說明了幾何與其他數學主題內在結構的密切關係，是一個不可分割的整體。. 16.

(41) 表 2-5 九年一貫課程能力指標幾何主題與代數主題重疊的部份能力指標代碼. 能力指標. S-4-19 A-4-20. 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明. S-4-18 A-4-19. 能用反例說明一敘述錯誤的原因，並能辨識一敘述及其逆敘述間的不同. 表 2-6 九年一貫課程分年細目表中幾何主題與代數主題連結的部份分年細目能理解畢氏定理 8-s-08 (Pythagorean Theorem) 8-a-05 及其應用. 8-s-09. 對照指標 S-4-05. 能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題. A-4-15 能理解畢氏(勾股)定理，並做應用 S-4-05. 能理解畢氏定理及其逆敘述，並用來解題. A-4-10. 能理解直角坐標系，並能計算坐標平面上兩點間的距離. 能熟練直角坐標上任兩點的距離公式. S-4-19 9-s-12 能認識證明的意義 A-4-20. 能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明. 參、綜合分析從美國課程標準、芬蘭課程綱領以及我國課程綱要中發現，幾何主題皆納入課程內容之一。從數學課程或數學教育的目標角度來看，幾何皆具有其關鍵之角色，美國強調幾何課程能協助學生學習瞭解及運用幾何的性質和關係；芬蘭強調學習幾何能增強數學的邏輯思維與創造思維；我國則重視幾何在提升學生抽象化能力、邏輯思考能力、分析推論能力及溝通能力的角色。從幾何主題的內容角度來看，美國重視二維形體、三維形體、坐標幾何的相關概念；芬蘭同樣強調二維形體、三維形體的相關概念；而我國則強調幾何性質及幾何推理。從幾何培養學 17.

(42) 生能力角度來看，美國課程目標希望能夠培養學生空間、表徵、分析、歸納、演繹等數學能力；芬蘭偏重於培養學生在形體性質上做分析、比較、歸納、演繹等數學能力；我國希望能增強學生的邏輯思考、分析與歸納、運用推論與演繹進行數學證明的能力。下表 2-7 為美國、芬蘭與我國數學課程標準中幾何目標的整理與比較。而從幾何教材的活動編排與連結其他主題之角色分析可發現，教科書中之佈題與呈現方式、組織形式、相異因子組成的比重、內容呈現之順序、問題型態的多樣性等方面的差異將會影響學生日後的的學習表現。幾何扮演著連結其他數學主題的重要角色，在內部連結的部份，代數與幾何的關係，充分說明了數學內在結構連結的重要性。綜合上述，幾何在數學教育中扮演其不可或缺的核心角色及其具備重要價值的獨特地位。本研究將從幾何教材著手，分析國中數學教科書幾何教材中發展學生數學能力與數學連結之各類幾何活動分佈情形。表 2-7 美國、芬蘭與我國數學課程標準中幾何目標的整理與比較 1.幾何的定位與角色. 美國. 芬蘭. 我國. 從《學校數學課程與評量標準》、《學校數學評量標準》及《學校數學原則與標準》，「幾何」主題適度地從測量中獨立出來，並列為數學五大主題之一，而且增加其教. 芬蘭核心課程三階段的數學課程內容有別，「幾何」同時存在於三個階段中，針對「幾何」課程，各階段有訂定核心內容，做為地方政府教科書編定的標準。. 我國將九年國民教育區分為四個階段，四個階段的數學內容固定為五大主題，「幾何」即為其中之一，貫穿於國民教育的四個階段。. 1.認識不同的幾何. 國中幾何教學的目. 材份量，因為他們認為幾何概念的發展在各年級都是很重要的（NCTM, 2000）。 2.幾何目標. （一）分析二維、. 18.

(43) 三維幾何形體的特. 圖形且知道他們. 標，首先在於提供. 徵與性質及發展有關幾何關係的數學論證。（二）使用坐標幾何及其他表徵系統來確定位置與描述空間的關係。（三）應用變換以及使用對稱性來分析數學情境。（四）使用視覺. 的性質。 2.應用所學的方法計算周長、面積和體積。 3.使用指南針和尺，製造一個簡單的幾何結構。 4.找出相似，全等，和對稱的圖形，他能夠將此技能用. 學生日後有用的核心幾何知識，其次是提供豐富的背景，可以展示數學推理證明的過程與威力，而推理能力的培養正是國中數學教育的重點之一。此外，國中的幾何學習，乃由直. 化、空間推理以及幾何模式化來解題。每個階段皆以. 在調查三角形和四邊形的性質。 5.在簡單的情境提. 觀、歸納轉入幾何推理與證明，希望課程目標的達成，. 此四大目標為主供兩個角度之間軸，明列學生應具的關係。備的幾何能力 6.使用畢氏定理和（NCTM, 2000）。三角形定理處理部分直角三角形問題。 7.進行測量和計算，並做常見計量. 可以培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。. 單位之間的轉換。 3.數學課程或強調幾何課程能協數學教育的目助學生學習瞭解及標運用幾何的性質和關係。. 強調學習幾何能增強數學的邏輯思維與創造思維。. 重視幾何在提升學生抽象化能力、邏輯思考能力、分析推論能力及溝通能力的角色。. 4.幾何主題的內容. 重視二維形體、三維形體、坐標幾何的相關概念。. 強調二維形體、三維形體的相關概念。. 強調幾何性質及幾何推理。. 5.幾何培養學. 希望能夠培養學生. 偏重於培養學生在. 希望能增強學生的. 生能力. 空間、表徵、分析、形體性質上做分歸納、演繹等數學析、比較、歸納、能力。演繹等數學能力。. 邏輯思考、分析與歸納、運用推論與演繹進行數學證明的能力。. 19.