因本研究所牽涉的單元為圓錐曲線，目的在探究學生如何作區辨，因此研究 者將分析學生在國中、高中學過的圓錐曲線相關單元作分析，以幫助研究者探究 學生區辨圖形困難的因素。
根據國民中學九年一貫課程綱要-數學科領域，對於二次函數單元所對應的 能力指標及其細目如下表 3-1-1：
表 2-3-1 二次函數單元對應的能力指標及其細目(引自教育部, 2003)
能力指標 細目
A-4-06 能理解二次函數的 圖形及應用。
9-a-01 能以具體情境來理解二次函數的意義。
9-a-02 能理解二次函數的樣式並繪出其圖形。
9-a-03 能利用配方法繪出二次函數的圖形。
9-a-04 能計算二次函數的最大值與最小值。
9-a-05 能應用二次函數最大值與最小值的簡單 性質。
9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。
A-4-07 能理解拋物線之對 稱性。
9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。
9-a-07 能理解拋物線的線對稱性質。
「二次函數」單元出現在國民中學數學第六冊，其中所細分的小單元依次 為：簡易二次函數的圖形、配方法與二次函數的圖形、二次函數的應用問題。由 研究者自行分析某版本教科書，得到結果如下表 3-1-2：
表 2-3-2 二次函數單元教科書分析
3. 二次函數圖形與兩軸的交點，並利用方程式
2
0
ax bx c
，a
0之判別式解題，辨別二次函 數圖形與 x 軸相交的情形。9-a-06
二次函數的 應用問題
1.最大值與最小值的應用，其解題過程具四個步驟：
(1)假設變數 x、y；(2)列出二次函數；(3)利用配方 法求出二次函數的最大值與最小值；(4)依題意作答。
9-a-04 9-a-05
由教科書分析及能力指標及其細目得知，在國中階段，學生學習過的二次函 數及其圖形，對拋物線的認識僅限於由二次函數描點所得的平滑曲線，由此拋物 線圖形中，學習拋物線的幾個特徵，包含拋物線的對稱性、具有頂點、對稱軸，
並且能夠藉由配方法得到此二次函數的最大、最小值。
高中數學「多項式」單元中，在「多項函數」與二次函數相關部分，依據 教師手冊所列舉的教學目標如下(引自許志農, 2008)：
1. 能畫出二次函數的圖形，並可寫出拋物線的頂點、x 軸交點、y 軸交點與對稱 軸方程式。
2. 會利用配方法求二次函數的極值。
3. 能了解二次函數判別式的應用及其幾何意義。
第四冊高中數學，圓錐曲線單元，分別介紹圓錐曲線名詞的由來、拋物線、
橢圓、雙曲線、圓錐曲線的光學性質，各單元配合的教學目標及建議授課時數如 下表 3-1-3(引自許志農, 2008)：
表 2-3-3 圓錐曲線各單元的教學目標及建議授課時數
光學性質 2. 了解給定斜率時的切線求法。
3. 推導給定切點的切線公式。
4. 了解如何求過曲線外一點的切線方程式。
5. 了解三種圓錐曲線的光學性質及其證明與應用。
比較以上的教學目標及國中教科書分析，學生雖在國三已認識的拋物線的圖 形，但仍偏重於計算，高一上學期的多項式，強調的是「函數」，使學生藉由熟 悉的二次函數，將代數式與函數圖形作連結，並需熟練配方法作為往後在數學學 習上的工具。第四冊圓錐曲線單元的學習，則由圓錐與平面相交的情形介紹拋物 線、橢圓、雙曲線，教學現場中，教師通常使用可拆解的圓錐模型作介紹，使學 生具有「圓錐曲線是由直圓錐面與平面相交而得」的印象，但未以圓錐與平面相 交的結果作深入的介紹，進而推導出各圓錐曲線中各元素之間的關係。拋物線、
橢圓、雙曲線等單元均以其幾何定義開頭，介紹圖形內的各個元素，如焦點、對 稱軸、弦、長短軸、貫軸等。進而利用幾何定義，將圓錐曲線放入直角坐標中，
推導出各圓錐曲線的標準式，並利用平移觀察圖形與各元素之間的關係。課本的 例題大多是給定條件找出標準式或給定標準式尋找各元素的坐標、長度、方程 式。最後一個「圓錐曲線的光學性質單元」，介紹了圓錐曲線的切線，並教導學 生給定斜率、給定圖形上一點及給定圖形外一點的切線求法，課本上對於斜率給 定的切線求法，根據切線的性質，導出公式。並利用導出的公式求得另兩種條件 下的切線方程式。最後介紹圓錐曲線的光學性質，談到反射定律，雖然學生在國 中階段學習過反射定律，但在進行此單元的教學時，學生將反射定律應用在圓錐 曲線中似乎有困難。根據研究者的教學經驗中，發覺部分學生強記各標準式，忽 略其幾何定義，當需要求切線時，某部份的學生需要強記解題的步驟，而非熟練 的利用圖形以及學過的數學概念及方法正確的解題。圓錐曲線的學習大約是在高 二下開學至第一次期中考約一個多月的時間，但此單元對於學生而言似乎是學的
快、忘的也快，看似機械式理解 (instrumental understanding)，而非因果式 理解 (rational understanding)。
在教科書中，看似未將拋物線、橢圓、雙曲線做緊密的結合，最後一小節圓 錐曲線的光學性質在 99 課綱(教育部, 2008)中已被刪除，本研究的最後，研究 者將討論學生在拋物線、橢圓、雙曲線的區辨中，學生是否能夠具有融貫性的解 釋，且由資料中分析出心智模式的類型。