心智模式

本研究的研究架構將以 Vosniadou (1994)提出的架構理論作為研究的主 軸，也是研究者希望藉由瞭解學生外顯的表徵，分析出學生利用本身所具備的心 智模式，並且在逐步區辨出圖形的過程中，分析學生因受到哪些心智模式的影 響，而限制本身區辨圖形過程中的反應。因此本節將以本研究所欲探討的心智模 式作說明。

Vosniadou (2006)認為在科學教育界，「概念改變」已經成為一種領導的典 範，許多學者也認為概念改變不止發生於科學教育之中，概念改變亦發生在其他 不同的領域之中，如：教育、社會文化…等等。

近年來許多學者嘗試以概念改變的架構解釋在數學學習的過程中，概念是如 何 改 變 的 ， 如 Merenluoto 和 Lehtinen (2002, 2004) 嘗 試 使 用 架 構 理 論 (framework theory)及特定理論 (specific theory)，解釋因學童產生數的綜合 心智模式，錯誤的解釋數線上的有理數與實數。Tirosh 和 Tsamir (2004)提出「數 學教育可從概念改變中得到什麼啟示？而概念改變又可從它應用在數學教育中 得到什麼啟示？」文中顯示出已有不少的學者嘗試以概念改變的架構解釋一些數 學學習上的現象，或以概念改變嘗試對照數學學習理論，如陳彥廷和柳賢 (2005) 以 Posner 概念改變模式與 Piere 和 Kieren 所提出的數學理解成長模型互相對 照，亦有研究者利用幾何上的反例 (即在科學教育中所討論的異例)進行學童幾 何概念調整的教學 (石宛臻，2004)。

Vosniadou (1994)提出概念改變的理論架構，如圖 2-1-5 所示，認為認識論 及本體論的預設，形成素樸架構理論 (naïve framework theory)。人們在成長

本體論的預設

認識論的預設 信念

心智模式 在文化情境脈落下所 觀察到的現象、資訊

過程中，觀察到的事物、接收到的資訊和信念所構成的特定理論 (specific theory)皆會受到架構理論的影響，因此在特定理論的限制之下所形成的心智模 式便間接的受到預設的影響。然而架構理論中的預設本身卻是堅固且不易改變 的，人們也不易覺察到預設的存在，更不易覺察到自己本身的信念是在預設的限 制之下而形成。Vosniadou (2006)認為因學生無法察覺自己的先前信念、將新知 識扭曲的加入至自己原有的概念結構的機制。

Vosniadou (2006)指出物理學習與數學學習中有許多相似之處。學生經由日 常生活的經驗而得到物理素樸概念，同樣在在數學學習的過程之中，經由學習主 要的原則或前提假設，建構出「數學素樸概念」，這些素樸概念一方面幫助學生 加速數學的學習，卻有可能會抑制下一個階段的學習。如學習自然數時使用的不 連續的概念無法成功的描繪出數線上有理數的個數(Vamvakoussi & Vosniadou , 2006)。Biza 等人 (2005)指出學生學習切線的概念時，會受到先前學習「圓」

圖 2-2-1：Vosniadou (1994)的理論架構

切線的影響，研究指出學生對於切線的概念心像可分為三類：「圓的概念心像」、

「似圓的概念心像」、「曲線的概念心像」，這裡所指的概念心像意指為圖 2-2-5 所指稱的心智模式。使用圓的概念心像判斷切線的學生，具有一條線與一個圓恰 有一條切線，且切線只能跟圖形恰有一交點的圖像存在其概念心像中，因此無法 正確判斷圖形上的線是否為切線，而具有曲線的概念心像的學生能夠正確的指出 圖形上的線是否為切線，然而大部分學生無法正確的定義出切線。

Merenluoto 和 Lehtinen (2006)對十七到十八歲的學生作調查，認為他們的 錯誤概念來源可能來自三方面：(1)先天認知的機制與對數推理原則的關係；(2) 生活的經驗與語言的操作；(3)學習數學的過程中，對自然數的理解。研究者針 對「極限」及「連續」的概念作調查，發現作答的結果落在初始的層式中的學生，

他們明顯的使用先前對整數的概念處理有理數及實數或使用來自於生活中的經 驗。落在部分分辨 (partial identification)層次的學生，顯示出對於某些細 節的問題，他們是作片斷的分類。操作性理解 (operational understanding) 層次的學生，能夠使用操作性的論證。在某些答案中隱含了結構性理解的學生，

研究者則區分為開始結構性理解層次。研究者認為部分分辨及操作性理解的層次 是概念改變過程中的「綜合」心智模式。

Van Dooren 等人 (2003, 2005, 2006)對於學童過渡使用「比例」概念的研 究，顯示出在學習過程中，學生不斷受到「線性」的概念所限制，當他們使用「線 性」、「比例」時，隱含使用一個線性函數

f x ( )  ax a (  0)

f x (  y )  f x ( )  f y ( )

f ax ( )  af x ( )

因而在非線性的概念中，直覺的使用線性的概念思考，在較低年級的數學學習 中，線性的概念不斷被強化，因而在之後的學習中，線性的概念變成為描述數學 關係的架構理論，而利用比例的解題方式於某個階段的學習中，成為了解題的萬 靈藥。在研究者的調查中，較高年級的學生於學習大數法則及二項分佈時，仍舊

使用線性模式解決所遇到的問題，線性模式在這裡可稱為綜合心智模式。

由以上文獻的討論中，學者們認為一般人進行問題解決時，被引發出來以解 決問題的是存在於認知結構中的综合心智模式，因此在本研究中，研究者將試以 科教領域中 Vosniadou(2006)等人所提出的觀點，探討學生對於拋物線、橢圓及 雙曲線，是否存在具有某些融貫性(conherent)的心智模式，並嘗試找出學生解 決問題時，所使用的综合心智模式。