一、拋物線、橢圓及雙曲線的各心智模式：
本研究結果發現拋物線、橢圓及雙曲線的各心智模式可為下列幾種情形 (1) 拋物線：可分為正確的模式、火箭筒型及類拋物線型。
(2) 橢圓：可分為正確的模式、操場型及類橢圓型。
(3) 雙曲線：可分為正確的模式、雙拋物線型及類雙曲線型。
(4) 其他：圖像型。
上述的心智模式係根據本研究的質性資料抽取出來的結果，因此有可能出現 與本研究相異的心智模式存在。在拋物線方面，火箭筒型為學生將所見的拋物線 作延伸後，無法判別接下來的情形所出現的，因此學生雖口說「拋物線的開口會 越來越大」，延伸之後因認為兩端不可能有交點，而判定拋物線的兩側為平行。
橢圓中的操場型容易出現在圓錐曲線單元學過許久的學生，對橢圓的定義、外觀 因已遺忘許久，才導致操場型的心智模式出現。雙曲線中的雙拋物線型為教師們 教授此單元時，應特別提醒學生注意雙曲線與拋物線的異同。但學生對於雙曲線 的一支與拋物線的特徵容易混淆，而非利用拋物線或雙曲線所持有特殊的性質，
判別雙曲線的兩支非拋物線。研究者發現某些程度較差的學生只是將教師們提醒 過的話強記下來，因此在本研究中對雙曲線分類出雙拋物線型。類拋物線型、類 橢圓型及類雙曲線型為外觀類似（如具有開口、對稱等概念），但對幾何定義的 認識缺乏完整性，或無法在圖形延伸之後，決定圖形的走向之心智模式。最後一 個具有受圖形外觀影響型之心智模式的學生，幾個圖形經過切割、平移，認為橢 圓中能夠切割出拋物線，切割之後能夠經過平移形成橢圓；而雙曲線兩側經過平 移能夠形成橢圓。研究者猜測擁有此心智模式的學生，缺乏無限延伸的概念，及 容易受到圖形外觀的影響。此類的學生對漸近線、圖形的特徵、幾何定義等，也 較缺乏明確的概念。
二、相關概念的使用：
(1) 學生使用的「弧度」及其意義
本研究利用學生對於弧度、開口、無限延伸、對稱、漸近線及幾何定義等概 念尋找出學生對於拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式。在本段中，研究者將針對
「弧度」概念進行討論。
本研究所指的弧度係為學生口語中的「弧度」，意為一曲線彎曲的程度，與 高中教材中所談到的弧度正確定義不同。但學生在訪談的過程中，談到弧度，也 講到弧度的大小，但是弧度這個概念在不同的受訪者口中外顯的表徵不盡相同。
在本研究中，學生使用「弧度」的時機為描述一曲線彎曲的程度，常以圖形 較寬、圖形較窄合併使用拿來描述一個曲線的彎曲程度。而程度中等以下的學生 大多以圖形描繪弧度的大小：變動較劇烈的曲線，學生稱為弧度較大的圖形；而 變動較緩和的曲線，學生稱為弧度較小的圖形。
研究者發現學生所談的弧度的概念，以及以圖形描繪出弧度大小所呈現的相 關概念與數學上所談的曲率類似，即說明一曲線彎曲的程度。根據學生的回答及 呈現的結果，學生認為三個圖形的「弧度」大小依次為雙曲線、拋物線及橢圓。
程度較好的學生描述一曲線彎曲的程度時，會以曲線上切線的變化程度作為判斷 曲線彎曲的程度，這些討論皆與數學中所談的「曲率」相似，如圓半徑的倒數為 圓的曲率；局部而言，圓的彎曲能以其切線的斜角變化衡量。
研究者推論，學生在學習的過程之中，自然而然會產生「曲率」概念，雖然 在各科的教學內容中，不一定出現曲率，但學生做某些判斷時，能夠自然的使用 這個概念。
在本研究中亦有一個有趣的發現，受訪者 B5(自、高)在訪談的過程中，利用
「弧度」的概念解釋問題時，B5 對弧度的解釋為「當 x 變動 1 單位的情況下，y 的變動不為定值，則在圖形上可產生一弧度。」研究者猜測在教學現場中，教師 對直線斜率的解釋為「當 x 變動 1 單位，y 的變化量的定值，稱為斜率」。研究 者訪談的時間為受訪者高二下學期，此時尚未學習高中數學「選修Ⅱ」中的微積 分相關概念，因此也未有微分、連續等概念。研究者猜測學生若能完全理解直線 斜率的概念，能夠更有利於學習圖形方程式或繪製多項式函數圖形。
(2)學生認為拋物線、橢圓及雙曲線三者之間可經由某種關係互相轉換。
學生在拋物線、橢圓及雙曲線三個圖形中，認為三者彼此之間可互換，即有 雙曲線的兩支為拋物線，雙曲線的兩支經過平移、旋轉之後，可形成橢圓。在橢 圓上可擷取出拋物線；若擷取的曲線相同，則經過平移、旋轉之後可形成雙曲線。
兩相同的拋物線經過平移、旋轉可形成橢圓或雙曲線。
在教學現場，教師總會在課堂上示範圓錐與平面的截痕，及在什麼樣的條件 之下截痕為拋物線、橢圓及雙曲線。之後的教材為了代數運算推演的方便(蘇惠 玉, 2008)，開始由幾何定義介紹拋物線；學習過後，再經由幾何定義介紹橢圓；
最後介紹雙曲線，期間約為一個月的上課時數。研究者猜測，學生在學習之初，
對圓錐曲線單元一開始的圓錐截痕印象很深刻，大部分學生直覺的認為這三者之 間的關係密切相關。因此，若無法確實掌握幾何定義或形成截痕的條件不同的學 生，會認為三者之間能夠經由一些操作互相變換。
在這個部分中，學生直覺的認為橢圓經由切割、圖形的平移會產生雙曲線；
在一個橢圓上可切割為數個拋物線；兩相同的拋物線經過平移後可產生橢圓或雙 曲線的兩支經平移、旋轉之後可造出橢圓等。研究者猜測在這些情況之下，學生 直觀的判斷圖形的走向，卻無法區別圖形延伸後和原圖形之間的關係，因此這一 類的學生受到圖形外觀極大的影響。
三、研究者的省思
經過三個階段長時間的質性研究為主的探索過程中，研究者由不知如何起頭 到逐漸釐清整個研究的脈絡。在訪談學生的過程中，由剛開始的生疏到最後的熟 稔，在這段過程中，難免會不小心引導學生的思路，研究者在之後會更加小心。