調整期的資料分析包含兩個部份，第一部分為圓錐曲線單元一般性詴題施 測，題目包含與幾何定義相關和以圖形、元素及方程式相關之詴題兩部份，施測
人數為 161 人，時間約 45 分鐘。第二部份為前一部份施測結果中，依第三章所 述的標準中，由五大類挑選出適合訪談的學生，本次訪談共 7 人，以下將分兩個 部份說明本階段的施測結果。
一、圓錐曲線一般性詴題施測結果分析
本階段之詴題測驗結果為量的分析，研究者與指導教授討論後，將詴題 進行進行評分與編碼，擬出了評分與編碼方式後，研究者對 161 份詴卷進行 評分和編碼的工作並依據評分的結果進行量化分析。
(一)各詴題的難度
評分的標準依據詴題本身的複雜程度作區分，全對為 8 分，全錯為 0 分，其餘情況依照各題的狀況作為評分標準。
「幾何定義類之詴題」難度為 0.50；「圖形、元素及方程式類詴題」
之難度 0.61。
二、訪談內容分析
(一)依定義作區辨
1. S1、S2、S3(在幾何定義類和圖形、元素和方程式之間的關係的答對率皆 在 85%以上的學生)，以定義作區辨的情形。
S1 清楚拋物線的幾何定義，但也會根據所給予的條件不同，而作出不一樣
的辨別。如 Sl 認為拋物線最後會呈現「彈頭型」(即子彈的形狀，兩邊為平行)，
便與訪談的過程中，S1 認為可由拋物線的幾何定義作為判別產生矛盾。
以原案 S1 為例：
167. S1：呃…剛剛畫的那個很開的圖案(在紙上畫出一個小拋物線及其對稱 軸)，就是…應該兩邊數值對稱之後會離對稱軸越來越遠…
168. I：嗯…
169. S1：可是橢圓上的…橢圓上的…我本來是想說，說不定找到就是這裡有個 切線，就可以讓它無限延伸，繼續這樣。可是…切線這樣子畫，好像 是一直平的，就很像彈頭型這樣(在紙上畫出一彈頭型，如圖 5-3-1)，
好像就不會離對方越來越遠。
2. S5(在「幾何定義」的題目表現差但「圖形、元素和方程式之間的關係」
的題目表現較好的學生，且答對比例差大於 50%)，以定義作區辨的情形。
S5 在一般性詴題施測，在幾何定義類的詴題與圖形、元素和方程式之間的關 係，答對的比例落差達 50%以上，由此結果顯示，S5 在平時的測驗中，可能不需 要完全理解幾何定義，卻可找出方程式、由方程式找出焦點坐標...等。區辨圖 形的過程中，亦顯示此現象。
以原案 S5 為例：
8. I：你畫出來的這是什麼形狀？
9. S5：橢圓
10. I：橢圓…好，那…你中間畫的這條線是什麼？
圖 5-4-1 S1 彈頭型的圖
11. S5：精準線…
171. I：那如果是這一個(橢圓切割後，經由平移、旋轉組合成雙曲線)呢？橢圓 172. S2：橢圓可以怎樣，變成雙曲線，它們定義會不會變成雙曲線喔！
173. I：你可以用方程式來作。
174. S2：(寫出
2 2
2 2 1
x y
a b
)就只要改一個負號就可以了，就可以變成雙曲線 175. I：就是把圖形作移動之後176. S2：對。
研究者由 S2 的回答發現 S2 對於方程式的了解源於 S2 本身對於圖形特徵的 認識，因此，才會認為橢圓的方程式經過切割後，再經由平移旋轉，其圖形可為 雙曲線。在 S2 的心智模式中可發現，S2 對於圖形方程式的認識為橢圓皆為正，
而雙曲線的方程式卻有負號的存在。
2. S5(在「幾何定義」的題目表現差但「圖形、元素和方程式之間的關係」
的題目表現較好的學生，且答對比例差大於 50%)以方程式作區辨的情形。
S5 顯示在一般詴題表現較好的學生，不一定真正理解方程式的涵義，對於 圓錐曲線曲線的方程式理解的情形，亦有可能靠死記的方式進行一般性的解題，
而能夠找出座標及求出方程式。
(三)依各圓錐曲線圖像的直觀特徵作區辨
1. 以「開口」作為區辨圖形的依據。
學生的心智模式中所存在的「開口」具有不同的意義，由質性資料中，歸納 出以下三點：(1)具有方向性；(2)具有距離的概念；(3)具有大小。以下將依序 說明。
(1)開口具有方向性，以下面原案為例：
S5(在「幾何定義」的題目表現差但「圖形、元素和方程式之間的關係」的題 目表現較好的學生，且答對比例差大於 50%)
53. S5：是…就是…拋物線就…會無限延伸 54. I：嗯…你講無限延伸是什麼意思？
55. S5：就是…它是這樣…(手指比向外的方向) 56. I：無限延伸這個詞是老師上課講的嗎？
57. S5：好像是…吧…我也不知道…有點忘記了…那…無限延伸是對的嗎？拋物 線…
58. I：嗯…所以它會無限延伸…那會不會…呃，無限延伸的話那它開…我們常 常講到開口麻，那它開口會長什麼形狀？
59. S5：往左或往右…開口
(2)開口存在有距離的概念，以下面的原案為例：
S1(在幾何定義類和圖形、元素和方程式之間的關係的答對率皆在 85%以上的 學生)
165. I：嗯
167. S1：呃…剛剛畫的那個很開的圖案(在紙上畫出一個小拋物線及其對稱 軸)，就是…應該兩邊數值對稱之後會離對稱軸越來越遠
(3)開口具有大小，以下面的原案為例：
106. I：雙曲線有什麼特徵？
107. S5：焦點到中心要等距…
108. I：那…這一個你…你覺得是不是？你覺得可不可以？
109. S5：可以。
110. I：那…你覺得可以的話…是…因為你覺得它符合定義，還是符合你剛剛講 的？
111. S5：要符合定義…然後…就是…咦！定義…雙曲線…就是它…開口，兩個
圖 5-4-2 S1 雙拋物線圖
雙曲線…ㄟ…雙曲線應該要一樣…就是開口…一樣大
由以上的質性資料中顯示，在學生的開口的心智模式中，可能同時存在開口 有方向性、或有距離及大小，通常口語的描述中，其心中具有某種圖像，使其口 語敘述如「開口越來越大」，訪談的過程中，研究者發現，當學生描述越來越大，
同時會以手部的姿勢，向外有「V」字型的表現，越往外，就越大，卻不容易使 用完整的描述，描述越來越大的感覺。而這種越來越大的感覺，亦指圖形(如拋 物線)，兩端點的距離越來越大。
2. 以「對稱」作為區辨圖形的依據，以下面原案為例：
31. I：所以你覺得它可以變成橢圓的條件是？
32. S1：兩邊對稱，然後距離這兩個焦點距離相等吧！相等之後，應該就是橢圓 吧！
33. I：那現在這個問題呀！課本啊！老師有講過，就是那個兩個拋物線，那你 能夠藉著平移跟旋轉來得到雙曲線嗎？
34. S1：可以啊！因為雙曲線就是兩個拋物線麻(圖 5-3-2)！然後這兩個也要一 樣，然後對稱。
35. I：好，那我們再確認一遍，兩個拋物線可以變成雙曲線的條件是 36. S1：這兩個要對稱，要一樣
S1 判斷圖形為橢圓是因為「對稱」，由 S1 的回答中，可發現 S1 具有某些對 於橢圓的心智模式，只是口語表達中無法包含對於橢圓的心智模式所具的所有元 素，因此，將自己認為最明顯的特徵作為區辨圖形的依據。
圖 5-4-3 雙拋物線型
3. 以漸近線的作為判斷雙曲線的依據，以下面的原案為例：
S3(在幾何定義類和圖形、元素和方程式之間的關係的答對率皆 85%以上的學生)
153. S3：拋物線…漸近線喔…因為拋物線會一直往外開啊，就會碰到漸近線…
154. I：嗯…
155. S3：所以它就絕對不是雙曲線。
學生對於漸近線的心智模式大部分為圖形與漸近線的距離會越來越小，但不 會碰到。不論能力較高低的學生，大部分皆能以是否具有漸近線作為區辨雙曲線 的依據。但對於「拋物線是否有漸近線」的命題，有些學生卻無法確定。
4. 在學生的心智模式中存在兩相同的拋物線可形成一雙曲線，以下面的原 案為例：
33. I：那現在這個問題呀！課本啊！老師有講過，就是那個兩個拋物線，那你 能夠藉著平移跟旋轉來得到雙曲線嗎？
34. S1：可以啊！因為雙曲線就是兩個拋物線麻(圖 5-3-3)！然後這兩個也要一 樣，然後對稱。
小結
由以上的結果中，可發現不論學生在一般性詴題所表現的好壞，對於圓錐曲 線的心智模式中，對拋物線、橢圓及雙曲線均可能存在某些特定的心智模式，這
些心智模式均與原本的「數學的心智模式」中的概念有相似之處，學生回答問題 的時候，顯示出某些具有融貫性的錯誤解釋。在調整期中研究者亦逐步的對研究 的問題及工具進行調整，針對學生在研究者欲討論的心智模式中所具有的元素進 行觀察。如在拋物線的某種心智模式中，可能具備對於「開口」、「無限延伸」， 或對於橢圓的心智模式中，所具備的「弧度」概念等，進行探討。
第陸章 實踐期的研究方法及資料分析
經過了前面兩個階段之研究並與指導教授討論後，發現透過「區辨拋物線、
橢圓、雙曲線之訪談提綱-第 3 版」的施測，發現受試者區辨形狀時，確實受到 其心智模式中某些圖像或概念的限制。研究者觀察在圓錐曲線一般試題中的表現 與區辨圖形的情形，發現不論在一般試題中表現好或表現差的學生，皆會受到圖 像本身的限制，但只是程度多寡的問題，研究者推論可能與其學習的習慣有關。
在調整期後段，確定本研究的研究問題與訪談大綱，由分析前兩個階段的晤談內 容與指導教授討論後，指導教授建議本研究可針對圖像本身的變化進行討論，並 探究不同能力的學生區辨圖形時，受到圖形影響的差異情形。研究者操弄的變因 為橢圓的形狀(離心率不同)、直線所在的位置進行本階段的研究，因此進入本研 究的第三階段，以下茲分別介紹實踐期之研究對象、研究工具、研究過程及其資 料分析。