高中生對拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型研究

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文. 指導教授：譚克平博士. 高中學生對拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型研究. 研究生：吳姿瑩. 中華民國 100 年 1 月.

(2) 誌謝. 感謝主！看到論文成形的這一刻，內心充滿著喜悅與感謝。在科教所學習的過程中，首先要感謝的是譚克平老師，在老師身上看到的是對事物的執著與孜孜不倦的研究態度，也讓我看到了一個老師對於學生的耐心及關心，每當我的自信心不足時，老師總是會以自己當作例子來激勵我，我永遠會記得老師對我說過的那幾個小故事，在往後的日子中，我會不斷的學習將自己的所學大膽的與他人分享。也非常謝謝曾經教導過我的邱美虹老師、楊文金老師、李田英老師及吳心楷老師，使我在學習的過程中，不斷的擴展自己的視野。此外，也感謝口試委員邱守榕教授與陳創義教授提供寶貴的建議與指導。感謝這一路陪我走來的學長姐春風、曉蘭及同學啟哲、憲瑞、欽瑋。其次，在研究的過程中很感謝郭炎明老師以及同學怡伶提供學生作為我的研究對象，因為妳們的協助，使論文能夠順利進行。最後，感謝我的父母時常為我加油打氣，也謝謝我的先生這一年多來一路陪伴我將論文完成，給予我精神上及實質上的支持與鼓勵。要感謝的人實在太多了，未提及的朋友們謹獻上我衷心的感謝，謝謝你們。.

(3) 高中學生對拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型研究中文摘要. 本研究的目的是對於高中學生在拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型進行研究，進而了解學生學習過圓錐曲線單元後，對於拋物線、橢圓及雙曲線所形成的概念，以及在這些概念之下所形成的心智模式。. 本研究為質性研究，使用半結構性晤談。研究之初，研究者先對幾位科教所不同背景的學生進行訪談，以瞭解本研究是否可行。接下來，研究者先以一般性的問題對學生進行紙筆測驗，並與任課老師討論後，挑選出適合晤談的學生。訪談的過程中，發現學生的表現與一般性的問題表現並無太大的正相關，因此研究者與指導教授討論後，再挑選另一所 PR 值無太大差異的國立高中，由教師挑選不同能力及不同組別的學生進行晤談，在正式施測時，兩所學校的研究對象總共為自然組及社會組學生各 6 位。. 透過質性資料的分析，本研究發現學生對於拋物線的心智模式類型有火箭筒型、類拋物線型；對橢圓的心智模式類型有操場型、類橢圓形；對雙曲線的心智模式類型有雙曲線型、類雙曲線型。另有一心智模式，受圖形外觀影響較大的，本研究稱為受圖像型。在這些類型中，研究者歸納出學生判斷拋物線、橢圓、及雙曲線可略分為六個概念，分別為「開口」、「無限延伸」、「弧度」、「對稱」、「漸近線」及「幾何定義」。這六個概念中，「開口」為教師們在圓錐曲線單元的教學的常用語；「無限延伸」為描述圖形的發展；「弧度」與高中教材所定義的弧度(radian)不同，為學生為描述一曲線彎曲的程度所使用的日常用語，且不同的學生在使用上所表達的概念不盡相同；「對稱」為圓錐曲線中一重要的概念；「漸近線」為學生觀察雙曲線的重要概念；「幾何定義」對學生而言，為不太容易了解的概念。.

(4) 本研究發現學生學習過圓錐曲線單元後，仍舊有許多與正確模式相異的心智模式存在。建議教師在教學的過程中，強調拋物線、橢圓及雙曲線的幾何定義與學生所熟知的各概念，如「開口」、「對稱」等作連結。本研究另發現不同學生口中的「弧度」不盡相同，因此建議教師教授本單元時，可利用離心率切入，使學生在理解拋物線、橢圓及雙曲線具有融貫性。. 關鍵字：心智模式、拋物線、橢圓、雙曲線.

(5) A study about the mental models of parabola, ellipse, and hyperbola as perceived by senior high school students Abstract The main purpose of this study is to find out what conceptions senior high school students in Taiwan may have in relation to parabola, ellipse and hyperbola after formal instruction. A further purpose is to identify the kinds of mental models that students may perceive about these three mathematical objects.. This study adopted a qualitative analysis approach and was executed in three stages, each with its specific purpose. This study began by interviewing with graduate students in science education with different background to help formulate its research question. This formed the explorative stage of the present study. During the second adjustment stage, in order to help focus the research direction, a general test on conic sections was compiled. After administering the test to a group of senior high school students, a number of them were recommended by their math teacher to be interviewed by the present researcher. However, it was later found out that their performance in the clinical interview did not quite related to those presented in the written test. After discussing with an expert, it is decided to pick up an extra senior high school the average abilities of its students was no difference from the previous one. 12 students with different genders and different academic abilities from the two senior high schools were selected by the present researchers as participants in the third stage, the formal stage. The students were given diagrams with portions of curves from different conic sections and were then probed for various mathematical judgment. After data coding and analysis, it was found that some of the participants did reveal certain mental models when they thought of different conic sections. For the parabola, the.

(6) mental models found include the rocket model and a parabola-like model. The mental models for ellipse include the playground model and an ellipse-like model. As for the hyperbola, the mental models include the two-parabola model and a hyperbola-like model. Besides these mental models, there is an extra one known as the graphic model with which the participants were affected by the shape of the curves. It was also found that there were six concepts that the participants used to distinguish between various curves. They were the concept of opening, infinity, “radian,” symmetry, asymptote, and mathematical definitions of the mathematical objects. In particular, the way the concept “radian” was used was different from the formal definition. Here, it was used to describe the degree of bending of a curve and was used as a daily term. In general, it was found that many participants could not master a deeper realization of the definitions of conic sections.. The results revealed that many participants still held different mental models regarding the mathematical objects about which they were being instructed. This study suggested that mathematics teachers should focus on the definition of parabola, ellipse, and hyperbola and try to enhance students’ understanding regarding their differences. Moreover, they may consider introducing the concept of eccentricity to help clarify the differences between parabola, ellipse, and hyperbola..

(7) 目錄第壹章、緒論 .................................................................. 1 第一節、研究動機 ............................................................ 1 第二節、研究目的 ............................................................ 5 第三節、研究問題 ............................................................ 5 第四節、名詞釋義 ............................................................ 6 第五節、研究範圍與限制 ...................................................... 8 第貳章、文獻探討 .............................................................. 9 第一節、表徵 ................................................................ 9 第二節、心智模式 ........................................................... 11 第三節、圓錐曲線教材分析 ................................................... 15 第四節、其他研究結果 ....................................................... 21 第參章、研究設計及構想 ....................................................... 23 第一節、研究構想 ........................................................... 23 第二節、探索期的研究構想 ................................................... 24 第三節、調整期的研究構想 ................................................... 26 第四節、實踐期的研究構想 ................................................... 27 第肆章、探索期的研究方法及結果 ............................................... 31 第一節、探索期的研究對象 ................................................... 31 第二節、探索期的研究工具 ................................................... 32 第三節、探索期的研究過程 ................................................... 36 第四節、探索期的研究結果 ................................................... 37 第伍章、調整期的研究方法及結果 ............................................... 49 第一節、調整期的研究對象 ................................................... 49 第二節、調整期的研究工具 ................................................... 51 第三節、調整期的研究過程 ................................................... 54 第四節、調整期的研究結果 ................................................... 55.

(8) 第陸章、實踐期的研究方法及資料分析............................................ 65 第一節、實踐期的研究對象 ................................................... 65 第二節、實踐期的研究工具 ................................................... 66 第三節、實踐期的研究過程 ................................................... 69 第四節、實踐期的資料分析 ................................................... 70 第柒章、研究結果的討論與建議 ................................................ 115 第一節、研究結果的討論 .................................................... 115 第二節、教學及未來研究的建議 .............................................. 119. 參考文獻 .................................................................... 121 中文部分 .................................................................. 121 英文部分 .................................................................. 122. 附錄 ........................................................................ 125 附錄一、區辨拋物線、橢圓、雙曲線訪談提綱─第 1 版 .......................... 125 附錄二、區辨拋物線、橢圓、雙曲線訪談提綱─第 2 版 .......................... 126 附錄三、辨別方程式 ........................................................ 127 附錄四、學生背景資料問卷 .................................................. 128 附錄五、圓錐曲線單元試題 .................................................. 129 附錄六、區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱-第 3 版 ......................... 135 附錄七、正式訪談的圖形 .................................................... 136 附錄八、受訪者背景資料問卷 ................................................ 138.

(9) 表次表 2-1-1 表 2-3-1 表 2-3-2 表 2-3-3 表 3-4-1 表 4-1-1. 轉譯過程(Janiver, 1987) ............................................... 10 二次函數單元對應的能力指標及其細目(引自教育部, 2003) .................. 15 二次函數單元教科書分析 ................................................ 16 圓錐曲線各單元的教學目標及建議授課時數 ................................ 18 研究流程 .............................................................. 28 「辨別圓錐曲線方程式之試題」─內容分析 ................................ 33. 表 5-1-1 表 5-2-1 表 6-1-1 表 6-4-1 表 6-4-2. 調整期的施測學生編號 .................................................. 50 圓錐曲線單元一般性試題內容分析表 ...................................... 52 學生能力與編號對照表 .................................................. 66 A 組學生區辨各圖形的情形 ............................................... 71 B 組學生區辨各圖形的情形 ............................................... 73. 表 6-4-3 各受訪學生使用的概念歸納表 ............................................. 75 表 6-4-4 拋物線、橢圓、雙曲線的各心智模式類型 .................................. 94 表 6-4-5 拋物線的心智模式類型及其概念 .......................................... 95 表 6-4-6 橢圓的心智模式類型及其概念 ............................................ 98 表 6-4-7 雙曲線的心智模式類型及其概念 ......................................... 101 表 6-4-8 學生對拋物線心智模式類型及訪談過程中所提及的概念 ..................... 109 表 6-4-9 學生對橢圓的心智模式類型及訪談過程中所提及的概念 ..................... 111 表 6-4-10 學生對雙曲線的心智模式類型及訪談過程中所提及的概念 .................. 112.

(10) 圖次圖 1-1-1 圖 1-5-1 圖 1-5-2 圖 1-5-3 圖 2-2-1 圖 4-4-1. 由不同的角度切割橢圓 ................................................... 1 拋物線 ................................................................. 6 橢圓 ................................................................... 6 雙曲線 ................................................................. 6 Vosniadou (1994)的理論架構 ............................................ 12 兩似拋物線毛根合併 .................................................... 45. 圖 4-4-2 圖 4-4-3 圖 4-4-4 圖 5-3-1 圖 5-3-2. 橢圓上某一點與兩焦點連線 .............................................. 45 兩個橢圓分別截取一段 .................................................. 46 在雙曲線中作出漸近線 .................................................. 46 S1 彈頭型的圖 .......................................................... 57 雙拋物線圖 ............................................................ 61. 圖 5-3-3 圖 6-2-1 圖 6-4-1 圖 6-4-2. 雙拋物線型 ............................................................ 62 區辨拋物線、橢圓、雙曲線試題的任務分析 ................................ 68 B5 作的漸近線圖 ........................................................ 78 A5 作的拋物線圖 ........................................................ 79. 圖 6-4-3 A2 心目中弧度小的圖形 .................................................. 81 圖 6-4-4 A2 心目中弧度大的圖形 .................................................. 82 圖 6-4-5 A2 畫的雙曲線 .......................................................... 82 圖 6-4-6 A2 的拋物線形狀 ........................................................ 83 圖 6-4-7 A3 的圓 ................................................................ 84 圖 6-4-8 A3 說明不是圓的圖 ...................................................... 84 圖 6-4-9 A4 所指稱的弧度大與弧度小 .............................................. 85 圖 6-4-10 A5 弧度大(左)與弧度小(右) ............................................. 86 圖 6-4-11 B5 所作的圖形 ......................................................... 89 圖 6-4-12 A4-雙曲線 ............................................................ 91 圖 6-4-13 A6 所作的拋物線 ....................................................... 93 圖 6-4-14 A2 所呈現的拋物線心智模式為火箭筒型 ................................... 96.

(11) 第壹章緒論. 本章共分為五個部份，第一節敘述研究者的研究動機，第二節為研究動機所引發的研究目的，第三節為配合研究目的所引申出的研究問題，第四節為本研究所使用的關鍵名詞釋義，第五節為本研究之範圍與限制。以下將分別撰述。. 第一節. 研究動機. 某次在數學解題的課上，老師與同學們討論到圖像對學生的影響，老師舉了沈佩儀(2007)的研究為例子「學生對於從不同的角度切割橢圓，是否會得到拋物線？」(圖 1-1-1)讓我訝異的是，學生在高中數學第四冊學到橢圓，這時已經經歷了國小、國中階段，這個階段的學生在 Van Hiele 的幾何層次至少已經達到第二層的關係期(或稱為非形式演繹期)，此階段的學生辨別圖形時，應該能夠以圖像之間的關係或圖形本身的特徵或性質作為辨別的依據。但在這個問題的答題狀況中，學生卻會因為不同的角度切割橢圓，而有不同的宣稱。從沈佩儀 (2007) 的研究中觀察到學生判斷圖形時，可能會受其所見外觀的限制。另外有些學生認為拋物線的曲線部份可視為直線，可見學生在作幾何推理的時候，時常仰賴直覺，而不是靠各種圖形或圖形與定義之間的關係作推理，進而得到印證。. 圖 1-1-1 由不同的角度切割橢圓. 1.

(12) 但是對於高中生而言，圓錐曲線單元是個能夠在學校考試中得到不錯分數的單元。因為學生只要能夠掌握方程式的模式，及各圖形焦點、軸…等關係，就能夠將正確的方程式找出來，或求出題目所要求的條件。可是每逢遇到高三學生進行課程的複習，圓錐曲線單元也往往是學生們遺忘最多的一個單元。原因到底為何？為什麼學生們能夠記得圓錐曲線、橢圓、雙曲線、拋物線幾個名詞。但每當被問到為什麼橢圓、拋物線與雙曲線會被稱為圓錐曲線或是提及這些曲線之間有什麼關係時，往往得到的答案是「我不記得了」、「好像是因為圓錐跟平面相切」。翻閱高中數學教材，不管是哪個版本的課本，呈現的內容依次為「圓錐截痕」、「拋物線」、「橢圓」、「雙曲線」、「圓錐曲線與直線的關係」，分析完教材之後，發現教材中並未清楚的呈現各幾何定義、拋物線、橢圓、雙曲線之間的關係，由學生最熟悉的方程式表徵亦無法聯想到圓錐曲線圖形之間的關連(蘇惠玉, 2007)。. 圓錐曲線單元一開始介紹圓錐，教師會示範平面與圓錐所形成的截痕，使學生由此認識拋物線、橢圓及雙曲線與圓錐的關係。緊接著進入拋物線的教學，一開始即介紹拋物線的幾何意義，兩者之間不出為何拋物線與圓錐的關係；到了橢圓、雙曲線，也是以橢圓、雙曲線的幾何意義出發，教學自此，學生已無法得知拋物線、橢圓及雙曲線之間的關係。. 而研究者某次針對「多項式」單元對高三學生進行測驗時，發現學生在某個與拋物線相關問題：. y  f ( x) 及 y  g ( x) 的圖形都是拋物線，則 y  f ( x)  g ( x) 的圖形不可. 能為下列何者？ (A)兩拋物線 (B)開口向上的拋物線 (C)開口向下的拋物線 (D)一直線 2.

(13) 1 72 位學生中，有 24 位學生選擇 D 選項，達到總數的，不免令研究者感到 3 訝異，二次函數單元學生在國三已學習過，且高三學生在高二時也學過完整的圓錐曲線單元，但在此題的表現中，學生似乎無法將圖形與文字表徵作恰當的結合。. 那麼，圓錐曲線單元不斷的在高中課綱中被弱化，圓錐曲線單元的教與學到底能夠帶給學生甚麼？如果從歷史的教度來看，鄭英豪 (2000)指出由數學思維的角度來說，圓錐曲線為幾何問題完全轉換為代數方法處理的代表作。由歷史的地位而言，圓錐曲線為數學知識體系中極少數在遠古時期就已經定型完備的專題。由數學結構來說，圓錐曲線的探討向下連接算術、代數、幾何等基本知識，向外接觸微積分，向上發展現代分析理論。而本單元在高中生學習的階段，到底站在什麼地位？學生們需要學到什麼？學習過後，最後能夠留在長期記憶區的概念為何？學生是否能夠藉由這個單元的學習，能夠將拋物線、橢圓、雙曲線之間的關係，以一貫的方式作解釋？以教師的角度來看，教師們將本單元的教學偏重於代數問題或是能夠教導學生在這個單元中學習欣賞幾何的美？. 由蔡志仁 (2000)的研究發現，學生在解決關於橢圓的問題時，所表現出的外顯表徵包含語義表徵、圖形表徵、軌跡表徵、方程表徵、軌跡表徵及結構表徵。學生建構橢圓概念的歷程中，即前述之表徵之間的交互作用。學生若能將題意表徵與其他表徵整合至圖形表徵當中，使多重表徵緊密的結合，較能夠成功的解題 (左台益& 蔡志仁, 2001)，因此，學生若要成功的解決一橢圓問題，需要本身對圖像、語意、方程式表徵能夠有所領會，才能夠解決問題，但事實卻不似如此。. 那麼，研究者好奇的是，學生既然已經完整的學習過圓錐曲線單元，在學校段考中表現的不錯，利用一些相關元素，求得圓錐曲線的方程式，或由給定的方程式中求得拋物線、橢圓、雙曲線圖形的各元素，也具有求出正焦弦長及求得雙 3.

(14) 曲線之漸近線的能力，但為什麼在圖形的判斷上，會仰賴直覺，而非在其概念心像中找尋學習過的性質而進行判斷呢？蘇惠玉 (2007)在「從正焦弦看圓錐曲線」這篇文章指出學生能夠藉由背公式求得正焦弦長，卻不了解為何需要計算正焦弦長，這部份的運算宛如操縱一些無意義的代數式。因此，若學習是因果式理解而非機械式理解(Skemp, 1976)，也許學生就能夠擺脫進行完幾何課程的學習，卻無法掌握圖形之間的關係之窘況。. 解析幾何中拋物線、橢圓、雙曲線的定義，除了高中課程中所談的幾何定義外，還有另一個以離心率出發，所定義出的拋物線、橢圓、雙曲線，在這個定義下所談的是距離的關係，因為離心率的不同，而產生不同的曲線。離心率與圓錐曲線之間，若能夠以正焦弦當做橋樑，拋物線、橢圓、雙曲線將會有清楚的結合，而形成圓錐曲線。國內的高中教材中，並無涉及有關於離心率的討論，但離心率是不是有其重要性，研究者將於進行完本研究之後在第五章進行討論。. 尚未確定研究題目的期間，研究者試著找尋身邊理科背景的朋友及同學，觀察經由高中課程的學習之後，一般人如何區辨拋物線、橢圓、雙曲線，結果發現，一位某國立大學物理碩士，在區辨圖形的過程中，利用概念心像中對於方程式的理解進行解題，但仍舊會受限於圖像本身的影響，而認為有可能在開口很小且焦距相同的兩拋物線能夠形成雙曲線。另一位就讀科教所，背景為化學的同學，則完全利用圖像進行區辨，認定在橢圓中，不論利用何種角度進行切割，皆會出現拋物線。數學背景的同學則利用定義作解釋，較不受到圖像本身的限制。研究者觀察到這些現象後與指導教授討論之後，認為這是一個值得深入了解的議題。. 因此，本研究將以沈佩儀(2007)的研究結果為基礎，探究在目前的高中教材之下，學過圓錐曲線的學生對於拋物線、橢圓及雙曲線存在哪些心智模式以及在這些心智模式之下，學生所擁有的概念有哪些。 4.

(15) 第二節. 研究目的. 根據上節所述的研究動機，本研究將透過臨床晤談的方式，探究已經學過圓錐曲線單元且不同能力的學生對於拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式。因此本研究主要的研究目的如下：學過圓錐曲線課程且不同能力的高中學生所具有的心智模式類型。. 第三節研究問題. 根據研究目的，本研究的研究問題如下：. 1. 學生對於拋物線的心智模式類型為何？構成上述心智模式的概念有哪些？. 2. 學生對於橢圓的心智模式類型為何？構成上述心智模式的概念有哪些？. 3. 學生對於雙曲線的心智模式類型為何？構成上述心智模式的概念有哪些？. 4. 就讀社會組和自然組的學生，在拋物線的心智模式類型有哪些差異？構成上述心智模式的概念上有哪些差異？. 5. 就讀社會組和自然組的學生，在橢圓的心智模式類型有哪些差異？構成上述心智模式的概念上有哪些差異？. 6. 就讀社會組與自然組的學生，在雙曲線的心智模式類型有哪些差異？構成上述心智模式的概念上有哪些差異？ 5.

(16) 第四節名詞釋義. 1. 圓錐曲線：. 本研究所談論的圓錐曲線，為滿足下列定義所形成的圖形，本論文中稱此定義為圓錐曲線的幾何定義。. (1)拋物線：設平面上有一定直線 L 與不在 L 上的一定點 F，則平面上所有到 L 的距離等於到 F 的距離之動點 P 所形成的圖形稱為拋物線，如圖 1-5-1，其中直線 L 稱為準線，點 F 稱為焦點。. (2)橢圓：設 F1 與 F2 為平面上的兩相異定點，若定數 2a  F1F2 ，則平面上所有滿足 PF1  PF2  2a 的點 P 所形成的圖形稱為橢圓，如圖 1-5-2，其中定點 F1 與 F2 稱為此橢圓的焦點。. (3)雙曲線：設 F1 與 F2 為平面上的兩相異定點，若定數 2a  F1F2 ，則平面上所有滿足 PF1  PF2  2a 的點 P 所形成的圖形稱為雙曲線，如圖 1-5-3，其中定點 F1 與 F2 稱為此雙曲線的焦點。. 圖 1-5-1 拋物線. 圖 1-5-2 橢圓 6. 圖 1-5-3 雙曲線.

(17) 2.直線的位置：. 本研究所指的直線的位置分別為題目中所指的橢圓中的短軸、長軸、平行短軸、平行長軸、過中心和不過中心的直線。. 7.

(18) 第五節. 研究範圍與限制. 1. 本研究以質性研究為主，因限於人力及時間，預試及正式施測對象的人數約為 12 人，且對象就近以台北縣某兩所國立高中學生為主，因此所得到的結果不宜過度延伸。. 2. 本研究所使用之教材內容為教育部(民 94)公佈的普通高級中學數學課程暫行綱要所編輯的高中數學課程。. 3. 本研究之研究工具採用半結構性訪談輔以紙筆測驗，因此所得到結果為研究者藉由訪談、資料分析之後所得到的，也就是說可能有其他與本研究結果相異之作答反應存在。. 8.

(19) 第貳章文獻探討. 本章分為四節，第一節介紹數學中的表徵，第二節說明心智模式，第三節為國內圓錐曲線教材之分析，第四節為國內一些研究者對學生在圓錐曲線單元表現上的一些研究。. 第一節表徵. Kaput (1987)認為表徵的型態分成下列四種：(1)認知和知覺表徵；(2)包含模型的解釋性表徵；(3)數學中的表徵；(4)外在符號表徵。在數學學習中，不可避免的需要表徵的轉換，Lesh 等人 (1987)將外在可觀察的表徵分為以經驗為基礎的描述 (experience)、可操作的模型 (manipulatable models)、圖形或表格 (picture or diagrams)、口說的語言、手寫的符號，數學學習及問題解決的過程中，需要在上述的這些表徵中不斷的作轉換。Janvier (1987)表示基模化 (schematization)的轉譯過程表現在表徵之間，因此視表徵有如冰山的一角，在某個時間顯現，所以表徵可視為與基模化不可分離的特徵。. 符號在數學學習的過程中為不可或缺的元素，而符號也是將學生由真實世界帶往抽象世界的一扇門 (Mason, 1987)。在整個圓錐曲線的學習中，學生不僅需要面對文字符號，更需要將符號與圖形的關係之間作連結，Javiver (1987)嘗試為轉譯的過程造一個表格，如表 2-1-1 所示，學生有時候在學習上發生困難是在於無法將兩不同表徵作適當的轉換 (Lesh 等人, 1987)。. 在本研究進行的過程中，研究者將藉由觀察學生在表徵轉換的情形，期望由 9.

(20) 學生外顯的表徵轉換，如圖形表徵與方程式表徵之間的轉換，探究其概念心像中方程式與座標平面中圖形的關係或由學生的口語表達中，深入了解學生對於各圓錐曲線圖形的特徵與文字表徵之間轉換的情形。. 表 2-1-1 轉譯過程 (Janiver, 1987) 到由. 情況、口語描述. 情況 (Situations), 口語描述 (Verbal Description) 表格(Tables). 表格. 圖形. 公式化. 量測作圖模型化 (Measuring) (Sketching) (Modelling). 讀(reading). 圖形(Graphs). 理解 (interpretation). 公式化 (Formulse). 參數辨識 (Parameter Recognition). 描點. 使之符合. (Plotting). (Fitting). 大聲讀圖 (Reading off) 作圖計算 (Computing) (Sketching). 10. 符合曲線 (Curve fitting).

(21) 第二節心智模式. 本研究的研究架構將以 Vosniadou (1994)提出的架構理論作為研究的主軸，也是研究者希望藉由瞭解學生外顯的表徵，分析出學生利用本身所具備的心智模式，並且在逐步區辨出圖形的過程中，分析學生因受到哪些心智模式的影響，而限制本身區辨圖形過程中的反應。因此本節將以本研究所欲探討的心智模式作說明。. Vosniadou (2006)認為在科學教育界，「概念改變」已經成為一種領導的典範，許多學者也認為概念改變不止發生於科學教育之中，概念改變亦發生在其他不同的領域之中，如：教育、社會文化…等等。. 近年來許多學者嘗試以概念改變的架構解釋在數學學習的過程中，概念是如何改變的，如 Merenluoto 和 Lehtinen (2002, 2004) 嘗試使用架構理論 (framework theory)及特定理論 (specific theory)，解釋因學童產生數的綜合心智模式，錯誤的解釋數線上的有理數與實數。Tirosh 和 Tsamir (2004)提出「數學教育可從概念改變中得到什麼啟示？而概念改變又可從它應用在數學教育中得到什麼啟示？」文中顯示出已有不少的學者嘗試以概念改變的架構解釋一些數學學習上的現象，或以概念改變嘗試對照數學學習理論，如陳彥廷和柳賢 (2005) 以 Posner 概念改變模式與 Piere 和 Kieren 所提出的數學理解成長模型互相對照，亦有研究者利用幾何上的反例 (即在科學教育中所討論的異例)進行學童幾何概念調整的教學 (石宛臻，2004)。. Vosniadou (1994)提出概念改變的理論架構，如圖 2-1-5 所示，認為認識論及本體論的預設，形成素樸架構理論 (naïve framework theory)。人們在成長 11.

(22) 過程中，觀察到的事物、接收到的資訊和信念所構成的特定理論 (specific theory)皆會受到架構理論的影響，因此在特定理論的限制之下所形成的心智模式便間接的受到預設的影響。然而架構理論中的預設本身卻是堅固且不易改變的，人們也不易覺察到預設的存在，更不易覺察到自己本身的信念是在預設的限制之下而形成。Vosniadou (2006)認為因學生無法察覺自己的先前信念、將新知識扭曲的加入至自己原有的概念結構的機制。. Vosniadou (2006)指出物理學習與數學學習中有許多相似之處。學生經由日常生活的經驗而得到物理素樸概念，同樣在在數學學習的過程之中，經由學習主要的原則或前提假設，建構出「數學素樸概念」，這些素樸概念一方面幫助學生加速數學的學習，卻有可能會抑制下一個階段的學習。如學習自然數時使用的不連續的概念無法成功的描繪出數線上有理數的個數(Vamvakoussi & Vosniadou , 2006)。Biza 等人 (2005)指出學生學習切線的概念時，會受到先前學習「圓」. 架構理論. 特定理論. 在文化情境脈落下所. 本體論的預設. 觀察到的現象、資訊信念. 認識論的預設. 心智模式. 圖 2-2-1：Vosniadou (1994)的理論架構 12.

(23) 切線的影響，研究指出學生對於切線的概念心像可分為三類：「圓的概念心像」、「似圓的概念心像」、「曲線的概念心像」，這裡所指的概念心像意指為圖 2-2-5 所指稱的心智模式。使用圓的概念心像判斷切線的學生，具有一條線與一個圓恰有一條切線，且切線只能跟圖形恰有一交點的圖像存在其概念心像中，因此無法正確判斷圖形上的線是否為切線，而具有曲線的概念心像的學生能夠正確的指出圖形上的線是否為切線，然而大部分學生無法正確的定義出切線。. Merenluoto 和 Lehtinen (2006)對十七到十八歲的學生作調查，認為他們的錯誤概念來源可能來自三方面：(1)先天認知的機制與對數推理原則的關係；(2) 生活的經驗與語言的操作；(3)學習數學的過程中，對自然數的理解。研究者針對「極限」及「連續」的概念作調查，發現作答的結果落在初始的層式中的學生，他們明顯的使用先前對整數的概念處理有理數及實數或使用來自於生活中的經驗。落在部分分辨 (partial identification)層次的學生，顯示出對於某些細節的問題，他們是作片斷的分類。操作性理解 (operational understanding) 層次的學生，能夠使用操作性的論證。在某些答案中隱含了結構性理解的學生，研究者則區分為開始結構性理解層次。研究者認為部分分辨及操作性理解的層次是概念改變過程中的「綜合」心智模式。. Van Dooren 等人 (2003, 2005, 2006)對於學童過渡使用「比例」概念的研究，顯示出在學習過程中，學生不斷受到「線性」的概念所限制，當他們使用「線性」、「比例」時，隱含使用一個線性函數 f ( x)  ax(a  0) ，且不斷的使用線性函數的兩個性質：(1) f ( x  y )  f ( x)  f ( y )；(2) f (ax)  af ( x) ，卻無法覺察，因而在非線性的概念中，直覺的使用線性的概念思考，在較低年級的數學學習中，線性的概念不斷被強化，因而在之後的學習中，線性的概念變成為描述數學關係的架構理論，而利用比例的解題方式於某個階段的學習中，成為了解題的萬靈藥。在研究者的調查中，較高年級的學生於學習大數法則及二項分佈時，仍舊 13.

(24) 使用線性模式解決所遇到的問題，線性模式在這裡可稱為綜合心智模式。. 由以上文獻的討論中，學者們認為一般人進行問題解決時，被引發出來以解決問題的是存在於認知結構中的综合心智模式，因此在本研究中，研究者將試以科教領域中 Vosniadou(2006)等人所提出的觀點，探討學生對於拋物線、橢圓及雙曲線，是否存在具有某些融貫性(conherent)的心智模式，並嘗試找出學生解決問題時，所使用的综合心智模式。. 14.

(25) 第三節圓錐曲線教材分析. 因本研究所牽涉的單元為圓錐曲線，目的在探究學生如何作區辨，因此研究者將分析學生在國中、高中學過的圓錐曲線相關單元作分析，以幫助研究者探究學生區辨圖形困難的因素。. 根據國民中學九年一貫課程綱要-數學科領域，對於二次函數單元所對應的能力指標及其細目如下表 3-1-1：. 表 2-3-1 二次函數單元對應的能力指標及其細目(引自教育部, 2003) 能力指標. 細目. A-4-06 能理解二次函數的 9-a-01 能以具體情境來理解二次函數的意義。圖形及應用。. 9-a-02 能理解二次函數的樣式並繪出其圖形。 9-a-03 能利用配方法繪出二次函數的圖形。 9-a-04 能計算二次函數的最大值與最小值。 9-a-05 能應用二次函數最大值與最小值的簡單性質。 9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。. A-4-07 能理解拋物線之對 9-a-06 能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。稱性。. 9-a-07 能理解拋物線的線對稱性質。. 「二次函數」單元出現在國民中學數學第六冊，其中所細分的小單元依次為：簡易二次函數的圖形、配方法與二次函數的圖形、二次函數的應用問題。由研究者自行分析某版本教科書，得到結果如下表 3-1-2：. 15.

(26) 表 2-3-2 二次函數單元教科書分析能力指標單元. 分析結果細目. 簡易二次函數的圖形. 1. 由一次函數進入二次函數，認識文字表徵，形如. 9-a-01. y  ax 2  bx  c ， a  0 。. 2. 由表列、描點，使學生認識 y  ax 2 ， a  0 的圖形 9-a-02 為拋物線，且圖形具有最低點或最高點，稱為拋物 9-a-06 線的頂點，開口向上〈 a  0 〉或向下〈 a  0 〉，. 9-a-07. 具有對稱性，且拋物線的對稱軸必通過拋物線的頂點。 3. 拋物線圖形的上下平移。. 9-a-06. 4. 課本的例題及習題多為練習找出拋物線各個特徵. 9-a-02. 之計算或利用描點，繪製拋物線圖形。. 9-a-06 9-a-07. 配方法與二. 1. 以形如 y  a ( x  h) 2  k ， a  0 的二次函數介紹二. 9-a-02. 次函數的圖. 次函數圖形的左右平移，利用描點描繪圖形並觀察 9-a-06. 形. 圖形在坐標平面的移動、圖形的形狀、頂點坐標、 9-a-07 對稱軸、開口方向與並比較與前一單元的 y  ax 2  k ， a  0 的異同。. 2. 介紹配方法，強調代數的運算，找出二次函數的最 9-a-03 大值或最小值並配合圖形的特徵，找出頂點、對稱 9-a-04 軸，以描繪二次函數的圖形。. 16. 9-a-06.

(27) 3. 二次函數圖形與兩軸的交點，並利用方程式. 9-a-06. ax 2  bx  c  0 ， a  0 之判別式解題，辨別二次函. 數圖形與 x 軸相交的情形。二次函數的. 1.最大值與最小值的應用，其解題過程具四個步驟： 9-a-04. 應用問題. (1)假設變數 x、y；(2)列出二次函數；(3)利用配方. 9-a-05. 法求出二次函數的最大值與最小值；(4)依題意作答。. 由教科書分析及能力指標及其細目得知，在國中階段，學生學習過的二次函數及其圖形，對拋物線的認識僅限於由二次函數描點所得的平滑曲線，由此拋物線圖形中，學習拋物線的幾個特徵，包含拋物線的對稱性、具有頂點、對稱軸，並且能夠藉由配方法得到此二次函數的最大、最小值。. 高中數學「多項式」單元中，在「多項函數」與二次函數相關部分，依據教師手冊所列舉的教學目標如下(引自許志農, 2008)： 1. 能畫出二次函數的圖形，並可寫出拋物線的頂點、x 軸交點、y 軸交點與對稱軸方程式。 2. 會利用配方法求二次函數的極值。 3. 能了解二次函數判別式的應用及其幾何意義。. 第四冊高中數學，圓錐曲線單元，分別介紹圓錐曲線名詞的由來、拋物線、橢圓、雙曲線、圓錐曲線的光學性質，各單元配合的教學目標及建議授課時數如下表 3-1-3(引自許志農, 2008)：. 17.

(28) 表 2-3-3 圓錐曲線各單元的教學目標及建議授課時數建議單元. 教學目標. 授課時數. 1. 由圖形或模型了解如何由平面與直圓錐而產生各種圓錐曲線名. 圓錐曲線。 3. 詞的由來. 2. 了解由光線產生的直圓錐面，如何與地面或牆壁生成各種圓錐曲線的光影。 1. 了解拋物線的幾何定義。 2. 了解拋物線的圖形及其元素。. 拋物線. 3. 了解推導拋物線標準式的過程。. 5. 4. 了解標準式與圖形之間的關係。 5. 了解平移後方程式與圖形之間的關係。 1. 了解橢圓的幾何定義。 2. 了解橢圓的圖形及其元素。橢圓. 3. 了解推導橢圓標準式的過程。. 5. 4. 了解標準式與圖形之間的關係。 5. 了解平移後方程式與圖形之間的關係。 1. 了解雙曲線的幾何定義。 2. 了解雙曲線的圖形及其元素。 3. 了解推導雙曲線標準式的過程。雙曲線. 5 4. 了解標準式與圖形之間的關係。 5. 了解雙曲線的漸近線。 6. 了解平移後方程式與圖形之間的關係。. 圓錐曲線的. 1. 了解割線與切線的定義。 18. 5.

(29) 光學性質. 2. 了解給定斜率時的切線求法。 3. 推導給定切點的切線公式。 4. 了解如何求過曲線外一點的切線方程式。 5. 了解三種圓錐曲線的光學性質及其證明與應用。. 比較以上的教學目標及國中教科書分析，學生雖在國三已認識的拋物線的圖形，但仍偏重於計算，高一上學期的多項式，強調的是「函數」，使學生藉由熟悉的二次函數，將代數式與函數圖形作連結，並需熟練配方法作為往後在數學學習上的工具。第四冊圓錐曲線單元的學習，則由圓錐與平面相交的情形介紹拋物線、橢圓、雙曲線，教學現場中，教師通常使用可拆解的圓錐模型作介紹，使學生具有「圓錐曲線是由直圓錐面與平面相交而得」的印象，但未以圓錐與平面相交的結果作深入的介紹，進而推導出各圓錐曲線中各元素之間的關係。拋物線、橢圓、雙曲線等單元均以其幾何定義開頭，介紹圖形內的各個元素，如焦點、對稱軸、弦、長短軸、貫軸等。進而利用幾何定義，將圓錐曲線放入直角坐標中，推導出各圓錐曲線的標準式，並利用平移觀察圖形與各元素之間的關係。課本的例題大多是給定條件找出標準式或給定標準式尋找各元素的坐標、長度、方程式。最後一個「圓錐曲線的光學性質單元」，介紹了圓錐曲線的切線，並教導學生給定斜率、給定圖形上一點及給定圖形外一點的切線求法，課本上對於斜率給定的切線求法，根據切線的性質，導出公式。並利用導出的公式求得另兩種條件下的切線方程式。最後介紹圓錐曲線的光學性質，談到反射定律，雖然學生在國中階段學習過反射定律，但在進行此單元的教學時，學生將反射定律應用在圓錐曲線中似乎有困難。根據研究者的教學經驗中，發覺部分學生強記各標準式，忽略其幾何定義，當需要求切線時，某部份的學生需要強記解題的步驟，而非熟練的利用圖形以及學過的數學概念及方法正確的解題。圓錐曲線的學習大約是在高二下開學至第一次期中考約一個多月的時間，但此單元對於學生而言似乎是學的. 19.

(30) 快、忘的也快，看似機械式理解 (instrumental understanding)，而非因果式理解 (rational understanding)。. 在教科書中，看似未將拋物線、橢圓、雙曲線做緊密的結合，最後一小節圓錐曲線的光學性質在 99 課綱(教育部, 2008)中已被刪除，本研究的最後，研究者將討論學生在拋物線、橢圓、雙曲線的區辨中，學生是否能夠具有融貫性的解釋，且由資料中分析出心智模式的類型。. 20.

(31) 第四節其他研究結果. 本節整理國內幾位研究者對圓錐曲線單元之學生表現的研究，以幫助研究者建立工具。. 大部份的研究者在圓錐曲線單元的研究多針對錯誤類型，或以多重表徵的觀點，以電腦科技，如 GSP 軟體進行教學實驗後，比較前後測的差異。幾個重要的研究結果如下：. 對於圓錐曲線解題錯誤類型的研究 (黃美玲, 2005; 陳吟汝, 2005)顯示： (1)對圓錐曲線各項名詞定義模糊不清。 (2)基本觀念不足。 (3)圖形概念模糊。 (4)各類圓錐曲線的概念混淆，而有錯誤的推論。 (5)將圓錐曲線內的共同性質或類似的關係混淆。 (6)先備知識不足。. 以 GSP 軟體進行教學實驗的研究(蔡志仁, 2000; 溫安榮, 2007)顯示學生經過 GSP 軟體教學後的實驗組優於傳統教學的控制組，卻未達統計上的顯著水準，不過能夠肯定的是能夠提高學生的學習興趣。. 蔡志仁(2000)也發現學生解題時，多仰賴圖形表徵進行問題解決。但若是學生進行問題解決的過程中，能夠將圖形表徵結合其他表徵，如方程式表徵、文字表徵，各表徵之間產生緊密的結合，將有助於成功的解題。. 21.

(32) 在以上幾個研究中的結果顯示圖形表徵為解決關於圓錐曲線問題中一個很重要的因素，但這幾個研究的結果雖顯示出學生外顯的行為，並未深入理解學生心中的想法。沈佩儀(2007)針對高二學生解決拋物線問題中，利用圖形表徵進行初步的探討，呈現以下的結果：. (1)學生判斷方程式或開口的時候，由標準式判斷較為容易，其次為一般式，接著為定義式。 (2)某些學生會誤將拋物線的曲線部分視為直線，因此在解應用問題時，以相似三角形的線斷或比例關係進行解題。 (3)「以不同的角度切割橢圓，是否會形成拋物線？」隨著切割的角度不同，有不同的答題結果。. 由上述的研究中發現，學生外顯的圖形表徵成為解決拋物線的幫助，另一方面，錯誤的圖形表徵也有可能成為學生解決問題上的限制，研究者在本研究參考沈佩儀(2007)的研究結果作為基礎，藉由深入訪談了解學生心目中的想法，並將試著尋找出學生對於拋物線、橢圓、雙曲線的心智模式類型以及在這些心智模式類型下所涵蓋的概念。. 22.

(33) 第参章研究設計及構想. 本研究為探究學生對於拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型，因此本研究以長時間的質性研究為主，且隨著研究持續的進行，研究者的思維也將趨向於成熟，研究方向將隨著研究的過程而有所調整。為研究進行的需要，研究者將本研究的進行分為三個時期，即探索期、調整期和實踐期。. 第一節研究構想. 本研究的研究目的是期望得知學生對於拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型，進而瞭解構成上述心智模式的概念。本研究進行之初，研究者查閱了相關的文獻，之前的研究對於拋物線、橢圓及雙曲線的研究大多針對錯誤類型進行研究，研究者認為在這些錯誤類型之中，學生可能對拋物線、橢圓及雙曲線的擁有一貫性的心智模式在其中，才會引伸出這些錯誤類型。因此，在剛開始進行時，研究者以質性研究的方法進行，並試著找出適當的研究方法進行本研究。. 因此，整個研究的進行以臨床晤談的方式進行，Ginsburg (1997, p.38)認為臨床晤談(clinical interview)為檢測孩童或成人不同面向上的思考的方法。其中心思想具有一種特殊的彈性，即訪問者被視為研究工具的一種，經由標準化的問題開始，隨著晤談的進行，訪問者藉由觀察受訪者的反應而調整活動、設計新的問題藉以驗證其假設，瞭解隱藏在受訪者背後的想法。為了能夠更深入訪談，研究者需要長時間使訪談技巧及靈敏度更趨於成熟，因此研究者進行本研究的期間依時間及目的區分為 3 個階段，分別為研究目的及問題尚未確定時的探索期、研究問題及研究方法不斷改良的調整期及正式施測的 23.

(34) 實踐期，將分別在第肆、伍、陸分別介紹各階段的研究方法及研究結果。以下分別撰述探索期、調整期及實踐期的研究構想。. 第二節探索期的研究構想. 探索期期間，研究者閱讀關於圓錐曲線相關概念的文獻，以了解目前國內外對於圓錐曲線單元相關概念研究的情形，研究者閱讀後，發現之前的研究者大多針對本單元的錯誤類型研究或利用動態幾何的環境進行教學，觀察學生在不同的表徵之下的學習成效。唯沈佩儀(2007)的研究中發現以不同角度切割橢圓，學生會認為切割後的情形隨著切割的角度不同，在某些情形下會出現拋物線，但本研究以紙筆測驗為主，在研究的過程中並未在這方面作太多的著墨，由紙筆測驗中，無法得知學生某些答案中，心中所存在的想法為何。因此研究者試著以沈佩儀(2007)的研究為基礎，並在本研究尚未確定可行之初，藉由半結構性晤談曾經學過圓錐曲線的研究所同學關於拋物線、橢圓與雙曲線的幾個問題，以探求本研究的可行性。研究者發現，雖然這些同學為理科背景，完整接受過圓錐曲線單元的學習，但是在回答問題的過程中，仍舊容易會受到圖形外觀的限制，而有錯誤的解釋。這部分的結果如同沈佩怡(2007)所做出的結論「在橢圓中可切割出拋物線」。被訪談者無法做出正確判斷，在這個階段中，研究者推測可能的原因在於高中畢業後就不再接觸與圓錐曲線相關的題材或受限於本身所具有的圓錐曲線心智模式中圖像特徵，進而利用這些特徵或概念進行問題解決。研究者將結果與指導教授討論過後，確定本研究確實可行。. 在本研究確定可行後，研究者開始思考本研究的方向，在探索期的過程中，研究者分析訪談的內容後，認為學生可能在其心目中存在某些特定的心智模式，使得在回答問題的過程中，具有某種一貫性。如訪談者認為在橢圓中可切割出拋 24.

(35) 物線者，也可經由適當的切割與平移之後組成雙曲線。因此，研究者將本研究的目的設定為探究學生對於拋物線、橢圓與雙曲線的心智模式類型，並探討在這些心智模式之下，學生心目中所包含的概念有哪些。而學生受到圖像外觀的限制有多深或學生答題的過程中利用所學的性質、定義、方程式回答問題的情形；另外也希望在本階段訓練研究者的訪談技巧。因探索期為上學期，圓錐曲線單元的學習為高二下學期第一章，因此此階段的晤談樣本為已經完整學過圓錐曲線單元的高三學生，以一對一的訪談為主，並由每次的訪談結果作為下一次訪談時修改試題與訪談內容的依據。此外，因研究者在本階段中，期望藉由本研究得知學生對於圓錐曲線的心智模式，因此研究者除了希望藉由訪談中，得知其對於幾何定義、圖形和各元素之間的關係，亦希望得知學生是否在其心智模式中，能夠藉由辨別方程式，辨認出圓錐曲線的類型為拋物線、橢圓、雙曲線或是其他退化型的雙曲線，因此發展出「辨別圓錐曲線方程式」試題。並在資料分析中，比較在辨別圓錐曲線方程式試題中表現較好的學生，答題的過程與區辨方程式能力較差的學生是否有差異。. 在本階段中，研究者開始發展和不斷改良關於「區辨拋物線、橢圓與雙曲線之訪談大綱」，並在與高三學生訪談的過程中，研究者試想在圓錐曲線單元中，於學校考試表現較佳的學生，在答題的過程與學校考試較差的學生是否有異，或是在學校考試表現較差的學生，在答題的過程中受到圖像本身影響的大小。因此研究者與指導教授討論後，決定在將本階段所發展的「辨別圓錐曲線方程式試題」改由發展「圓錐曲線單元一般試題」，藉由分析在本試題中學生的表現，幫助研究者選取下一階段的研究對象並將其在本試題的作答表現與訪談資料作比較。. 25.

(36) 第三節調整期的研究構想. 本研究的第二階段屬於「調整期」，以發展前述之區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱，並透過預試不同能力的學生，了解學生在非例行性的問題中，所表現出的外顯表徵和答題狀況後，制定一個正式可行的題目。. 研究者於此階段進行「圓錐曲線單元一般性試題」之施測，此試題施測之時間為高二學生進行第一次段考的前一週且施測試題與其任課之數學教師討論過後，並經由實務專家及學科專家審核過後實施。「圓錐曲線單元一般性試題」施測的目的在於區分出學生在圓錐曲線單元的表現，並藉由本試題作答的情形，將一般試題中對於幾何定義與一般計算題表現有差異的學生作區分，再藉由研究者的分類和任課教師的討論選取出本階段適合晤談的學生。. 本階段為半結構性晤談，以發展中的「區辨拋物線、橢圓與雙曲線之訪談提綱」與「學生基本資料問卷」作為研究工具，期望得知學生如何區辨拋物線、橢圓及雙曲線的情形外，研究者在這個階段中亦期望得知在「圓錐曲線單元一般試題」中表現有所差異的學生，進行晤談時的表現是否也會有所差異。於每次訪談結束後，將其資料整理成逐字稿，並做分析後與指導教授討論，由此不斷改良其訪談提綱。另一方面，在本階段的中期，研究者藉由分析資料發現在本研究中，學生可能對於拋物線、橢圓及雙曲線持有某些心智模式，及學生在拋物線、橢圓及雙曲線中持有某些重要的概念。因此決定將本研究的重心放在尋找學生持有心智模式的類型及在上述心智模式類型下，學生所持有的概念有哪些。. 在調整期的歷程中，研究者發現在學校考試或「圓錐曲線單元一般試題」中表現較差的學生於作答時比較容易受到圖像外觀的限制。在一般性試題中表現較 26.

(37) 好的學生，亦受到圖像本身的限制；而在以方程式作為刺激時，受訪的學生無法將方程式與圖形之間的關係作恰當的連結；以幾何定義作為解釋方面，受訪的學生亦無法將圖形以定義作解釋。因此研究者猜測，因本階段大部份的訪談對象皆為社會組的學生，受到數學學習習慣的影響，才導致研究者觀察到此一現象。. 與指導教授討論過後，確定本研究的研究問題，再下一個階段中以橢圓形狀的改變、直線的位置作為操弄的變因。. 第四節實踐期的研究構想. 本研究的第三個階段為「實踐期」，透過調整期所發展完成的「區辨拋物線、橢圓與雙曲線之訪談大綱」，以高二學生為對象，研究者藉由控制橢圓的離心率 (即改變橢圓的形狀)、直線的位置，探究學生區辨拋物線與雙曲線的情形。. 確定研究問題後，研究者開始以「區辨拋物線、橢圓與雙曲線之訪談大綱」與「學生基本資料問卷」進行半結構式的晤談。利用本工具了解不同能力的受訪者區辨拋物線、橢圓與雙曲線之間的情形，並了解其是否會受到圖像本身的限制而產生不同的推論，並且觀察加入方程式這個條件後，受訪者對其原本的宣稱是否會產生改變。. 本階段的資料分析以質性的晤談分析為主，期望能夠藉由本工具得知受訪者持有哪些心智模式，利用哪些概念進行圖形的區辨，並找出無法正確做出區辨的原因及當受訪者做出錯誤的區辨時，是受到其心智模式中哪些概念的限制。. 為了方便讀者了解本研究的過程，茲將本研究三個階段的研究流程簡易整理 27.

(38) 如下表 3-4-1，包含各階段的研究時間、步驟、對象與工具，詳細的說明將在第肆、伍、陸章中呈現。. 表 3-4-1. 研究流程時間. 研究步驟. 研究對象. 研究工具. ＊初步半結構性晤談. 不同領域專長. 1.區辨拋物線、橢圓、. ＊訪談資料分析. 的研究所學生. 雙曲線之第 1 版訪談. ＊發展辨別圓錐曲線方程. 共4人. 提綱(見附錄一). ＊閱讀相關文獻. 2008 年. 式之問卷. 2.辨別圓錐曲線方程式之問卷(見附錄二). 10 月中探索期. │. 1.區辨拋物線、橢圓、. 2009 年 2 月底. 雙曲線之第 2 版訪談＊發展如何區辨拋物線、. 提綱(見附錄三). 橢圓、雙曲線之訪談提. 北縣某國立高. 2.辨別圓錐曲線方程. 綱。. 中高三學生共 3. 式之問卷(見附錄四). 人. 2.學生基本資料問卷. ＊發展圓錐曲線單元一般試題. (見附錄五). ＊發展如何區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱. 調整期. ＊預試. 北縣某國立高. 圓錐曲線單元一般試. 施測. 中高二班級共 4. 題. 2009 年. 班. 3 月初. 從中選取 5 類學. 1.區辨拋物線、橢圓、. 生，共訪談 7 位. 雙曲線之訪談提綱第. 學生。. 3 版(見附錄六). │. 晤談. 2009 年 4 月底. 2.學生基本資料問卷＊預試資料分析. 實踐期. 2009 年. ＊確定研究問題 28.

(39) 5 月底. 從前測的 158 位. 1. 區辨拋物線、橢. │. 學生中，依高中. 圓、雙曲線之訪談. 2010 年. 低能力，男女生. 提綱正式版(見附. 各選取 6 位，分. 錄七). ＊正式訪談. 為兩組，進行「區辨橢圓與拋物線」與「區辨橢圓與雙曲線」之訪談。. ＊正式訪談之資料分析＊撰寫分析結果. 29. 2. 學生基本資料問卷.

(40) 30.

(41) 第肆章探索期的研究方法及結果. 以下分別介紹本研究探索期之研究對象、研究工具、研究過程以及研究結果。. 第一節探索期的研究對象. 探索期分為兩個部份，第一個部份為本研究開始之初，為得到差異性較大，且涵蓋各式各樣的回應，並確認本研究的可行性，並幫助研究者掌握晤談的技巧，因此研究者選擇的研究對象以不同領域的研究所學生為主、研究者的同儕，其領域分為別物理專長 1 人為某國立大學物理碩士，化學專長 1 人、數學專長 2 人為研究所碩士班學生。. 第二個部份為幫助研究者發展區辨拋物線、橢圓與雙曲線之訪談提綱，因探索期為上學期，圓錐曲線的學習在高二下學期，因此第二部份的施測對象以高三學過圓錐曲線的學生為主，另考慮到施測的方便與可行性，本階段兩部份的研究對象皆採方便取樣。. 第二個部分研究對象的選取，以台北縣某國立高中高三學生為主，涵蓋社會組與自然組，商請該校任教十三年的數學科教師由他所任教的班級中尋找適合訪談的學生，本階段因受到高三學生準備大學學科能力測驗即將到來的影響，故本階段訪談的高三學生共有 3 位，兩位自然組學生、一位社會組學生，每位學生共訪談 2 次，利用中午午休時段於該校的數學科專科教室中進行。. 31.

(42) 第二節探索期的研究工具. 探索期使用的研究工具依據使用目的之不同，分別為如何區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱第 1 版及第 2 版，茲分別說明如下：. (一)區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱─第 1 版(見附錄一). 第 1 版之訪談提綱共有 3 題，以沈佩儀(2007)研究工具的第一部分「從不同下圖為一橢圓及一直線，您覺得此直線是否能夠將橢圓分成兩拋物線？若您的角度切割橢圓，是否會得到拋物線？」之紙筆測驗試題改為開放式的問題，並的答案為是，請畫出來，並且說明此直線要怎麼切，才能夠產生兩拋物線。加入對於「拋物線與雙曲線」之訪談問題，利用一對一訪談得知受訪者的想法。若您的答案為否，請說明為什麼。舉下列試題為例：. 使用此類試題的目的是希望透過受訪者自行建構出對此類試題的想法，藉而評估本研究是否可行。. (二)區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱─第 2 版(見附錄二). 第二版的訪談提綱為改良後的第一版訪談提綱，共有 6 題，分別為橢圓與拋物線、拋物線與雙曲線、雙曲線與橢圓之間的區辨各 2 題，與指導教授討論過後，研究者決定在題目目中不給予任何圖形表徵，將試題以文字呈現，避免因所提供的圖像造成不必要的干擾，並在必要的時候提供實物表徵，使學生能夠利用實物表徵擷取所需的心智模式，進行問題解決。舉以下試題為例： 32.

(43) 在紙上畫一橢圓，若將橢圓剪下，你能夠用各種方式在這個橢圓上切割出拋物線嗎？請說明你的想法及你是如何操作的。. 在本類試題中，研究者亦希望得知受訪者遇到此類的問題，所擷取的心智模式為何，並且在此類試題中，得知受訪者的原型例。. (三)辨別圓錐曲線方程式之試題(見附錄三). 因研究者在本階段認為無法藉由訪談得知學生對於圓錐曲線方程式的瞭解，因此設計出辨別圓錐曲線方程式試題，是為了得知學生是否能夠藉由方程式表徵，區辨圓錐曲線的種類，題目依照下表 3-2-1 的設計，表的左邊為各方程式的說明，右邊則為欲施測的試題，研究者將與指導教授討論後，由各種類選出適當的題目作為施測試題。. 表 4-1-1「辨別圓錐曲線方程式之試題」─內容分析圖形/方程式說明. 對應的方程式. 開口朝上. ( x  2)2  12( y  3). 開口朝下. ( x  2) 2  12( y  3). 開口朝右. ( y  3) 2  12( x  2). 開口朝左. ( y  3) 2  12( x  2). 橢. 焦點連線平行 x 軸. ( x  2) 2 ( y  3) 2  1 16 9. 圓. 焦點連線平行 y 軸. ( x  2) 2 ( y  3) 2  1 9 16. 雙. 焦點連線平行 x 軸. ( x  2) 2 ( y  3) 2  1 16 9. 拋物標. 線. 準式. 33.

(44) 曲. . 焦點連線平行 y 軸線. ( x  2) 2 ( y  3) 2  1 16 9. 拋物線上動點為 P，焦點為拋物. F ，準線為 L ，符合 d ( P, L )  PF 的所有 P 點所. ( x  2) 2  ( y  3) 2 . 3x  4 y  5 5. 線形成的集合。動點為 P，焦點為 F1 、 F2 ，存在一定值 2a ，且依照. 橢. F1F2  2a. ，. 符. 合. 圓. 定. PF1  PF2  2a 的所有 P 點. 義. 所形成的集合。. ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  6)2  y 2  6. 動點為 P，焦點為 F1 、 F2 ，雙. 存在一定值 2a ，且. 曲. F1F2  2a. 線. PF1  PF2  2a 的所有 P 點. ，. 符. 合. ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  6)2  y 2  4. 所形成的集合。. ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  6)2  y 2  5. 線段看似定義的表示，. ( x  2) 2  ( y  3) 2 . 卻不符合直線. 3x  4 y  18 5. ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  6)2  y 2  0. 條件. ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  6)2  y 2  5. 射線. 34.

(45) . ( x  2)2  ( y  3)2  ( x  6)2  y 2  4 x  4 y 2  24 y  3. 拋物線橢圓. 2 x 2  3 y 2  4 x  6 y  31  0. 雙曲線. 2 x 2  3 y 2  4 x  6 y  37  0. 點. 2 x2  3 y 2  4 x  6 y  5  0. 圓. x 2  y 2  4 x  6 y  12  0. 一般式. 不存在/ . 2 x2  3 y 2  4 x  6 y  5  0. 本工具除了得知受訪者是否能夠藉由方程式表徵辦別圓錐曲線之外，研究者欲觀察受訪者將方程式表徵轉變為圖形表徵的情形。因此本工具的設計包含了圓錐曲線的標準式、依其幾何定義所表示的關係式和一般式，表示的圖形除了拋物線、橢圓、雙曲線之外，還包括退化型的圓錐曲線，如點、直線、線段、射線等。. (四)學生背景資料問卷(見附錄四). 本問卷參考賴容瑩(2006)所設計的學生背景資料問卷，第一部份為學生的基本資料，包含年齡、年級、性別、國中基測的數學成績、高二下第一次段考數學科成績、補習的時數。第二部份以 Likert 五點量表讓學生自行判斷在數學科學習的情形及在圓錐曲線單元學習的狀況，目的是希望能夠藉此了解學生的背景。. 35.

(46) 第三節探索期的研究過程. 探索期於本研究的初期，閱讀文獻後發現國內的文獻大多針對各圓錐曲線的錯誤類型作研究，或是以動態幾何進行教學，以實驗組與對照組的比較探究在教學中加入動態幾何教學的成效。沈佩儀(2007)的研究中只顯示學生在橢圓形的切割中，會因直線切割的角度不同而有不同的宣稱。因此，在確定題目之前，研究者先以第一版的「區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱」針對幾位不同背景的同儕進行一對一的訪談，並與指導教授討論本研究的可行性。. 訪談進行的時間為研究者與受訪者皆為方便的時間，皆在安靜且不受干擾之空間進行，整個訪談過程進行全程錄音，並於訪談後將訪談內容作整理後再與指導教授進行討論。. 經過初步訪談並與指導教授討論過後，發現一般人解決此類問題時，可能存在某些心智模式，利用心智模式解決問題，此心智模式受到圖像本身外觀的影響，確定本研究可行後，研究者在這個階段以圓錐曲線圖像、方程式的辨別、受訪者對圓錐曲線名詞的了解、圓錐曲線各元素之間的關係等概念進行訪談大綱的設計，並且期望能夠藉由訪談的過程，抽取出受訪者對於圓錐曲線的心智模式。. 初步發展完第 2 版區辨拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱後，研究者商請北縣某國立高中任教十三年的教師尋找適合訪談的高三學生，訪談未正式開始之前，受訪學生先填基本資料。訪談開始後，先詢問學生對於圓錐曲線名詞的想法，接下來才正式進入訪談提綱的內容。過程中除了使學生利用圖像進行區辨外，亦要求學生使用幾何定義及元素之間的關係進行問題解決。訪談問題結束後，要求學生填寫「辨別圓錐曲線方程式」試題，並在學生填寫的過程中，觀察其區辨方 36.

(47) 程式的情形，每位學生均利用兩次午休的時間，本階段訪談的學生人數為 3 人。. 本階段以質性訪談為主，共分為兩個部份，第一個部份為初步調查本研究是否可行之訪談分析，第二部份之分析則以三位高三學生預試的資料進行質性分析，分析結果將於下一節呈現。. 第四節探索期的研究結果. 本階段分為兩個部份，分別為(一)探究本研究是否可行，訪談對象共 4 人； (二)初步訪談高三學生，訪談對象共 3 人，以下將分別介紹本階段之發現。. 一、探究本研究是否可行之發現：. (一)根據圖像的特徵作答。. C4(某國立大學數學系畢業，現為科教所碩一學生)認為若曲線本身為對稱、開放的圖形，就為拋物線，訪談原案如下(Q 為研究者發問，C4 為受訪者之回答)：. Q：假設現在給你一個橢圓跟一直線，那你覺得有辦法將這個橢圓切割成兩個拋物線嗎？ C4：(先畫出一個橢圓、短軸(此直線)我覺得可以耶。等一下，我再看一下。(此時畫出長軸與焦點)就圖形看，我會覺得不行。(一邊解釋，一邊畫一拋物線) 我記得以前老師們教的拋物線會一直往外，可以一旦切的話，旁邊會是平的 (畫出橢圓的一半)就是接近，會有一條切線出來的感覺，以前教的拋物線就是一直往外、延伸。 Q：那如果今天這條線不是直直的切，而是斜斜的切呢？ C4：(先畫圖)如果是以斜的切，視覺上會覺得是可以，就是就圖形來看。 (跟著寫紙上的文字描述：如果線是直切，則切出的 2 段曲線會不像拋物線；但若是斜切，則切出的 2 段曲線應該會是拋物線。) 37.

(48) C4：斜切的話，視覺上來看我會覺得它是拋物線。 Q：視覺上看會你覺得是拋物線。 C4：會覺得它的圖形是這樣出去的(兩支手比出 V 字型)，而不會是像這樣包在這樣的狀態(指著所畫的橢圓)。就是在這裡(在直切與橢圓相交的點作記號)。. C4 作區辨圖形時，會先觀察圖形的特徵，再根據本身所具備的心智模式，利用所給予的條件作圖形的辨別，所以當研究者改變橢圓上直線切割的位置時， C4 隨即改變其宣稱，認為具有「開放」特徵的圖形為拋物線。. (二)認為雙曲線之兩支分別為兩拋物線。. 以下列題目為例：. 下圖為一雙曲線及一直線(圖形僅供參考)，您覺得此直線將雙曲線左右半邊的圖形分割成什麼圖形？請說明為什麼。. C2：這一個喔，雙曲線(停頓一下)這樣也是一個拋物線啊。左邊的這一個什麼，. 就是一個開口向左邊的拋物線。然後這裡的話就變成開口向右邊的拋物線。. C2(國立大學化學系畢，為國中理化教師，現為科教所碩二學生)未經提醒時，於停頓一下的時候，看了一眼圖形，立刻就回答出此為向右及向左開口之拋 38.

(49) 物線，由此讓研究者體認到雖然 C2 在高中階段，接受過圓錐曲線單元完整的學習，但圖像本身的特徵確實會造成在 C2 判斷圖形時的限制。. (三)認為若拋物線的開口很小、焦距相同，兩拋物線能夠藉由平移、旋轉構成橢圓。以下面原案為例：. C1：...意思說，它兩個交點，意思是說它的離心力非常非常大，形成近似橢圓的東西這樣子。我想一下。那我要怎麼樣可以使這個拋物線變成一個非常狹窄的、開口很小的拋物線呢？怎麼樣開口才會小一點點？開口好像有一個公式，嗯，假如說它是（計算公式，指 y  a( x  b)2 中的 a 值）假如說是 2，就變成 22…假如說是零的話呢，這個時候開口應該就比較窄，所以當前面的數字比較大的時候，是不是有可能會形成一個橢圓呢？假如說它這個往上去，接近垂直，然後上面那個也是接近垂直下來，那麼應該是有機會形成近似橢圓的東西。. C1(物理研究所畢業)對於橢圓本身的圖像，有近似橢圓的心智模式存在，即認為橢圓短軸附近的圖形是平的，而非如一般定義所指稱離心率為定值，且在橢圓上的任一點皆成立。C1 在訪談的過程中，能夠寫出圓錐曲線的標準式，也在方程式整理後能作出正確的宣稱，但仍然能夠觀察出其區辨圖形時受到本身其心智模式中所包含的概念所影響。. (四)認為雙曲線兩支分別經過平移、旋轉，能夠形成橢圓。以下面原案為例：. Q：那雙曲線同樣有兩邊，那這兩邊有沒有辦法形成一個橢圓？ C4：形成一個橢圓... Q：幫它平移、旋轉之後。 C4：(一邊畫圖)因為它會無限的逼近兩條漸近線，但到最後面最後面的時候就會感覺會很靠近很靠近那一條線，那如果另外一個雙曲線也是很靠近很靠近那一條線的話，就會看起來是平滑的，所以應該可以得到橢圓吧！ 39.

(50) 從上面回答的內容發現，C4(國立大學數學系畢，現為科教所碩一學生)了解雙曲線圖形存在兩條漸近線，且會非常接近圖形，因此推測在 C4 的心智模式中，雙曲線的兩支若擷取很靠近漸近線圖形的話，經過平移、旋轉，應該就能夠得到橢圓。. 小結. 由以上四點初步發現受訪者於區辨圖像時，習慣以圖像本身所具備的特徵進行問題解決，訪談的過程中，發現受訪者的回答具有某種融貫性，研究者也在研究進行的過程中，逐步調整研究的方向，欲找出造成受訪者回答能夠具有融貫性的心智模式種類。. 二、初步訪談高三學生 3 人，以下為初步訪談之後的發現：. 本次預試，研究者商請北縣某所國立高中數學教師由任教班級中挑選適合的學生進行訪談，因為高三學生需要準備大學學測，訪談的樣本數很少，因此研究者將受訪者的背景資料介紹如下：. PS1 為高三社會組，任課教師認為此學生為高能力學生，亦為數學小老師，在訪談過後，研究者與 PS1 聊天的過程中，PS1 強烈表達出未來的科系選擇希望以數學系為主要的選擇科系。PS2 為高三社會組中等程度學生，在背景資料問卷中，顯示出除了上課時間之外，每個星期約花 10 個小時延讀數學，在「我喜歡數學」這個選項，PS2 選擇「沒意見」、沒有閱讀數學課本的習慣、主要的學習靠講義或參考書。PS3 為高三自然組中等能力學生，還算喜歡數學。三位同學均為同一位在該校任教十年以上的數學教師的任教班級學生，由學生的反應中，得 40.

(51) 知該位教師教學的過程，較強調定義及數學思考。. 研究者在本次預試的發現如下：. (一)PS2(高三社會組中等程度)經由圖像特徵進行思考。. 23 I：有一個人他拿了兩個拋物線，然後他想說：我把這兩個一樣的拋物線剪下來之後，然後我把它這樣子拼(利用兩手的虎口做個動作)，他能不能拼成一個橢圓？ 24 PS2：不行。 25 I：為什麼？ 26 PS2：因為拋物線是這樣沿伸(PS2 以兩隻手做往外擴展的動作)，一直延伸上去，所以它會越來越開越來越開。可是橢圓在差不多端點的時候它會停住，然後開始往下掉，所以這樣的話會兩條這樣交出去(指兩拋物線各往不同的方向，如左右，相交後不斷延伸)，所以不可能拼的出來。. 由行 26 得知，在 PS2(高三社會組中等能力)的心智模式中存在一直橢圓(長軸為平行 y 軸的方向，短軸為平行 x 軸的方向)，由頂點往上延伸，在頂點處(短軸頂點)之後，其凹口方向改變，但拋物線則不改變其凹口方向，因此不可能由兩拋物線構成一橢圓。. (二)PS2(高三社會組中等程度)認為拋物線與雙曲線為開放的圖形，因此只要橢圓切割經變換後，只要圖形具有開放的性質及拋物線或雙曲線圖像的特徵，就為拋物線或雙曲線。. 92 I：我畫好了，假設我畫的這是一個橢圓，你剛剛是這樣切(斜切)，那我現在變成這樣切(垂直長軸)。 93 PS2：我覺得應該不是。 94 I：那如果這樣切呢(平行長軸)？會不會是拋物線？ 95 PS2：應該不是吧！ㄟ我覺得不管怎麼切都是耶！ 41.