本研究根據調整期的研究結果及調整過後的研究工具，在實踐期採用「區辨 拋物線、橢圓、雙曲線之訪談提綱 A 版及 B 版的正式版」和「學生基本資料問卷」
作為資料蒐集的工具，訪談高二自然組及社會組，能力為高、中、低之學生，並 依據 A 版和 B 版的訪談提綱，分為 A、B 兩組，一組為 6 人進行訪談。希望藉由 訪談的結果，了解不同的能力及不同分組，即自然組與社會組學生在圓錐曲線中 的橢圓、拋物線和雙曲線的心智模式。
由於本階段訪談的資料非常多，為了讓讀者閱讀方便，研究者先以整體的方 式描述學生的综合表現，再分別針對研究問題分析學生在各面表現的情形。本節 共分為五個部份，第一個部份先以整體量化分析的方式分析學生在 A、B 兩組各 18 個圖形的表現；第二個部份針對學生在各圖形回答上所使用的概念作說明；
第三個部份針對本研究的第一個研究問題即拋物線的心智模式類型作分析；第四 個部份將針對本研究的第二個研究問題即橢圓的心智模式類型作討論；第五個部 份將針對本研究的第三個研究問題即雙曲線的心智模式類型做討論；第六個部份 將針對研究問題四、五、六，討論自然組與社會組學生在心智模式上的表現情形。
一、A、B 兩組學生在 A、B 兩組圖形的表現
(一)A 組學生在各圖形表現的情形
研究者利用研究工具訪談提綱 A 版(見附錄)，訪談自然組與社會組能力各
橢圓 5 橢圓 5 橢圓 2
表 6-4-2 B 組學生區辨各圖形的情形
的學生
b
a
相同的情況下，認為圖形為雙曲線者較多。如平行短軸的割線且b
0.9a
的圖形，A 組的學生認為圖形為雙曲線者為 1 人，但 B 組的學生認為圖形為雙曲 線者的學生有 3 人；b
0.6a
的橢圓，平行長軸的情形中，A 組無學生認為此圖形 為雙曲線，B 組的學生有 3 人認為此圖形為雙曲線，由 A、B 兩組的比較中，顯 示學生在一段曲線與兩段曲線，易受到圖形外觀(shape)的影響而作出不同的判 斷。割線位置在平行短軸且
b
0.6a
的情形中，A、B 兩組學生判斷圖形為雙曲線 者皆有 4 人；在b
0.6a
且割線為短軸的情況中，A、B 兩組學生判斷圖形為拋物 線的學生各為 3 人。但表 6-4-1 與 6-4-2 顯示，學生所作的判斷較不受到橢圓形 狀(長軸與短軸的比值不同)的影響。由表 6-4-1、表 6-4-2 顯示，在能力上沒有顯著差異的學生對於圖形的判斷 情形亦無顯著差異，但判斷的過程中所使用心智模式類型分析還需要由訪談過程 加以分析，在下一個部份中研究者將以訪談過程中，學生所使用的概念進行分析 歸納。
二、學生所使用的概念之分析與歸納
在整個訪談的過程中，研究者藉由編碼分析得知各受訪者所使用的概念如表 6-4-3，這六個概念為大多數受訪者於訪談過程中所提及，並利用來解釋所回答 的問題。研究者將這些概念分為開口、無限延伸、弧度、對稱、漸近線、幾何定 義於表 6-4-3 呈現，在這個部份的分析將分為此六個部分，並一一呈現受訪者如 何利用這些概念作問題解決，且各受訪者在同一個概念之下，所使用的方式有何
異同。
順序，藉由訪談資料作說明及分析結果。由這個部分中，可看出同一個概念在不 同的學生中，可能顯示不盡相同的解釋。如開口，有些受訪者認為是一個具有缺 口的圖形，有些受訪者則認為開口具有方向、具有大小，有些受訪者能夠將開口 大小作文字上的說明，有些則僅使用圖形作描述。在無限延伸的概念上，受訪者 可能顯示出圖形為一個畫的完的圖形。研究者藉著分析受訪者在提及拋物線、橢 圓、雙曲線時，在這些概念上的表現，嘗試歸納出受訪者所擁有的心智模式。以 下，將由開口等概念一一的呈現出分析結果。
(一)開口
開口為學生學習拋物線單元時，教師常使用的詞語，在訪談的過程中，研 究者發現學生各自對開口有著不盡相同的理解，以下列原案為例:
原案 A1(自然組高能力學生)
55. I：那你可以試著將你剛剛講的外擴啊、開口，去想出一個比較明確的說法 來說明什麼是開口跟什麼是外擴？
56. A1：嗯，開口就是它有一端就是，它有兩端就是，嗯，開口，我不知道怎麼 解釋它的定義。
57. I：你再回憶一下，以前老師講開口都是怎麼講的？
58. A1：嗯，好像跟斜率有關。(思考)嗯，我想不起來。
59. I：你剛剛講到斜率，斜率是用在哪一種圖形上？
60. A1：直線。
79. I：你能比較精確的描繪，描繪那個拋物線開口的樣子嗎？
80. A1：啊！嗯，拋物線的開口。它應該是，拋物線。嗯，就覺得拋物線的話，
它可能是，它整個曲線就是，它就比較，它斜率就比較慢慢的慢慢的接近 鉛直的感覺，可是這邊，感覺的話就是有點突兀。所以看起來就是，到這 邊的時候，一下子就快接近鉛直。
由學生 A1 的原案分析，A1 認為開口可能與斜率有關(行 58)，行 80 中，A1
認為拋物線開口的部分，其切線會漸漸接近鉛直線，因此藉由斜率的變化，可判 斷出圖形是否具有開口，研究者推測 A1 心目中的開口應是指拋物線兩側的形狀 本身。
原案 A2(社會組中等能力學生)
73. I：那你覺得怎樣子的曲線才是拋物線？
74. A2：ah…開口吧，開口只有一個方向？
75. I：你可以描述一下開口的感覺嗎？比較具體一點的描述
76. A2：恩，就像一個袋子阿，然後他有一個開口，像裝東西。把他想像成一個 蓋子的話，你把東西放進去的地方就是開口
原案 A6(社會組高能力學生)
172. I：開口這兩個字，第一次聽到開口的時候你覺得那是什麼？
173. A6：就是沒有連起來。
174. I：數學老師他講開口的時候，你會聯想到什麼，還是講開口，它就是開口。
175. A6：開口就是沒有連起來的地方。就不會有交點的地方。
176. I：那你可以告訴我說為什麼數學老師們都會用那個開口來形容拋物線啦，
或者是一些圖形。你覺得他們為什麼都會用這樣子來作形容？
177. A6：其他的圖形，像是圓形還是什麼幾乎就是連起來，就是沒有開口，只 有拋物線和雙曲線有。
行 74 中，A2 認為拋物線的開口只有一個；行 76 顯示，A2 心目中的開口像 一個具有開口的袋子，因此，開口為將東西裝進袋子的地方，對 A2 而言，開口 與日常生活用語中的開口有關，因此具有開口的曲線即為具有缺口的曲線。
原案 A6 中，行 173 與行 175 顯示開口對於 A6 來說是未連起來的曲線，無法 具有交點，行 177 中顯示 A6 認為圓形為一封閉的曲線，因此有開口的曲線不為 封閉的曲線，也就是延伸之後並不會有交點的曲線。
由 A2 與 A6 的訪談紀錄中顯示，學生心目中的開口，為具有「缺口」的曲線，
因此，當談到開口時，學生心目中可能聯想到裝東西的袋子，或是不封閉的曲線。
原案 B5(自然組高能力學生)
285.I：那，那個雙曲線開口變大是無限制的變大？ㄜ，像那個拋物線也是無限 制的變大嗎？
286.B5：就是拋物線大概就是變大變大變很大。那，那個雙曲線，它不會，它會 慢慢變大，慢慢變大，就是它不會超過一個大小。
287.I：為什麼不會超過？
288.B5：因為它有那個漸近線在擋住它，它們有辦法這樣超過去。這是漸近線(如 圖 6-4-1)，那就雙曲線開口最多就只有這麼大而已，漸近線長這樣，開 口最多就只有這樣子而已，因為雙曲線不會超過這兩條線。那如果是拋 物線，那就可以，咻，一直變很大。
圖 6-4-1 B5 作的漸近線圖
B5 使用開口形容曲線的大小，雖然 B5 未指明開口的定義，由訪談紀錄中發 現開口對 B5 而言，指曲線的範圍，因此在 B5 的心中，應隱含開口的大小為曲線 兩端點所張開的距離，以拋物線與雙曲線為例，行 288 顯示雙曲線具有漸近線但 拋物線因其幾何定義的關係，所以在 B5 心目中雙曲線所能張開的開口大小限制 在漸近線中，而拋物線的開口卻能夠一直擴大，因此拋物線與雙曲線對 B5 來說，
所張開的大小是有所差異的。研究者發現 B5 所指稱的狀況可能是對於開口在不 同的狀況下有不同的領會，如開口變很大，指的是圖形的延伸；而拋物線的開口 無限制範圍，但雙曲線的開口卻限制在兩漸近線之間，可能是 B5 依圖形的外觀 所作的推論，與實際上「大小」所表現出的有所不同。
由以上的原案分析，歸納出學生心目中的「開口」有以下幾種情形：(1)具 方向性；(2)具有缺口的曲線，延伸之後不會相交；(3)開口為曲線兩端點所形成
的一段距離。以上的第(2)點，因曲線能夠延伸，所以曲線的開口會變大；第(3) 點中，若兩端點的距離變大，則開口會變大。
(二)無限延伸
非封閉曲線若不限制範圍會一直延伸，研究者於訪談的過程中，針對學生 對於無線延伸的概念進行探究，以下原案為學生對於無線延伸的理解：
原案 A3(社會組低能力學生)
11. I：那你可以說說看形狀不一樣的地方在哪裡
12. A3：恩…就，這個沒有底下。恩，這個是合起來，這個是兩邊 13. I：你所謂沒有底下是什麼意思？
14. A3：就是他沒有無限延伸
15. I：那你可以說說看無限延伸是什麼感覺？
16. A3：就是，算不出來
原案 A5(自然組低能力學生)
36. A5：會，會對稱。對呀！然後它上會對稱，因為是橢圓從正中間切下去，這 邊會有一個頂點，然後，這種時候就是數學老師會教，就是到頂點麻，頂 點到這個點的距離是 b，然後這個焦點到頂點的距離是 c，然後這裡是 a，
(如圖 6-4-2)可是，如果單就一個那個拋物線來看的話，它只會有一個這 個，因為他這邊是對稱，左右延伸，然後你無法預知後面圖形的情況。
37. I：那你無法預知，你還可以繼續畫。
38. A5：因為就無限延伸啊！無限延伸就未知數。
圖 6-4-2 A5 作的拋物線圖
原案 B6(自然組低能力能力學生)
知；(2)結合函數，代入任意的 x 值，求出 y 值，不斷的得出點座標後，使圖形 能夠「無限延伸」；(3)圖形在超過眼睛所能見範圍後，無法判斷其接下來的性質，
或認為圖形無法繼續再延伸。
(三)弧度
訪談的過程中，研究者發現大部份的學生使用弧度解釋圖形的外觀
訪談的過程中，研究者發現大部份的學生使用弧度解釋圖形的外觀