本階段分為兩個部份，分別為(一)探究本研究是否可行，訪談對象共 4 人；
(二)初步訪談高三學生，訪談對象共 3 人，以下將分別介紹本階段之發現。
一、探究本研究是否可行之發現：
(一)根據圖像的特徵作答。
C4(某國立大學數學系畢業，現為科教所碩一學生)認為若曲線本身為對稱、
開放的圖形，就為拋物線，訪談原案如下(Q 為研究者發問，C4 為受訪者之回答)：
Q：假設現在給你一個橢圓跟一直線，那你覺得有辦法將這個橢圓切割成兩個拋 物線嗎？
C4：(先畫出一個橢圓、短軸(此直線)我覺得可以耶。等一下，我再看一下。(此 時畫出長軸與焦點)就圖形看，我會覺得不行。(一邊解釋，一邊畫一拋物線) 我記得以前老師們教的拋物線會一直往外，可以一旦切的話，旁邊會是平的 (畫出橢圓的一半)就是接近，會有一條切線出來的感覺，以前教的拋物線就 是一直往外、延伸。
Q：那如果今天這條線不是直直的切，而是斜斜的切呢？
C4：(先畫圖)如果是以斜的切，視覺上會覺得是可以，就是就圖形來看。
(跟著寫紙上的文字描述：如果線是直切，則切出的 2 段曲線會不像拋物線；但 若是斜切，則切出的 2 段曲線應該會是拋物線。)
C4：斜切的話，視覺上來看我會覺得它是拋物線。
Q：視覺上看會你覺得是拋物線。
C4：會覺得它的圖形是這樣出去的(兩支手比出 V 字型)，而不會是像這樣包在這 樣的狀態(指著所畫的橢圓)。就是在這裡(在直切與橢圓相交的點作記號)。
C4 作區辨圖形時，會先觀察圖形的特徵，再根據本身所具備的心智模式，
利用所給予的條件作圖形的辨別，所以當研究者改變橢圓上直線切割的位置時，
C4 隨即改變其宣稱，認為具有「開放」特徵的圖形為拋物線。
(二)認為雙曲線之兩支分別為兩拋物線。
以下列題目為例：
下圖為一雙曲線及一直線(圖形僅供參考)，您覺得此直線將雙曲線左右半 邊的圖形分割成什麼圖形？請說明為什麼。
C2：這一個喔，雙曲線(停頓一下)這樣也是一個拋物線啊。左邊的這一個什麼，
就是一個開口向左邊的拋物線。然後這裡的話就變成開口向右邊的拋物線。
C2(國立大學化學系畢，為國中理化教師，現為科教所碩二學生)未經提醒 時，於停頓一下的時候，看了一眼圖形，立刻就回答出此為向右及向左開口之拋
物線，由此讓研究者體認到雖然 C2 在高中階段，接受過圓錐曲線單元完整的學 習，但圖像本身的特徵確實會造成在 C2 判斷圖形時的限制。
(三)認為若拋物線的開口很小、焦距相同，兩拋物線能夠藉由平移、旋轉構成橢 圓。以下面原案為例：
C1：...意思說，它兩個交點，意思是說它的離心力非常非常大，形成近似橢圓 的東西這樣子。我想一下。那我要怎麼樣可以使這個拋物線變成一個非常狹 窄的、開口很小的拋物線呢？怎麼樣開口才會小一點點？開口好像有一個公 式，嗯，假如說它是（計算公式，指
y a x b ( )
2中的 a 值）假如說是 2，就 變成 22…假如說是零的話呢，這個時候開口應該就比較窄，所以當前面的數 字比較大的時候，是不是有可能會形成一個橢圓呢？假如說它這個往上去，接近垂直，然後上面那個也是接近垂直下來，那麼應該是有機會形成近似橢 圓的東西。
C1(物理研究所畢業)對於橢圓本身的圖像，有近似橢圓的心智模式存在，即 認為橢圓短軸附近的圖形是平的，而非如一般定義所指稱離心率為定值，且在橢 圓上的任一點皆成立。C1 在訪談的過程中，能夠寫出圓錐曲線的標準式，也在 方程式整理後能作出正確的宣稱，但仍然能夠觀察出其區辨圖形時受到本身其心 智模式中所包含的概念所影響。
(四)認為雙曲線兩支分別經過平移、旋轉，能夠形成橢圓。以下面原案為例：
Q：那雙曲線同樣有兩邊，那這兩邊有沒有辦法形成一個橢圓？
C4：形成一個橢圓...
Q：幫它平移、旋轉之後。
C4：(一邊畫圖)因為它會無限的逼近兩條漸近線，但到最後面最後面的時候就會 感覺會很靠近很靠近那一條線，那如果另外一個雙曲線也是很靠近很靠近那 一條線的話，就會看起來是平滑的，所以應該可以得到橢圓吧！
從上面回答的內容發現，C4(國立大學數學系畢，現為科教所碩一學生)了解 雙曲線圖形存在兩條漸近線，且會非常接近圖形，因此推測在 C4 的心智模式中，
雙曲線的兩支若擷取很靠近漸近線圖形的話，經過平移、旋轉，應該就能夠得到 橢圓。
小結
由以上四點初步發現受訪者於區辨圖像時，習慣以圖像本身所具備的特徵進 行問題解決，訪談的過程中，發現受訪者的回答具有某種融貫性，研究者也在研 究進行的過程中，逐步調整研究的方向，欲找出造成受訪者回答能夠具有融貫性 的心智模式種類。
二、初步訪談高三學生 3 人，以下為初步訪談之後的發現：
本次預試，研究者商請北縣某所國立高中數學教師由任教班級中挑選適合的 學生進行訪談，因為高三學生需要準備大學學測，訪談的樣本數很少，因此研究 者將受訪者的背景資料介紹如下：
PS1 為高三社會組，任課教師認為此學生為高能力學生，亦為數學小老師，
在訪談過後，研究者與 PS1 聊天的過程中，PS1 強烈表達出未來的科系選擇希望 以數學系為主要的選擇科系。PS2 為高三社會組中等程度學生，在背景資料問卷 中，顯示出除了上課時間之外，每個星期約花 10 個小時延讀數學，在「我喜歡 數學」這個選項，PS2 選擇「沒意見」、沒有閱讀數學課本的習慣、主要的學習 靠講義或參考書。PS3 為高三自然組中等能力學生，還算喜歡數學。三位同學均 為同一位在該校任教十年以上的數學教師的任教班級學生，由學生的反應中，得
知該位教師教學的過程，較強調定義及數學思考。
研究者在本次預試的發現如下：
(一)PS2(高三社會組中等程度)經由圖像特徵進行思考。
23 I：有一個人他拿了兩個拋物線，然後他想說：我把這兩個一樣的拋物線剪下 來之後，然後我把它這樣子拼(利用兩手的虎口做個動作)，他能不能拼成 一個橢圓？
24 PS2：不行。
25 I：為什麼？
26 PS2：因為拋物線是這樣沿伸(PS2 以兩隻手做往外擴展的動作)，一直延伸上 去，所以它會越來越開越來越開。可是橢圓在差不多端點的時候它會停住，
然後開始往下掉，所以這樣的話會兩條這樣交出去(指兩拋物線各往不同的 方向，如左右，相交後不斷延伸)，所以不可能拼的出來。
由行 26 得知，在 PS2(高三社會組中等能力)的心智模式中存在一直橢圓(長 軸為平行 y 軸的方向，短軸為平行 x 軸的方向)，由頂點往上延伸，在頂點處(短 軸頂點)之後，其凹口方向改變，但拋物線則不改變其凹口方向，因此不可能由 兩拋物線構成一橢圓。
(二)PS2(高三社會組中等程度)認為拋物線與雙曲線為開放的圖形，因此只要橢 圓切割經變換後，只要圖形具有開放的性質及拋物線或雙曲線圖像的特徵，
就為拋物線或雙曲線。
92 I：我畫好了，假設我畫的這是一個橢圓，你剛剛是這樣切(斜切)，那我現在 變成這樣切(垂直長軸)。
93 PS2：我覺得應該不是。
94 I：那如果這樣切呢(平行長軸)？會不會是拋物線？
95 PS2：應該不是吧！ㄟ我覺得不管怎麼切都是耶！
96 I：你說不管怎麼切都是？可是你剛剛說直的切(垂直長軸)不是。
101 PS2：就是我切的時候可以讓它(切割之後的曲線)延伸，也可以不要管它會 不會延伸，可是，可是拋物線就是沒有辦法組成橢圓。
201 PS2：就像拋物不能變橢圓一樣，拋物不能變成橢圓，然後雙曲也不能變成 橢圓。因為雙曲是可以無限延伸。
在其心智模式中，尤其是關於圖像本身可直接觀察出的圖形特徵的心智模式，但 於區辨圖形時，於心智模式中抓取出不同的元素，將本身認為最重要的一個圖像 特徵用以作判斷，因此研究者將圖像本身所具的直觀的特徵納入本研究所考量的 重點。
(三)PS2(高三社會組中等程度)認為橢圓與雙曲線皆有 a、b、c，因此雙曲線可 擷取部分圖形經過變換後形成橢圓，橢圓亦能經由切割、作變換後而形成雙
191 PS2：隨便切都可以啊！這樣切可以啊(平行短軸)！然後這樣切也可以啊(平 行長軸)！應該都可以。
並期望得知學生如何將方程式與圖形之間的關係作連結。
圖 4-4-1 兩似拋物線毛根合併
70 PS1：可以試試看。(畫出如圖 4-1-2)將
PF
1 PF
2
2a
畫底線)圖 4-4-2 橢圓上某一點與兩焦點連線 71 I：你覺得有辦法嗎？
72 PS1：我覺得，我覺得(停頓)讓我想想，覺得(停頓)應該沒辦法吧！
73 I：為什麼？
74 PS1：因為它的焦點跟焦點的話，就是因為要滿足它( ( , )
d P F d p L
( , ))又要滿足它(
PF
1 PF
2
2a
)...我想不到題目：橢圓切割後經過變換可形成雙曲線嗎？
176 PS1：我記得我以前有做過，做過這種蠢事就是拿那個...有橢圓的那個，有 尺可以直接畫橢圓嗎麻！(亦指市面上所賣的尺，提供圓、平行四邊 形、橢圓之孔洞，照著描即可畫出圖形)
177 I：對。
178 PS1：然後我就把那個...橢圓它不是長這樣嗎？然後就拿它的這一邊這樣 (左邊的橢圓上擷取一段曲線)，然後另一邊(在右邊的橢圓上截取一段曲線，
如下頁圖 4-4-3)這樣，我以前做過這樣的事，那個...比較有感覺可以去辦 的到。比較有機會可以去辦得到，因為它們的這個...一個橢圓把它弄成雙曲 線嗎？一個橢圓...
圖 4-4-3 兩個橢圓分別截取一段 187 I：你可以解釋的比較清楚一點嗎？
188 PS1：解釋的比較清楚，因為那個...因為兩邊都一樣麻！我只要找一個適當 的距離，點跟點連接起來畫起來，我不知道對不對，.應該有一個適當 的距離，因為兩個是一樣的東西，然後就拉直直的，就雙曲線的感覺(如 圖 4-4-4)
圖 4-4-4 在雙曲線中作出漸近線
行 54 至行 74 中，PS1(高三社會組高能力學生)宣稱因定義不同，所以兩焦 距相同的拋物線無法構成一橢圓，由行 74 中，也可觀察到 PS1 本身應該了解其 定義且能利用定義進行問題解決，而非只是死記，但在行 176 到行 188 中，PS1 本身又被自己所擁有的心智模式所限制，以致無法作出正確的判斷。在原案分析 中，研究者發現 PS1 雖然理解圓錐曲線的幾何定義，但區辨圖形的過程中，卻不 一定能夠前後融貫地使用定義進行圖形區辨，而使用原型例進行區辨。因此，研 究者將學生本身對定義的理解的情形納入本研究的考量。
行 54 至行 74 中，PS1(高三社會組高能力學生)宣稱因定義不同，所以兩焦 距相同的拋物線無法構成一橢圓，由行 74 中，也可觀察到 PS1 本身應該了解其 定義且能利用定義進行問題解決，而非只是死記，但在行 176 到行 188 中，PS1 本身又被自己所擁有的心智模式所限制，以致無法作出正確的判斷。在原案分析 中，研究者發現 PS1 雖然理解圓錐曲線的幾何定義，但區辨圖形的過程中，卻不 一定能夠前後融貫地使用定義進行圖形區辨，而使用原型例進行區辨。因此，研 究者將學生本身對定義的理解的情形納入本研究的考量。