某次在數學解題的課上，老師與同學們討論到圖像對學生的影響，老師舉了 沈佩儀(2007)的研究為例子「學生對於從不同的角度切割橢圓，是否會得到拋物 線？」(圖 1-1-1)讓我訝異的是，學生在高中數學第四冊學到橢圓，這時已經經 歷了國小、國中階段，這個階段的學生在 Van Hiele 的幾何層次至少已經達到第 二層的關係期(或稱為非形式演繹期)，此階段的學生辨別圖形時，應該能夠以圖 像之間的關係或圖形本身的特徵或性質作為辨別的依據。但在這個問題的答題狀 況中，學生卻會因為不同的角度切割橢圓，而有不同的宣稱。從沈佩儀 (2007) 的研究中觀察到學生判斷圖形時，可能會受其所見外觀的限制。另外有些學生認 為拋物線的曲線部份可視為直線，可見學生在作幾何推理的時候，時常仰賴直 覺，而不是靠各種圖形或圖形與定義之間的關係作推理，進而得到印證。
圖 1-1-1 由不同的角度切割橢圓
但是對於高中生而言，圓錐曲線單元是個能夠在學校考試中得到不錯分數的 單元。因為學生只要能夠掌握方程式的模式，及各圖形焦點、軸…等關係，就能 夠將正確的方程式找出來，或求出題目所要求的條件。可是每逢遇到高三學生進 行課程的複習，圓錐曲線單元也往往是學生們遺忘最多的一個單元。原因到底為 何？為什麼學生們能夠記得圓錐曲線、橢圓、雙曲線、拋物線幾個名詞。但每當 被問到為什麼橢圓、拋物線與雙曲線會被稱為圓錐曲線或是提及這些曲線之間有 什麼關係時，往往得到的答案是「我不記得了」、「好像是因為圓錐跟平面相切」。
翻閱高中數學教材，不管是哪個版本的課本，呈現的內容依次為「圓錐截痕」、「拋 物線」、「橢圓」、「雙曲線」、「圓錐曲線與直線的關係」，分析完教材之後，發現 教材中並未清楚的呈現各幾何定義、拋物線、橢圓、雙曲線之間的關係，由學生 最熟悉的方程式表徵亦無法聯想到圓錐曲線圖形之間的關連(蘇惠玉, 2007)。
圓錐曲線單元一開始介紹圓錐，教師會示範平面與圓錐所形成的截痕，使學 生由此認識拋物線、橢圓及雙曲線與圓錐的關係。緊接著進入拋物線的教學，一 開始即介紹拋物線的幾何意義，兩者之間不出為何拋物線與圓錐的關係；到了橢 圓、雙曲線，也是以橢圓、雙曲線的幾何意義出發，教學自此，學生已無法得知 拋物線、橢圓及雙曲線之間的關係。
而研究者某次針對「多項式」單元對高三學生進行測驗時，發現學生在某個 與拋物線相關問題：
( )
y f x
及y g x ( )
的圖形都是拋物線，則y f x ( ) g x ( )
的圖形不可 能為下列何者？(A)兩拋物線
(B)開口向上的拋物線 (C)開口向下的拋物線 (D)一直線
72 位學生中，有 24 位學生選擇 D 選項，達到總數的1
3，不免令研究者感到 訝異，二次函數單元學生在國三已學習過，且高三學生在高二時也學過完整的圓 錐曲線單元，但在此題的表現中，學生似乎無法將圖形與文字表徵作恰當的結合。
那麼，圓錐曲線單元不斷的在高中課綱中被弱化，圓錐曲線單元的教與學到 底能夠帶給學生甚麼？如果從歷史的教度來看，鄭英豪 (2000)指出由數學思維 的角度來說，圓錐曲線為幾何問題完全轉換為代數方法處理的代表作。由歷史的 地位而言，圓錐曲線為數學知識體系中極少數在遠古時期就已經定型完備的專 題。由數學結構來說，圓錐曲線的探討向下連接算術、代數、幾何等基本知識，
向外接觸微積分，向上發展現代分析理論。而本單元在高中生學習的階段，到底 站在什麼地位？學生們需要學到什麼？學習過後，最後能夠留在長期記憶區的概 念為何？學生是否能夠藉由這個單元的學習，能夠將拋物線、橢圓、雙曲線之間 的關係，以一貫的方式作解釋？以教師的角度來看，教師們將本單元的教學偏重 於代數問題或是能夠教導學生在這個單元中學習欣賞幾何的美？
由蔡志仁 (2000)的研究發現，學生在解決關於橢圓的問題時，所表現出的 外顯表徵包含語義表徵、圖形表徵、軌跡表徵、方程表徵、軌跡表徵及結構表徵。
學生建構橢圓概念的歷程中，即前述之表徵之間的交互作用。學生若能將題意表 徵與其他表徵整合至圖形表徵當中，使多重表徵緊密的結合，較能夠成功的解題 (左台益& 蔡志仁, 2001)，因此，學生若要成功的解決一橢圓問題，需要本身對 圖像、語意、方程式表徵能夠有所領會，才能夠解決問題，但事實卻不似如此。
那麼，研究者好奇的是，學生既然已經完整的學習過圓錐曲線單元，在學校 段考中表現的不錯，利用一些相關元素，求得圓錐曲線的方程式，或由給定的方 程式中求得拋物線、橢圓、雙曲線圖形的各元素，也具有求出正焦弦長及求得雙
曲線之漸近線的能力，但為什麼在圖形的判斷上，會仰賴直覺，而非在其概念心 像中找尋學習過的性質而進行判斷呢？蘇惠玉 (2007)在「從正焦弦看圓錐曲線」
這篇文章指出學生能夠藉由背公式求得正焦弦長，卻不了解為何需要計算正焦弦 長，這部份的運算宛如操縱一些無意義的代數式。因此，若學習是因果式理解而 非機械式理解(Skemp, 1976)，也許學生就能夠擺脫進行完幾何課程的學習，卻 無法掌握圖形之間的關係之窘況。
解析幾何中拋物線、橢圓、雙曲線的定義，除了高中課程中所談的幾何定義 外，還有另一個以離心率出發，所定義出的拋物線、橢圓、雙曲線，在這個定義 下所談的是距離的關係，因為離心率的不同，而產生不同的曲線。離心率與圓錐 曲線之間，若能夠以正焦弦當做橋樑，拋物線、橢圓、雙曲線將會有清楚的結合，
而形成圓錐曲線。國內的高中教材中，並無涉及有關於離心率的討論，但離心率 是不是有其重要性，研究者將於進行完本研究之後在第五章進行討論。
尚未確定研究題目的期間，研究者試著找尋身邊理科背景的朋友及同學，觀 察經由高中課程的學習之後，一般人如何區辨拋物線、橢圓、雙曲線，結果發現，
一位某國立大學物理碩士，在區辨圖形的過程中，利用概念心像中對於方程式的 理解進行解題，但仍舊會受限於圖像本身的影響，而認為有可能在開口很小且焦 距相同的兩拋物線能夠形成雙曲線。另一位就讀科教所，背景為化學的同學，則 完全利用圖像進行區辨，認定在橢圓中，不論利用何種角度進行切割，皆會出現 拋物線。數學背景的同學則利用定義作解釋，較不受到圖像本身的限制。研究者 觀察到這些現象後與指導教授討論之後，認為這是一個值得深入了解的議題。
因此，本研究將以沈佩儀(2007)的研究結果為基礎，探究在目前的高中教材 之下，學過圓錐曲線的學生對於拋物線、橢圓及雙曲線存在哪些心智模式以及在 這些心智模式之下，學生所擁有的概念有哪些。