教學及未來研究的建議

一、 教學和課程設計上的建議

在本研究中，學生認為拋物線、橢圓及雙曲線三者息息相關，大多數學 生的印象是由一開始所介紹圓錐及平面得到的。之後為了推導各圖形的標準 式，教科書的編者使用各圖形的幾何定義介入，但在這個過程中，學生無法 確實掌握拋物線、橢圓及雙曲線三者之間的關係，建議教科書編者及教師們 進行教材編排時能夠盡早使學生理解拋物線、橢圓及雙曲線三者的差別、數 學上的性質及三者皆由嚴謹的的定義所刻劃出來的。

在圓錐曲線的教學中，建議教師們在由定義推導出方程式時，可加強定 義與圖形之間的連結，以及方程式與圖形之間的連結，使學生在學習的過程 中，不至於只是強記圖形的特徵，卻無法將這些特徵以幾何定義作解釋，進 而出現非正確的心智模式。課程設計上可考慮使用離心率(eccentricity) 作為定義，為學生作解釋，使學生能夠較輕易的將拋物線、橢圓及雙曲線圖 形作連結，並在教學的過程中，適當的使用輔助工具，使學生能夠藉由定義 及圖形軌跡之間作連結。

二、 研究上的建議

本研究利用半結構性晤談探究學生對於拋物線、橢圓及雙曲線的心智模 式類型，應存在不同於本研究所發現的心智模式類型。建議未來可利用離心 率或加強學生對圓錐與拋物線、橢圓及雙曲線的關係，再尋找出相異的心智 模式類型。

針對本研究中「弧度」的部分，研究者建議未來可針對已學過微分及未 接觸過微分的學生對於連續、圖形的變化之反應作研究，以了解兩種背景知 識不同的學生如何解釋彎曲的程度、圖形的變化等概念。另一方面，在本研 究中學生解釋弧度大與弧度小情形與數學中的曲率類似，未來的研究者也許 可由曲率概念是否在學生學習的過程中自然而然就能夠產生的概念作探究。

參考文獻

中文部份

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英文部分

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【附錄一】

「區辨拋物線、橢圓、雙曲線訪談提綱」─第 1 版

試題一：

下圖為一橢圓及一直線，您覺得此直線是否能夠將橢圓分成兩拋物線？

若您的答案為是，請畫出來，並且說明此直線要怎麼切，才能夠將產生兩拋物線。

若您的答案為否，請說明為什麼。

試題二：

下圖為一雙曲線及一直線，您覺得此直線將雙曲線左右半邊的圖形分割成何種圖 形？請說明為什麼。

試題三：

下圖 c 與 c’為二線對稱的拋物線，請問您覺得下圖是什麼圖形？為什麼？

【附錄二】

「區辨拋物線、橢圓、雙曲線訪談提綱」─第 2 版

1. 吾人在紙上畫出兩個形狀、大小皆相同的拋物線，將兩拋物線由紙上剪下之 後，發現此兩個拋物線能夠重合。若依此步驟操作，請問這兩個拋物線剪下 之後，你能夠將它們拼成一個橢圓嗎？請說明你的想法及操作方式。

2. 在紙上畫一橢圓，若將橢圓剪下，你能夠用各種方式在這個橢圓上切割出拋 物線嗎？請說明你的想法及你是如何操作的。

3. 吾人在紙上畫出兩個形狀、大小皆相同的拋物線，將兩拋物線由紙上剪下之 後，你有辦法將這兩個拋物線拼成一個雙曲線嗎？請說明你的想法及操作方 式。

4. 請問一雙曲線為兩個拋物線組合嗎？請利用各種方式說明你的想法

5. 在紙上畫一橢圓，若將橢圓剪下，你能夠用各種方式切割橢圓後，製造出一 雙曲線嗎？請說明你的想法及操作方式。

6. 吾人在紙上畫一雙曲線，你能夠將其切割後，拼成一橢圓嗎？請說明你的想 法及操作方式。

【附錄三】

辨別方程式

姓名：_____________

請判別下列圖形方程式，將符合的代號填入右邊空格，每一代號不一定只能使用

【附錄四】

學生背景資料問卷

姓名：______________

年齡：______________

年級：______________ □社會組 □自然組 性別：□男 □女

我的國中基測數學科成績：________級分。

有無補習：□有；科目：□英文科，一周_____小時。

□數學科，一周_____小時。

□物理科，一周_____小時。

□化學科，一周_____小時。

□其他：_________________

□無。

我除了上課或補習的時間之外，一周約花________小時在研讀數學。

當我遇到數學上的問題時，我會去問：_________________________________

我在高二下學期第一次段考數學成績為 _____ 分。

【附錄五】

圓錐曲線單元試題

各位同學：

這份試卷是想了解你們在圓錐曲線單元學習的狀況，有 15 個題目，共 16 個小題，請你仔細閱讀題目後，儘可能詳細列出你的解題過程，若你能夠作圖幫 助思考，請將圖形畫出來，本測驗採部分給分，感謝你們的配合！祝你們學業順 利！

國立台灣師範大學科學教育研究所碩士班學生 國立台東高中數學教師 吳姿瑩 E-mail：696450057@ntnu.edu.tw

學校名稱 班級/座號 /

姓名

組別 □ 自然組 □社會組 性別 □男 □女

作答說明 1~3 題滿足以下條件：坐標平面上有兩定點

F

₁、

F

₂和一動點

P x y ( , )

， 且

F F

_{1 2}



6。

選項(A)至選項(I)為題目敘述中動點 P 可能之圖形軌跡。

請依照各題之敘述，將計算過程列在題目下之空白處，並選擇最適合的圖形名 稱，以代號(A)~(I)填於題目敘述後之底線上方。

(A)拋物線 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)雙曲線的一支 (E)一 線段

(F)一直線 (G)兩條射線 (H) 一條射線 (I)沒有圖形

1. 滿足

PF

₁

 PF

₂



8的 P 點圖形軌跡為 ___________。

作圖及計算過程：

2. 滿足

PF

₁

 PF

₂



6的 P 點圖形軌跡為 ___________。

作圖及計算過程：

3. 滿足

PF

₁

 PF

₂

 

4的 P 點圖形軌跡為 ___________。

作圖及計算過程：

作答說明 4-5 題：求圓錐曲線的標準式，並詳細寫出計算過程及圖形於題目下 之空白處，並將答案填於題目敘述後之底線上方。

4. 其中一焦點為

(3,8)

，短軸方程式為

y  4

，長軸長為 10 的橢圓標準式為 _______________。

作圖及計算過程：

5. 準線為

x 

9，焦點坐標為

(1,3)

的拋物線標準式為 __________________。

作圖及計算過程：

作答說明 6-7 題：請你判斷方程式在坐標平面上為何種圓錐曲線圖形並求其焦 點坐標，寫出詳細的計算過程，焦點若有兩個，則兩個皆頇求出，並 將答案填於題目敘述後之底線上方。

6.

( x  3)

²

 12( y  1)

在坐標平面上的圖形為 ____________，焦點為 _________________。

作圖及計算過程：

7.

2 2

( 6) ( 2)

144 25 1

x  y 

  

在坐標平面上的圖形為 ____________，焦點為 ________________。

作圖及計算過程：

作答說明 8-14 題：寫出詳細的將計算過程列於題目下方之空白處，並將答案填

於每題敘述後之底線上方。

8. 已知曲線



為

2 x

²

 y

²

 1

，求



的漸近線為 ___________________________________；

9. 一拋物線的對稱軸平行 x 軸，且過

(0,1)

、

( 1, 2) 

、

(0,3)

，則拋物線方程式為 ____________。

作圖及計算過程：

10. 設 A、B 為



：

( 1)

²

( 1)

²

³ 2 x y

x y  

   

之正焦弦的兩端點，分別過 A、B 向直線

x    y 3 0

作垂線，垂足分別為 D、C，則 ABCD 的面積為 _________。

(a)請作出題目條件之下之圖形。 (b)計算。

11. 若橢圓

2 2

2

1

1 7

x y

k  k 

 

與

2 2

42 24 1

x  y 

共焦點，則 k



______________。

作圖及計算過程：

12. 曲線



：

25 x

²

 9 y

²

 50 x  36 y  164  0

的二焦點為

F

₁、

F

₂，P 為



上一點，

若

PF

₁



3，則

PF

₂



____________。

作圖及計算過程：

13. 若一動圓與圓 C：

( x  2)

²

 ( y  1)

²

 9

外切，且與直線 :

L x 

3相切，求此動 圓之圓心的軌跡方程式為 ______________________。

(a)作圖： (b)計算：

14. 若一曲線



：

2 2

2 2 1 1

x y

a  a 

 

(1)若



為橢圓，則 a 的範圍為 _____________________。

(2)若



為雙曲線，則 a 之範圍為 ___________________。

計算過程：

(1) (2)

15. 下列選項中的資訊當作條件時，能夠在坐標平面上求出雙曲線方程式的請在 選項前打○，不可以的請打 X，並請寫上理由。

________(A)雙曲線貫軸的兩個頂點及貫軸長。

理由：____________________________________________________。

理由：____________________________________________________。

在文檔中 高中生對拋物線、橢圓及雙曲線的心智模式類型研究 (頁 129-148)