第四章 研究結果與討論
第二節 學生幾何概念階層結構圖的分析
本節將透過多元計分概念詮釋結構模式，以學生作答資料及幾何概念 屬性矩陣(如表 3-3-4)，經認知診斷之測驗分析即時服務系統中 PCAISM 分 析模組，繪製個人化概念階層結構圖，並依照多元計分 S-P 表將學生學習 類型分類後進行分析。在分析之前，對於概念階層結構圖之解讀原則(呂秀 茹、洪文良、林原宏，2009)說明如下：
一、概念精熟度
在概念階層結構圖中，每一個圓圈代表一個概念，圓圈內上方會顯示 一個概念的代號號碼，例如號碼 2 指的便是概念 A2；在其下方會有一個 二位小數的數值代表概念精熟度，它表示該位學生對此概念的精熟程度。
以圖 4-2-1 中 A5 為例，其概念精熟度為 0.51。
二、階層性
概念階層結構圖具有階層性，代表學生對概念發展的先後順序，在結 構圖愈上層者代表的是學生較不精熟的概念，愈下層則是學生比較精熟的 概念。圖 4-2-1 顯示上層概念為概念 1、概念 4；而概念 3 及概念 8 位在最 下層，表示是最精熟的兩個概念。
三、概念連結關係
在概念階層結構圖中的箭頭指向，代表著兩兩概念間學習的先後次序 關係。圖 4-2-1 為例，圖中呈現了「概念 3→概念 2→概念 1」，表示此受試 者要先學會概念 3，才能學會概念 2，最後才能學會概念 1；另外概念 2、
概念 3、概念 6、概念 8 都指向概念 1，表示若要提升此位學生對概念 1 的 精熟度，就要先從概念 2、概念 3、概念 6、概念 8 著手補強。
圖 4-2-1 概念階層結構圖範例
壹、不同學習類型的學生，其幾何概念階層結構圖之特徵與差異 為了探究不同學習類型受試者之幾何概念階層結構圖之特徵，研究者 依據附錄二受試者學習類型一覽表，將所有的受試者依照答對率由高至低 依序排列，隨意選取答對率落在 20%、40%、60%、80%與 100%附近等五 位不同學習類型的受試者來做比較，其作答資料如表 4-2-1。在給定 α=0.58 為閾值後，此五位學生的概念階層結構圖如圖 4-2-2 至 4-2-6 所示。
表 4-2-1 成績不同之學生答題情況 學生
代號 S-P 類別
成 績 分 數
答 對 率
作答反應組型
S81 A 62 94% 6 3 3 2 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 1 2 4 4 S191 B 49 75% 5 1 3 2 2 2 3 3 3 4 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 S143 B' 42 64% 6 2 3 2 2 2 3 3 3 4 1 1 2 3 2 3 0 0 0 0 0 0 S184 C' 32 49% 5 3 3 1 2 2 2 3 2 0 2 1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 1 S609 C 19 26% 4 2 3 1 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0
圖 4-2-2 S81 學生的概念階層結構圖
圖 4-2-3 S191 學生的概念階層結構圖
圖 4-2-4 S143 學生的概念階層結構圖
圖 4-2-5 S184 學生的概念階層結構圖
圖 4-2-6 S609 學生的概念階層結構圖
根據上述五位學生所呈現的概念階層結構圖之特徵與異同歸納如下：
ㄧ、個別學生概念階層結構圖說明 (一)S81 生
圖 4-2-2 代表 S81 生的概念階層結構圖，該生結構圖的階層數只有一 層，表示各概念間沒有上下位關係，該生對各概念的精熟度差不多，而且 概念 A1、概念 A2、概念 A3、概念 A4、概念 A7 和概念 A8 彼此各間沒有 連結箭頭指向，意即對 S81 生而言，沒有哪一個概念是他感到特別困難的。
除了概念 A5(能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公 式)只與概念 A6(能運用「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立 體形體)互有連結指向以外，其餘各概念互相獨立，S81 生可以獨立學習彼 此獨立之概念而不受影響，也就是說，教師先教授彼此獨立的概念時，S81 生都可接受，並且學得很好。
(二)S191 生
圖 4-2-3 代表 S191 生的概念階層結構圖，該生結構圖的階層數有二 層，概念 A1(能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度)與概念 A3(能認 識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形)位於第一層，表示此 兩個概念對於 S191 生而言是較容易精熟的概念，其餘概念位於第二層。
概念 A1(能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度)與 A3(能認識圓心角，
理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形)同時指向概念 A2(能透過操作，
理解三角形任意兩邊和大於第三邊)，表示概念 A1 與概念 A3 同為概念 A2 的先備概念，意即要精熟概念 A2，則必須先精熟概念 A1 與概念 A3。
(三)S143 生
圖 4-2-4 代表 S143 生的概念階層結構圖，該生結構圖的階層數有二 層，概念 A1(能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度)、概念 A3(能認 識圓心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形)、概念 A5(能運用切 割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式)、概念 A6(能運用「頂 點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體)、概念 A7(能理解長 方體和正方體的體積公式)與概念 A8(能認識面的平行與垂直，並描述正方 體與長方體中面與面的平行與垂直關係)等六個概念位於第一層，表示此六 個概念對 S143 而言較容易精熟；反之，概念 A2(能透過操作，理解三角形 任意兩邊和大於第三邊)與概念 A4(能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的 線對稱性質)屬於較難精熟的概念。
S143 生的概念階層結構圖非常特別，上下位關聯指向的箭頭特別多，
位於第二層的概念 A4 的上位概念有概念 A1、A6、A7 及 A8 等四個，表 示欲精熟概念 A4 前，必須先精熟概念 A1、A6、A7 及 A8。而概念 A2 最 特別，所有位屬第一層的概念，都是概念 A2 的上位概念，可見概念 A2 不僅難精熟，且對 S143 生而言，教師要講授概念 A2 之前，有六個概念是 必須先教會 S143 生。
(四)S184 生
圖 4-2-5 為 S184 生的概念階層結構圖，該生結構圖階層數為二。上下 位關聯指向射線只有六條。值得一提的是，概念 A6(能運用「頂點」、「邊」
與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體)同時為概念 A2(能透過操作，理 解三角形任意兩邊和大於第三邊)、概念 A3(能認識圓心角，理解 180 度、
360 度的意義，並認識扇形)、概念 A4(能認識線對稱，並理解簡單平面圖 形的線對稱性質)與概念 A5(能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與 梯形的面積公式)的上位概念。
概念 A3 與概念 A5 有個共同的特點：兩個概念的先備概念同為概念 A1 與概念 A6。
(五)S609 生
圖 4-2-6 為 S609 生的概念階層結構圖，該生結構圖的階層數目為二。
上下位關聯指向箭頭有七條。其中概念 A6(能運用「頂點」、「邊」與「面」
等構成要素，辨認簡單立體形體)的關聯指向箭頭最多。唯一無關聯指向的 是概念 A2(能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊)。
二、不同學習類型學生代表之概念階層結構圖比較說明 (一)概念精熟度
每位學生對各個概念的精熟度都不盡相同，如表 4-2-2 所示。在觀察 五位學生中精熟度最大與最小的比較時，發現概念 A8(能認識面的平行與 垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係)的精熟度差距最 小，僅有 0.03 之差；而以概念 A3(能認識圓心角，理解 180 度、360 度的 意義，並認識扇形)及概念 A5(能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形 與梯形的面積公式)的精熟度差距最大，達到 0.14。
(二)精熟度高低之別
所有概念精熟度總和愈高者，得分就愈高。在表 4-2-2 中，符合者有 概念 A1(能透過操作，理解三角形三內角和為 180 度)、概念 A3(能認識圓
心角，理解 180 度、360 度的意義，並認識扇形)、概念 A7(能理解長方體 和正方體的體積公式)、概念 A8(能認識面的平行與垂直，並描述正方體與 長方體中面與面的平行與垂直關係)；但就單一概念來說，前項論述未必使 然。以概念 A2 為例，S143 生得分比 S609 生高，但是精熟度卻低 0.06。
(三)階層數之差別
S191 生、S143 生、S184 生與 S609 生所反應的階層相似，都具有 2 階層。在此四生概念階層結構圖中，概念 A2(能透過操作，理解三角形任 意兩邊和大於第三邊)與概念 A4(能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線 對稱性質)都在上層，顯示概念 A2 與概念 A4 精熟度普遍較低。
(四)獨立概念
1.在圖 4-2-2 中，S81 生的概念階層數只有一層，其中概念 A5(能運用 切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式)與概念 A6(能運用
「頂點」、「邊」與「面」等構成要素，辨認簡單立體形體)互相指向，其餘 六個概念互相無指向，各自獨立為單一概念，意即在 S81 生，這六個互無 指向的概念精熟之先後並無需要排列順序。
2.概念 A7(能理解長方體和正方體的體積公式)和概念 A8(能認識面的 平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係)在 S184 生的概念階層結構圖中雖位於第二層，但與第一層的概念皆無連結關係，
顯示此一概念對 S184 生來說，是分年細目指標中較為獨立的部分。
(五)精熟度決定順序
由概念階層結構圖的關聯指向，得知不同得分的學生對於概念的精熟 度表現出不同的順序關係。
(六)上位概念比下位概念容易精熟
在同一個別化的概念階層結構圖中，位於較低階層的概念(上位概念) 一定比位於較高階層的概念(下位概念)更容易達到精熟，也就是對個體而 言，最高階層的概念是最難精熟的概念。由圖 4-2-2 與圖 4-2-3 可知，對於 不同學習類型的學童來說，同一個概念的精熟度並不能直接由其個人化的
概念階層結構圖來互相比較，意即不同個體的概念階層結構圖，其概念階 層位階是不能直接拿來互相比較的。例如 S81 生的概念全部位於第一階 層，而對 S191 生而言，概念 A3(能認識圓心角，理解 180 度、360 度的意 義，並認識扇形)位於第二階層，我們不能因此就說 S81 生對於概念 A2 的 精熟度就一定比 S191 生高。
表 4-2-2 不同得分之學生的各個概念精熟度 概念編號 學生
代號
學習 類型
答 對 率
得
分 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 S81 A 94% 62 0.57 0.52 0.57 0.55 0.57 0.57 0.56 0.55 S191 B 75% 49 0.57 0.49 0.57 0.51 0.49 0.53 0.55 0.55 S143
B'
64% 42 0.57 0.43 0.52 0.45 0.52 0.55 0.55 0.55 S184C'
49% 32 0.55 0.47 0.45 0.47 0.46 0.56 0.51 0.53 S609 C 26% 19 0.45 0.49 0.43 0.45 0.43 0.54 0.45 0.52貳、答題得分相同，但反應組型不同的學生之概念階層結構圖 傳統測驗或在一般教學現場的教師常常以答對題數的多寡，也就是分 數的高低，來判斷學生能力的高低。對於答對題數相等，也就是總分相同 者，不管其作答反應組型為何，都視為具有相同的能力，而窺究真正存在 於學生的概念結構卻不盡然。本研究以「答對題數相同但反應組型不同」
的受試者為實例，比較其個人化幾何概念階層結構圖之異同。研究者將受 試者分數由高至低排序，找尋分數相同且學習類型相同的學生，隨意兩兩 一組挑選為代表，共挑選兩組四位學生，所選擇的受試者答題情況如表 4-2-3 所示。將上述四位學生的反應組型與表 3-3-4 試題的概念屬性矩陣資 料輸入認知診斷之測驗分析即時服務系統中 PCAISM 分析模式進行分 析，選擇 α 值為 0.54 後，可繪製出個人化幾何概念階層結構圖，如圖 4-2-7 至圖 4-2-10 所示。