模糊理論

分析理論。

第一節 幾何概念之相關研究

人類與外在環境的接觸全靠五官，所謂五官即為採聽官「耳朵」、保 壽官「眉毛」、監察官「眼睛」、審辯官「鼻子」以及出納官「口」。所以 察覺外在事物存在的器官即為眼睛，有無危害人類生命、辨別事物型態(大 小、形狀、輕重、速度)等重要性非眼睛不可。人類與生俱來辨別「形」或

「幾何」等天賦直覺可謂豐富與多元，諸如垂直與平行、對稱、相似與全 等操作及圖形辨識等等。因此在數學教育中，幾何單元之教學非常重要，

亦是較受學童歡迎的單元。美國國家數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)也提出需將幾何形體及其關係、變化、幾 何的模式化與空間推理等概念，包含於學校幾何課程(教育部，2003；

Clenents & Battista, 1992; NCTM, 1989, 2000)。

小學的幾何教學，可依據學童認知發展，參酌幾何發展歷史軌跡，拓 展學童幾何直覺，讓學童透過實際手部操弄，在操控過程中逐漸瞭解各種 簡單幾何形體及其性質，之後再導入簡單的推理性質，為銜接國中階段幾 何課程打下良好的基礎(教育部，2003)。

在我國國民中小學九年一貫課程正式綱要中將數學領域的幾何分成 以下四個階段，如表 2-1-1。

表 2-1-1 國民中小學九年一貫課程綱要數學領域幾何階段學習表

階段 年級 學習內容

階段一 一到三年級

強調幾何形體的認識、探索與操作，學童對幾何 形體中的幾何要素，也許能指認，但對於結構意 義尚不完全清楚。

階段二 四到五年級

數 與 量 的 發 展 漸 趨 成 熟 ， 學 童 開 始 結 合

「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的 構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、

邊長、面積)。

階段三 六到七年級

透過形體的分割、拼合、截補、變形等操作，了 解形體的特性與幾何量的計算與非制式化推 演。透過方位敘述及立體模型的展開與組合以培 養空間概念及視覺推理。

階段四 八到九年級

開始由具體操作進入推理幾何情境中，學會推理 幾何證明，學習內容採漸進式安排。由基本幾何 概念由淺入深，進入更高層的推理領域。最初的 學習可由填充式推理幾何開始，慢慢養成完整能 力，培養學童自信心，快樂地學習幾何學知識。

教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、

四邊形、多邊形與圓形；認識點、線、角、符號 及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形 體；能以最少性質對幾何圖形下定義，並熟練定 義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述 及逆敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、

面積(表面積)問題、體積問題；推理證明、尺規 作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、

圓的相關性質。

資料來源：修改自教育部(2003)

荷蘭數學教育家 P. M. van Hiele and Dina van Hiele-Geldof 夫婦，在西 元 1957 年，根據完形心理學的結構論以及皮亞傑(Piaget)的認知理論，共 同提出 van Hiele 學習理論。此理論在發表之初並未在國際間受到太多的 注意。直到 1974 年，美國數學教育家 Wirszup(1976)進行一系列相關的研 究，才漸漸受到重視，並依據 van Hiele 的理論模式來改革國民中小學之 幾何課程(Hoffer, 1983)。

茲將相關文獻資料整理成 van Hiele 的理論及幾何思考層次、van Hiele 幾何思考層次的特性、幾何相關研究，分述如下：

壹、幾何概念 一、概念的意義

概念是引導學童進行思考的基礎，適當地運用在教學的過程中，可以 幫助學童發展至更高一層的概念，並習得知識上的原理(薛建成，2003)。

概念是包括主要屬性(attribution)或特徵(features)的同類事物之總稱 (鄭麗玉，1993)。例如：椅子有許多種類與造型，有木頭製的椅子、有石 頭製的椅子、有鐵製的椅子、有的附有靠背的、有的沒有靠背的……等，

但是它們有共同的特徵，都有一個朝上的平面，可以供人席坐，這就是「椅 子」的概念。

概念(conception)是指一個獨特的心智表徵特質(idiosyncratic mental representation)，亦是一個認知學習的動態過程。教育學與心理學的文獻 中，概念(concept)是指一個概括的名稱或具有能被信號或符號以代表所指 共同屬性的一類事物或事件，及一些已明確定義或廣泛為大眾所接受的觀 念(Duit & Treagust, 1995)。

就心理學來看，概念是思維模式的一種。它反應客觀事物本質的一種 理論知識，人類在認知的過程中，把所認知的事物其共同的特點抽象出 來，加以概括而成為概念(沈佩芳，2002)。概念是一個象徵的建構(syambol constrcution)，它用來代表外界事物或事件的共同性，概念之所以形成，是 由於我們能夠對外界的事物進行歸類(categorization)(鄭昭明，1997)。

綜上所述，用一個概括的名稱或符號來描述事物所代表的共同屬性 時，稱這個名稱或符號所代表者為概念。而所有事物的認知過程必須經由 概念來概括、推論、總結。推論者會因時、因地、因時空背景之不同，對 同一概念將有著不同的詮釋，所以概念的意義乃是由所使用的脈絡位置而 決定。

二、概念的發展

俄國心理學維考斯基的概念理論主張每一個人在其生存過程中應該 是一位積極且活力充沛的自然環境參與者，在每一個發展階段中，或多或 少會透過一些方法使自己無論在生理上或心理上都可以得到成長(杜嘉 玲，1999）。

皮亞傑(Piaget)認知發展理論有二個基本要義：

(一)個體智能的發展是個體在環境中生活適應的歷程，個人智能高低 乃是遺傳與環境交互作用的結果(張春興、林清山，1992)。主要的四個因 素是成熟(maturation)、經驗(experience)、平衡(equilibration)和個體與社會 互動(social transmisson)(Esler, 1989)。其中「平衡」是建構知識的動力，認 知結構的內在機制(mechanism)主要就是失衡狀態與平衡狀態之間一連串 的同化(assimilation)與調適(accommodation)的歷程。

(二)智力發展有其階段性。皮亞傑將認知發展分為四個階段：感覺動 作期(the sensory-motor stage)、前操作期(the preoperational stage)、具體操作 期(the concrete operations stage)、形式操作期(the stage of formal logic)。兒 童進入四階段的時間或許有各別差異，但此四階段的發展順序是不變的

（歐陽鍾仁，1988）。各階段有其相應的認知內容與思考形式，亦即他認 為不同的認知發展階段或層次，有對應的結構組，各發展階段間的差異，

乃是結構上的差別，這樣的差別不僅是「量」的增加所導致的變化，更有

「質」的改變，這種結構的改變稱為「發展」(development)，亦即認知結 構具有不斷變化的動態性(王文科，1983)。

三、概念分析

概念分析乃是利用系統的方法將概念加以分析，根據分析的結果，診 斷學童錯誤概念之所在，並選取該概念的範例和非範例，同時為每一個範 例和非範例提供理論基礎，以便於教師教學和學童學習(毛連溫、邵尉龍、

楊瑞智，1993)。

貳、van Hiele 的理論及幾何思考層次

van Hiele 幾何思考理論是由荷蘭數學教育家 P. M. van Hiele 和 Dina van Hiele –Geldof 於 1957 年所提出的。茲將其有關理論略述如下：

一、van Hiele 的幾何思考層次

van Hiele 主張學童在學習幾何的歷程上可分成五個思考層次，在教師 適當安排教學情境下，學童的學習將循序經歷此五個層次，而每一個層次 都有其獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，研究者有兩種不同 的表達方式：一部分研究者使用「層次 0、層次一、層次二、層次三、層 次四」來表達此五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，2001)；另一 部分則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來表達 van Hiele 的五個思考層次(吳德邦，1998；Usiskin, 1982)。本研究採用 van Hiele(1986) 對層次的說法，分別為層次一：視覺的(visual)層次、層次二：描述的 (describptive)層次、層次三：理論的(theoretical)層次、層次四：形式邏輯的 (formal logic)的層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logic laws)層 次。以下分別描述各層次的內容：

(一)層次一：視覺的(visual)層次

屬於這個層次的學童，會藉著視覺觀察物體的外型輪廓來辨認形狀。

例如，從生活經驗當中知道圓圓的東西屬於圓形，像門的東西屬於長方 形，像太陽的形狀屬於圓形的。此層次的學童可辨別具體事物的外形，並 且能學習詞彙或再造出一個與指定圖形相同的圖形，但是學童卻無法利用 構成要素來分析，而且只要圖形的外表稍有變化，學童就無法辨別其之間 的差異所在。教師在教學時應提供各種機會，讓學童透過實際的操作。

(二)層次二：描述的(describptive)層次

屬於這個層次的學童，已經有相當豐富的視覺辨識經驗，能依據視覺 所觀察到的結果辨別圖形，知道圓形沒有邊，正方形有四個一樣長的邊，

三角形有三個邊，三角形的內角和是 180°，也能夠發現長方形的角都是直 角等圖形特徵，但是無法說出這些圖形之間有無關聯存在。位於這個層次

的學童無法經由推理來得知道理(例如：正方形和長方形邊長不相等時，面 積卻有可能相等)。

(三)層次三：理論的(theoretical)層次

這個層次的學童已經清楚圖形的構成要素，利用構成要素探索各種幾 何圖形之間的內在屬性以及不同種類圖形之間的包含關係。例如：菱形有 四個相等的邊，而正方形是菱形的一種，當菱形其中的一個角為 90°時，

這個菱形就是正方形；平行四邊形有兩雙對邊平行且相等的邊，而長方形 是平行四邊形的一種，當平行四邊形其中一個角為 90°時，這個平行四邊 形就是長方形。這個層次的學童能夠依據圖形的性質進行非正式的推演，

但是還不能進行有系統的證明。

(四)層次四：形式邏輯的(formal logic)的層次

這個層次的學童已經能夠經由抽象的推理來證明幾何問題以及相互 間的關係，也可以瞭解幾何定理的證明方法可能不只一種，也知道幾何圖 形的充分條件與必要條件。例如：正方形每一邊長及每一個內角皆相等，

都是 90°，但是邊長相等的四邊形卻不一定是正方形。也就是達到這個層 次的學童可以瞭解正逆敘述之間的異同，能說明題目中已知的條件及要證 明的方向為何，並利用邏輯推理的方法，來證明幾何的性質。

(五)層次五：邏輯法則本質的(the nature of logic laws)層次

此層次是最高的層次，達到這個層次的學童可以在不同的公設體系 中，瞭解抽象推理幾何，並在公設體系中建立定理及比較不同的公設系

此層次是最高的層次，達到這個層次的學童可以在不同的公設體系 中，瞭解抽象推理幾何，並在公設體系中建立定理及比較不同的公設系