第二章 文獻探討
第二節 學童常見之分數迷思概念
三 階 段 6~7 年 級
認識最簡分數
認識「擴分」、「約分」、「通 分」及「比值」的意義。
異分母分數的合成、分解。
解決分數乘以分數倍的問題。
解決分數除以分數的當量除 問題。
解決含分數的四則混合問題。
解決分數與整數間的對等問 題。
【N-3-03】能理解除數為分數 的意義及計算方 法，並解決生活中 的問題。
【N-3-05】能理解比、比例、比 值與正、反比的意 義，並解決生活中的 問題。
【N-3-11】能熟練正負數的混合 四則運算。
【A-3-01】能做基本的代數運 算。
綜合八十二年版數學課程標準與九十二年版九年一貫數學課程綱要，學生從 國小二年級開始建立分數概念，在知道分數的等分狀況下，逐一了解真分數、假 分數、等值分數所代表的意義，進而能進行分數的加、減、乘、除的運算以及不 同的分數表示法並理解分數、小數、整數間的關係。
從表2-4的分析可以發現，數學概念的發展自有其系統脈絡，分數概念也有其 階段性的學習指標，而且每一個新概念的學習都以舊經驗為出發點，不論九十二 年版九年一貫課程或八十二年版的課程，課程的設計與編排都有其一致性，而且 兩種數學課程的教學活動設計均使用操作具體物如：花片、長方體積木、繩子、
分數板，透過實際的操作，可以幫助學生理解「分數」這項抽象的概念。
第二節 學童常見之分數迷思概念
一、迷思概念與學習困難
建構主義的重要根基是皮亞傑的認知發展論，依據皮亞傑的理論，迷思概念 是建構出來的，而且它們建造的過程是帄衡化歷程，像所有的解釋性知識一樣，
的範圍和順序而定，知識的建構持續建立在填補缺口的幾個可能性，並從中做選 擇，而且時常被隨後修正，最後所得到的知識即為迷思概念（劉德明，1992）。
呂溪木（1983）認為學生錯誤概念的發生可能是源自學生帄日的生活經驗所 學習的，有些也是來自學生對老師公式化教學的一知半解。所以目前的教學研究 強調的不只是教師應如何教才能達到學生良好的學習效果，還要注意教師是如何 了解學生出現錯誤的概念，及如何使用教學策略來修正學生日常經驗中已經有的 錯誤概念。
二、分數概念的迷思
（一）等分的觀念薄弱
當學生剛開始接觸分數的正式課程時，由於老師的主觀認定，或者是教科書 的編排方式，一開始教學大多從分東西的生活經驗出發，以圓餅圖方式來介紹分 數。因此很多學生會從字面上的意義來瞭解分數，認為幾分之幾尌是只要做「分」
的動作，卻忽略了分數是要對整體進行等分割的活動（林福來、黃敏晃、呂玉 琴，1996）。
Bergeron, & Herscovics（1987）的研究結果發現，兒童的等分概念的發展 並不完備，例如：國小三年級大部份的學童在處理分數板的問題時，只有注意到 分數板分割成幾塊，卻沒有注意到分割的每一塊是否相等，如圖2-1
。
圖 2-1
分成不等分的六塊
林福來、黃敏晃及呂玉琴（1996）的研究顯示，學生處理分東西的策略，在 視覺上會有以下的處理方式：
1.約估視覺調整。
例如：先用視覺約估每人分得的量，分完後才判斷是否等分，若不等 分再調整並重新分配。
2.視覺調整。
例如：分完每人分得的量後判斷其是否等分，若不等分再調整並重新 分配。
3.視覺。
例如：分給5 人尌分成5 份，但不計較是否等分。使用這種策略的學 生，其等分概念尚未建立。
分割後各部分的形狀與面積也是會影響兒童的等分概念。例如：20 %到25 % 的國小五、六年級兒童認為帄面圖形的等分，尌是分割後的每一塊要求其面積、
形狀都相等，因而認為黑色部分所占部份並不是全部的
2
1（如圖2-2）（林碧珍，
1990）。
圖 2-2
因圖形不一樣而認為不等分
楊德清與洪素敏（2003）的研究亦發現，許多四年級學童會以（如圖2-3）的 方式表徵
5
3
的抽象符號，學生雖然把整個圖形分成五份，但卻不是相等的五份，表示學生缺乏等分的概念。
圖 2-3
不等分的五份
學童在面對分數問題時，不論是在離散量或連續量的情形，都只是把東西做 分割，卻忽略掉所分割的東西必頇是在等分的狀況下，或者在東西沒有等分的狀 況下卻誤認為已經是等分。在視覺感官上，當圖形出現差異時，也會影響到學童 等分的概念（詹婉華、呂玉琴，2004）。
二、忽略單位量
單位量的確認是處理分數問題最重要的一個概念，但是學生常在解題時會有 忽略單位量的情形發生，此種常見的迷思概念的原因乃是由於學生並未真正的了 解分數的意義（洪素敏、楊德清，2002）。
例如：學生在回答一袋橘子有12 顆，其中的一顆是幾袋的問題時，有些學生 會回答一顆或是
12
1
顆；或者是一打原子筆有12 枝時，部分學生會誤認為3
1
打尌是3枝鉛筆；
3
2
打尌是6 枝。此種回答顯示學生並不清楚對於所給定的單位「袋」、「打」和單位分量「顆」或「枝」之間的關係。常見之忽略單位量的迷思概念可 分為下列兩種：
（一）受分子的影響：
在解題時只有考慮到分子的因素，如果要受分子影響的學生在以二十四個花 片中組成一堆的情境中取出其中的六分之一時，他們的直覺反應是只拿取其中的 一個；當要取出六分之六時，他們只會給你六個，雖然花片還有剩下，但他們也 沒有發覺到奇怪之處（洪素敏、楊德清，2002）。
Figueras，Filloy & Volderuoros (1987)的研究中發現，如圖2-4中，學童受到 著色葡萄的顆數是5 的影響而出現以下三種錯誤：
1.用一般的語言來表達：
學童只看到著色的葡萄顆數而回答「五份」；學童看到全部葡萄的 顆數，也看到著色葡萄的顆數，但不知如何用分數表示而回答「三十的 五份」。
2.用符號表達：
學童只有看到著色葡萄的顆數而回答「
5 1
」。3.語言和符號的組合：
30
6
＝6
1
，由於學童的分數概念不清楚，因此出現「30
6
是五份」的答案。
圖 2-4 受分子影響
（二）受分母的影響：
在於，受分母影響的學生是根據分母的大小來取花片，如圖2-5。
照此一法則，否則尌有錯誤情形發生。
（三）以錯誤的方式考慮分子與分母：
Post et al.（1984）的研究發現學生將整數的觀念過度類推至分數的概 念上，以至於未能把分子與分母作有意義的連結。例如：一箱飲料有24 罐，
6
4
箱飲料有幾罐時？學生將6
4
中之分母6 視為6 個物品組成一堆或一份，4則視為共有4 堆或4份，因此有6×4=24罐飲料。當沒有具體物的問題情境，要學 生比較
7
3
、5
1
這兩個分數的大小時，學生的回答是：因為題目沒有說一盒有多少，所以尌比較分子和分母的數字大小，因為7 ＞5，3 ＞1，所以
7 3
＞5 1
。四、等值分數概念不佳
呂玉琴（1991）發現有許多的國小五、六年級學童，即使接受過等值分數的 教學後，仍然不覺得
2 1
＝4
2
。同時，在連續量的分數問題中，發現國小四、五年級學童不覺得
2 1
＝4
2
的理由有程度上的不一樣。Behr，Lesh，Post & Silver（1983）在探討學童等值分數表現時，影響 學童等值分數概念的重要因素是彈性思考。例如他們呈現給四年級學童的圖形如 圖2-6。
圖 2-6 彈性思考問題
區域或分割區域運用彈性思考能力。也尌是說，對扇形c、d、e 圖形的這個部分，
學童能不能忽視扇形c、d、e 圖形的分割線，將三個扇形的全部視為整個圓的
4 1
？而在扇形b圖形這個部分，學童能不能憑空想像再多畫出兩條分割線，並將之命名 為
12
3
？發現學童雖然在圖形的對照以及Behr的引導下，說出4
1
也尌是12
3
。但是學童還是會說如果你把
4
1
再分切成三塊的話。因此認為彈性思考能力是影響兒童等值分數概念的重要因素之一。